江樵芬， 阮穎彬， 徐 起

(1.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福州 350117； 2.廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 廈門 361005)

1 引 言

定理1(Clairaut定理、Schwarz定理)設(shè)fx,fy,fxy和fyx在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，fxy和fyx在點(x0,y0)連續(xù)，則fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

定理2(Peano的結(jié)果)設(shè)fx,fy和fyx在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，fyx在點(x0,y0)連續(xù)，則fxy(x0,y0)也存在，且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

定理3(Young的結(jié)果)設(shè)fx,fy在點(x0,y0)的某個鄰域內(nèi)存在且在點(x0,y0)可微，則有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

文獻[1-4]嘗試減弱以上定理的條件，以期給出適用范圍更廣的混合偏導(dǎo)數(shù)相等的充分條件.本文對文獻[1-4]給出的若干充分條件及其證明的正確性提出質(zhì)疑，深入分析其證明的錯誤之處，并給出反例說明有些充分條件不成立.

本文將從分析Clairaut定理、Peano的結(jié)果、Young的結(jié)果的證明思路出發(fā)，深入思考文獻[1-5]中一些證明的錯誤原因，嘗試去理清其證明的邏輯，發(fā)現(xiàn)問題所在，并給出教學(xué)上的建議.

2 二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等的本質(zhì)及證明思路分析

注意到

若記

F(Δx,Δy)=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0+Δy)-f(x0+Δx,y0)+f(x0,y0)，

在證明中一般對函數(shù)F(Δx,Δy)作如下處理.

若fxy在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，令φ(x)=f(x,y0+Δy)-f(x,y0)，則

F(Δx,Δy)=φ(x0+Δx)-φ(x0)=φ′(x0+θ1Δx)Δx

=(fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)-fx(x0+θ1Δx,y0))Δx

=fxy(x0+θ1Δx,y0+θ2Δy)ΔxΔy(0<θ1,θ2<1).

若fyx在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，令ψ(x)=f(x0+Δx,y)-f(x0,y)，則

F(Δx,Δy)=ψ(y0+Δy)-ψ(y0)=ψ′(y0+θ3Δy)Δy

=(fy(x0+Δx,y0+θ3Δy)-fy(x0,y0+θ3Δy))Δy

=fyx(x0+θ4Δx,y0+θ3Δy)ΔxΔy， (0<θ3,θ4<1).

則

由此，若fxy，fyx在(x0,y0)連續(xù)，容易知fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).這就證明了Clairaut定理.

Young的結(jié)果的證明與上述兩個充分條件的證明略有不同.它是這樣處理的.

若fx在(x0,y0)可微，則對充分小的Δx，Δy

從而

當(dāng)Δx=Δy=h>0時，有

以上三個充分條件的證明容易在多本流行的教科書或習(xí)題集中查到，故沒有給出出處.詳細分析其證明思路是為了下文與錯誤證明做比較.

3 對一些充分條件及其證明的質(zhì)疑

在上述證明思路的分析中，可以看到在處理F(Δx,Δy)時都固定了某個分量，對另一分量應(yīng)用拉格朗日中值定理.應(yīng)該注意到拉格朗日中值定理中存在的中值點既依賴于所討論的函數(shù)，也依賴于所討論的區(qū)間.忽略中值點對函數(shù)與區(qū)間的依賴性將導(dǎo)致錯誤,一元情況下與此類中值點有關(guān)的隱蔽性錯誤的討論可以見文獻[6].而在二元情況下，固定二元函數(shù)的某個分量得到的一元函數(shù)，一般與所固定的那個分量的值有關(guān)，所固定分量的不同取值對應(yīng)不同的一元函數(shù)，由此得到的中值點一般與被固定的分量相關(guān).如在得到

F(Δx,Δy)=fxy(x0+θ1Δx,y0+θ2Δy)ΔxΔy

的過程中，不同的Δy確定了不同的函數(shù)φ(x)，不同的φ(x)存在的θ1一般不同，因此θ1一般與Δy有關(guān)，同理θ2與Δx有關(guān).這種依賴性比一元的情況更隱蔽，更容易被忽略，因此也更容易導(dǎo)致錯誤.以下關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù)相等的錯誤證明，其錯誤原因莫不如是(除了例5)，并且這些錯誤幾乎沒有被意識到(至少就筆者檢索到的文獻而言).下面筆者逐一分析其錯誤原因，并對錯誤結(jié)論給出反例加以說明.

例1[5](Peano的結(jié)果的錯誤證明) 設(shè)fx,fy在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，fxy在點(x0,y0)連續(xù)，則fyx(x0,y0)也存在，且fyx(x0,y0)=fxy(x0,y0).

錯誤證明如前所述，由于fxy在(x0,y0)的鄰域內(nèi)存在，則

F(Δx,Δy)=fxy(x0+θ1Δx,y0+θ2Δy)ΔxΔy(0<θ1,θ2<1).

上式兩邊同除以Δy，并令Δy→0，由偏導(dǎo)數(shù)的定義及fxy在(x0,y0)連續(xù)就得到

fy(x0+Δx,y0)-fy(x0,y0)=fxy(x0+θ1Δx,y0)Δx.

