周冰嫻

（蘇州市勞動路實驗小學(xué)校，江蘇 蘇州 215000）

“雙減”政策，對于低年級教師來說是充滿挑戰(zhàn)的，一二年級不允許布置家庭書面作業(yè)，如何做才能“提質(zhì)增效”成為教師們的難題。首先就要摒棄之前“刷題”制勝的方法，把課堂40 分鐘有效利用起來。精講例題，注重教學(xué)方法的講解，從提高學(xué)生的理解力入手，減負增效提高教學(xué)質(zhì)量。說起來容易做起來難，那到底怎么提高教學(xué)質(zhì)量呢？教師可以借助圖像表征讓抽象的數(shù)學(xué)可視化，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在畫圖的過程中促進數(shù)學(xué)理解力的發(fā)展，從而達到抽象、推理、建模的過程。

一、定義

表征是認知心理學(xué)的概念之一，指信息或知識在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式，是外部事物在心理活動中的內(nèi)部再現(xiàn)。為了交流研究數(shù)學(xué)概念，必須對數(shù)學(xué)的概念作出表征，表征是用某種形式表達數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為，也指形式本身。

二、小學(xué)低年段圖像表征的現(xiàn)狀

在探索低年段圖像表征現(xiàn)狀時，筆者采用了調(diào)查問卷、訪談等方法，從學(xué)生、教師、教材分析，有以下幾點現(xiàn)狀。

（一）教學(xué)忽略本質(zhì)

小學(xué)低年級的數(shù)學(xué)知識看似是簡單的，有的孩子幼小銜接已經(jīng)學(xué)過了一二年級的內(nèi)容，導(dǎo)致現(xiàn)在的孩子們到了小學(xué)已經(jīng)是“不教就會”的狀態(tài)。教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)會做題了，就不研究教學(xué)方式，更多的是把教學(xué)內(nèi)容放在拓展提高上，讓學(xué)生發(fā)展更高階的思維。孰不知，這些看似簡單的知識他們并非完全掌握，學(xué)生對知識理解只是浮于表面，對于其邏輯根據(jù)、思想方法和價值意義卻不一定知曉。如，在一二年級的教學(xué)內(nèi)容中，很多需要擺一擺、畫一畫的活動如果不讓學(xué)生操作后思考，學(xué)生就缺少了活動經(jīng)驗的積累，對數(shù)學(xué)沒有從本質(zhì)上理解。

在2022 版課標中，明確提出要重視知識本質(zhì)的教學(xué)。只有注重知識的本質(zhì)才能讓學(xué)生的思維走得更高、更遠。因此，教師不能因為知識簡單就忽略了本質(zhì)的教學(xué)。

（二）畫圖意識淡薄

筆者對一年級兩個班進行了前測，布置了一些需要用畫圖的策略解決的問題，發(fā)現(xiàn)個別學(xué)生已經(jīng)有了一些用畫圖的方法解決問題的能力，這幾個學(xué)生平時成績都比較優(yōu)秀，但大部分學(xué)生還沒有用畫圖解決問題的意識，看到題目就不知道從何下手，就寫下了一個錯誤答案，下面留白區(qū)域一片空白。后來筆者問這個學(xué)生：“這道題你是怎么想的？”他說：“我不知道怎么做，也就是他不知道可以用畫圖的策略解決?！边€有個學(xué)生想到要畫圖解決問題，但是他畫出來的和題中描述的條件完全不同。筆者認為用畫圖策略解決問題的能力需要教師有意識地進行培養(yǎng)，并隨著教學(xué)進度設(shè)計一系列畫圖練習(xí)，才能讓學(xué)生掌握把數(shù)學(xué)語言和圖像表征互相轉(zhuǎn)化的能力。

（三）思考模式受限

低年級學(xué)生的思維特點是以形象為主。而教材多以文字和數(shù)字編排，即使有情境圖的支撐，也不足以在抽象的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的形象思維之間建立聯(lián)系。比如，在低年級學(xué)習(xí)解決實際問題時，課本上都是幾段話描述怎么想的，但是對學(xué)生來說還是過于抽象了。如果能在書本上有表示數(shù)量關(guān)系的線段圖，更有利于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，解決實際問題。而運用圖像表征分析問題、解決問題、表達概念、表達個人思考、輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，本質(zhì)上就是把思維可視化。

圖像表征，正是一個好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，在低年級學(xué)生擅長的形象思維與數(shù)學(xué)課本抽象的數(shù)學(xué)知識之間，建立起一座橋梁。

