林輝慶

摘 要：高中物理教科書沒有明確說明物質(zhì)波的頻率公式中的能量是動能還是總能量，而由頻率乘以波長求得的波速大小在中學(xué)均存在疑問。本文指出頻率公式中的能量是粒子的總能量mc2，介紹波包、相速度和群速度的概念，解釋物質(zhì)波波速的疑問。

關(guān)鍵詞：物質(zhì)波；能量；波速；波包；相速度；群速度

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）10-0057-3

1 物質(zhì)波的波長、頻率與波速

高中物理在光的波粒二象性之后學(xué)習(xí)了德布羅意的物質(zhì)波概念。即任何實(shí)物粒子（下面簡稱粒子）都具有波動性，每一個運(yùn)動的粒子都與一個對應(yīng)的波相聯(lián)系。粒子的動量p跟它所對應(yīng)的波的波長λ的關(guān)系是

2 頻率公式中的能量與波速的疑問

物質(zhì)波波長公式中的動量p=mv，m是粒子的質(zhì)量，v是粒子的速度。問題是物質(zhì)波頻率公式中的能量E是什么？是粒子的動能還是總能量？對此，上述兩種版本的教科書都沒有明確的說明。不過司南版教科書編有下面的例題及解答，涉及到運(yùn)動粒子的能量。

例題 求動能Ek=100 eV的自由電子的物質(zhì)波波長[2]。

其他各種版本的教科書也都有類似的例題或課后練習(xí)，這對學(xué)生造成了這樣的暗示：運(yùn)動粒子的能量指的是它的動能。

如果E是粒子的動能，則波速

物質(zhì)波的波速只有粒子運(yùn)動速度的一半，它又怎么能與粒子相聯(lián)系呢？所以，頻率公式中的能量不可能是粒子的動能。

查閱大學(xué)物理教科書知道，物質(zhì)波的頻率公式中的能量E是運(yùn)動粒子的總能量，大小為E=mc2，c是光速，m是粒子運(yùn)動時的質(zhì)量[3]。在相對論中，動量仍定義為p=mv。把動量p和總能量E的表達(dá)式代入（3）式，得到波速

粒子的運(yùn)動速度v一定小于光速c，由（4）式可見波速vb大于光速c。波的傳播速度大于光速是否與任何物質(zhì)的速度都不超過光速的結(jié)論相矛盾？

要解決這個問題，需要了解波包及其傳播速度的知識。

3 波包與相速度和群速度

3.1 簡諧波與波包

典型的波包及其傳播可以作如圖1所示的直觀理解。手拉緊一根均質(zhì)的輕繩使其處于水平狀態(tài)，手突然上下抖動幾次之后又歸于靜止，一個凸凹相間的有限長度的波列——波包就沿繩子向右勻速傳出。

在數(shù)學(xué)上，利用傅里葉分解可以將任何波包分解為許多不同頻率、振幅和相位的簡諧波的疊加。

3.2 相速度與群速度

包絡(luò)的移動速度vg叫做調(diào)幅波ψ（x，t）的群速度[4]。

對于經(jīng)典的機(jī)械波和電磁波，能量密度正比于振幅的平方，所以調(diào)幅波中振幅最大的位置正是能量密度最大的地方，它的移動速度（即群速度）應(yīng)是能量的傳播速度。對于物質(zhì)波，粒子在空間各處出現(xiàn)的概率正比于振幅的平方，群速度應(yīng)是微觀粒子的運(yùn)動速度。

4 物質(zhì)波的相速度和群速度

4.1 與運(yùn)動粒子相聯(lián)系的波包

與運(yùn)動粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波并不是具有確定的動量和能量的無限長平面簡諧波。因為這種理想的簡諧波在空間各點(diǎn)的振幅相等，表示粒子在空間各處出現(xiàn)的概率相等，或者說粒子處于空間坐標(biāo)完全不確定的狀態(tài)。

實(shí)際上，由于測量的誤差以及粒子運(yùn)動本身具有的不確定性，粒子的能量E、動量p等總是只能在一定的范圍內(nèi)被確定。相對應(yīng)地，與粒子聯(lián)系的物質(zhì)波的頻率v、波長λ、角頻率ω和角波數(shù)k也只能在一定范圍內(nèi)被確定。設(shè)與粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波的角頻率的不確定度為Δω（Δω<<ω），那么描述這個粒子運(yùn)動的物質(zhì)波，是角頻率在ω-Δω～ω+Δω之間的許多簡諧波疊加而成的波包[5]。

圖3是一個沿x軸運(yùn)動的粒子的波包示意圖，任一時刻粒子可能出現(xiàn)在該時刻波包區(qū)域內(nèi)的任一位置，在波函數(shù)振幅最大的位置出現(xiàn)的概率最大。粒子可能出現(xiàn)的空間區(qū)域隨著波包的移動而移動，移動速度就是波包的群速度vg。

4.2 物質(zhì)波的相速度和群速度

這就定量地證明了物質(zhì)波波包的群速度就是粒子的運(yùn)動速度。

通過上面的分析知道，與運(yùn)動粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波是由許多頻率相近的簡諧波疊加而成的波包。描述波包傳播的速度有相速度和群速度。相速度是波包中各相近的頻率成分的簡諧波恒定相位點(diǎn)的移動速度，群速度是波包包絡(luò)的移動速度。群速度等于粒子的運(yùn)動速度，而相速度并非粒子的運(yùn)動速度，它只有數(shù)學(xué)描述上的意義，因此相速度大于光速與任何物質(zhì)的速度都不超過光速的結(jié)論并不矛盾。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書物理（選修3-5）[M].北京：人民教育出版社，2010：37.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書物理（選修3-5）[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2007：92.

[3]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程量子物理[M].北京：高等教育出版社，2008：20.

[4]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004：284-285.

[5]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程量子物理[M].北京：高等教育出版社，2008：28-29.