邱宏凌，劉 恒

(廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，廣西 南寧 530006)

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的一種推廣形式。分?jǐn)?shù)階微積分因?yàn)槿鄙傥锢肀尘暗闹С? 其理論發(fā)展受到了限制。近年來(lái), 由于分?jǐn)?shù)階微積分在系統(tǒng)建模過(guò)程中具有獨(dú)特的遺傳性和記憶性, 因此在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用, 如物理學(xué)、生物工程、金融學(xué)和機(jī)器人學(xué)[1-4]。隨著研究的不斷深入, 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)吸引了眾多學(xué)者的研究興趣, 許多針對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的控制方法也應(yīng)運(yùn)而生。由于整數(shù)階系統(tǒng)是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的一種特殊情形, 人們自然就會(huì)想能否將整數(shù)階系統(tǒng)的控制方法推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)當(dāng)中。通過(guò)提出若干分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論, 一些傳統(tǒng)的控制方法已經(jīng)被推廣到了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中, 如分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)控制[5]、分?jǐn)?shù)階模糊控制[6]、分?jǐn)?shù)階滑?？刂芠7]、分?jǐn)?shù)階反步控制[8]等。由于模糊系統(tǒng)對(duì)被控系統(tǒng)中的不確定性部分具有良好的逼近能力, 以及反步控制能夠使被控對(duì)象具有良好的全局穩(wěn)定性和漸近追蹤性能, 模糊控制與反步控制的結(jié)合已經(jīng)成為控制領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)研究熱點(diǎn)。對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的模糊反步控制, 很多學(xué)者已經(jīng)展開(kāi)了研究并取得了一些前期成果。如文獻(xiàn)[9]利用模糊系統(tǒng)逼近虛擬控制量及其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),解決了反步控制中由于對(duì)虛擬控制量反復(fù)求導(dǎo)而產(chǎn)生的“項(xiàng)數(shù)爆炸”問(wèn)題; 文獻(xiàn)[10]研究了帶有飽和輸入的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)模糊反步控制; 文獻(xiàn)[11]研究了一類(lèi)不確定分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)的模糊反步同步控制。值得注意的是,上述文獻(xiàn)是將虛擬控制量及其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與系統(tǒng)不確定項(xiàng)合并在一起使用模糊系統(tǒng)逼近, 該方法雖然可以解決“項(xiàng)數(shù)爆炸”問(wèn)題,但由于逼近誤差的存在, 會(huì)在一定程度上影響控制效果, 降低系統(tǒng)的控制性能。

在傳統(tǒng)的控制方法中, 滑?？刂朴捎趯?duì)外部干擾和參數(shù)變化具有較強(qiáng)的魯棒性,在整數(shù)階系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中都有廣泛運(yùn)用。將滑?？刂坪头床娇刂葡嘟Y(jié)合, 可以賦予系統(tǒng)更好的穩(wěn)定性和追蹤性能, 具有非常高的研究?jī)r(jià)值。目前, 對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑模反步控制研究也取得了一些重要的成果, 如文獻(xiàn)[12]研究了基于干擾觀(guān)測(cè)器的分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)的命令濾波滑模反步控制, 將觀(guān)測(cè)器的輸出應(yīng)用到滑模面的設(shè)計(jì)中,既不降低系統(tǒng)抗干擾能力, 又可以減輕控制輸入的抖振現(xiàn)象; 文獻(xiàn)[13]研究了一類(lèi)不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模反步控制, 通過(guò)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)未知部分進(jìn)行逼近, 有效地降低了逼近誤差; 文獻(xiàn)[14]研究了不確定分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)的混合模糊滑模反步控制, 其設(shè)計(jì)的滑模面更符合實(shí)際工程應(yīng)用的要求。然而,上述文獻(xiàn)的結(jié)果還存在值得改進(jìn)的地方, 如文獻(xiàn)[13]只考慮了可以線(xiàn)性化的模型, 沒(méi)有考慮更一般的非線(xiàn)性系統(tǒng); 文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)的滑模面針對(duì)的是Riemann-Liouville定義下的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng), 對(duì)系統(tǒng)初值要求特別高, 對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)來(lái)說(shuō)很難滿(mǎn)足;文獻(xiàn)[14]提出的滑模面雖然符合實(shí)際情況,但其方法需要用到多個(gè)控制輸入, 實(shí)際應(yīng)用價(jià)值不高。

