文天賜 方勇純 盧 彪

橋式吊車是港口、工地以及車間等場景中重要的運(yùn)輸工具.作為欠驅(qū)動系統(tǒng),吊車通過一根吊繩可以完成各種貨物的運(yùn)輸任務(wù),具備靈活性高以及能耗低的優(yōu)點(diǎn).其控制目標(biāo)往往包含臺車精確定位和負(fù)載擺動抑制兩方面[1].然而由于欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制輸入少于被控自由度,實(shí)現(xiàn)負(fù)載快速消擺存在不小的挑戰(zhàn).因此,大量學(xué)者對上述問題進(jìn)行了研究,取得了豐碩的成果[2–5].

橋式吊車盡管具有很高的靈活性,但是由于結(jié)構(gòu)限制,當(dāng)負(fù)載又大又重時(shí),其運(yùn)輸能力不足以完成運(yùn)輸任務(wù).這時(shí),一般采用兩輛臺車協(xié)同運(yùn)輸大型貨物,這種系統(tǒng)稱為雙吊車橋式起重機(jī)系統(tǒng)(簡稱雙吊車)[6].額外一輛吊車的加入大大提高了系統(tǒng)的靈活性以及運(yùn)輸能力,然而相應(yīng)地,也給系統(tǒng)增加了新的幾何約束,使得系統(tǒng)狀態(tài)之間的耦合更加復(fù)雜、非線性更強(qiáng),并且具有更多的被控自由度.上述特性使得其控制器設(shè)計(jì)難度大大增加,并且設(shè)計(jì)出的控制器往往結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜,可能不能完全適用于所有的應(yīng)用場景.

為了解決雙吊車系統(tǒng)的控制問題,早期一些學(xué)者對系統(tǒng)模型進(jìn)行簡化,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出了幾種輸入整形器來控制雙吊車[7–8].然而上述方法均對系統(tǒng)模型進(jìn)行了線性化或者近似,系統(tǒng)在受到擾動時(shí)上述方法不一定能完全保證其控制性能.Sun 等[9]充分考慮了驅(qū)動器輸出飽和問題,針對雙桅桿式吊車提出了一種輸出反饋控制方法.然而該方法基于系統(tǒng)精確模型設(shè)計(jì),沒有為系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)律.此外,為了提升雙吊車系統(tǒng)的工作效率,Li等[10]分析了雙吊車與雙機(jī)械手之間的區(qū)別,得到了雙吊車協(xié)同吊運(yùn)的約束條件,在此基礎(chǔ)上提出了一種雙吊車自動吊運(yùn)系統(tǒng).遺憾的是,該文獻(xiàn)中并未設(shè)計(jì)控制算法.

綜上所述,經(jīng)過數(shù)年的研究,雙吊車領(lǐng)域還存在許多尚未解決的問題.具體來說,許多文獻(xiàn)雖然通過對系統(tǒng)模型線性化、近似完成了系統(tǒng)的控制,但是負(fù)載擺角的控制性能卻不能完全保證.更進(jìn)一步地,在運(yùn)輸任務(wù)或者系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),基于系統(tǒng)精確模型的控制器往往不能完全保證良好的控制性能.在其系統(tǒng)受到擾動時(shí),負(fù)載將會產(chǎn)生幅度較大的擺動.

為了解決上述問題,本文針對雙吊車提出了一種自適應(yīng)的防擺控制方法.具體來說,首先將系統(tǒng)有驅(qū)動狀態(tài)以及無驅(qū)動狀態(tài)結(jié)合,構(gòu)造了一個(gè)耦合流形面.隨后,將系統(tǒng)模型與該流形面結(jié)合,并采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural network,NN)估計(jì)系統(tǒng)模型,最終成功設(shè)計(jì)出自適應(yīng)防擺控制器.由于添加了更多的擺角信息進(jìn)入控制器,系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了良好的防擺性能.此外,采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)模型,使得本文方法能完成各種不同的控制任務(wù).最后,大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文方法具有良好的控制性能和防擺能力.

本文內(nèi)容安排如下:第1 節(jié)給出了系統(tǒng)模型,并闡明需要解決的控制問題;第2 節(jié)詳細(xì)地說明了控制器的設(shè)計(jì)過程,并嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治隽讼到y(tǒng)的穩(wěn)定性;第3 節(jié)給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果,并進(jìn)行了分析;第4 節(jié)總結(jié)了本文工作并展望了后續(xù)的研究方向.

