于倩倩，李小南

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710071)

2009年Yao[1]提出了與人類決策思維相似的三支決策模型。三支決策[2-3]不僅是對粗糙集的上、下近似模型的自然擴(kuò)展,還是一種三分而治的思想策略, 更是粗糙集理論和決策理論的融合。三支決策為粗糙集理論在實(shí)際決策問題中的應(yīng)用建立起一座橋梁[4],并在推薦系統(tǒng)、風(fēng)險(xiǎn)決策、醫(yī)療診斷和模式識(shí)別等領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。

近年來，對三支決策的研究可以總結(jié)為以下三個(gè)方面: 一是將三支決策推廣到不同信息系統(tǒng)上。如在完備信息系統(tǒng)下, Li等[5]為0-1信息表和一般信息表[6]上的三支決策提供了統(tǒng)一模型, 并結(jié)合售樓推薦的應(yīng)用背景, 為推薦系統(tǒng)提供了一個(gè)貼合人腦思考模式的數(shù)學(xué)模型。這里0-1信息表就是屬性值只有兩種選擇的特殊信息系統(tǒng), 一般信息表指屬性值可以有多種選擇的信息系統(tǒng)。Liang等[7]以直覺模糊集為代價(jià)敏感函數(shù), 提出基于決策理論粗糙集的直覺模糊三支決策。在不完備信息系統(tǒng)下, Chen等[8]介紹了集值信息表上的三支決策。二是對信息表的決策屬性約簡、規(guī)則獲取以及相似相容關(guān)系改進(jìn)等進(jìn)行研究[9-14]。如Luo等[12]研究了當(dāng)目標(biāo)集變化時(shí), 如何在不完備信息下更新三支決策,文獻(xiàn)[13]研究了集值信息系統(tǒng)上的三支決策并進(jìn)行了規(guī)則提取。Liu等[14]通過對比序三支決策與決策理論粗糙集, 構(gòu)建了序三支決策模型。三是將三支決策應(yīng)用到不同的實(shí)際問題中[15-18]。如在中東地區(qū)沖突的背景下, Yao[15]和Li等[16]先后提出和擴(kuò)展了三支沖突。Yue等[18]將三支決策應(yīng)用到肝癌診斷領(lǐng)域, 提出了一種數(shù)據(jù)-人-驅(qū)動(dòng)的三支FLL診斷模型, 能夠有效地處理不確定的醫(yī)療案例。

在完備信息表中, 如果對象x和對象y的每一個(gè)屬性值都相等, 則稱x和y的關(guān)系(x,y)為等價(jià)關(guān)系[19-20],同時(shí)稱x、y屬于同一個(gè)等價(jià)類。在不完備信息表中[21-24], 若除缺失值外的其他屬性值都相等, 則稱對象x和y具有相似關(guān)系。但是，這些信息表中討論的相似關(guān)系的要求比較嚴(yán)格, 即當(dāng)兩個(gè)對象在每個(gè)屬性都相等或至少有一個(gè)可能值相等時(shí), 才認(rèn)為它們是等價(jià)或相似的。為了解決這個(gè)問題, 我們提出用基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的L水平相似關(guān)系來度量兩個(gè)對象之間的相似性。同時(shí)，我們將區(qū)間值損失函數(shù)和貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)理論結(jié)合起來, 確定了閾值的求解方法。

綜上, 本文將區(qū)間值信息與三支決策理論結(jié)合, 提出了基于L水平相似關(guān)系下不完備區(qū)間值信息表上的三支決策。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 信息表

對于完備信息表來說, 任取屬性集A的一個(gè)子集都有二元等價(jià)關(guān)系與之對應(yīng)。

定義2[20]給一個(gè)完備信息表TⅠ=(U,AT,V,F),其上的等價(jià)關(guān)系IND(A)可以定義為

IND(A)={(x,y)∈U×U|?a∈A,

fa(x)=fa(y)}。

只有當(dāng)2個(gè)對象的每個(gè)屬性值都相等時(shí)才認(rèn)為它們是等價(jià)的。在不完備信息表上, 由于等價(jià)關(guān)系不成立, 為了處理這種情況,Luo等[13]基于4種不同語義的缺失值定義了一個(gè)相似關(guān)系。