基于以上討論, 本文對(duì)一類(lèi)具有嚴(yán)格反饋形式的分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。首先, 利用模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)的函數(shù)不確定性進(jìn)行逼近; 其次, 根據(jù)反步控制原理進(jìn)行每一步的虛擬控制器設(shè)計(jì), 同時(shí)為了增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性, 所有虛擬控制器及最終的實(shí)際控制器都使用了滑模結(jié)構(gòu);最后, 基于Lyapunov分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論, 確保系統(tǒng)追蹤誤差最終收斂到原點(diǎn)附近半徑為任意小的鄰域。在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上, 本文做出了以下改進(jìn):1)和文獻(xiàn)[9]相比, 為了降低逼近誤差對(duì)控制效果的影響, 提高控制性能, 采用了濾波器來(lái)解決“項(xiàng)數(shù)爆炸”問(wèn)題。2)和文獻(xiàn)[13]相比, 本文考慮的非線(xiàn)性系統(tǒng)模型更加一般化。3)本文構(gòu)造了一個(gè)新的滑模面，與文獻(xiàn)[12]相比, 系統(tǒng)的初值對(duì)本文滑模面的構(gòu)造沒(méi)有任何影響; 與文獻(xiàn)[14]相比, 本文僅用了一個(gè)控制輸入。

1 預(yù)備知識(shí)和問(wèn)題闡述

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分概述

定義1[15]α階分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中：Γ(·)為Gamma函數(shù)；α>0。

其中n-1<α

定義3[15]雙參數(shù)Mittage-Leffler函數(shù)定義為

(1)

其中：α1,α2>0；z∈C。

對(duì)(1)式求Laplace變換可得

其中q≤|arg(z)|≤π。

其中：c>0為常數(shù)；q≤|arg(Z)|≤π；|z|≥0。

κ1(‖x(t)‖)≤V(x(t),t)≤κ2(‖x(t)‖),

引理4[17]設(shè)x(t)∈C1(C1為連續(xù)可微函數(shù)組成的線(xiàn)性空間), 則有不等式

成立。

引理5[18]設(shè)γ(t),γC(t)∈C1∩L∞，滿(mǎn)足

則?ε>0，存在某時(shí)刻t0，當(dāng)δ充分大時(shí)，

|γC(t)-γ(t)|<ε，

?t≥t0成立。

1.2 模糊邏輯系統(tǒng)

(2)

其中θj=argmaxμDj。設(shè)模糊基函數(shù)為

令ψ(x(t))=[φ1(x(t)),φ2(x(t)),…,φN(x(t))]T∈RN,θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θN(t)]T∈Ωcθ?RN，則(2)式可以寫(xiě)成

(3)

成立。

依據(jù)引理6, 可以用模糊系統(tǒng)(3)對(duì)緊集Ω上的任一光滑函數(shù)f進(jìn)行逼近。令

f(x(t))=θ*Tψ(x(t))+ε(x(t)),

θ(t)Tψ(x(t))|}。

需要注意的是，θ*僅起分析作用, 其具體的數(shù)值在本文中并不需要。

1.3 問(wèn)題描述

考慮一類(lèi)具有嚴(yán)格反饋形式的分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)

(4)

其中:Xi=[x1,x2,…,xi]T;X=[x1,x2,…,xn]T;fi(·):R2→R為未知的光滑非線(xiàn)性函數(shù);gi(·):Ri→R為已知的控制增益函數(shù);u為控制輸入;x1為輸出信號(hào);xd為理想的輸出信號(hào)。定義e1=x1-xd為追蹤誤差。系統(tǒng)的控制目標(biāo)是讓輸出信號(hào)x1能夠追蹤理想輸出信號(hào)xd,即當(dāng)t→∞時(shí)，e1→0。為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo), 需要做出以下假設(shè)。

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

用反步控制方法對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì),整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程分為n步。為了方便, 在不引起混淆的情況下,下文會(huì)略去一些函數(shù)的時(shí)間變量t。

第1步由e1=x1-xd得

(5)

(6)

(7)

為了增強(qiáng)被控系統(tǒng)的魯棒性, 本文使用滑模結(jié)構(gòu)進(jìn)行虛擬控制器設(shè)計(jì), 具體滑模面為

(8)