三、提效小學(xué)低段學(xué)生數(shù)學(xué)理解力的路徑

基于現(xiàn)狀，結(jié)合實踐，筆者認為利用圖像表征促進小學(xué)低段學(xué)生理解力的實施中可以采用以下策略：

（一）活用畫圖策略，促進教學(xué)并軌

1.畫圖，理清數(shù)量關(guān)系

在解決問題時，理清數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵步驟，用畫圖的方法理清數(shù)量關(guān)系是一個好方法。筆者以廓線圖和線段圖為例，除了這兩種圖，還可以用其他圖表示數(shù)量關(guān)系。

（1）畫廓線圖

低年級的數(shù)量關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)，其中一年級的數(shù)量關(guān)系以：部分數(shù)+部分數(shù)=總數(shù)，總數(shù)-部分數(shù)=部分數(shù)為主。那么怎么幫助學(xué)生理清這種數(shù)量關(guān)系呢？從上學(xué)期的一圖四式，到后來的看圖列式，最后看文字列算式，都是把總數(shù)分成了兩個部分。

求總數(shù)就只要把兩個部分的數(shù)合起來，要求其中的一部分只要用總數(shù)去掉另外一部分。都是用了這兩個數(shù)量關(guān)系式。

在解決問題時難點是分析數(shù)量關(guān)系。如，一共領(lǐng)走44 袋牛奶，還剩20 袋，原來有多少袋牛奶？這是典型的求被減數(shù)的實際問題。很多小學(xué)生都會用減法來做。因為看到了“領(lǐng)走”“還?！钡仍~語，在他們印象里這都是和減法相關(guān)的詞。但是如果把它畫成廓線圖就會發(fā)現(xiàn)，原來有的牛奶被分成了兩個部分，一個部分是被領(lǐng)走的44 袋，還有一個部分是還剩的20 袋，要求原來有多少袋牛奶？其實是求一個總數(shù)，也就是要用加法解決。

如果學(xué)生學(xué)會畫廓線圖，只要把已知條件和問題找到，把它們填進去，就能很快分析出數(shù)量關(guān)系了。然而會用廓線圖的小學(xué)生寥寥無幾，于是筆者專門在課后增設(shè)了一次廓線圖畫法的教學(xué)，讓學(xué)生先畫出廓線，然后找到題中的條件和問題，再把條件問題填進廓線圖中，在問題上標注問號。畫好后讓學(xué)生互相討論自己是怎么畫的。有的學(xué)生說，只要先找到總數(shù)的量，然后再找其他兩個部分就好找了。課后筆者還讓學(xué)生自己選擇兩道加減法解決問題并畫出它的廓線圖，鞏固廓線圖理解數(shù)量關(guān)系。

包括易錯題中的?？汀百I東西”題也可以用廓線圖理解。如，小紅付了30 元，找回2 元，她買了什么？經(jīng)過教學(xué)，學(xué)生對于“付出的錢”“找回的錢”“物品的價錢”這三者的數(shù)量關(guān)系很難理清，因為電子支付的普及，學(xué)生對人民幣的認知少之又少，更沒有買東西的經(jīng)驗，脫離了他們的生活。于是筆者根據(jù)一次買東西的實例，把這三者畫成了廓線圖，讓他們知道，付出的錢是總數(shù)，被分成了兩個部分，一個部分是找回的錢，另一個部分是物品的價錢。

經(jīng)過這樣的分析以后，學(xué)生就知道了要求物品的價錢就是求一個部分數(shù)，只要用付出的錢減找回的錢就行了。這個廓線圖是最基本的數(shù)量關(guān)系建構(gòu)模型，需要學(xué)生學(xué)會畫，因此在指導(dǎo)學(xué)生做題時，把它對應(yīng)的廓線圖畫在旁邊，讓他們練習(xí)畫圖的同時，理清數(shù)量關(guān)系。

（2）畫線段圖

雖然從三年級開始才接觸用畫線段圖的策略解決實際問題，但是一二年級已經(jīng)出現(xiàn)了可以用畫線段圖解決的問題了。在二年級上冊學(xué)習(xí)“求比一個數(shù)多或少幾的數(shù)”時，就出現(xiàn)了線段圖，學(xué)生能找到已知條件和問題：楊樹有39 棵，松樹比楊樹多16 棵，松樹有多少棵？能通過觀察線段圖發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，楊樹有39棵+比楊樹多的16 棵=松樹的數(shù)量。為了讓學(xué)生掌握簡單的線段圖，筆者在課后編寫一道類似的數(shù)學(xué)題，并畫出它的線段圖。有的學(xué)生以自己和同學(xué)的“智慧星”數(shù)量出題，也有學(xué)生以自己和父母的年齡出題。學(xué)生在畫的時候因為是自己感興趣的問題，所以積極性很高。

