王建軍，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450015)

0 引言

混沌現(xiàn)象在物理學(xué)中大量存在，學(xué)者們對(duì)于混沌同步控制問(wèn)題的研究取得了一系列成果[1-4].滑?？刂凭哂辛己玫聂敯粜?，易于實(shí)現(xiàn)，已成為當(dāng)下研究的熱點(diǎn).文獻(xiàn)[5]采用積分滑模方法研究了一類(lèi)整數(shù)階分?jǐn)?shù)階單擺系統(tǒng)的同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[6]研究了分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[7]采用有限時(shí)間滑模方法，對(duì)于Victor-Carmen系統(tǒng)設(shè)計(jì)新型滑模面，實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的快速高效收斂；文獻(xiàn)[8]采用滑模控制和反演控制相結(jié)合的策略，研究了不確定分?jǐn)?shù)階Genesio系統(tǒng)的同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[9]研究了一類(lèi)單擺系統(tǒng)的終端滑模同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[10]采用自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄑ芯苛艘活?lèi)具有不確定項(xiàng)與外界干擾情形下多混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題.單擺系統(tǒng)是常見(jiàn)的一種物理現(xiàn)象，具有周期性、等時(shí)性等豐富的動(dòng)力學(xué)特征，在機(jī)械傳動(dòng)、儀表控制等領(lǐng)域有著非常重要的作用.本文針對(duì)含有不確定項(xiàng)和外界干擾的一類(lèi)整數(shù)階分?jǐn)?shù)階單擺系統(tǒng)，采用自適應(yīng)滑?？刂评碚?，設(shè)計(jì)了適應(yīng)規(guī)則及一種簡(jiǎn)潔滑模面，實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)混沌同步.

1 主要結(jié)果

定義1 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為[11-12]

考慮如下分?jǐn)?shù)階有阻尼單擺混沌系統(tǒng)：

(1)

取g=9.8，l=1，γ=0.46，q=0.86時(shí)出現(xiàn)吸引子，系統(tǒng)的相圖如圖1所示.

(a)x1相圖 (b)x2相圖 (c)x1，x2吸引子圖

其響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(2)

其中：Δfi(y1，y2，t)為不確定項(xiàng)，di(t)為有界外擾，ui(t)為控制器.

定義誤差：e1(t)=y1(t)-x1(t)，e2(t)=y2(t)-x2(t)，則誤差系統(tǒng)為

(3)

假設(shè)1 設(shè)不確定項(xiàng)Δif(y1，y2，t)和外部擾動(dòng)di(t)有界，即存在未知參數(shù)mi，ni>0使得|Δfi(y1，y2，t)|

定理1 在假設(shè)1條件下，設(shè)計(jì)滑模面si=ei(t)，(i=1，2)選取控制器：

由引理2有si→0.

考慮有阻尼的整數(shù)階單擺系統(tǒng)：

(4)

以上述系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)為：

(5)

其中：Δfi(y1，y2，t)為不確定項(xiàng)，di(t)為有界外擾，ui(t)為控制器.

定義誤差e1(t)=y1(t)-x1(t)，e2=y2(t)-x2(t)，得到誤差系統(tǒng)：

(6)

定理2 在假設(shè)1條件下，設(shè)計(jì)滑模面si=ei(t)(i=1，2)，選取控制器

證明當(dāng)狀態(tài)變量位于滑模面上時(shí)si=0?ei=0.

2 數(shù)值仿真

以不確定分?jǐn)?shù)階、整數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)為例.

設(shè)計(jì)系統(tǒng)參數(shù)為g=9.8，l=1，γ=0.46，α=0.86，Δf1(y1，y2，t)=cos(2πy2)，d1(t)=0.2cost.Δf2(y1，y2，t)=cos(2πy1)，d2(t)=0.1sint.

誤差曲線如圖2—3所示，由圖2—3中可以看到，初始時(shí)系統(tǒng)的誤差距離坐標(biāo)原點(diǎn)較遠(yuǎn)，但隨時(shí)間推移系統(tǒng)的誤差逐漸趨于一致，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)取得同步的所需時(shí)間比整數(shù)階更短，說(shuō)明分?jǐn)?shù)階建模的優(yōu)越性.

圖2 定理1中的系統(tǒng)誤差

圖3 定理2中的系統(tǒng)誤差

3 結(jié)論與展望

研究了整數(shù)階、分?jǐn)?shù)階單擺不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，得到了分?jǐn)?shù)階單擺不確定混沌系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步的充分性條件，數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的正確性.分?jǐn)?shù)階單擺不確定混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間滑模同步是下一步需要考慮的課題.