其中：k11,k12>0為常數(shù);μ∈(0,1)。根據(jù)滑模控制理論, 追蹤誤差e1在滑模面上運(yùn)動(dòng)需要滿(mǎn)足兩個(gè)條件:

(9)

(10)

則

(11)

對(duì)(11)式進(jìn)行穩(wěn)定性分析, 得出以下定理。

定理1追蹤誤差e1在滑模面(8)上運(yùn)行時(shí)會(huì)漸近穩(wěn)定趨于0。

-e1[k11e1+k12sign(e1)|e1|μ]=

(12)

則根據(jù)引理3,e1漸近穩(wěn)定趨于0。

虛擬控制器γ1設(shè)計(jì)為

k11e1-k12sign(e1)|e1|μ]。

(13)

(14)

(15)

(16)

然后再根據(jù)(7)和(13)式,有

(17)

將(15)式代入(17)式,有

(18)

(19)

與第1步類(lèi)似,用模糊系統(tǒng)(3)對(duì)fi(Xi)逼近, 有

(20)

(21)

(22)

其中:ki1,ki2>0為常數(shù)。虛擬控制器γi設(shè)計(jì)為

ki1ei-ki2sign(ei)|ei|μ-

sign(si)|gi-1(Xi-1)ei|]。

(23)

(24)

(25)

(26)

將(18)、(21)、(23)、(25)式代入(26)式，有

|gi-1(Xi-1)ei|-ki|si|+|εi(Xi)|+

(27)

接下來(lái)進(jìn)行最后一步, 給出最終的控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析。

(28)

對(duì)fn(X)進(jìn)行逼近，有

(29)

(30)

滑模面設(shè)計(jì)為

(31)

其中kn1,kn2>0為常數(shù)?？刂破鱱設(shè)計(jì)為

kn1en-kn2sign(en)|en|μ-

sign(sn)|gn-1(Xn-1)en|]。

(32)

(33)

(34)

將(27)、(30)、(32)、(33)式代入(34)式，有

|gn-1(Xn-1)en|-kn|sn|+

-qVn+b。

(35)

其中：q=min{kj,aj}(j=1,2，…,n)；b=

定理2設(shè)系統(tǒng)(4)滿(mǎn)足假設(shè)1和假設(shè)2,虛擬控制器為(13)式和(23)式，模糊參數(shù)自適應(yīng)律為(15)式、(25)式和(33)式，控制器為(32)式，則閉環(huán)系統(tǒng)(4)所有信號(hào)都一致有界, 且可以收斂到任意小的鄰域,即?ι>0, 總存在某時(shí)刻t0,當(dāng)t>t0時(shí)，有Vn(t)<ι。

證明由(35)式可知

(36)

則必定存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)m(t),使得

(37)

兩邊取Laplace變換, 有

(38)

其中Vn(s)、M(s)分別為Vn(t)、m(t)的Laplace變換。兩邊取逆變換, 有

Vn(t)=Vn(0)Eα,1(-qtα)+btαEα,α+1(-qtα)-

m(t)*tα-1Eα,α(-qtα)≤

Vn(0)Eα,1(-qtα)+btαEα,α+1(-qtα)。

(39)

其中:m(t)≥0;*代表卷積。由于arg(-qtα)=π,|-qtα|≥0，根據(jù)引理1和引理2, 令引理1中的n=1, 則存在一個(gè)常數(shù)c>0, 有

Vn(t)≤Vn(0)Eα,1(-qtα)+btαEα,α+1(-qtα)≤

(40)

因?yàn)?/p>

(41)

根據(jù)極限定義,?ι>0,?t1>0, 當(dāng)t>t1時(shí),有

(42)

?t2>0,當(dāng)t>t2時(shí),有

(43)

Vn(t)<ι。

(44)

由此可知,閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)最終一致有界, 且可以收斂到任意小的鄰域,即追蹤誤差e1可以收斂到任意小的鄰域。

注1文獻(xiàn)[20]提出利用終端滑?？刂茖?shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面, 其滑模面設(shè)計(jì)為

Ksign(ei(t))|ei(t)|μ]。

(45)

