劉可為， 寧榮健

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 合肥 230601)

1 引 言

2022年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一第10題為

引例設(shè)X～N(0,1)，在X=x的條件下，Y～N(x,1)，則X與Y的相關(guān)系數(shù)為( ).

所以

下面給出兩種解法.

解法1由于二維正態(tài)分布的密度函數(shù)為

解法2由于X～N(0,1)，則EX=0, DX=1,而

則Y～N(0,2),E(Y)=0,D(Y)=2.由于

所以X與Y的相關(guān)系數(shù)為

故選(D).

對(duì)于大多數(shù)考生來說，解法1的計(jì)算量雖然不大，但是其中二維正態(tài)分布的密度函數(shù)卻難以記住，影響正常解題.作為填空題，解法2的計(jì)算量過大，不宜采用.

本文通過該問題中的有關(guān)獨(dú)立性的討論，給出本題方法簡(jiǎn)單，計(jì)算量適中的解題方法.

2 主要結(jié)論

引例中，在X=x的條件下，Y～N(x,1)，可得Y-X=Y-x～N(0,1)，表明Y-X的條件分布與X取值無關(guān)，能否由此斷言X和Y-X相互獨(dú)立？其答案是肯定的，給出下列定理.

定理1設(shè)函數(shù)z=z(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y為隨機(jī)變量，X的密度函數(shù)為fX(x).如果對(duì)滿足fX(x)>0的任意實(shí)數(shù)x，當(dāng)X=x時(shí)，Z=z(X,Y)的條件密度函數(shù)fZ|X(z|x)與x無關(guān)，并記fZ|X(z|x)為g(z)，則

(i)X和Z相互獨(dú)立，且Z的密度函數(shù)fZ(z)=g(z)；

證(i)記(X,Z)的密度函數(shù)為f(x,z),-∞0的任意實(shí)數(shù)x，

f(x,z)=fX(x)fZ|X(z|x)=fX(x)g(z), -∞

對(duì)滿足fX(x)=0的任意實(shí)數(shù)x，f(x,z)對(duì)z幾乎處處為0，因此對(duì)任意(x,z)∈2，f(x,z)=fX(x)g(z)幾乎處處成立.由于fX(x)dx=1，得g(z)=f(x,z)dx=fZ(z)，故f(x,z)=fX(x)fZ(z)在2內(nèi)幾乎處處成立，所以X和Z相互獨(dú)立，且Z的密度函數(shù)fZ(z)=g(z).

(ii)由于X和Z相互獨(dú)立，故由文獻(xiàn)[1]定理2知Y的密度函數(shù)為

定理2設(shè)函數(shù)z=z(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y為隨機(jī)變量，X的分布律為P{X=xi}=pi,i=1,2,….如果對(duì)滿足pi>0的任意實(shí)數(shù)xi，當(dāng)X=xi時(shí)，Z=z(X,Y)的條件分布律與xi無關(guān)，并將其記為P{Z=zj|X=xi}=qj，j=1,2,…，則

(i)X和Z相互獨(dú)立，Z的分布律為P{Z=zj}=qj,j=1,2,…；

(ii)記Y=y(X,Z)的取值為y1,y2,…,yk,…，Y的分布律為

證(i)記(X,Z)的分布律為

P{X=xi,Z=zj}=pij,i=1,2,…；j=1,2,….

對(duì)滿足pi>0的任意實(shí)數(shù)xi，

pij=P{X=xi,Z=zj}=P{X=xi}P{Z=zj|X=xi}=piqj,j=1,2,…；

P{X=xi,Z=zj}= P{X=xi}P{Z=zj}，

所以X和Z相互獨(dú)立，Z的分布律為P{Z=zj}=qj,j=1,2,….