考慮更一般的情況，本文將這些缺失信息歸納為兩類:NA和*分別表示不存在和不知道。例如男性不存在懷孕屬性, 可以將這類屬性值記為NA;而*表示不知道但存在，可以被估測。

定義4[13]對應(yīng)不完備的混合信息表, 不同對象間相似關(guān)系定義為

RIA={(x,y)∈U×U|?a∈A,

Pa(x)∩Pa(y)≠?},

MA={(x,y)∈U×U|?a∈A,fa(x)∈Va,

fa(x)=fa(y)}。

其中：IU={(x,x)|x∈U}是U上的恒等關(guān)系；Pa(x)?V表示對象x在屬性a上的所有可能屬性值的集合。

1.2 三支決策模型

三支決策是三分而治和分而治之, 其主要思想是將對象集劃分為三個(gè)不相交的部分, 然后用不同策略分別處理這三部分。它為解決復(fù)雜問題提供了有效的策略。

定義5[22]TI=(U,AT,V,F),任取論域U的子集X,X的補(bǔ)集表示為┐X。設(shè)R是U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系, 那么正域、負(fù)域和邊界域可以表示為

可得x的等價(jià)類,根據(jù)設(shè)置的閾值α、β進(jìn)一步可得一個(gè)基于條件概率f的三支決策

注2根據(jù)對象的上述三個(gè)狀態(tài),可以得決策規(guī)則:(A)如果x∈POS(X),那么接受x;(R)如果x∈NEG(X),那么拒絕x;(N)如果x∈BND(X),那么既不接受也不拒絕x。

注3相似函數(shù)和閾值是該模型兩個(gè)重要的組成部分。相似函數(shù)已經(jīng)在前面討論過了。對于閾值,Yao[22]提出可以根據(jù)貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)決策理論設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化框架來計(jì)算閾值。另外,文獻(xiàn)[5-6]提出了基于最大加權(quán)信息熵求解閾值方法。在風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目投資的背景下, 本文將區(qū)間值損失函數(shù)和貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)決策相結(jié)合求三劃分和閾值。并且,通過與用最大加權(quán)信息熵求解閾值方法的對比分析,進(jìn)一步說明該方法的優(yōu)勢。

2 不完備區(qū)間值信息表上的

L水平相似關(guān)系

本節(jié)討論如何構(gòu)造一個(gè)L水平相似關(guān)系, 使之能夠度量區(qū)間值信息表上不同對象間的相似性。

2.1 不完備的區(qū)間值信息表

如前所述,某些屬性值往往不是一個(gè)精確的數(shù)字, 而是一個(gè)可能的度數(shù)范圍。例如, 描述父子之間的相似度,可以用[0.8,0.9]表示該父子相像的程度在80%到90%之間。

定義6[25]設(shè)TIVI=(U,AT,V,F)是區(qū)間值信息表,其中F={fa:U→Va|a∈AT},fa:U→I[0,1],fa(x)∈Va?I[0,1],I[0,1]是介于[0,1]之間的全體區(qū)間數(shù)的集合。若屬性值存在缺失值, 則稱其為不完備的區(qū)間值信息表, 用TIVII表示。

注41)這里的空值有兩種不同的語義:一種用NA表示該缺失值沒有意義;另一種用*表示該缺失值是有意義的, 可以通過其實(shí)際含義進(jìn)行估測, 如人的體溫。