因此在二年級就讓學(xué)生接觸簡單的線段圖畫法，這樣到了三年級就不會出現(xiàn)斷崖式教學(xué)了。畫線段圖的策略應(yīng)該盡早讓學(xué)生熟悉。一年級就出現(xiàn)的廓線圖其實是線段圖的前身，所以之前說的讓學(xué)生會畫廓線圖也是為之后畫線段圖做準備的。廓線圖——簡單的線段圖——線段圖，這樣鋪墊一下教學(xué)效果更佳。

2.畫圖，理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念往往抽象難理解，比如認識時間，1 時=60 分，1 分=60 秒。為什么它們之間的進率是60？為什么1 天24 時。這些概念對二年級學(xué)生來說太難理解了。因為他們現(xiàn)在看到的都是電子鐘，沒有鐘面，因此對于認識時間的學(xué)習(xí)他們沒有生活經(jīng)驗。然后筆者想出了一個可以試著自己畫鐘面的方法。學(xué)生對“畫鐘”很感興趣，他們用了各色彩筆畫了1 到12 的數(shù)字，用紅色表示1 大格，知道了一圈有12 大格。用綠色表示1 小格，知道了1 大格里有5 小格，1 圈里有60 小格，也就是1 時=60 分。用長長的紙條表示分針、短短的紙條表示時針，知道了分針長時針短。他們在“畫鐘”時，對時間的概念有了更深刻的理解。畫好以后，還能撥一撥，對時間的概念掌握得更牢固。

再比如，怎么理解“余數(shù)比除數(shù)小”呢？在學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法時，學(xué)生計算經(jīng)常出現(xiàn)余數(shù)比除數(shù)大的情況。如：16÷4=3……4 這為什么是不對的呢？這是因為二年級學(xué)生以形象思維為主，對抽象概念的理解是困難的。因此在教學(xué)例題時，讓學(xué)生畫一畫圈一圈，15÷4，把15 根小棒每4 根一份，可以圈出3 份多3 根，如果再多1 根小棒，16÷4，發(fā)現(xiàn)3 份多了4 根，4 根又可以圈出一份，這時候就是4 份。在圈畫的過程中，學(xué)生理解了為什么16÷4=3……4 是不對的，也就是因為余數(shù)要比除數(shù)小，達到通過圖像表征促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)的抽象概念的目的。

3.畫圖，整理知識體系

學(xué)生的知識是不成整體的，碎片化的知識有容易被遺忘的特點。就像一根筷子容易被折斷，而一捆筷子不容易被折斷是一樣的道理。數(shù)學(xué)知識是系統(tǒng)的一個整體，知識與知識是有聯(lián)系的。筆者認為現(xiàn)在要做的是把他們的知識點串聯(lián)起來，不能拘泥于知識本身的教學(xué)，要多關(guān)心知識的來源、類型差異、共同屬性以及知識之間的組織結(jié)構(gòu)。低年級學(xué)生的思維發(fā)展還在具體運算階段，要讓他們獨立完成一張思維導(dǎo)圖是比較困難的。在單元復(fù)習(xí)時，教師可以在課上進行思維導(dǎo)圖生成，一邊引導(dǎo)學(xué)生回憶知識，一邊利用希沃白板的思維導(dǎo)圖功能簡單生成一個思維導(dǎo)圖，或者直接在黑板上書寫導(dǎo)圖。如果每個單元都這樣堅持下去，到了中年級，學(xué)生就能自己整理知識體系。運用思維導(dǎo)圖有利于促進學(xué)生形成知識之間的組織結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生理解力的提高，讓學(xué)生的思維變得更廣闊。

（二）創(chuàng)設(shè)畫圖練習(xí)，貫穿數(shù)學(xué)理解

認識圖形，圖形雖然是形象的，但是學(xué)生的空間想象能力還沒有發(fā)展到一定程度。這就需要教師不斷地創(chuàng)設(shè)畫圖練習(xí)，加深對數(shù)學(xué)概念的理解。

