常 月,王 振,任睿思,魏 玲,3*

(1 西北大學 數(shù)學學院，陜西 西安 710127；2 西北大學 概念、認知與智能研究中心，陜西 西安 710127；3 閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建 漳州 363000)

沖突作為人類生活的重要特征之一，廣泛存在于社會問題中。因此，對沖突的研究顯得尤為重要。Pawlak[1]于1998年提出了一種基于粗糙集理論的沖突分析模型，將代理人按照對議題的不同態(tài)度進行劃分，并探討了如何制定策略。在此模型的基礎(chǔ)上，許多專家學者進行了擴展和應(yīng)用[2-14]。例如：Sun等[4]提出了基于雙論域粗糙集理論的沖突分析模型；Fan等[6]通過引入包含度定義兩對評價函數(shù)，得到一個定量三分模型，并用于制定策略。

三支決策理論(three-way decision, 3WD)由Yao[15-16]于2012年提出，其主要思想是三分而治，是一種基于“三”的思維方式、問題求解方法和信息處理模式。學者們將這一思想廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分類、醫(yī)療診斷、聚類和多屬性決策等領(lǐng)域[17-21]。由于沖突問題中贊同、反對和中立這三種態(tài)度與三支決策理論的“三分”思想吻合，因此可將三支決策思想引入沖突分析問題中。Yao[8]改進和擴展了Pawlak模型，提出三支沖突分析模型，通過研究代理人集合的三分，將沖突分為強沖突、弱沖突和不沖突三個層次,建立沖突分析和三支決策之間的橋梁。在此基礎(chǔ)上，學者們?nèi)〉弥T多成果。Lang[9]在三支決策理論的框架下，提出沖突分析的一般模型，統(tǒng)一了現(xiàn)有5種三分代理人序?qū)系臎_突分析模型；Luo等[22]將聯(lián)盟和沖突度量分成兩個方面，提出聯(lián)盟函數(shù)和沖突函數(shù)，并基于此建立了一個新的三支沖突分析模型；Zhi等[11]將三支概念分析和沖突分析相結(jié)合，提出了基于近似三支概念格的沖突分析方法，并利用一個漸進式算法來解決動態(tài)信息系統(tǒng)中的沖突分析問題。

現(xiàn)有研究的數(shù)據(jù)背景大多是三值或多值沖突表[22-23]，即代理人對議題的態(tài)度值為-1、0、+1或者為[-1,+1]之間的數(shù)，表達的都是較確定的信息。實際上，當代理人真正面對沖突時，態(tài)度會變得模糊。比如代理人對一個議題的態(tài)度是搖擺不定的，可能是0.7也可能是0.8。考慮到這一問題，Yi等[24]用猶豫模糊數(shù)表示代理人關(guān)于議題的態(tài)度，一定程度上反映了態(tài)度的不確定性，但由于實際決策的復雜過程，通常更一般地認為代理人的態(tài)度在一定范圍內(nèi)浮動，是一個區(qū)間。另外，在通過貝葉斯決策理論給出計算閾值的方法時，所有的損失函數(shù)一般由專家直接給出，有較強的主觀性[7,24]。因此，本文考慮用區(qū)間數(shù)描述代理人的態(tài)度，并探討從單議題到多議題損失函數(shù)的聚合問題，進而客觀地分析沖突問題，以做出合理的決策。

本文在回顧經(jīng)典沖突分析理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間值模糊集及其相關(guān)語義，研究基于區(qū)間值模糊沖突表的三支沖突分析，并通過決策粗糙集理論給出閾值求解方法。

1 預(yù)備知識

1.1 Pawlak沖突分析模型

定義1[1]稱三元組(A,I,r)為沖突表。其中：A={x1,x2,…,xn}為代理人集，每個xs(s≤n)稱為一個代理人；I={i1,i2,…,im}為議題集，每個it(t≤m)稱為一個議題；r:A×I→{-1,0,+1}為一映射，對于代理人xs∈A，議題it∈I，r(xs,it)∈{-1,0,+1}，-1、0、+1分別表示反對、中立和贊同。