1 問題描述

為了使描述簡潔,本文采用如下的簡寫形式:

如圖1 所示,兩輛臺車分別通過一根吊繩協(xié)同運(yùn)輸一個(gè)質(zhì)量體積都很大的負(fù)載,兩根吊繩l1(t)和l2(t) 的長度均為l(＞0).吊繩與負(fù)載的連接點(diǎn)分別為A1和A2,它們之間的距離記為 2a.臺車1和臺車2 的質(zhì)量為m1和m2,它們的驅(qū)動力用F1和F2表示,位移為x1(t)和x2(t). 負(fù)載的質(zhì)量用m表示,其擺角分別為θ1、θ2和θ3,其質(zhì)心與A1A2之間的垂直距離為b.

圖1 雙吊車系統(tǒng)示意圖Fig.1 Illustration of dual overhead crane system

由于吊車的負(fù)載不會運(yùn)行至軌道上方,和許多吊車相關(guān)工作一樣[7,9,11],本文做出如下合理假設(shè):

假設(shè) 1.負(fù)載的擺角均是有界的,如下所示:

假設(shè) 2.形式為的單隱藏層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層權(quán)值ω和估計(jì)誤差?有如下性質(zhì):

式中,和為常數(shù).很多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相關(guān)工作[12–14]也采用了類似的假設(shè).

充分考慮安全因素,希望系統(tǒng)到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)負(fù)載處于水平位置.為此,系統(tǒng)的期望平衡點(diǎn)設(shè)置為:

式中,x1d和x2d分別表示臺車1和臺車2 的期望位置,θ1和θ2的期望值如下:

注 1.在實(shí)際應(yīng)用中,兩根繩長可能會有一些微小的差異(l1l2),結(jié)合系統(tǒng)中存在的幾何約束以及非完整約束,這時(shí)擺角的期望值滿足如下的非線性代數(shù)方程組:

對于l1=l2的情形,根據(jù)方程組(5)可計(jì)算出θ1d、θ2d和θ3d的解析解(4),而對于l12的情形則沒有解析解,但是可以通過Matlab 計(jì)算出其數(shù)值解[11].

同時(shí),為了保證臺車安全到達(dá)目標(biāo)位置,要求參考軌跡具有如下性質(zhì):

采用歐拉-拉格朗日方程,可以得到雙吊車系統(tǒng)的動力學(xué)方程:

2 主要結(jié)果

2.1 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)采用誤差變量及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)流形面,采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)不確定的參數(shù)以及未知干擾,最終設(shè)計(jì)出自適應(yīng)的防擺控制器.

首先,定義如下誤差信號:

進(jìn)一步構(gòu)造了如下的耦合流形面:

考慮到系統(tǒng)參數(shù)的變化,為便于控制器設(shè)計(jì),將系統(tǒng)參數(shù)變化后的Mα記為Mαδ,定義Mαδ=Mα+ΔMα.由于系統(tǒng)參數(shù)變化后是未知的,所以Mαδ和 ΔMα都是未知的,將其當(dāng)作系統(tǒng)的干擾.當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化后,式(12)可重新整理如下:

式中,N是雙吊車系統(tǒng)受到的未知干擾.為了估計(jì)該未知干擾,采用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為輸入層、一層隱藏層和輸出層的全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來近似N:

注 2.由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的逼近能力,對于欠驅(qū)動系統(tǒng),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的引入能提升其面對參數(shù)不確定性、摩擦力等擾動的魯棒性[13–14,16–17].但絕大部分工作很難保證欠驅(qū)動狀態(tài)漸近穩(wěn)定[18].本文成功地將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到存在幾何約束的雙吊車系統(tǒng)中,并在理論上驗(yàn)證了該方法能保證有驅(qū)動狀態(tài)和欠驅(qū)動狀態(tài),同時(shí)漸近穩(wěn)定.

2.2 穩(wěn)定性分析

定理 1.對于欠驅(qū)動雙吊車系統(tǒng)(7),所設(shè)計(jì)的控制器(16)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更新律(18)能確保流形面以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值及其估計(jì)值均有界.

證明.首先選擇如下的李雅普諾夫候選函數(shù):

V(t)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可求得為:

將控制器的表達(dá)式(16)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更新律(18)以及流形面導(dǎo)數(shù)表達(dá)式(14)代入式(24),可得:

如果按照如下條件選擇控制增益K1和K2:

那么,將會有如下結(jié)論成立:

式(27)說明流形面s和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值及其估計(jì)值均是有界的,進(jìn)一步可得ψ1和ψ2也是有界的. □

定理 2.對于欠驅(qū)動雙吊車系統(tǒng)(7),所設(shè)計(jì)的控制器(16)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更新律(18)能確保系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至流形面.