2)由于實(shí)數(shù)t可以表示為[t-,t+],t=t-=t+,所以實(shí)數(shù)是特殊的區(qū)間數(shù)。又因?yàn)閷?shí)數(shù)域和閉區(qū)間[0,1]是一一對應(yīng)的, 所以任意信息都可以用區(qū)間數(shù)代替, 即無論是0-1信息表還是多值信息表都可以轉(zhuǎn)化為區(qū)間值信息表。

定義7設(shè)A=[a-,a+],B=[b-,b+],C=[c-,c+]是區(qū)間數(shù),k是實(shí)數(shù),則其運(yùn)算法則和關(guān)系有

1)k[a-,a+]=[ka-,ka+];

2)A=B?a-=b-,a+=b+;

3)A>B?a+>b+,a->b-;

4)[a-,a+]+[b-,b+]=[a-+b-,a++b+];

5)[a-,a+]-[b-,b+]=[a--b+,a+-b-];

6)[a-,a+]?[b-,b+]=[min{a-b-,a-b+,

a+b-,a+b+},max{a-b-,a-b+,a+b-,a+b+}];

7)[a-,a+]∨[b-,b+]=[max{a-,b-},max{a+,b+}];

8)[a-,a+]∨[b-,b+]∧[c-,c+]=[min{max{a-,b-},c-},min{max{a+,b+},c+}];

9)x+y??ai∈A，fai(x+y)=fai(x)+fai(y)。

其中,x和y是任取的區(qū)間值模糊集的綜合評價(jià)對象。例如,在手寫識(shí)別的背景下,如果對圖像x和y加入相同的干擾, 則x和y的相似度不會(huì)發(fā)生變化。

2.2 L水平相似關(guān)系

下面討論如何定義兩個(gè)區(qū)間值模糊集的綜合評價(jià)對象間的相似度。

定義8設(shè)TIVII=(U,AT,V,F)是一個(gè)區(qū)間值信息表,U是非空有限論域,AT是非空屬性集,?x、y∈U,A?AT,ai∈A,則x、y在ai處的屬性值為

fai(x)=[x-(ai),x+(ai)],

fai(y)=[y-(ai),y+(ai)],

則x、y在A上的相似度定義為

(1)

其中：|·|是絕對值算子,|A|表示A的基數(shù)。

注51)當(dāng)A是單屬性集時(shí),即A={a},公式(1)變?yōu)?/p>

SDa(x,y)=1-((|x-(ai)-y-(ai)|2+

|x+(ai)-y+(ai)|2)/2)1/2。

2)在不完備區(qū)間值信息表上,對任意對象x、y∈U,?a∈A,使得fa(x)=*或fa(x)=NA。

i)如果fa(x)=NA且fa(y)≠NA(即fa(x)≠?，fa(y)≠?)，認(rèn)為x、y在a上不相似,SD{a}(x,y)=0。

ii)如果fa(x)=NA且fa(y)=NA(即fa(x)=?,fa(y)=?)，認(rèn)為x、y相似，SD{a}(x,y)=1。

iii)如果fa(x)≠NA且fa(y)≠NA(即fa(x)≠?,fa(y)≠?)，根據(jù)兩種不同語義的缺失值,可以分為以下3種情況:

a)fa(x)=*且fa(y)≠*,

b)fa(x)≠*且fa(y)=*,

c)fa(x)≠*且fa(y)≠*。

根據(jù)*的語義,在這3種情景下可以根據(jù)實(shí)際意義估出缺失值, 所以x、y在a上的相似度為

SDa(x,y)=1-(|x-(ai)-y-(ai)|2+

|x+(ai)-y+(ai)|2)/2)1/2。

以上討論了單個(gè)屬性值上的相似度, 下面討論屬性集A包含多個(gè)屬性的情況。

注61)若fai(x)=NA且fai(y)≠NA,ai∈A，那么

y-(aj)|2+|x+(aj)-

2)若fai(x)=NA且fai(y)=NA，那么

3)若fai(x)=*且fai(y)=[y-(ai),y+(ai)],根據(jù)*的語義，fai(x)≠?且fai(y)≠?，故

定義9設(shè)TIVII=(U,AT,V′,F)是一個(gè)區(qū)間值信息表,?A?AT,L∈[0,1]，L水平的相似關(guān)系定義為

SDA(x,y)≥L}。

(2)