其中：i=1,2,…,n;K>0為一個(gè)常數(shù);α∈(0,1)。根據(jù)滑模可達(dá)性條件，對(duì)si(t)求導(dǎo)，有

Ksign(ei(t))|ei(t)|μ]=0,

(46)

則

Ksign(ei(t))|ei(t)|μ]。

(47)

注2本文中參數(shù)的選擇應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

1)增大控制增益ki可以提高收斂速度和精度, 但是過(guò)大的ki會(huì)增加系統(tǒng)的控制能量, 因此需要在系統(tǒng)的控制性能與成本消耗之間進(jìn)行權(quán)衡。

3)增大模糊參數(shù)學(xué)習(xí)率ri可以提高追蹤誤差和模糊參數(shù)收斂速度, 但是由于符號(hào)函數(shù)的使用,ri的值選擇過(guò)大會(huì)導(dǎo)致模糊邏輯系統(tǒng)(3)在自適應(yīng)的過(guò)程中產(chǎn)生嚴(yán)重的抖振。

注3本文方法與文獻(xiàn)[9]提出的一種分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊反步控制策略相比,主要有以下優(yōu)點(diǎn):1)本文設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階積分型滑模面, 根據(jù)滑模面來(lái)設(shè)計(jì)每一步的虛擬控制器以及最后的控制器，該方法能夠克服擾動(dòng)或者噪聲信號(hào), 增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性；2)為了克服反步控制中的“項(xiàng)數(shù)爆炸”的問(wèn)題, 本文引入了濾波器來(lái)估計(jì)虛擬控制器的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),從而避免使用模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行逼近, 減少了逼近誤差, 增強(qiáng)系統(tǒng)的控制性能。

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證結(jié)果的有效性, 給出一個(gè)仿真實(shí)例?？紤]以下分?jǐn)?shù)階系統(tǒng):

(48)

設(shè)計(jì)的參數(shù)如下: 虛擬控制器參數(shù)為k1=k2=2;控制器參數(shù)為k3=3;滑模面參數(shù)為ki1=ki2=4,i=1,2,3,μ=0.9;自適應(yīng)律參數(shù)為a2=a3=0.5,r2=6,r3=6;濾波器參數(shù)為δ1=δ2=50。

圖1 系統(tǒng)在干擾環(huán)境下運(yùn)行

圖2 控制輸入與自適應(yīng)參數(shù)

情形2系統(tǒng)在干擾環(huán)境下運(yùn)行。為了驗(yàn)證滑?？刂破?32)能夠保證系統(tǒng)(48)具有魯棒性, 設(shè)在時(shí)刻t=5 s時(shí)外部干擾激活, 即

(49)

其中系統(tǒng)各參數(shù)值和初值狀態(tài)與情形1一樣。仿真結(jié)果如圖3所示。在t=5 s處,干擾激活,此時(shí)x1的軌跡發(fā)生偏移;0.5 s后x1的軌跡又與原先無(wú)干擾環(huán)境下的軌跡基本相同。這說(shuō)明本文的滑模控制器能夠保證系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

圖3 系統(tǒng)在干擾環(huán)境下運(yùn)行

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用自適應(yīng)模糊滑模反步控制解決了一類(lèi)不確定分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)的控制問(wèn)題。首先，通過(guò)模糊系統(tǒng)來(lái)估計(jì)被控對(duì)象的未知部分, 同時(shí)配合濾波器的使用,既避免了“項(xiàng)數(shù)爆炸”問(wèn)題, 又減少了模糊誤差的影響。其次, 用滑模技術(shù)來(lái)進(jìn)行每一步的虛擬控制器設(shè)計(jì), 增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗干擾能力。最后, 基于分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論得出閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)一致有界, 且可以收斂到半徑為任意小的鄰域。仿真結(jié)果顯示, 在干擾環(huán)境下系統(tǒng)追蹤誤差可以快速收斂到原點(diǎn)附近并保持有界, 呈現(xiàn)較強(qiáng)的魯棒性。然而, 模糊誤差的存在還是會(huì)對(duì)控制性能造成一定的影響。因此, 未來(lái)我們將進(jìn)一步研究如何使用分?jǐn)?shù)階組合模糊滑?？刂苼?lái)減少模糊誤差, 并利用該技術(shù)解決系統(tǒng)帶有死區(qū)或輸入飽和等情形下的控制問(wèn)題。