羅漢奎

（甘肅省皋蘭縣忠和學區(qū)，甘肅 蘭州 730200）

函數(shù)是整個初中數(shù)學教學中的巨大難點，但也是培養(yǎng)學生優(yōu)秀數(shù)學思維的最好知識點。函數(shù)與人們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)，是數(shù)學學科與實際生活相結(jié)合最緊密的部分之一。如何幫助學生從平面的數(shù)軸走向立體的坐標軸，培養(yǎng)立體的數(shù)學邏輯思維值得教師深入思考研究。

一、學習函數(shù)的重要性

函數(shù)思想是初中學生提高思維能力的基點。在初中數(shù)學階段，數(shù)學概念、法則、公式和性質(zhì)等知識都是明顯地寫在教材中，可以直觀地學習背誦的知識。但是函數(shù)的學習方法和解題辦法卻是隱含在數(shù)學知識體系里，是客觀存在的散亂知識點。甚至可以說函數(shù)學習不是知識點的學習，是思維模式的學習和知識邏輯體系的建立。例如“數(shù)形結(jié)合”“集合”“極限”等問題都與函數(shù)知識相關(guān)，基本的函數(shù)思想是學生形成良好認知基礎(chǔ)的紐帶，是知識轉(zhuǎn)化成能力的橋梁，是培養(yǎng)學生數(shù)學意識、形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。

學生只有領(lǐng)會了函數(shù)思想和方法才能有效地應用知識，形成動手實踐能力。在函數(shù)教學中不應只重視講授表層知識，而應該注重滲透基本函數(shù)思想和方法，讓學生真正理解和掌握所學知識，使學生的學習水平脫離初級階段。

函數(shù)在日常生活的各個領(lǐng)域發(fā)揮巨大作用。函數(shù)可以測量建筑物或山的高度，如果知道建筑物的位置與仰角之間的距離，就可以通過計算得到建筑物的高度。比如，函數(shù)可以應用在游戲方面，在一些賽車游戲中就需要大量運用三角函數(shù)的知識，當控制賽車運動的角度時，需要利用三角函數(shù)時刻計算賽車當前的位置以及運動的距離。函數(shù)可以應用在航空飛行領(lǐng)域，飛行工程師需要考慮到速度、距離和方向以及風速和風向的關(guān)系，在飛機飛行過程中需要利用三角函數(shù)調(diào)整飛機飛行方向。函數(shù)可以應用在犯罪刑偵學領(lǐng)域，在犯罪學中，三角函數(shù)可以幫助計算彈丸的軌跡，估計可能在車禍中造成碰撞的原因或物體墜落方向及子彈射擊角度等。函數(shù)可以應用在天文學領(lǐng)域，在天文學中往往會使用函數(shù)計算地球到恒星之間的距離。

函數(shù)教學建立的數(shù)學思維在數(shù)學學科的學習中具備深遠影響，不具備函數(shù)思維的學生很難在初、高中的數(shù)學領(lǐng)域獲得優(yōu)秀的學習效果。所以在初中數(shù)學階段，培養(yǎng)學生的函數(shù)思維，讓學生學好函數(shù)，是學好數(shù)學的基礎(chǔ)，也是把數(shù)學知識與日常生活相結(jié)合的基礎(chǔ)。

二、函數(shù)教學存在的問題

（一）函數(shù)概念理解不清

函數(shù)知識最主要的特征就是抽象，在小學階段學生所學的數(shù)的知識或運算法則等都是具體的，有實際表現(xiàn)形式的知識，但是函數(shù)是需要想象力的抽象知識，因此在實際教學過程中，學生很難理解函數(shù)的相關(guān)知識和專業(yè)用詞。很多教師在實際教學時使用的教學方式比較落后，而教師本身的教學觀念也比較落后，導致了學生在這一部分學習難度加大。沒有良好的函數(shù)思維導致學生在這一知識點學習時自信心受挫，逃避、厭學情緒加深，嚴重影響學生掌握相關(guān)知識并影響學習興趣。

初中數(shù)學在應試教育的影響下，往往以提升成績?yōu)榍疤?，在函?shù)學習過程中以解題技巧和公式為主要傳授和教導重點，導致了學生不能從根本上理解函數(shù)的意義和使用方法。甚至在一些可以同時使用函數(shù)和方程式的題目面前，主動放棄函數(shù)方式而使用方程式的方法解決問題。