證明.構(gòu)造如下的李雅普諾夫函數(shù):

基于式(14)和式(16)的結(jié)果,V1(t) 關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可計(jì)算為:

定理 3.對于欠驅(qū)動雙吊車系統(tǒng)(7),所設(shè)計(jì)的控制器(16)能保證系統(tǒng)在期望平衡點(diǎn)式(3)漸近穩(wěn)定.

證明.為了證明定理3,定義如下輔助變量:

綜合式(9)、式(11)、式(14)、式(16)和式(31)的結(jié)果,σ關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)可以求得:

式中,A、H、B的具體表達(dá)式如下:

經(jīng)過計(jì)算,H的上界為(計(jì)算過程詳見附錄B):

式(33)是一個(gè)近似線性系統(tǒng),要使A赫爾維茲,按照如下條件調(diào)節(jié)選擇增益即可:

此時(shí),A的根均為負(fù)根,那么一定存在一個(gè)對稱矩陣P,使得ATP+PA＜-Q,其中,Q是一個(gè)正定的對稱矩陣.通過以上分析,選擇如下非負(fù)定的李雅普諾夫函數(shù):

將其對時(shí)間求導(dǎo),可得:

其中

由于Y是一個(gè)向上開口的二次函數(shù),因此當(dāng)βm滿足如下條件時(shí):

式中,采用了式(31)的結(jié)論.根據(jù)式(10),可以將上式整理為如下形式:

上式說明本文設(shè)計(jì)的控制器(16)能保證系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂至期望平衡點(diǎn)式(3). □

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本節(jié)將通過大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證控制器的性能.所搭建的實(shí)驗(yàn)平臺如圖2 所示,該實(shí)驗(yàn)平臺是一個(gè)縮小比例的雙吊車起重機(jī),兩輛臺車分別通過一根吊繩吊運(yùn)一個(gè)大型的負(fù)載.臺車位置信號通過伺服電機(jī)內(nèi)嵌的編碼器獲取,擺角信號通過固定在每輛臺車下面的編碼器獲取.與其他相關(guān)工作類似[9,11,15,18–19],本實(shí)驗(yàn)中所采用的速度信號全部是通過對位置信號的數(shù)值微分獲得的.

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺Fig.2 Experimental testbed

首先,雙吊車系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺的參數(shù)為:

臺車1和臺車2 的目標(biāo)位置分別設(shè)置為1.5 m和2.4 m.根據(jù)目標(biāo)位置,引入了如下的參考軌跡:

臺車1和臺車2 的初始位置設(shè)置為:

本文方法的控制增益調(diào)節(jié)為:

在實(shí)驗(yàn)過程中,本文方法控制增益不變.

3.1 實(shí)驗(yàn)1.對比實(shí)驗(yàn)

由于目前關(guān)于雙吊車研究成果較少,因此在本組實(shí)驗(yàn)中,將其與經(jīng)典的比例微分(Proportion differential,PD)控制器、比例積分微分(Proportion integral differential,PID)控制器和線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear quadratic regulator,LQR)控制器進(jìn)行對比.PD 控制器的結(jié)構(gòu)和增益如下:

PID 控制器的結(jié)構(gòu)及其控制增益配置如下:

為了驗(yàn)證本文方法對不確定摩擦力的魯棒性,實(shí)驗(yàn)中假設(shè)不完全知道摩擦力的具體形式,只對其按照如下的表達(dá)式部分補(bǔ)償:

按照上式部分補(bǔ)償摩擦力,對比方法不能驅(qū)動臺車1 到達(dá)期望位置,因此需要更精確地補(bǔ)償臺車1 的摩擦力:

第1 組實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3和圖4 所示,控制器的性能指標(biāo)見表1 (粗體數(shù)值表示最優(yōu)).由圖3和圖4可以看出,3 種方法均能完成控制任務(wù),被控量最終收斂至平衡點(diǎn),但是本文方法具有更優(yōu)越的性能.具體來說,盡管兩輛臺車的摩擦力有著較大的差異,本文方法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能動態(tài)補(bǔ)償部分摩擦力,使得兩輛臺車能更好地跟蹤軌跡.如圖3 中x1和x2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果所示,本文方法兩輛臺車具有幾乎完全相同的運(yùn)行軌跡.表1 中最后兩項(xiàng)性能指標(biāo) Δxmax和Δxmin更加清晰地說明了這一點(diǎn),本文方法兩輛臺車之間的距離很好地保持在 0.9±0.005 m 以內(nèi),而PD 控制器和LQR 控制器的兩輛臺車之間的距離的最大值和最小值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于本文方法.另一方面,表1 中e1xs這項(xiàng)指標(biāo)說明PD 控制器和LQR 控制器的臺車1 均存在較大的靜差,而本文方法兩輛臺車的靜差都最小.由圖3 變量x1中實(shí)線曲線可以看出,PID 控制器盡管極大地減小了臺車的靜差,卻給臺車1 帶來了超調(diào).

