唐 肖，吳健榮

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

Menger[1]首次提出概率度量空間的定義，利用分布函數(shù)來(lái)刻畫(huà)空間中兩點(diǎn)間的距離。然而，許多情況下，測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間距離的不確定性不一定是由隨機(jī)性引起的。1975年，Kramosil等[2]將兩點(diǎn)之間的距離表示成一個(gè)模糊集，提出了模糊度量的概念，并以此建立了模糊度量空間(通常被稱(chēng)為KM模糊度量空間)的基本框架。1994年，George等[3]改進(jìn)了模糊度量并以此建立了GV模糊度量空間。

2004年，Gregori等[4]去掉了GV模糊度量定義中的對(duì)稱(chēng)性，提出了模糊擬度量的概念，并且證明了每一個(gè)擬度量都可以誘導(dǎo)生成一個(gè)模糊擬度量，每一個(gè)模糊擬度量空間都可以擬度量化。2005年，Gregori等[5]利用柯西序列研究了模糊擬度量空間的完備性和完備化問(wèn)題。隨后，他們研究了模糊擬度量空間的雙完備化問(wèn)題[6]，給出了可雙完備化的充要條件。2010年，Rodriguez-Lopez等[7]研究了Hausdorff模糊擬度量的性質(zhì)及應(yīng)用。2011年，Castro-Company等[8]在雙拓?fù)淇臻g框架下，證明了每個(gè)模糊擬度量空間在等距同構(gòu)意義下都有唯一的雙完備化空間。隨后文獻(xiàn)[9]研究了預(yù)序完備的模糊擬度量空間上一類(lèi)廣義壓縮的不動(dòng)點(diǎn)定理以及在算法中的應(yīng)用。2018年，Sánchez等[10]進(jìn)一步研究了模糊擬偽度量的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在擬度量空間中，可以自然地誘導(dǎo)出一個(gè)偏序關(guān)系[11]。但在模糊擬度量空間中，相應(yīng)的問(wèn)題還沒(méi)有得到有效開(kāi)展。受此啟發(fā)，本文在模糊擬度量空間中引入一種偏序關(guān)系，對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行比較深入的研究，并以此為工具，討論模糊擬度量空間上的優(yōu)化問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

本文中，X是一非空集合，?表示空集，N表示自然數(shù)集。

定義1[12]稱(chēng)二元算子*：[0,1]×[0,1]→[0,1]為連續(xù)t-模，如果：

1)*滿足結(jié)合律和交換律；

2)*是連續(xù)的；

3)a*1=a,?a∈[0,1];

4)當(dāng)a≤c且b≤d(a,b,c,d∈[0,1])時(shí)，a*b≤c*d。

引理1[13]設(shè)算子*：[0,1]×[0,1]→[0,1]是連續(xù)t-模，

1)若r1>r2，則存在r3∈(0,1)，使得r1*r3>r2,其中r1,r2∈(0,1);

2)若r4∈(0,1)，則存在r5∈(r4,1)，使得r5*r5>r4。

定義2[3]設(shè)X是一非空集合，*是連續(xù)t-模，如果映射M：X2×(0,∞)→(0,1]滿足以下條件：?x,y,z∈X,

MQ1)?t>0,M(x,x,t)=1;

MQ2)?t>0,M(x,y,t)=M(y,x,t)=1?x=y;

MQ3)?s,t>0,M(x,y,t)*M(y,z,s)≤M(x,z,t+s);

MQ4)M(x,y,·):(0,∞)→(0,1]是連續(xù)的；

則稱(chēng)(M,*)為X上的一個(gè)GV模糊擬度量，稱(chēng)(X，M，*)為GV模糊擬度量空間。

以下除非特別指明，所稱(chēng)模糊擬度量(空間)均指GV模糊擬度量(空間)。

若模糊擬度量M滿足對(duì)稱(chēng)性，即?x,y∈X,?t>0，都有M(x,y,t)=M(y,x,t)，則稱(chēng)其為模糊度量，稱(chēng)(X，M，*)為模糊度量空間。