（二）初中高中知識分離

初中處于義務教育的終點，學生和家長的目標都在于如何在“中考”拔得頭籌，選擇心儀的高中，把大量的時間和精力用在了眼前知識點的聯(lián)系上，忽略了初、高中知識的連續(xù)性。把建立思維模式的精力用在了學習解題技巧上，這樣不僅影響了初中階段學生的興趣，也影響了升入高中后學生的學習能力。

（三）教師教學方式陳舊

在小學階段數(shù)學學習過程中，教師往往通過生活化教學或創(chuàng)設教學情境等方式讓學生充分認識到數(shù)學知識在日常生活中的廣泛性和應用性，因此會產(chǎn)生濃厚的學習興趣及運用所學知識解決實際問題的能力。但初中階段在中考的巨大壓力下，教師忽視了多元化教學方式對提高教學效果的益處。因此教師往往采用傳統(tǒng)教學方式開展教學活動，學生難以認識到抽象的函數(shù)與實際生活的關(guān)系，也難以認識到學習函數(shù)和培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思維的重要性，嚴重影響學生學習效果并抑制學生自主學習能力發(fā)展。

三、初中數(shù)學函數(shù)教學策略

（一）注重學生的函數(shù)基礎(chǔ)

沒有牢固的基礎(chǔ)知識就不會有延伸的思考能力和實踐能力。所以在函數(shù)學習的過程中，教師要深挖根本，了解到學生的薄弱環(huán)節(jié)，讓學生充分了解函數(shù)的基本概念和性質(zhì)。這些概念理解得越深刻、越穩(wěn)固，從中領(lǐng)悟到的函數(shù)思維就越本質(zhì)、越真實，形成的思維方式、養(yǎng)成的思維習慣對學生的終身發(fā)展就越有根本性影響。

（二）培養(yǎng)學生的學習興趣，調(diào)動學習積極性

函數(shù)這一主題的知識點本身比較抽象，性質(zhì)語言晦澀難懂，使學生在學習理解的過程中有很多困難，這也導致了學生對函數(shù)學習的興趣較低甚至有抵觸情緒。想讓學生學好函數(shù)首先要調(diào)動學生的學習積極性，培養(yǎng)學習興趣。教師可以把函數(shù)和實際生活相結(jié)合，把變幻無常的抽象概念從具體的實際物體和行為中解放出來，首先讓學生有一個直觀的概念然后才能發(fā)揮想象進行分析，從而獲得良好的教學效果。例如教師可以結(jié)合“成本問題”“經(jīng)營利潤”等問題，從學生身邊的實際情況入手，利用函數(shù)知識對最終結(jié)果進行計算，使學生能把抽象的函數(shù)知識和具體的生活事例相結(jié)合，產(chǎn)生對函數(shù)學習的基本興趣。在實際教學的過程中，教師還需要為學生創(chuàng)造良好的教學環(huán)境，營造平等、和諧的學習氛圍，讓學生能夠做到不懂就問，從根源上避免因為基礎(chǔ)知識不牢而產(chǎn)生的思維漏洞導致無法建立完善的思維方式。并且可以根據(jù)討論和學生自己提出函數(shù)在實際生活中應用事例的方式讓學生積極參加到課堂活動中，并在交流分享中正確認識函數(shù)的意義、體會函數(shù)的魅力。

在進行函數(shù)教學時，教師可以使用多媒體或動畫等方式進行教學，播放與函數(shù)有關(guān)的視頻、圖片等，能促進學生集中注意力并使學生更生動、直接地觀察到函數(shù)的相關(guān)信息，有利于提高學習質(zhì)量和效率。例如“圖形的變換”（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折），使用課件可以使學生在大腦中有更直觀、更理性的認識。而二次函數(shù)圖像的變換就更需要使用多媒體的手段進行教學。以“拋物線平移”來說，把y=-2（x-2）2+3 向左平移3 個單位再向下平移一個單位，教師可以用多媒體進行分步展示，讓學生直觀地觀察到平移軌跡后自己總結(jié)規(guī)律，這樣可以樹立學生的信心，激發(fā)學生的興趣，培養(yǎng)學生的獨立思考能力，還在無形中把難點化解。