顯然,L越接近1,x和y就越相似。

定義10設(shè)TIVII=(U,AT,V′,F),?x∈U,x的L水平相似類定義為

(3)

定理1設(shè)TIVII=(U,AT,V′,F),?ai∈A,A?AT,x、y∈U。設(shè)fai(x)=[x-(ai),x+(ai)],fai(y)=[y-(ai),y+(ai)],有如下結(jié)論:

1)0≤SDA≤1；

2)當(dāng)fai(x)=fai(y)時(shí)，SDA(x,y)=1成立；

3)SDA滿足反身性和對稱性，但不滿足傳遞性；

4)SDA(x+z,y+z)=SDA(x,y)。

由DA(x,y)≥0,知SDA(x,y)≤1。?ai∈A，又由0≤x-(ai)≤x+(ai)≤1，知0≤|x-(ai)-y-(ai)|≤1,0≤|x+(ai)-y+(ai)|≤1。所以

于是,得到SDA(x,y)≥0,故0≤SDA(x,y)≤1。

2)若?ai∈A,x-(ai)=y-(ai),x+(ai)=y+(ai),顯然有SDA(x,y)=1。

3)因?yàn)镾DA(x,x)=SDA(x,x),SDA(x,y)=SDA(y,x),所以反身性和對稱性成立。

4)?ai∈A,z∈U,由

fai(x+z)=[x-(ai)+z-(ai),

x+(ai)+z+(ai)],

fai(y+z)=[y-(ai)+z-(ai),

y+(ai)+z+(ai)],

可得

|(x-(ai)+z-(ai))-(y-(ai)+z-(ai))|2=

|x-(ai)-y-(ai)|2,

|(x+(ai)+z+(ai))-(y+(ai)+z+(ai))|2=

|x+(ai)-y+(ai)|2,

故

SDA(x+z,y+z)=

SDA(x,y)，

證明1)顯然成立。

例1表1是一個(gè)不完備的區(qū)間值信息表。由表可知U={x1,x2,…,x10},AT={a1,a2,a3,a4,a5,a6},若已知

表1 不完備區(qū)間值信息表

1)Vai=[0,1],?ai∈AT；

2)由fa3(x4)=[0.1,0.2],fa7(x4)=[0.3,0.35]，相似度如下(aij表示xi和xj的相似度)：

假設(shè)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好是L=0.8, 即要求兩個(gè)對象的相似度在80%以上，于是得到L相似類

注8文獻(xiàn)[14]的相似關(guān)系是定義8的特殊情況, 即

(x,y)∈RIA?{(x,y)∈U×U|?a∈A,

fa(x)=fa(y)}，

等價(jià)于

3 區(qū)間值信息表上的三支決策

本節(jié)引入一個(gè)區(qū)間值損失矩陣, 在三支決策中同時(shí)考慮區(qū)間值信息表和區(qū)間值損失函數(shù)的綜合策略, 由“信息表”和“成本表”組成的混合信息表, 來計(jì)算三支決策模型中的閾值和三劃分。

在不完備區(qū)間值信息表中, 相似類[x]中所有元素有相似的描述, 對于一個(gè)給定的子集X?U,近似算子將論域U劃分為3個(gè)不相交的類:POS(X)、BND(X)、NEG(X)。根據(jù)條件概率決定將x分配到3個(gè)區(qū)域，故貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)決策可以應(yīng)用到這個(gè)過程中,幫助我們推導(dǎo)出三劃分的閾值。不同的相似類可能有不同的損失函數(shù)。設(shè)3種行動(dòng)為P、B、N,其中P、B、N分別表示x∈POS(x)、x∈BND(x)和x∈NEG(X)。假設(shè)λ*P(*=P,B,N)表示對象實(shí)際上屬于X采取行動(dòng)存在的風(fēng)險(xiǎn),λ*N(*=P,B,N)不屬于X時(shí)采取行動(dòng)存在的風(fēng)險(xiǎn)。