引理2[3]?x,y∈X,M(x,y,·)是遞增的。

定義3[3]設(shè)(X,M,*)是一個(gè)模糊擬度量空間，x∈X,r∈(0,1),t>0，分別稱(chēng)

BM(x,r,t)={y∈X|M(x,y,t)>1-r},

(1)

BM[x,r,t]={y∈Y|M(x,y,t)≥1-r}

(2)

為X的以x為中心、r為半徑的開(kāi)球和閉球。

設(shè)A?X，若?x∈A，都存在t>0和r∈(0,1)，使得BM(x,r,t)?A，則稱(chēng)A是開(kāi)集。Gregori等[4]指出，(X，M，*)上開(kāi)集的全體構(gòu)成X上一個(gè)拓?fù)洌Q(chēng)其為由模糊擬度量M誘導(dǎo)的拓?fù)?，記為τM。

對(duì)于模糊擬度量空間(X,M,*)，令M-1(x,y,t)=M(y,x,t)，x,y∈X，顯然M-1也是模糊擬度量；令Ms(x,y,t)=min{M(x,y,t),M-1(x,y,t)},x,y∈X，則Ms是模糊度量，由Ms導(dǎo)出的拓?fù)溆洖棣覯s。

X中的子集A關(guān)于拓?fù)洇覯和τM-1的閉包分別記為cMA和cM-A。

定理1設(shè)(X,M,*)為模糊擬度量空間，則

1)拓?fù)洇覯是T0分離的；

2)拓?fù)洇覯是T1分離的充要條件是M滿足

?t>0,M(x,y,t)=1?x=y;

(3)

3)當(dāng)M是模糊度量時(shí)，拓?fù)洇覯是T2分離的。

證明1)設(shè)x,y∈X,且x≠y。由MQ2)知，?t0>0，使得0

2)先證充分性。設(shè)x,y∈X，且x≠y。由(3)式知，?t1,t2>0，使得0

再證必要性。用反證法，假設(shè)τM是T1分離的，且?t>0，M(x,y,t)=1，但x≠y。由于τM是T1分離的，所以{y}關(guān)于τM是閉集，于是存在x的開(kāi)鄰域BM(x,r0,t0)，使得BM(x,r0,t0)∩{y}=?，即y?BM(x,r0,t0)，亦即M(x,y,t0)≤1-r0，這與M(x,y,t)=1(?t>0)矛盾。

3)設(shè)x,y∈X,且x≠y,由MQ2)知，?t0>0，使得

0

(4)

由引理1，?(1-r0)*(1-r0)>m0。而B(niǎo)M(x,r0,t0/2)、BM(y,r0,t0/2)分別為x、y的開(kāi)鄰域，但

BM(x,r0,t0/2)∩BM(y,r0,t0/2)=?。

(5)

事實(shí)上，若?z∈BM(x,r0,t0/2)∩BM(y,r0,t0/2)，則M(x,z,t0/2)>1-r0，M(y,z,t0/2)>1-r0，從而

M(x,y,t0)≥M(x,z,t0/2)*M(y,z,t0/2)≥

(1-r0)*(1-r0)>m0，

這與(4)式矛盾，所以(5)式成立。由此可見(jiàn)，拓?fù)洇覯是T2分離的。證畢。

注1滿足條件3)的模糊擬度量空間，稱(chēng)為T(mén)1模糊擬度量空間。

2 模糊擬度量空間中的序關(guān)系

文獻(xiàn)[9]在KM模糊擬度量空間中引入了一種序關(guān)系，但對(duì)其性質(zhì)沒(méi)有作討論。類(lèi)似地，本文在(GV)模糊擬度量空間中引入對(duì)應(yīng)的序關(guān)系。

定義4設(shè)(X,M,*)是模糊擬度量空間，在其上定義一個(gè)關(guān)系“≤”如下：

x≤y當(dāng)且僅當(dāng)?t>0,都有

M(x,y,t)=1。

(6)

