任智

薛定諤方程的一種教學(xué)方式

任智

（百色學(xué)院 材料科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 百色 533000）

從薛定諤方程原始推導(dǎo)方法入手，再現(xiàn)了薛定諤如何在德布羅意波的基礎(chǔ)上創(chuàng)造性地推導(dǎo)出了物質(zhì)波的相速度與能量之間的關(guān)系，進而利用流體力學(xué)中的一個現(xiàn)有的機械波波動模型推導(dǎo)出了薛定諤方程．分析了利用該方法進行薛定諤方程教學(xué)的利與弊．

薛定諤方程；量子力學(xué)；教學(xué)方式

學(xué)習(xí)量子力學(xué)第一個重點和難點是波粒二象性和與之密切相關(guān)的薛定諤方程的推導(dǎo)．國外量子力學(xué)教材大多不采用薛定諤的原始推導(dǎo)方法[1-2]，國內(nèi)則由對滿足光子波動方程的單色平面波函數(shù)特解的求導(dǎo)而拼湊出來[3-4]，回避了薛定諤方程原始推導(dǎo)過程的介紹．雖然國內(nèi)有學(xué)者提及用薛定諤原始推導(dǎo)方法的益處[5]，但對推導(dǎo)過程中最核心的部分[6]缺乏相應(yīng)分析說明．本文仔細(xì)地分析了薛定諤方程原始推導(dǎo)過程，并討論了將它做為理工本科生量子力學(xué)入門學(xué)習(xí)方法的利與弊．

1 波粒二象性如何融入薛定諤方程的推導(dǎo)

1.1 勢能保守場中的質(zhì)點運動經(jīng)典力學(xué)描述

1.2 德布羅意物質(zhì)波概念的應(yīng)用

在幾何光學(xué)中，光在通過一個折射系數(shù)不均勻的媒介時會發(fā)生彎曲，這種光線的傳播遵守費馬定律

將式（3）代入式（2）得到

顯然式（5）和式（3）幾乎是倒數(shù)關(guān)系，不可能相等，此時必須采用波包和群速度的概念來處理，也即粒子其實是等價于波包，波包的群速度為粒子速度，而波包的群速度和相速度的定義是

又因為

式（9）減去式（8），得

上述的推導(dǎo)是薛定諤方程推導(dǎo)的核心部分，它將德布羅意物質(zhì)波的波粒二象性通過粒子和波包的對等（包括運動軌跡和速度）形神兼?zhèn)涞乇磉_(dá)出來．

2 由波動方程推導(dǎo)出薛定諤方程

2.1 經(jīng)典流體力學(xué)機械波模型

考察一個封閉容器中的彈性流體，其壓強的波方程為

該方程的解為

2.2 薛定諤不懂薛定諤方程——波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

代入式（14）得到

式（16）正是定態(tài)薛定諤方程．對波函數(shù)做拓展

并約定

3 結(jié)語

國內(nèi)本科理工生必學(xué)的數(shù)學(xué)包括微積分和線性代數(shù)，在學(xué)習(xí)量子力學(xué)之前并不一定都學(xué)習(xí)過泛函分析、分析力學(xué)等預(yù)備課程，所以要讀懂薛定諤在1926年發(fā)表的奠定量子波動力學(xué)基礎(chǔ)的4篇文章是困難的[7]，但薛定諤在1928年所做的4篇演講中的第1個演講[8]（也即本文所主要依據(jù)的文獻）卻是十分適合本科量子力學(xué)初學(xué)者的．如本文，薛定諤生動地從質(zhì)點（經(jīng)典力學(xué)）和波（物質(zhì)波的波動方程）2個不同側(cè)面來描述同一個微觀體在不隨時間變化的保守力場中的運動方程的一致性（運動軌跡和運動速度相同），這對于理解物質(zhì)波的波粒二象性本質(zhì)是十分有效的視角和教學(xué)方法．但該方法仍然要求學(xué)生對分析力學(xué)和最小作用量原理有相當(dāng)?shù)恼J(rèn)知，這對初學(xué)者是個不小的挑戰(zhàn)．另外注意到國內(nèi)外有些觀點[9-10]，認(rèn)為薛定諤方程是量子力學(xué)的基本假定，不是從理論中推導(dǎo)出來的，這顯然與事實不符，只不過這些更底層的理論目前科學(xué)界還沒有明確的判斷和結(jié)論．如德布羅意物質(zhì)波推導(dǎo)過程中會出現(xiàn)超光速的相速度，而薛定諤在非相對論中在考察微粒的能量和頻率之間的關(guān)系時，不將物質(zhì)的靜止質(zhì)量能量計算在內(nèi)，才避免了超光速問題．這種歷史上的學(xué)術(shù)爭論應(yīng)該在教學(xué)中盡量按原貌體現(xiàn)出來，能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣，不僅提示學(xué)生科學(xué)理論也是在不斷完善的過程中，而且可以激發(fā)學(xué)生的研究激情，這正是我國理工科教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)．

[1] David J Griffiths，Darrell F Schroeter．Introduction to quantum mechanics[M]．New York：Cambridge University Press，2018：16．

[2] John Dirk Walecka．Introduction to quantum mechanics[M]．New Jersy：World Scientific Publishing Co，2021：16-17．

[3] 錢伯初．量子力學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2006：27-29．

[4] 曾謹(jǐn)言．量子力學(xué)教程[M]．北京：科學(xué)出版社，2014：15-16．

[5] 黃永義．薛定諤方程的教學(xué)探討[J]．大學(xué)物理，2020，39（6）：25-26．

[6] 薛定諤．薛定諤演講集[M]．范岱年，譯．北京：北京大學(xué)出版社，2007：5-10．

[7] Schrodinger E．Collected paper on wave mechanics[M]．London＆Glasgow：Blackie＆Son Limited，1928：1-146．

[8] Schrodinger E．Four Lecture on Wave Mechanics[M]．London＆Glasgow：Blackie＆Son Limited，1928：1-13．

[9] Shankar R．Principles of Quantum Mechanics[M]．New York：Plenum Press，2011：115．

[10] 井孝功，趙永芳．量子力學(xué)[M]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009：33

Teaching method of Schr?dinger equation

REN Zhi

（School of Materials Science and Engineering，Baise University，Baise 533000，China）

The original deduction of Schr?dinger equation is elucidated to show how the relationship between the phase velocity of the micro-particle and its energy is worked out innovatively，based on the De Broglie postulate．This relationship was incorporated to a mechanic wave equation of fluid to get the Schr?dinger equation．The pros and cons of this way of introducing Schr?dinger equation is discussed．

Schr?dinger equation；quantum mechanics；teaching method

1007-9831（2022）11-0099-04

O411∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.020

2022-04-30

任智（1972-），男，湖南津市人，副教授，博士，從事量子力學(xué)及電子封裝材料研究．E-mail：roger-ren@bsuc.cn