1.巧畫，重視教材習(xí)題

如三年級學(xué)的《認識周長》，一直是學(xué)生們的重災(zāi)區(qū)。經(jīng)常聽見教師對學(xué)生說“你們畫圖”，但是學(xué)生就是不畫。為什么會這樣呢？還是追根溯源到一二年級的認識圖形，是不是也存在斷崖式教學(xué)呢？從一年級下認識長方形、正方形開始就要求學(xué)生在方格圖上畫圖形了。但是在課本上并沒有重視畫法，只是讓學(xué)生認圖形數(shù)圖形。到了二年級上開始畫線段和在點子圖里畫平行四邊形，認識了“七巧板”并運用七巧板拼出不同的圖形。

2.常畫，積累畫圖經(jīng)驗

只要功夫深，鐵杵磨成針。只有不斷地練習(xí)，才能讓學(xué)生獲得畫圖這一能力。要把數(shù)學(xué)語言表征轉(zhuǎn)化成圖像表征是需要建立在理解的基礎(chǔ)上的，需要教師在平時就讓學(xué)生畫一畫，這樣學(xué)生才能真正地理解。教師在抱怨學(xué)生沒有按照教師規(guī)定的要求做之前，是不是要反省一下，有沒有把方法教給他們呢？經(jīng)過畫圖練習(xí)，才能讓圖像表征促進學(xué)生理解力的發(fā)展。

（三）設(shè)計特色作業(yè)，提升學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)

為了給學(xué)生創(chuàng)造一個多元的評價平臺，教師可以把圖像表征和特色作業(yè)結(jié)合起來，既能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又能在圖像表征中促進學(xué)生的理解力，一石二鳥何樂不為呢？

1.平時作業(yè)：數(shù)字開花

本學(xué)期是特殊的，因為疫情，學(xué)生有兩個月時間在家里線上學(xué)習(xí)。因此，學(xué)習(xí)《認識100 以內(nèi)的數(shù)》時，筆者很擔(dān)心能不能把數(shù)的組成學(xué)好，又擔(dān)心學(xué)生會不會因為在家沒有學(xué)習(xí)氛圍所以沒有學(xué)習(xí)動力。于是筆者設(shè)計了《數(shù)字開花》這個作業(yè)，先畫一朵花，在花蕊中寫上自己喜歡的數(shù)字，然后在花瓣上可以寫上這個數(shù)字的組成，或者一句話。比如，47,4 個十和7 個一合起來是47，或者畫上47 的計數(shù)器圖，或者寫上比46 大，比48小的數(shù)，或者個位上是7，十位比個位小3 的數(shù)等。只要寫上一句是這個數(shù)字的話就可以了。讓畫和數(shù)相結(jié)合，能讓學(xué)生更好地理解數(shù)的組成，也提高了學(xué)習(xí)興趣。

這份作業(yè)是比較容易完成的，可以利用雙休日完成，不占用太多時間，也讓孩子體會到畫數(shù)學(xué)的樂趣。

2.假期作業(yè)：快樂的一天

學(xué)生對時間的概念是模糊的，在寒假里讓學(xué)生將鐘面的繪制與一天的生活結(jié)合起來，為自己的一天畫一張圖。學(xué)生通過觀察鐘面時針、分針的變化，無形中對時間有了更深刻的理解。因為要畫一天中的時間，讓學(xué)生對時間產(chǎn)生了濃厚的興趣，既鍛煉了學(xué)生的觀察能力，同時也鍛煉了學(xué)生的畫圖能力。下次再遇到鐘面馬上能聯(lián)想到這次作業(yè)。

這份作業(yè)可以在假期里完成，假期相對而言時間較多，可以利用假期讓學(xué)生鞏固學(xué)期中學(xué)習(xí)比較困難的內(nèi)容。

四、結(jié)語

學(xué)生在解決實際問題時常常找不到數(shù)量關(guān)系，其實只要通過畫線段圖這些問題就迎刃而解了。學(xué)生在認識圖形時常常不能理解其概念，其實只要常畫、巧畫，定能幫助學(xué)生進一步理解圖形的概念。數(shù)學(xué)理解力和圖像表征是互相促進的關(guān)系，只有理解了數(shù)學(xué)概念才能把它轉(zhuǎn)化成圖像表征，相反通過圖像表征的方式才能促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，實現(xiàn)表征之間的轉(zhuǎn)化和建立表征之間的聯(lián)系。通過圖像表征促進低年級學(xué)生的理解力，是當(dāng)前“雙減”背景下提質(zhì)增效不可或缺的關(guān)鍵。