圖4 實(shí)驗(yàn)1:系統(tǒng)控制輸入 F1、F2和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值 W1、W2、V1、V2 的范數(shù)Fig.4 Experiment 1:The control input F1,F2 of system and the norm of the NN weights W1,W2,V1,V2

由圖3 中θ1、θ2和θ3的實(shí)驗(yàn)曲線可以看出,由于本文方法具有更好的跟蹤效果,所以θ1和θ2具有相似的形狀,同時(shí)θ3幾乎為零.由表1 中可以看出,本文方法在負(fù)載運(yùn)行過程中擺角最大值θimax和殘余擺角θires均為最小.然而對比方法均不能協(xié)同控制兩輛臺車,這使得負(fù)載擺動劇烈.這一點(diǎn)可以從圖3 中看出,對比方法θ1和θ2的實(shí)驗(yàn)曲線并不對稱,并且在系統(tǒng)穩(wěn)定后,負(fù)載仍存在幅度較大的殘余擺動.因此本文方法更能抑制負(fù)載的擺動,并且能快速消除殘余擺動.綜上所述,本組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法具有更好的控制性能和消擺效果.

圖3 實(shí)驗(yàn)1:系統(tǒng)狀態(tài)變量Fig.3 Experiment 1:System state variables

3.2 實(shí)驗(yàn)2.魯棒性驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的性能,將本文方法與文獻(xiàn)[19] 的滑?？刂破?Sliding mode controller,SMC)進(jìn)行了對比.調(diào)整SMC 的控制增益ks1=20,其余實(shí)驗(yàn)參數(shù)與文獻(xiàn)[19] 中一致.SMC 第1 組實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文方法具有相似的結(jié)果,相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)見表1.本組實(shí)驗(yàn)測試了2 種方法在以下3 種情況下的魯棒性(相應(yīng)的控制輸入與實(shí)驗(yàn)1類似):

表1 實(shí)驗(yàn)1 的性能指標(biāo)Table 1 Performance indices of Experiment 1

1)參數(shù)不確定性:將負(fù)載更換為m=9.1 kg (提高121%),吊繩與負(fù)載連接點(diǎn)之間的距離A1A2變?yōu)?2a=0.5 m (降低44%),繩長分別縮短為l1=0.8 m (降低20%)、l2=0.6 m (降低40%),給兩輛臺車增加配重使其質(zhì)量分別變?yōu)閙1=6.652 kg (提高45%)、m2=5.782 kg (提高26%).

2) 初始負(fù)載擺動:在l1、l2不等(l1=0.8 m、l2=0.6 m、2a=0.5 m) 與相等的兩種情形下,給負(fù)載施加初始的擺動來干擾系統(tǒng).

3)不同運(yùn)輸任務(wù):臺車1 的初始值以及目標(biāo)位置不變,臺車2 的初始值為x2(0)=0.7 m,兩輛臺車期望位置分別為x1d=1.4 m、x2d=2.3 m.

為了充分驗(yàn)證本文方法對模型的估計(jì)能力,本組實(shí)驗(yàn)較大幅度地改變了所有的系統(tǒng)參數(shù),擺角的初始值以及期望值變?yōu)?θ1(0)=θ1d=20.43°、θ2(0)=θ2d=-14.48°、θ3(0)=θ3d=-19.72°.由于l1l2,那么θ1d、θ2d不再滿足式(4)中的關(guān)系,此時(shí)θ1d、θ2d、θ3d可以通過方程組(5)來計(jì)算.由圖5中θ1、θ2和θ3的實(shí)驗(yàn)曲線可以看出,由于本文方法采用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確地補(bǔ)償了參數(shù)變化帶來的影響,和對比方法相比其負(fù)載擺角更小.由圖5 中x1和x2的實(shí)驗(yàn)曲線可知,由于臺車質(zhì)量變化,對比方法驅(qū)動的兩輛臺車在停止時(shí)距離目標(biāo)位置存在不小的距離.