(4)

定義12設(shè)TIVII=(U,AT,V′,F)是一個(gè)不完備的區(qū)間值信息表，它的損失函數(shù)如表2所示。

表2 區(qū)間值損失函數(shù)的決策損失矩陣

X和┐X是x的兩個(gè)狀態(tài)，P、B、N表示對x采取的3種行動(dòng)，λPP、λBP、λNP、λPN、λBN、λNN滿足如下條件：

λPP-<λBP-<λNP-,λNN-<λBN-<λPN-，

λPP+<λBP+<λNP+,λNN+<λBN+<λPN+，

(λPN-λBN)(λNP-λBP)>

(λBN-λNN)(λBP-λPP)。

以λPN=[λPN-,λPN+]為例，λNP表示對x在x實(shí)際屬于狀態(tài)X(P)時(shí)采取措施N的損失，那它顯然要比x在x實(shí)際屬于狀態(tài)X(P)時(shí)采取行動(dòng)P的損失λPP大。

于是，采取單個(gè)動(dòng)作的相關(guān)預(yù)期損失可以表示為

由貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)決策過程[26]導(dǎo)致了以下最小風(fēng)險(xiǎn)決策規(guī)則：

(P1)若

(5)

則x∈POS(X);

(B1)若

(6)

則x∈BND(X)；

(N1)若

(7)

則x∈NEG(X)。

下面定義一個(gè)轉(zhuǎn)化函數(shù)將區(qū)間值損失函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù), 代表平均損失。

定義14設(shè)λ=[λ-,λ+]為區(qū)間值損失函數(shù),θ∈[0,1],則λ的轉(zhuǎn)化函數(shù)定義為

(8)

由于在定義12條件下,λNN越遠(yuǎn)離λPN,λNP越遠(yuǎn)離λBP，與將對象x分到不正確區(qū)域的損失相比，將x分到邊界域的損失越接近將x分到正確區(qū)域的損失[24],我們將決策規(guī)則定義如下。

則TIVII的決策規(guī)則如下：

例2(繼例1) 設(shè)X={x2,x3,x6,x7,x8},且該信息表的損失函數(shù)如表3所示。

表3 損失函數(shù)

由定義14、15計(jì)算可得α=0.612,β=0.438。又因?yàn)?/p>

|{x2,x3,x6,x7,x8}∩

{x1,x2,x3,x5,x6,x7,x8,x10}|/

|{x1,x2,x3,x5,x6,x7,x8,x10}|=

0.625。

類似地,

所以由決策規(guī)則(P1)～(B1)可得

POS(X)={x1,x3,x6,x7,x8},

NEG(X)={x2,x4,x5,x9,x10}。

表4 L變化時(shí)，x4狀態(tài)的變化情況

4 基于離散區(qū)間值信息表的三支決策

考慮到對象的屬性值有可能是多個(gè)區(qū)間值,如某地房價(jià)在[15 000,30 000]或[50 000,80 000],它可以表明東城區(qū)價(jià)格房價(jià)比較貴、西城區(qū)比較便宜,與[15 000,80 000]相比, 前者表達(dá)的信息要更豐富。我們希望能夠保留更多的信息去做決策,所以本節(jié)將討論離散區(qū)間值信息表上的三支決策。

其中t是fai(x)的基數(shù)。

例3如表1所示,fa3(x4)和fa4(x7)是可以被估測的缺失值。設(shè)fa3(x4)是[0.1,0.2]和[0.5,0.5],fa4(x7)是[0.3,0.35]和[0.4,0.45]，那么將這些信息補(bǔ)全就可以得到一個(gè)離散區(qū)間值信息表。