根據(jù)定義4容易得到以下結(jié)論。

定理2設(shè)(X，M，*)是模糊擬度量空間，則

1)“≤”滿足自反性、傳遞性和反對(duì)稱(chēng)性，即“≤”是X上的一個(gè)偏序；

2)“≤”為相等關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)(X,M,*)為T(mén)1分離的模糊擬度量空間。

?y∈X，令

K(y)={x∈X:x≤y},

(7)

即x∈K(y)當(dāng)且僅當(dāng)x≤y。

定理3設(shè)(X,M,*)是模糊擬度量空間，y∈Y，則K(y)=cM{y}，從而K(y)關(guān)于拓?fù)洇覯是閉集。

M(x,y,t)≥M(x,xn,t/2)*M(xn,y,t/2)→1(n→∞)，

于是x∈K(y)。所以K(y)關(guān)于τM是閉集，由此可知cM{y}?K(y)。

反之，設(shè)x∈K(y)，則?t>0，有M(x,y,t)=1。于是，對(duì)x的任意一個(gè)鄰域BM(x,1/n,1/n)，總有y∈BM(x,1/n,1/n)，即{y}∩BM(x,1/n,1/n)≠?,于是x∈cM{y}。由x的任意性得到K(y)?cM{y}，從而K(y)=cM{y}。證畢。

設(shè)A為模糊擬度量空間(X,M,*)中的子集，記

↑A={y∈X:?x∈A,x≤y},

↓A={y∈X:?x∈A,y≤x}。

定理4設(shè)A為模糊擬度量空間(X，M，*)中的子集。

1)若A關(guān)于拓?fù)洇覯為開(kāi)集，則A為上閉集，即↑A=A;

2)若A關(guān)于拓?fù)洇覯為閉集，則A為下閉集，即↓A=A。

證明1)任取y∈↑A，則?x∈A，使得x≤y。若A為開(kāi)集，則存在x的開(kāi)鄰域BM(x,r0,t0)，使得BM(x,r0,t0)?A。由于x≤y，所以M(x,y,t0)=1，從而y∈BM(x,r0,t0)?A。由y的任意性知↑A?A，于是↑A=A。

2)任取y∈↓A，則?x∈A，使得y∈↓{x}。由定理2，y∈cM{x}?cMA。若A為閉集，則y∈A。由y的任意性知↓A?A，于是↓A=A。證畢。

定理5設(shè)A為模糊擬度量空間(X，M，*)中的子集，則

↑A=∩{B∈τM:A?B}。

證明顯然“↑”為單調(diào)增的集值算子，因此由定理4的1)可得

↑A?∩{B∈τM:A?B}。

任取y?↑A，則?x∈A，都有xy,從而存在tx>0,使得0

∩{B∈τM:A?B}?↑A。

綜上所述，↑A=∩{B∈τM:A?B}。證畢。

M(x,y,t)≥M(x,xn,t/2)*M(xn,y,t/2)→1(n→∞)。

所以M(x,y,t)=1。從而x≤y。證畢。

證明?t>0，由xn≤zn≤yn得?n∈N,M(zn,yn,t/2)=1,M(xn,zn,t/2)=1。

M-1(zn,x,t)≥M(x,xn,t/2)*M(xn,zn,t/2)=

M(x,xn,t/2)，

M(zn,x,t)≥M(zn,yn,t/2)*M(yn,x,t/2)=M(yn,x,t/2)，

定理8設(shè)(X,M,*)是模糊擬度量空間，x,y∈X。若x≤y，則?t>0,?z∈X，總有M(x,z,t)≥M(y,z,t)。

證明?t>0，由x≤y得到M(x,y,t)=1，所以?s>t，總有

M(x,z,s)≥M(x,y,s-t)*M(y,z,t)=

M(y,z,t)。

由于映射M(x,y,·)連續(xù)，從而M(x,z,t)≥M(y,z,t)。證畢。

3 序關(guān)系在最優(yōu)化中的應(yīng)用

先利用上節(jié)引入的序關(guān)系，給出模糊擬度量空間上集合的極小點(diǎn)和極大點(diǎn)的概念。

定義5設(shè)(X,M,*)是模糊擬度量空間，A?X。令

minA={a∈A:A∩K(a)={a}},

(8)

maxA={a∈A:A∩K-1(a)={a}}，

(9)