此處,ρt(u)=u(τ-I(u<0))，其定義在Koenker和Bassett(1978)的研究中有詳細說明；I(u)<0為示性函數(shù)，當{u<1}時該函數(shù)取1，否則取0。上述目標函數(shù)無法直接用微分求解，可以采用線性規(guī)劃的辦法求解得到估計值。分位數(shù)協(xié)整模型同樣需要關(guān)注在分位數(shù)下的變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系。Xiao(2009)基于累加和殘差(cumsum residual)給出如下的檢驗統(tǒng)計量：

（三）完善函數(shù)的概念和框架，構(gòu)建完整知識體系

函數(shù)教學過程是將學生從獲取靜態(tài)知識變?yōu)楂@取動態(tài)知識的過程。初中生在小學階段的學習過程中接觸的基本都是靜態(tài)知識，形成的知識體系也大多偏向于靜態(tài)，因此在動態(tài)知識的學習上有一定難度，教師要重視從靜態(tài)到動態(tài)的過渡。函數(shù)本身有解析式、圖形、表格、拋物線等多種多樣的表現(xiàn)方式，但表現(xiàn)方式不會影響函數(shù)的最終結(jié)果，這種相對獨立又相對統(tǒng)一的表現(xiàn)方式會加大學生的學習難度。教師在教學過程中可以通過主題備課的方式，把整個函數(shù)板塊進行樹立，形成框架，強化知識前后聯(lián)系，提高學生對函數(shù)的認知程度。

（四）結(jié)合日常生活，重視教學實踐化

由于函數(shù)體現(xiàn)的是變量和變量之間的關(guān)系，在初中階段學生很難記憶和思考。但是如果把函數(shù)的知識和日常生活結(jié)合起來就很容易讓學生產(chǎn)生具體的聯(lián)想和明白具體變量的意思。函數(shù)在日常生活中無處不在，即使是初中階段的簡單函數(shù)也有很多實際例子。例如記賬行為，教師可以培養(yǎng)學生記賬的生活習慣，不僅可以清楚函數(shù)邏輯還能養(yǎng)成良好的金錢觀念。在記賬行為中，日期是一個變量，消費的金錢是另一變量，在月底進行總結(jié)的時候就可以用函數(shù)的思維和圖形獲得最終答案。又如在天氣明媚的情況下，教師可以通過開關(guān)教室門向?qū)W生提問：“老師開門的過程中，陽光進入教室的面積隨著開門角度變化而變化，這其中兩個變量都是什么？”在這兩個變量中，陽光進入教室的面積是因變量，而教室門拉開的角度是自變量，這樣就很容易了解函數(shù)的概念和性質(zhì)。這種淺顯、簡單的問題會激發(fā)學生回答積極性和課堂參與度。通過這些簡單的日常行為引導學生的函數(shù)思考能力會讓學生覺得函數(shù)并不遙遠，也并不晦澀，從而對函數(shù)產(chǎn)生興趣，學會用函數(shù)思維思考問題。并且在引導過程中也鍛煉了學生的知識運用能力和實踐能力，以達到提高核心素養(yǎng)的最終教育目標。

教師可以在教學過程中結(jié)合生活化實例進行教學，讓學生充分認識到函數(shù)知識在生活中的用途，并將抽象的函數(shù)概念具體化，有效提高教學效果。例如在《二次函數(shù)》的教學過程中，教師可以創(chuàng)設購物情境，并通過具體銷售方式提高學生對函數(shù)概念的理解程度。比如，某購物中心銷售品牌籃球，平均每天可售出20 個，每個可獲得利潤50 元，夏季是運動旺季，購物中心決定通過促銷的方式擴大規(guī)模并提高銷售業(yè)績，經(jīng)問卷調(diào)查得出降價是購物者最喜愛的促銷方式。在實施促銷過程中銷售者發(fā)現(xiàn)每個籃球每降價5 元可多售出3 個，請學生幫助銷售者計算每個籃球降價多少錢時可以達到盈利峰值并幫助銷售者制定合理促銷方案。教師可以引導學生運用函數(shù)思維進行思考解題，在每個籃球降價X 元的情況下購物中心每天可以多出售3X 個籃球，平均每天可售出數(shù)量為20+3X 個，每個可獲得利潤為50-X 元，以商場每天盈利為A 的情況可以列出二次函數(shù)解析式A=（20+3X）（50-X），經(jīng)過計算學生可以幫助銷售者列出最合理的銷售方案，充分利用銷售旺季完成提高利潤的經(jīng)營目標。