對于沖突表(A,I,r)，給定議題子集B?I，對于任意代理人x、y∈A，定義A上的距離函數(shù)ρB:A×A→[0,1]:

其中，|B|表示集合中所含元素的個數(shù)且

進而，可以定義3種關(guān)系：

1)若ρB(x,y)>0.5,則x和y是沖突的；

2)若ρB(x,y)=0.5,則x和y是中立的；

3)若ρB(x,y)<0.5,則x和y是聯(lián)盟的。

基于此，對于任意代理人x∈A，定義代理人x的沖突集、中立集和聯(lián)盟集分別為

1)CO(x)={y∈A|ρB(x,y)>0.5};

2)NE(x)={y∈A|ρB(x,y)=0.5};

3)AL(x)={y∈A|ρB(x,y)<0.5}。

1.2 區(qū)間值模糊集

令L=[0,1]為單位閉區(qū)間，稱a=[a-,a+]?[0,1]為L上的區(qū)間數(shù)，記L上所有區(qū)間數(shù)的集合為[L]，即[L]={[a-,a+]|0≤a-≤a+≤1}。后文所指的區(qū)間數(shù)均為L上的區(qū)間數(shù)，下面給出區(qū)間數(shù)的相關(guān)基本運算[26]。對于任意區(qū)間數(shù)a、b,a=[a-,a+],b=[b-,b+],有

1)a+b=[a-+b-,a++b+];

2)ab=[min(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+),

max(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+)];

3)ka=[ka-,ka+],其中k∈R,k≥0;

4)a∪b=[min(a-,b-),max(a+,b+)];

a∩b=

由于區(qū)間數(shù)左右端點分別為整個區(qū)間的最小值和最大值，再結(jié)合損失函數(shù)的語義，給出區(qū)間數(shù)2種轉(zhuǎn)化方式的記號。

設(shè)a為區(qū)間數(shù)，a=[a-,a+]，記

mOpt(a)=a-,mPess(a)=a+。

mOpt(a)、mPess(a)分別為區(qū)間數(shù)a的樂觀轉(zhuǎn)化值和悲觀轉(zhuǎn)化值。

后文用m(a)指代上述2種區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化方式中的任意一種，即m(a)∈{mOpt(a),mPess(a)}。對于任意2個區(qū)間數(shù)a、b,其樂觀比較方式為：若mOpt(a)>mOpt(b)，則a>Optb；若mOpt(a)

定義2[27]設(shè)X為非空有限論域，稱映射

A:X→[L],

為論域X上的區(qū)間值模糊集，A(x)=[A-(x),A+(x)]為x的隸屬度，是一個區(qū)間數(shù)，A-和A+分別為下、上模糊集。論域X上的全體區(qū)間值模糊集合記為SIVF(X)。

為了度量2個區(qū)間值模糊集的差異性，引入如下函數(shù)。設(shè)X={x1,x2,…,xn}，?xi∈X，M、N∈SIVF(X),稱

|(M+(xi)-N+(xi))|)

為區(qū)間值模糊集M、N的距離。后文用d表示2個區(qū)間值模糊集之間的距離。

2 基于區(qū)間值模糊沖突表的三支沖突分析

本節(jié)將沖突表進一步推廣，研究基于區(qū)間值模糊沖突表的三支沖突分析。分別探討單議題和多議題下的沖突分析，提出樂觀和悲觀2種聚合議題損失函數(shù)的方法，最后利用決策粗糙集理論確定沖突集、中立集和聯(lián)盟集。

在實際場景中，代理人對于議題的態(tài)度通常是模糊的，并在某個給定區(qū)間上浮動。根據(jù)這一語義,結(jié)合沖突分析理論，給出區(qū)間值模糊沖突表的定義。

定義3稱四元組S=(A,I,V,f)是區(qū)間值模糊沖突表。其中：A={x1,x2,…,xn}為代理人集，每個xs(s≤n)稱為一個代理人；I={i1,i2,…,im}為議題集，每個it(t≤m)稱為一個議題；V=∪{Vit|it∈I}，Vit是議題it的值域，是區(qū)間值模糊集；f:A×I→V為一映射。對于代理人xs∈A，議題it∈I，f(xs,it)∈Vit，即f(xs,it)=[f-(xs,it),f+(xs,it)],f(xs,it)為代理人xs關(guān)于議題it的態(tài)度區(qū)間。

對于任意代理人x和議題i來說，若有其他代理人關(guān)于議題i有相同的態(tài)度，則代理人x就和這些代理人是聯(lián)盟的?；谶@一語義，下面從探討代理人之間的關(guān)系出發(fā)，研究基于區(qū)間值模糊沖突表的三支沖突分析。考慮采用定義2中的距離函數(shù)描述態(tài)度的差異性，進一步分析出其相似性。實質(zhì)上，距離值越接近于1，差異性越大，相似性越?。痪嚯x值越接近于0，差異性越小，相似性越大，即態(tài)度更接近，他們之間更傾向于聯(lián)盟。

對于給定議題i，記Ci(x,y)=d(f(x,i),f(y,i))為代理人x與y之間的沖突度。首先，研究基于單議題上的沖突分析。

2.1 基于單議題的沖突分析

在定義3的基礎(chǔ)上，通過沖突度Ci(x,y)給出區(qū)間值模糊沖突表中單議題下代理人之間的3個關(guān)系。

定義4設(shè)S=(A,I,V,f)是區(qū)間值模糊沖突表，i∈I，給定閾值α和β，滿足0≤β<α≤1。定義議題i上的3個關(guān)系如下：

1)若Ci(x,y)≥α，則x和y是沖突的；

2)若β

3)若Ci(x,y)≤β，則x和y是聯(lián)盟的。

基于所有代理人與x的3類不同關(guān)系，將代理人集合三劃分。

定義5設(shè)S=(A,I,V,f)是區(qū)間值模糊沖突表，i∈I, 給定閾值α和β，滿足0≤β<α≤1。對于任意代理人x∈A，定義議題i上代理人x的沖突集、中立集和聯(lián)盟集如下：

根據(jù)定義4和定義5，易得如下性質(zhì)。

性質(zhì)1設(shè)S=(A,I,V,f)是區(qū)間值模糊沖突表，且0≤β<α≤1。對于任意代理人x、y∈A，有

例1研究6名學生的課外興趣情況。設(shè)A={x1,x2,x3,x4,x5,x6}表示代理人集，集合中6個元素分別表示6名學生；I={i1,i2,i3,i4,i5}表示議題集，集合中5個元素分別表示5個課外興趣小組。其中：i1表示書法小組，i2表示舞蹈小組，i3表示繪畫小組，i4表示聲樂小組,i5表示體育小組。f(x,i)表示該同學對這個興趣小組的態(tài)度，形成如表1所示的區(qū)間值模糊沖突表(A,I,V,f)。

表1 例1的區(qū)間值模糊沖突表(A,I,V,f)

考慮到0和1的中位數(shù)是0.5，此處認為用0.5衡量反對、中立和贊同這3個態(tài)度較為合適。具體地，代理人xs關(guān)于議題it的態(tài)度區(qū)間為f(xs,it)=[f-(xs,it),f+(xs,it)]，若f+(xs,it)≤0.5，表示xs對it持反對態(tài)度；若f-(xs,it)≤0.5≤f+(xs,it)，表示xs對it持中立態(tài)度；若f-(xs,it)≥0.5，表示xs對it持贊同態(tài)度。

表2 基于議題i1的代理人之間的沖突值

在表3中，對于書法興趣小組i1，學生x1的聯(lián)盟集里面有x1、x4、x53個同學。即這3個同學對書法興趣小組的總體態(tài)度相近，在培養(yǎng)過程中可以分到同一個學習小組，按照具體的興趣個性化教學，從而達到學生高效學習的目的。

表3 基于議題i1的沖突集、中立集和聯(lián)盟集(α=0.6,β=0.4)

2.2 基于多議題的沖突分析

f-(y,i)|+|f+(x,i)-f+(y,i)|)。

因此，可給出如下代理人關(guān)于議題集的3個狀態(tài)集合。

定義6設(shè)S=(A,I,V,f)是區(qū)間值模糊沖突表，B?I，給定閾值α和β，滿足0≤β<α≤1。對于任意代理人x∈A，定義議題集B上代理人x的沖突集、中立集和聯(lián)盟集如下：

例2(續(xù)例1) 在實際教學中，研究學生在多個興趣小組下的關(guān)系。計算議題集I上各學生之間的沖突值如表4所示，給定閾值α=0.5,β=0.3，得到代理人集合三劃分的結(jié)果如表5所示。

表4 基于議題集I的代理人之間的沖突值

表5 基于議題集I的沖突集、中立集和聯(lián)盟集(α=0.5,β=0.3)

在表5中，對于所有興趣小組構(gòu)成的集合I，學生x1在閾值α=0.5,β=0.3下與x4是聯(lián)盟的。此時,讓x1、x4兩個學生一起參加所有的課外興趣小組學習效果更佳。根據(jù)表5的結(jié)果，有助于教育者做出合理有效的決策。

2.3 基于決策粗糙集理論的閾值求解方法

在2.1節(jié)和2.2節(jié)的方法中，計算沖突集、中立集和聯(lián)盟集依賴于閾值α和β的選擇，不確定性較大。本節(jié)基于決策粗糙集理論給出一種客觀求解閾值的方法，進而給出決策規(guī)則。

然而，現(xiàn)有利用決策粗糙集理論計算閾值的研究中，單個議題和議題集的損失函數(shù)均由專家給出，主觀性太強。因此，接下來探討從單議題到多議題的損失函數(shù)聚合問題。結(jié)合損失函數(shù)和區(qū)間數(shù)的語義，悲觀的聚合方式取每個議題損失函數(shù)所有可能取值，樂觀的聚合方式取所有議題損失函數(shù)共有的損失值，能夠給出以下定義。

定義7設(shè)S=(A,I,V,f)是區(qū)間值模糊沖突表，對于任意議題i∈I，設(shè)λ·*(i)為議題i下的損失函數(shù)，其中·∈{C,N,A},*∈{C,A}，稱

分別為議題集B上的悲觀聚合損失函數(shù)和樂觀聚合損失函數(shù)。

表6 議題子集B的區(qū)間值模糊損失函數(shù)

下面用CB(x,y)表示代理人x和y關(guān)于議題集B的沖突度，把CB(x,y)看作y屬于x的沖突集的概率值。

定義8設(shè)Rx(a·|y)為將y放在3個行為集中的期望損失，記

Rx(a·|y)=λ·C(B)CB(x,y)+

λ·A(B)(1-CB(x,y))。

顯然Rx(a·|y)仍是一個區(qū)間數(shù)，因此可用預(yù)備知識中樂觀、悲觀2種方式比較期望損失的大小。

基于期望損失，給出如下定理計算閾值。

定理1設(shè)S=(A,I,V,f)是區(qū)間值模糊沖突表,閾值α和β滿足0≤β<α≤1, 損失函數(shù)滿足λCC(B)≤λNC(B)<λAC(B),λAA(B)≤λNA(B)<λCA(B),則下列結(jié)論成立：

其中:

證明根據(jù)定義8可得,把y放在3個行為集中的期望損失如下：

按照貝葉斯最小風險決策理論，有以下3條決策規(guī)則：

基于損失值之間的大小關(guān)系，上述規(guī)則(C1)～(A1)可簡化為

(C2)如果CB(x,y)≥α且CB(x,y)≥γ，則

(N2)如果CB(x,y)<α且CB(x,y)>β，則

(A2)如果CB(x,y)≤β且CB(x,y)≤γ，則

其中：

如果0≤β<γ<α≤1，可以進一步簡化決策規(guī)則為

即證定理1成立。

由于這里損失函數(shù)有悲觀和樂觀兩種聚合方式(定義7所示)，比較期望損失大小時也有悲觀和樂觀兩種方式(1.2節(jié)所示)，可讓損失函數(shù)的悲觀聚合方式與期望損失的悲觀比較方式對應(yīng)，損失函數(shù)的樂觀聚合方式與期望損失的樂觀比較方式對應(yīng)，因此會相應(yīng)得到兩組閾值αPess、βPess和αOpt、βOpt。當議題集B中只有一個議題時，定理1退化為單議題下的閾值求解方法。

定理1通過決策粗糙集理論，運用貝葉斯最小風險決策規(guī)則，基于損失函數(shù)給出了求解閾值的方法。下面通過一個例子來說明。

例3(續(xù)例1) 表7是專家給出的損失函數(shù)，根據(jù)1.2節(jié)的記號和定義7，可得議題集I上的樂觀、悲觀損失函數(shù)及其對應(yīng)的轉(zhuǎn)化值，如表8所示。

表7 專家給出的區(qū)間值模糊損失函數(shù)

根據(jù)定理1及表8，可以計算出：悲觀聚合-轉(zhuǎn)化方式下閾值αPess=0.583 3，βPess=0.2，樂觀聚合-轉(zhuǎn)化方式下閾值αOpt=0.444 5，βOpt=0.4。進而，可得每個代理人在2種聚合方式下關(guān)于議題集I上的3個集合，如表9所示。

表8 議題集I的樂觀、悲觀損失函數(shù)及其轉(zhuǎn)化值

對于沖突分析理論來說，一般認為中立集越大，得到的結(jié)果越悲觀；中立集越小，得到的結(jié)果越樂觀。由于本文定義的悲觀、樂觀聚合損失函數(shù)得到的閾值之間有自然的大小關(guān)系，即用悲觀聚合-轉(zhuǎn)化方式得到的閾值距離大于樂觀聚合-轉(zhuǎn)化方式下的閾值距離。將兩者結(jié)合起來可知，悲觀聚合-轉(zhuǎn)化方式對應(yīng)較悲觀的沖突分析結(jié)果，中立集較大；樂觀聚合-轉(zhuǎn)化方式對應(yīng)較樂觀的沖突分析結(jié)果，中立集較小。通過對比表5和表9也能得到同樣的結(jié)果。

表9 每個代理人在悲觀、樂觀聚合方式下關(guān)于議題集I的沖突集、中立集和聯(lián)盟集

4 結(jié)語

鑒于區(qū)間數(shù)良好的語義和代理人關(guān)于議題態(tài)度的可解釋性，本文將沖突分析理論與區(qū)間值模糊集相結(jié)合，直觀定義區(qū)間值模糊沖突表。用區(qū)間數(shù)表示代理人關(guān)于議題的態(tài)度，用區(qū)間值模糊集之間的距離表示沖突度，研究基于區(qū)間值模糊沖突表的三支沖突分析。從悲觀和樂觀兩個角度對損失函數(shù)進行聚合，通過決策粗糙集理論給出求解閾值的方法，進一步確定決策規(guī)則。本文研究的理論可運用到實際問題中，比如公司對于新入職員工技能培訓的安排，可依據(jù)每個人對技能的掌握程度分組培訓，提高效率?？梢钥吹剑疚挠脜^(qū)間數(shù)探討代理人的態(tài)度，是對經(jīng)典三值、多值和猶豫模糊值的推廣，更符合人的一般認知；并且，對于損失函數(shù)而言并未從整個議題集出發(fā)，而是考慮從單議題到多議題的聚合問題，使損失變得相對客觀。

出于簡化聚合損失函數(shù)的考慮，本文現(xiàn)有的研究從兩種特殊情況出發(fā)，即損失函數(shù)的悲觀和樂觀聚合方式，而在現(xiàn)實生活中往往會出現(xiàn)更豐富的聚合方式，未來考慮是否可以通過加權(quán)方式描述和解決。另外，在實際中會出現(xiàn)更復雜的情況，不僅是單個代理人之間的問題，代理人群體之間也會產(chǎn)生沖突，因此針對代理人集合間問題的研究也具有一定的實際意義。