(ii)由于X和Z相互獨(dú)立，故(X,Z)的分布律為

P{X=xi,Z=zj}=piqj,i=1,2,…；j=1,2,…，

進(jìn)而得Y的分布律為

定理3設(shè)函數(shù)z=z(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y為隨機(jī)變量，X的分布律為P{X=xi}=pi,i=1,2,….如果對(duì)滿足pi>0的任意實(shí)數(shù)xi，當(dāng)X=xi時(shí)，Z=z(X,Y)的條件密度函數(shù)fZ|X(z|xi)與xi無關(guān)，將其記為g(z)，則

(i)X和Z相互獨(dú)立，且Z的密度函數(shù)fZ(z)=g(z)；

證(i)記(X,Z)的分布函數(shù)為F(x,z)，X的分布函數(shù)為FX(x)，Z的分布函數(shù)為FZ(z)，-∞0的任意實(shí)數(shù)xi，以及-∞

對(duì)滿足pi=0的任意實(shí)數(shù)xi，P{X=xi,Z≤z}=0，所以對(duì)任意的i=1,2,…,-∞

P{X=xi,Z≤z}=P{X=xi}P{Z≤z}.

進(jìn)而對(duì)任意的-∞

即F(x,z)=FX(x)FZ(z)，所以X和Z相互獨(dú)立，Z的密度函數(shù)為fZ(z)=g(z).

(ii)由于X和Z相互獨(dú)立，故有

有了上面相關(guān)結(jié)論，再來看引例.記z=y-x，z′y=1≠0.由于在X=x條件下，Y～N(x,1)，故Z=Y-X=Y-x～N(0,1)，與x無關(guān)，所以由定理1(i)知X和Z相互獨(dú)立，Z～N(0,1).進(jìn)而由Cov(X,Z)=Cov(X,Y-X)=0，得Cov(X,Y)=DX=1.又Y=X+Z～N(0,2)，DY=2，所以所求相關(guān)系數(shù)為

顯然，利用本文結(jié)論既不需要利用解法1中難以記住的二維正態(tài)分布的密度函數(shù)，又避免了解法2中繁雜的計(jì)算.

3 應(yīng)用實(shí)例

例1(根據(jù)2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四第23題改編) 設(shè)隨機(jī)變量X～U(0,1)，在X=x∈(0,1)的條件下，Y～U(0,x)，

(ii)求Y密度函數(shù)fY(y).

證法1(i)由于在X=x∈(0,1)的條件下，Y～U(0,x)，故

所以

進(jìn)而得

由于

(ii)由于

所以

(ii)由于X和Z相互獨(dú)立，以及X～U(0,1),Z～U(0,1)，由定理1(ii)知

例2(根據(jù)2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一第22題改編) 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=i}=p(1-p)i-1,i=1,2,…，在X=i(i=1,2,…)的條件下，

P{Y=i+j|X=i}=p(1-p)j-1,j=1,2,…，

(i)證明X和Y-X獨(dú)立同分布；

(ii)求Y的分布律.

證(i)記z=y-x，z′y=1≠0.由于在X=i(i=1,2,…)的條件下，

P{Z=j|X=i}= P{Y-X=j|X=i}=P{Y=i+j|X=i}=p(1-p)j-1，j=1,2,…

與i無關(guān)，故由定理2(i)知X和Z相互獨(dú)立，且Z的分布律為

P{Z=j}=p(1-p)j-1，j=1,2,…，

進(jìn)而可知X和Z同分布，因此X和Z獨(dú)立同分布，即X和Y-X獨(dú)立同分布.

(ii)由定理2(ii)，得Y的分布律為

(ii)求Y的密度函數(shù)fY(y).

所以

4 結(jié)束語

本文主要討論了X和Y為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的情形，如果X和Y中出現(xiàn)非離散型隨機(jī)變量，也非連續(xù)型隨機(jī)變量，是否仍有類似的結(jié)論？這個(gè)問題還需進(jìn)一步研究，歡迎各位同仁給于指導(dǎo)，也期盼能共同探討.

致謝感謝審稿人給出的寶貴意見，感謝唐爍老師對(duì)論文的結(jié)構(gòu)等多方面的指導(dǎo).