基于決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好, 我們利用不同水平的強(qiáng)弱相似關(guān)系[11]度量不同對象間的相似性。

定義17設(shè)TD=(U,AT,V,F)是TDIVII的補(bǔ)全信息表，并稱TDIVII的全體可能補(bǔ)全信息表為補(bǔ)全信息表族,用TD表示。其中值域V由值域V′根據(jù)其缺失值*的語義估測值得到。

注9在例3中,根據(jù)fa3(x4)和fa4(x7)估測值,可以得到4個(gè)補(bǔ)全信息表,如表5～8。

(9)

受不完備區(qū)間值信息表的語義啟發(fā), 這里引入一個(gè)區(qū)間值損失矩陣, 在三支決策中同時(shí)考慮信息表和損失函數(shù)的綜合策略, 由“信息表”和“成本表”組成混合信息表, 來計(jì)算三支決策模型中的閾值和三劃分。

定義19稱五元數(shù)組THIVII={U,AT,V′,F,λ**}是一個(gè)混合不完備區(qū)間值信息表,(*=P,B,N)。給定風(fēng)險(xiǎn)偏好L,任取X?U,那么悲觀策略定義和樂觀策略如下。

悲觀策略:

樂觀策略:

于是,混合不完備區(qū)間值信息表的三支決策模型如下：

算法1 混合不完備區(qū)間值信息表的三支決策模型 輸入 混合不完備區(qū)間信息表THIVII={U,AT,V′F,λ??};輸出 POS(X)、BND(X)、NEG(X)和決策規(guī)則;步驟一 補(bǔ)全不完整的屬性并寫出表的所有補(bǔ)全信息表;步驟二 計(jì)算L水平的相似度、相似類[x]LSD和α、β;步驟三 根據(jù)信息表缺失值的實(shí)際含義,計(jì)算強(qiáng)、弱相似類SDSLA、SDWLA;步驟四 根據(jù)定義19給出決策結(jié)論。

下面在風(fēng)險(xiǎn)投資的具體背景中說明整個(gè)模型的計(jì)算過程。

例4以風(fēng)險(xiǎn)投資為例, 考慮如下6個(gè)屬性: 市場風(fēng)險(xiǎn)、技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)、管理風(fēng)險(xiǎn)、環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)、生產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、金融風(fēng)險(xiǎn),簡記為A={a1,a2,a3,a4,a5,a6}。假如信息庫中有10個(gè)項(xiàng)目U={x1,x2,…,x10}可供投資者選擇。表5是關(guān)于這10個(gè)項(xiàng)目的信息, 這些數(shù)據(jù)可根據(jù)專家打分、股市參數(shù)和投資者評價(jià)等途徑產(chǎn)生。例如fa3(x4)=[0.1,0.2]表示x4項(xiàng)目在市場風(fēng)險(xiǎn)方面的投資風(fēng)險(xiǎn)是10%～20%。

若某公司想投資一批項(xiàng)目,其偏好類型的集合為X={x2,x3,x6,x7,x8},L=0.8表示該公司能接受與理想投資項(xiàng)目至少80%相似的其他項(xiàng)目,下面給出如何找到信息庫中符合投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的項(xiàng)目。