圖6 給出了負(fù)載在受到初始擺角擾動后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,可以看出,本文方法相較于對比方法,具有更好的消擺能力.而對于在l1l2時(shí)給負(fù)載施加擾動,由圖5 可知,本文方法依然能較好地完成控制任務(wù),負(fù)載殘余擺幅在 1°左右.

圖5 實(shí)驗(yàn)2:參數(shù)不確定性實(shí)驗(yàn)Fig.5 Experiment 2:Test of parameters uncertainty

圖6 實(shí)驗(yàn)2:初始擺角擾動實(shí)驗(yàn)Fig.6 Experiment 2:Test of initial swing disturbances

本組實(shí)驗(yàn)測試了2 種方法在運(yùn)輸任務(wù)發(fā)生變化時(shí)的性能,實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖7.兩輛臺車的初始距離為x2(0)-x1(0)=0.7＜2a=0.9 m,同時(shí)擺角的初始值以及期望值分別為:θ1(0)=-θ2(0)=5.74°、θ1d=-θ2d=0°.如圖7 所示,本文方法能完成不同的控制任務(wù),在其控制下,系統(tǒng)狀態(tài)全部最終穩(wěn)定至期望值.而對比方法臺車2 存在明顯的靜差,使得負(fù)載擺角沒能到達(dá)期望角度.上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果有力地證明了本文方法在面各種擾動時(shí)具備足夠的魯棒性.

圖7 實(shí)驗(yàn)2:不同運(yùn)輸任務(wù)實(shí)驗(yàn)Fig.7 Experiment 2:Test of different transportation tasks

4 結(jié)束語

為了促進(jìn)雙吊車系統(tǒng)的自動化,提升系統(tǒng)安全性和穩(wěn)定性,本文研究了一種自適應(yīng)的防擺方法.具體來說,將雙吊車擺角和位移變量耦合,構(gòu)造了一個(gè)流形面.并將系統(tǒng)模型與該流形面結(jié)合,采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)模型,最終成功設(shè)計(jì)出自適應(yīng)防擺控制器.采用李雅普諾夫方法,嚴(yán)格地證明了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性.最后,與已有方法的對比實(shí)驗(yàn),證明了本文方法具有良好的控制性能和防擺性能.

本文引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使雙吊車系統(tǒng)具備了足夠的魯棒性.由于雙吊車系統(tǒng)的負(fù)載較重,往往會使驅(qū)動器輸出飽和,這時(shí)控制器的性能將會下降,甚至不能抑制負(fù)載擺動.另一方面,由于本文研究的對象偏向于工業(yè)應(yīng)用,因此在實(shí)際工業(yè)裝備上測試更能驗(yàn)證本文方法的性能.未來的工作將會著重于解決上述問題,以進(jìn)一步完善控制算法.

附錄A

為了使敘述更為簡潔,Cij,i=1,2,j=1,2,3 可以通過性質(zhì)(8)計(jì)算,本文將不再給出.系統(tǒng)模型變量表達(dá)式如下(其他未列出的變量可參考文獻(xiàn)[11]):

附錄B

由于h(σ) 是一個(gè)高階非線性項(xiàng),很難定量給出其上界,為此只給出了其定性的上界,即上界的形狀.為了使描述清晰,按照步驟1～2 證明式(37)的結(jié)論:

證明.步驟 1.首先分析P1(σ)、P2(σ)、P3(σ) 的上界,按照下面兩種情形來討論:

B.1σ →0

在這種情形下,系統(tǒng)狀態(tài)變量的具有如下的特性:

將式(B1)代入式(A2),g1、g2、h1、h2、gθ和hθ的上界分別為:

g1、g2、h1、h2、gθ和hθ關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的上界可以按如下過程求取:

將上述結(jié)論代入M31、M32、M33、C31、C32、C33和G3的表達(dá)式可以求取其上界為:

B.2σ →∞

情形2 的計(jì)算過程和結(jié)果與情形1 一致,因此本文不再重復(fù).經(jīng)過上述分析,P1(σ)、P2(σ) 的上界最終可以確定為關(guān)于σ線性函數(shù),而P3(σ) 的上界則為常數(shù),即:

式中,p11、p12、p21、p22和p3均為足夠大的正常數(shù).

步驟 2.進(jìn)一步分析如下兩種情形下h(σ) 的上界.

B.2.1σ →0

在這種情形下,P3(σ)＞0.將式(B6)代入式(35)能得到如下的結(jié)論:

B.2.2σ →∞

與情形1 的計(jì)算過程類似,能得到如下不等式:

因?yàn)椤摇?p3是一個(gè)正數(shù),所以可以忽略p3.綜合式(B7)和式(B8)的結(jié)論可得: