丁嘉寧

(華北理工大學(xué)電氣工程學(xué)院 河北 唐山 063000)

大學(xué)物理是工科學(xué)生的一門(mén)基礎(chǔ)課程，力學(xué)是這門(mén)課程的開(kāi)篇部分，而質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)又是力學(xué)的第一個(gè)模塊，因此，學(xué)好質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)于大學(xué)物理課程的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的．教學(xué)參考書(shū)在這一部分寫(xiě)的都比較簡(jiǎn)潔，雖然教師對(duì)這部分進(jìn)行了深入透徹的講解，但對(duì)于大學(xué)一年級(jí)學(xué)生而言，在微積分的應(yīng)用上還是感覺(jué)比較困難，因此，對(duì)這一部分的總結(jié)歸納是十分必要的．

1 中學(xué)物理與大學(xué)物理在數(shù)學(xué)應(yīng)用上的比較

運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類問(wèn)題是中學(xué)物理與大學(xué)物理的銜接部分，在這部分，中學(xué)使用的數(shù)學(xué)工具是加、減、乘、除，而大學(xué)用的是微積分，那么它們的聯(lián)系是什么？經(jīng)過(guò)教師的講解，并認(rèn)真思考后發(fā)現(xiàn)，除法和導(dǎo)數(shù)是對(duì)應(yīng)的，它們都是平均的含義，除法是有限間隔的平均，導(dǎo)數(shù)是無(wú)限小間隔的平均；乘法和積分是對(duì)應(yīng)的，它們都是求面積，乘法對(duì)應(yīng)的是長(zhǎng)方形的面積，而積分對(duì)應(yīng)的是曲邊梯形的面積．

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類問(wèn)題幾種常見(jiàn)題型

運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類問(wèn)題是根據(jù)速度和加速度定義式進(jìn)行求導(dǎo)或積分的問(wèn)題，一般是一維問(wèn)題，即將矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成標(biāo)量運(yùn)算．如果已知變量是時(shí)間的函數(shù)，如a=a(t)、v=v(t)或x=x(t),問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，直接求導(dǎo)或積分就可以．但如果自變量不是時(shí)間，而是速度或位置，就容易出問(wèn)題．當(dāng)教師講完速度和加速度定義式，讓學(xué)生做這樣一道題，已知速度v=x2，其中x為位置，求加速度a．剛看到這個(gè)題時(shí)，學(xué)生會(huì)覺(jué)得非常簡(jiǎn)單，馬上寫(xiě)出

當(dāng)教師告訴學(xué)生正確結(jié)果是a=2x3，并強(qiáng)調(diào)加速度是位置對(duì)時(shí)間求導(dǎo)時(shí)，才意識(shí)到時(shí)間和空間的區(qū)別．同時(shí)教師幫助學(xué)生分析了得到這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)果的原因，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，關(guān)注具體計(jì)算比較多，對(duì)自變量是哪個(gè)變量關(guān)注不夠，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上自變量沒(méi)有具體的含義，至于用什么來(lái)表示沒(méi)有區(qū)別．下面對(duì)以位置或速度作為自變量的幾種形式進(jìn)行了總結(jié).

(1)速度是位置的函數(shù)

同時(shí)注意到速度是位置對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，則有

當(dāng)求運(yùn)動(dòng)學(xué)方程時(shí)，即求位置x隨時(shí)間t的變化關(guān)系，根據(jù)速度v的定義式

寫(xiě)成積分形式

同時(shí)需要注意到，被積函數(shù)的自變量與積分變量的統(tǒng)一，則有

(2)加速度是位置的函數(shù)

加速度a是位置x的函數(shù)，即a=a(x)，當(dāng)時(shí)間t= 0時(shí)，v=v0,x=x0，求速度v和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程．根據(jù)加速度定義式，并寫(xiě)成積分形式有

(1)

我們注意到，兩個(gè)積分變量分別為v和t，但被積函數(shù)的自變量為x，通過(guò)移項(xiàng)是不能完成積分運(yùn)算的，這就需要根據(jù)物理量的定義或物理定律將變量v或t中的一個(gè)轉(zhuǎn)化成x，同時(shí)不能引入新的變量，如果能夠找到一個(gè)由速度v、時(shí)間t和位置x這3個(gè)變量定義的物理量或物理定律，問(wèn)題就解決了．可以發(fā)現(xiàn)速度v是位置x對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，將速度定義式寫(xiě)成微分形式，即dx=vdt，通過(guò)移項(xiàng)得到

將上式代入式(1)中，并進(jìn)行移項(xiàng)就得到了下式，即

(2)

這樣就可以進(jìn)行積分運(yùn)算了．再求運(yùn)動(dòng)學(xué)方程時(shí)，就變成了速度v是位置x的函數(shù)問(wèn)題了．

【典型習(xí)題】均勻的柔軟鏈條，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，一部分(l-a)放在光滑的水平桌面上，一部分(長(zhǎng)為a)從桌面邊緣下垂，求鏈條末端離開(kāi)桌面時(shí)的速度大小．

由于質(zhì)量不變，力是鏈條下垂長(zhǎng)度(位置)的函數(shù)，也就是加速度是位置的函數(shù)．如果桌面有摩擦，摩擦力和下垂部分重力均是位置的函數(shù)[1]．

(3)加速度是速度的函數(shù)

加速度a是速度v的函數(shù)，即

a=a(v)

當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，v=v0，x=x0，求速度v和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程．求解速度時(shí)，也需要根據(jù)加速度定義式，并寫(xiě)成式(1)的形式，這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)的自變量是積分變量v，通過(guò)移項(xiàng)就可以進(jìn)行計(jì)算，即

(3)

計(jì)算運(yùn)動(dòng)學(xué)方程時(shí)，速度v是時(shí)間t的函數(shù)，直接積分就可以得到結(jié)果．

在習(xí)題中，一般是物體所受空氣阻力與其速率成正比或與其速率平方成正比[2-4]．在大學(xué)普通物理中，討論這類問(wèn)題時(shí)，質(zhì)量是不變的，阻力與其速率成正比或與其速率平方成正比，也就是加速度與其速率成正比或與其速率平方成正比．

3 結(jié)束語(yǔ)

在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)處于中學(xué)物理與大學(xué)物理銜接的關(guān)鍵位置，處理好中學(xué)物理與大學(xué)物理的銜接對(duì)大學(xué)物理的學(xué)習(xí)是十分重要的．在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中，大學(xué)物理與中學(xué)物理的重要區(qū)別就是對(duì)瞬時(shí)概念的理解，即對(duì)微積分概念的理解．本文討論了微積分的意義，以及微積分與乘、除法的關(guān)系；給出了速度或加速度是位置的函數(shù)，加速度是速度的函數(shù)等情況的具體求解方法．