通過具體事例學生可以理解函數(shù)知識在生活中的運用方式，并形成良好的函數(shù)思維和運用函數(shù)思維解決實際問題的能力，有效提高教學效果和學生綜合素養(yǎng)。

（五）注重數(shù)形結(jié)合的思想

借助與圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法，函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密的結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。數(shù)與形是數(shù)學中兩個最古老也最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。初中數(shù)學研究的對象可以分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形的聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學教學內(nèi)容的主線之一，也是培養(yǎng)函數(shù)思想、建立立體邏輯思維的基礎(chǔ)。

函數(shù)的定義是：“函數(shù)是表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量。”這就說明函數(shù)和圖形是不可分割、相互依存的關(guān)系。在研究函數(shù)的過程中仍然要依據(jù)函數(shù)的圖像，由圖像看性質(zhì)，由性質(zhì)看圖像，無論是函數(shù)的概念和性質(zhì)的教學都離不開圖像的身影，由此可見函數(shù)和它的圖像是不可分割的一個整體。

注重數(shù)形結(jié)合的思想就是讓學生養(yǎng)成審題后先作圖的習慣。在函數(shù)概念學習中，可以借助于畫板、圖形計算器或電腦繪圖等現(xiàn)代教學工具，通過多媒體演繹函數(shù)的多種變化過程，使學生能直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)的特質(zhì)從而發(fā)現(xiàn)函數(shù)的規(guī)律。在人的五感中，視覺刺激是最強烈的，直觀的視覺效果可以刺激學生，使其記憶更持久，理解更深刻。

（六）通過翻轉(zhuǎn)課堂等方式提高函數(shù)教學效果

初中階段學生已經(jīng)具備了良好的認知理解能力和自主學習能力，因此教師可以通過“微課+翻轉(zhuǎn)課堂”的教學方式培養(yǎng)學生良好的函數(shù)思維并提高教學效果。初中函數(shù)教學與其他教學內(nèi)容不同，函數(shù)是通過抽象的概念培養(yǎng)學生的數(shù)學結(jié)合思想和思考模式。但由于學生認知理解能力不同，對概念的理解和掌握程度不盡相同，通過課上的有限時間進行反復講解不僅浪費寶貴的課堂時間還會降低教學效率。教師可以通過“微課”講述函數(shù)基本概念讓學生在課前進行自主學習和思考，并帶著問題通過“翻轉(zhuǎn)課堂”進行交流討論。通過小組間交流討論，學生可以從不同角度拓展思維方式并提高對函數(shù)概念的理解能力。通過教師的合理引導，學生可以形成良好的函數(shù)思維并提高運用函數(shù)知識解決問題的能力，切實提高函數(shù)教學效果。

在進行微課教學的過程中，教師可以通過簡短且風趣、幽默的教學語言激發(fā)學生的學習興趣，讓學生更易接受抽象、晦澀的函數(shù)概念。微課可以打破時間、空間和知識基礎(chǔ)限制，讓學生根據(jù)自身實際情況進行多次觀看和反復學習，充分理解函數(shù)概念并形成良好的函數(shù)思維。

在構(gòu)建翻轉(zhuǎn)課堂的過程中，教師可以對學生進行科學分組并通過引導問題或生活實例讓學生進行交流討論，在此過程中提高學生的合作交流能力，提高學生對函數(shù)知識認識深度，并提高學生運用函數(shù)知識解決實際問題的能力，有效提高函數(shù)教學效果。

優(yōu)秀教學方式多種多樣，教師可以根據(jù)學生實際情況和所學函數(shù)內(nèi)容靈活運用小組合作教學法、生活教學法、項目式教學法等教學方法，以提高學生數(shù)學素養(yǎng)并培養(yǎng)學生函數(shù)思維為教學目標開展教學活動。

四、結(jié)語

鑒于函數(shù)在各個領(lǐng)域和生活中的巨大作用，在提高核心素養(yǎng)的背景下，加強初中數(shù)學函數(shù)教學勢在必行。初中函數(shù)包含了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，是平面思維到立體思維的轉(zhuǎn)變，使得學生在學習過程中比較困難。這就需要教師用多元化的教學方法刺激學生的學習興趣，幫助學生建立立體的數(shù)學思維，用單元化框架式的教學方式把函數(shù)知識進行總結(jié)梳理，注重前后知識的聯(lián)系和差異性，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和邏輯能力，這樣才能在學習過程中達到事半功倍的效果，使學生在學習中保持學習興趣和較高的學習積極性。