其中K-1(a)={x∈X:M(a,x,t)=1,?t>0}，則分別稱(chēng)minA和maxA中的點(diǎn)為A的極小點(diǎn)和極大點(diǎn)。

定理9設(shè)(X，M，*)是模糊擬度量空間，A?X。a∈minA當(dāng)且僅當(dāng)

1)a∈A,

2)如果y∈A且y≤a，則y=a。

證明必要性。假定A?X，a∈minA。由(8)式得到a∈A且A∩K(a)={a}。如果y∈A且y≤a，則y∈A∩K(a),故y∈{a}，即y=a。

充分性。由條件1)知a∈A，從而A∩K(a)?{a}。由條件2)知,A∩K(a)?{a}。由minA的定義知,a∈minA。證畢。

設(shè)X是一個(gè)非空集合，(Y，M，*)、(Z，M′,*′)是模糊擬度量空間。考慮如下帶約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題：

minf(x),g(x)≤a,x∈P。

(10)

其中：f:X→Y；g:X→Z；a∈Z；P?X。

令C=P∩{x∈X:g(x)≤a}，則上述問(wèn)題(10)的解集即為minf(C)。由于向量最優(yōu)化問(wèn)題、向量集值最優(yōu)化問(wèn)題均可用模糊擬度量空間中最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)表述，所以問(wèn)題(10)具有很大的一般性。

定義6設(shè)(X,M,*)是一個(gè)模糊擬度量空間，A?X，分別稱(chēng)infA=min(cM-A)和supA=max(cMA)為A的下確界和上確界。

注2上述上、下確界概念不同于由偏序“≤”導(dǎo)出的上、下確界概念。

定義7設(shè)f:X→Y是拓?fù)淇臻gX到模糊擬度量空間(Y，M，*)的映射，D(f)是f的定義域，x0∈D(f)?X。

1)如果?t>0,

則稱(chēng)f在x0處上半連續(xù);

2)如果?t>0,

則稱(chēng)f在x0處下半連續(xù)。

若f在集合C的任意一點(diǎn)處上半(下半)連續(xù)，則稱(chēng)f在集合C上是上半(下半)連續(xù)的。

定理10設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，C是X中的緊子集，(Y，M，*)是模糊擬度量空間，f:C→Y是上半連續(xù)映射。如果f在C上存在下確界，則

1)該下確界是可達(dá)的，即對(duì)于a∈inff(C)，存在x′使得f(x′)=a；

2)minf(C)≠?。

證明1)由假設(shè),存在a∈inff(C)=min(cM-f(C))，于是

(cM-f(C))∩K(a)={a}。

(11)

及

f(x′)∈f(C)?cM-f(C)。

(12)

M(f(x′),a,t)≥M(f(x′),f(xni),t/2)*

M(f(xni),a,t/2)→1。

于是，M(f(x′),a,t)=1,即f(x′)∈K(a)。結(jié)合(11)、(12)式，可得f(x′)=a，這表明f在C上的下確界是可達(dá)的。

2)由上述證明過(guò)程可知,{a}=f(C)∩K(a)，從而f(x′)=a∈minf(C)，于是minf(C)≠?。證畢。

類(lèi)似地，可以得到以下定理。

定理11設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，C是X中的緊子集，(Y,M,*)是模糊擬度量空間，f:C→X是下半連續(xù)映射。如果f在C上存在上確界，則

1)該上確界是可達(dá)的；

2)maxf(C)≠?。