再在上式兩邊同除以Δx，并令Δx→0，由fxy在(x0,y0)的連續(xù)性得到fyx(x0,y0)=fxy(x0,y0).

錯因分析這個證明不是利用二重極限與累次極限的關(guān)系，而是先對Δy取極限得到

fy(x0+Δx,y0)-fy(x0,y0)=fxy(x0+θ1Δx,y0)Δx

再對Δx取極限得fyx(x0,y0)=fxy(x0,y0).廈門大學(xué)的劉軾波教授曾在福建省“數(shù)學(xué)分析”與“高等數(shù)學(xué)”第七次課程建設(shè)研討會上指出這里存在的一個錯誤：它是利用fxy在(x0+θ1Δx,y0)的連續(xù)性得到

而不是利用fxy在(x0,y0)的連續(xù)性.這引起了筆者的注意.受其啟發(fā)，在細讀該證明之后,發(fā)現(xiàn)這里還有一個隱蔽的錯誤：θ1可能是與Δy有關(guān)的, 對Δy取完極限的式子中不應(yīng)該還有Δy.因此

并不一定成立.證明走不下去.

如果忽略了θ1對Δy的依賴性，這種錯誤的證法會引發(fā)人們?nèi)ニ伎几跻恍┑臈l件，利用這種錯誤的證法得到一些看起來更好的結(jié)論(但實際上卻是錯誤的).

例2[1](Peano的結(jié)果的錯誤推廣) 若f(x,y)在點(x0,y0)的鄰域U(x0,y0)有定義，滿足

(i)fx(x,y),fy(x,y)在U(x0,y0)存在；

則fxy(x0,y0)存在，并有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

錯誤證明如前所處理一般有

進而得不到fyx(x0,y0)=fxy(x0,y0).

筆者將在例4后面給出反例說明這個充分條件是錯誤的.

文獻[2]給出了Clairaut定理的一種推廣，但它的證明存在錯誤.

例3[2](Clairaut定理的存疑推廣) 設(shè)二元函數(shù)f的混合偏導(dǎo)數(shù)fxy和fyx在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，fxy在點(x0,y0)關(guān)于x連續(xù)，fyx在點(x0,y0)關(guān)于y連續(xù)，則有

fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

錯誤證明若fxy在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，如前所述有

F(Δx,Δy)=(fx(x0+θ1Δx,y+Δy)-fx(x0+θ1Δx,y0))Δx

=(fxy(x0+θ1Δx,y0)Δy+o(Δy))Δx.

則

若fyx在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，同理也有

錯因分析首先θ1可能與Δy有關(guān)，則

未必成立.從而

fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)-fx(x0+θ1Δx,y0)=fxy(x0+θ1Δx,y0)Δy+o(Δy)

也未必成立.證明到此進行不下去.

例4[3](Peano的結(jié)果的錯誤推廣) 若二元函數(shù)f的偏導(dǎo)數(shù)fx,fy及fyx在點(x0,y0)的某個鄰域內(nèi)存在，且fyx在點(x0,y0)關(guān)于y連續(xù)，則fxy在點(x0,y0)存在，且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

但事實上可以找到反例說明例4所給的充分條件是錯誤的.這也從另一個側(cè)面說明例3的證明是錯誤的.

反例令

計算可得

文獻[4]中給出了Young的結(jié)果的推廣,它把條件 “fx,fy在點(x0,y0)可微”減弱為“fy或fx在(x0,y0)可微”，但它的證明同樣存在問題.

例5[4](Young的結(jié)果的存疑推廣) 設(shè)fx,fy在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，fy(或fx)在(x0,y0)可微，則fxy(x0,y0)(或fyx(x0,y0))也存在且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

錯誤證明若fy在(x0,y0)可微，則對充分小的Δx,Δy，

F(Δx,Δy)=(fy(x0+Δx,y0+θ1Δy)-fy(x0,y0+θ1Δy))Δy

=fyx(x0,y0)ΔxΔy+α(Δx,Δy)ΔxΔy+(β1(Δx,Δy)-β2(Δx,Δy))θ1(Δy)2，

其中

從而

再由二重極限與二次極限的關(guān)系可知fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

4 結(jié) 論

本文質(zhì)疑了Clairaut定理的一個推廣、Peano的結(jié)果的一種證明及兩個推廣、Young的結(jié)果的一個推廣，同時給出反例說明Peano的結(jié)果的兩個推廣是錯誤的.這些證明錯誤的原因(除了例5)都是類似的：固定二元函數(shù)的某個分量，把它視為另一分量的一元函數(shù)，對它使用拉格朗日中值定理時忽略了中值點對另一分量的依賴.對于此類錯誤，建議在教學(xué)中將二元函數(shù)看作一元函數(shù)時，應(yīng)強調(diào)此一元函數(shù)對所固定分量的依賴.在對這類一元函數(shù)運用微分中值定理時所存在的中值點不妨記為θΔx或θΔy，用其中的下標(biāo)來體現(xiàn)依賴性.

遺憾的是對于Clairaut定理的推廣及Young的結(jié)果的推廣，筆者既給不出正面的證明，也無法給出反例說明其是錯誤的，這需要進一步的思考.

致謝感謝審稿專家對本文的有益建議以及相關(guān)參考文獻對本文的啟發(fā).