崔會敏， 魏公明

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

四階方程出現(xiàn)在數(shù)學(xué)和物理的各個分支中。例如，它可以用來研究懸索橋的行進波問題[1-2]和彈性板在流體中的靜態(tài)擾度問題。近年來，非線性雙調(diào)和方程和p-雙調(diào)和方程解的存在性問題被廣泛研究[3-4]。關(guān)于多重調(diào)和問題，Pucci等[5]研究了多重調(diào)和算子的臨界指數(shù)和臨界維數(shù)。Pucci等[6]研究了多重調(diào)和問題在N 維空間的一個球BR上的非線性特征值問題，得到了特征值的連續(xù)譜，且證明了最小特征值是孤立的。特別地，對于帶有Hardy項的奇異p-雙調(diào)和橢圓型方程解的存在性問題正在被越來越多的學(xué)者關(guān)注[7-10]。2018年，文獻[3]研究了帶有臨界指標(biāo)和凹凸非線性項的p-雙調(diào)和方程

其中，u∈W02,p(Ω),Ω∈RN是一個有界光滑區(qū)域，表示p-雙調(diào)和算子。使用山路引理、集中緊性引理和虧格的方法證明了方程（1）分別在Dirichlet邊界和Navier邊界下解的多重性問題。類似地，在次臨界下帶有凹凸非線性函數(shù)和變號勢函數(shù)的p-雙調(diào)和問題在Navier邊界下解的存在性也可以參考文獻[11]。2020年，文獻[7]研究了帶有Hardy項的p-雙調(diào)和方程

其中，Ω∈RN是一個有界光滑區(qū)域，2＜2p＜N,μ≥0,0∈Ω,:=p*。使用山路引理等變分的方法，證明了方程（2）分別在Dirichlet邊界和Navier邊界下解的存在性和多重性。受文獻[3,7,11]的啟發(fā)，本文主要研究了臨界p-雙調(diào)和方程

其中，u ∈W2,p(RN)，Δ2pu=Δ(|Δu|p-2Δu)表示p-雙調(diào)和算 子，2≤p＜q＜p*，p*=， N＞2p，V(x)∈Cc(RN)，V(x)是變號函數(shù)。

本文所研究的問題比文獻[7]的問題更一般，因為，在RN上，W2,p(RN)? Lp*(RN)的嵌入不是緊的，恢復(fù)緊性是本文的重點也是難點。

2 預(yù)備知識

定義W 空間是C0∞(RN)在 范數(shù)下的完備化空間。定義Lt(RN)上 的范數(shù)：1≤t＜∞。根據(jù)p-雙調(diào)和Hardy’s不等式[12]：

用 表示 連續(xù)嵌入到 的最佳常數(shù)，即

根據(jù)文獻[13]可知S是可以取到的，假設(shè)存在正函數(shù)U∈W 可以取到S且滿足

為了方便，當(dāng)積分區(qū)域為RN時，省略不寫。令

μ0=min{μ1,μ2}＞0，C＞0,t1＞0，t1僅 依賴于μ1。

本文研究問題(3)的弱解的存在性。對u∈W ，定義問題(3)的泛函：

很容易得到I (u)∈C1(RN,R)，并且具有Fréchet導(dǎo)數(shù)為

因為，問題(3)的所有解都是泛函I(u)的臨界點，也就是對任意的v∈W ，使得〈I′(u),v〉=0成立的點，因此，可以通過求滿足〈I′(u),v〉=0的函數(shù)u，就得到了問題(3)的弱解u。

本文主要結(jié)果為定理1。0＜μ＜μ0=min{μ1,μ2},λ∈(0,)

定理1如果 ，問題(3)至少存在一個非平凡弱解。

3 定理1的證明

首先驗證山路引理的幾何條件，得到引理1。

a.存在常數(shù) ρ ,β＞0，使得 I(u)≥β,‖u‖=ρ；

b. 存在 e∈W且‖e‖＞ρ，使得 I(e)≤0。

證明a.因為，V(x)∈Cc(RN)，有

因為， p＜q＜p*，如果取‖u‖=ρ＞0足夠小，則一定存在 β＞0，使得 I(u)≥β＞0。

b.取u∈W{0}，則

因為，當(dāng)t→+∞,I(tu)→-∞，即一定可以取到‖e‖＞ρ，使得 I(e)≤0。證畢。

通過引理1，結(jié)合山路引理[14]，存在(PS)c序列{un}∈W ，使得當(dāng) n→∞時，

證明 假設(shè){un}?W 是泛函I(u)的(PS)c序列，則 I (un)→c,I′(un)→0成立，并且一定存在n∈N,M＞0，使得

則即{un}?W是一個有界列，此時可以假設(shè)存在一個u∈W ，使得在W 中un?u，在中有 un→u，利用集中緊性原理[14]，有

其中，J?N是有限集，δx是x∈RN時的Dirac測度， γ,σ,ν是非負的有界測度。不失一般性，只考慮在奇點0∈RN處集中的可能性，對任意的ε＞0，取截斷函數(shù)?∈C0∞(RN)，使得在B∈(0)內(nèi)有?=1， 在B2∈(0)外 有? =0，并且有因為，對W 中有界序列{ ?un}，必成立〈I′(un),?un〉=0，于是，

因為，

對式(6)在 n→∞取極限，可得

當(dāng) ε→0時，

和

結(jié)合式(5)～(9)，有

應(yīng)用集中緊性原理[14]，有結(jié)合上式可以得到 ν0≥

由 V (x)∈Cc(RN)可得，故有

其中，C為正常數(shù)。令 g(x)=:M1xp*-M2μxq，

由g′()=0很容易求得g(x)的臨界點為x0=通過計算可知g(x)在上取得極小值 g(x0)=M3-μM4，其中，

因此，可得

故在W 中有un→u。證畢。

定理2當(dāng) μ∈(0,μ0),λ∈(0,)，山路水平 c 滿足

定義函數(shù)

因為，I(0)=0，則存在僅依賴于μ1的t1＞0，使得對任意的 μ∈(0,μ1)，都有

另一方面，由式(10)可知，

即對任意的μ ∈(0,μ2)，都有

綜上，取 μ0=min{μ1,μ2}，對任意的 μ∈(0,μ0)，都有

通過以上定理和引理，可知當(dāng)μ∈(0,μ0),μ0=min{μ1,μ2},λ∈(0,，山路水平泛函 I(u)的任意一個(PS)c序列都有一個強收斂的子序列，即方程(3)在W中的弱解是存在的，并且弱解最少有一個。