步驟一根據(jù)市場實(shí)際情況估測表5中的缺失信息所有可能值, 得到4個(gè)信息表TD1、TD2、TD3、TD4。

表5 TD1

表6 TD2

表7 TD3

表8 TD4

步驟二以x4為例，由(2)、(3)和(9)式知

步驟三由于該公司希望盡可能多地抓住值得投資的項(xiàng)目, 所以選擇樂觀策略。由(4)式知

|{x2,x3,x6,x7,x8}∩{x2,x4,x5,x10}|/

|{x2,x4,x5,x10}|=0.25。

假設(shè)該信息系統(tǒng)的損失函數(shù)如表3所示,由定義15有α=0.612,β=0.438，故x4=NEG(X),即不推薦該公司投資x4。

類似地，計(jì)算可得

SDW(x1)={x1,x2,x3,x5,x6,x7,x8},

SDW(x2)={x1,x2,x3,x4,x5,x7,x10},

SDW(x3)={x1,x2,x3,x6,x7,x8},

SDW(x4)={x2,x4,x5,x10},

SDW(x5)={x1,x2,x4,x5,x7,x10},

SDW(x6)={x1,x3,x6,x7,x8},

SDW(x7)={x1,x2,x3,x5,x6,x7,x8,x10},

SDW(x8)={x1,x3,x6,x7,x8},

SDW(x9)={x9},

SDW(x10)={x2,x5,x6,x7,x10}。

步驟四于是，在樂觀策略下可以得到如下決策建議:

POS(X)={x1,x2,x3,x6,x7,x8,x10},

NEG(X)={x4,x5,x9}。

(P)若x∈POS(X),那么建議該公司投資;

(N)若x∈NEG(X),那么不建議該公司投資;

(B)若x∈BND(X),那么既不建議投資也不建議放棄, 需進(jìn)一步分析。

下面將本文所提方法與用信息熵確定最優(yōu)三劃分和閾值的決策方法進(jìn)行對比分析。

設(shè)e是論域U上的相似度量函數(shù),其中U是非空有限集合，R={R1,R2,…,Rn}是論域U上的一個(gè)劃分,則R上的加權(quán)信息熵[6]定義為

(10)

設(shè)P和Q是U上的兩個(gè)劃分，如果?Pi∈P,?Qi∈Q,使得Pi=Qi,則稱劃分Q比劃分P粗糙。從知識(shí)粒劃分角度出發(fā)知,當(dāng)劃分越細(xì)時(shí), 知識(shí)的表達(dá)越精確, 加權(quán)信息熵越大。此時(shí),求得加權(quán)信息熵值對應(yīng)的閾值和三劃分就是所需要的。不同的閾值會(huì)導(dǎo)致不同的三劃分, 因此需要用加權(quán)信息熵將得到的三劃分進(jìn)行度量, 求出最優(yōu)的三劃分。

設(shè)Wij是閾值α=αi,β=βi對應(yīng)的加權(quán)信息熵, 根據(jù)所有對象xi∈U和偏好類型的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目的相似度，計(jì)算出各種三劃分的加權(quán)信息熵W(見表9)，這里投資公司的偏好類型有5個(gè){x2,x3,x6,x7,x8}。

表9 偏好類型ξ=x2時(shí)閾值與三劃分

表10 閾值與三劃分

5 結(jié)論

本文提出了不完備區(qū)間值信息表上的三支決策。首先，根據(jù)缺失值的不同語義,利用L水平的相似關(guān)系去度量不同對象間的相似度。然后，將區(qū)間值損失函數(shù)和概率決策粗糙集結(jié)合獲得閾值, 給出了不完備區(qū)間值信息表(離散的或非離散的)的一般處理方法, 在貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)決策理論下,保證當(dāng)前的決策是損失或成本最小的策略。最后，通過風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的實(shí)例闡述了具體的計(jì)算過程，并與用加權(quán)信息熵確定信息表三劃分和閾值的方法進(jìn)行了對比分析。

在未來的研究中, 我們將繼續(xù)研究不同水平相似關(guān)系對三支決策的影響：1)將離散區(qū)間值信息表的樂觀和悲觀策略進(jìn)行整合, 考慮綜合決策策略, 優(yōu)化三支決策規(guī)則;2)繼續(xù)探索關(guān)于三劃分所需閾值的確定方法, 例如將三支決策與博弈論相結(jié)合, 通過不同對象之間的互相影響和互相博弈達(dá)到求解三劃分所需的閾值的目的;3)在不同實(shí)際應(yīng)用背景中改進(jìn)三劃分結(jié)果, 將三支決策和粗糙集理論方法與其他學(xué)科交叉融合。