楊 帆 華 濱 陳 帆 陳 剛 劉 兵 張紅衛(wèi) 劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院 湖北 武漢：430205)

銅材具有一定的強(qiáng)度、良好的韌性以及較強(qiáng)的耐腐蝕性，在工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用，例如，采用銅材制造承壓設(shè)備等[1]。銅材的力學(xué)性能指標(biāo)包括強(qiáng)度指標(biāo)、硬度指標(biāo)和塑性指標(biāo)等，抗拉強(qiáng)度、維氏硬度與延伸率是其中的代表。為了規(guī)范銅材或者其他金屬材料的應(yīng)用，我國(guó)制定了有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[1]，規(guī)定了材料的型號(hào)、相應(yīng)的化學(xué)成分及力學(xué)性能指標(biāo)，例如，TP2是銅材型號(hào)之一。

銅材的力學(xué)性能指標(biāo)是計(jì)算銅制承壓設(shè)備幾何尺寸與選擇材料型號(hào)的重要依據(jù)，從工程實(shí)踐的角度，有如下幾個(gè)問題值得研究：①同一企業(yè)按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)、試驗(yàn)與檢驗(yàn)的相同型號(hào)銅材，其相同力學(xué)性能指標(biāo)實(shí)測(cè)值是否在誤差允許范圍內(nèi)波動(dòng)，其力學(xué)性能指標(biāo)實(shí)測(cè)值是否與存在顯著差異，即相同企業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量是否穩(wěn)定，實(shí)測(cè)值是否具有有效性；②不同企業(yè)按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)、試驗(yàn)與檢驗(yàn)的相同型號(hào)銅材，其力學(xué)性能指標(biāo)實(shí)測(cè)值是否與存在顯著差異，即不同企業(yè)的產(chǎn)品質(zhì)量是否符合相同國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，力學(xué)性能指標(biāo)的實(shí)測(cè)值是否具有同質(zhì)性；③基于實(shí)測(cè)值的銅材力學(xué)性能指標(biāo)的概率分布研究，是建立可靠性設(shè)計(jì)技術(shù)的基礎(chǔ)，有必要進(jìn)行探索[2-15]。

針對(duì)上述問題，文中應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)[16-17]，建立了銅材力學(xué)性能指標(biāo)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效性與同質(zhì)性的分析模型，以TP2銅材室溫抗拉強(qiáng)度、維氏硬度與延伸率為研究對(duì)象，基于三個(gè)力學(xué)性能指標(biāo)的90個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)[18]，對(duì)TP2銅材的力學(xué)性能指標(biāo)概率分布進(jìn)行了探索，分析了其分布規(guī)律與分布參數(shù)。

1 建立模型

1.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性與同質(zhì)性

銅材力學(xué)性能指標(biāo)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性，是指同一型號(hào)銅材在相同的生產(chǎn)與試驗(yàn)條件下，單個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差在允許范圍內(nèi)；銅材力學(xué)性能指標(biāo)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性，是指同一型號(hào)銅材在生產(chǎn)或者試驗(yàn)條件發(fā)生改變時(shí)，兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差仍然在允許范圍內(nèi)，并且能刻劃力學(xué)性能指標(biāo)的本質(zhì)。

基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)[16-17]，通過有限相同生產(chǎn)與試驗(yàn)條件下獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可分析單個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效性；通過有限不同生產(chǎn)與試驗(yàn)條件下獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可分析兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性；對(duì)于具有有效性與同質(zhì)性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可合并分析銅材力學(xué)性能指標(biāo)的分布規(guī)律與分布參數(shù)。

1.1.1 單個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性

平均值與精密度是分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效性與同質(zhì)性的基礎(chǔ)，為討論方便，假設(shè)銅材的某一力學(xué)性能指標(biāo)K是隨機(jī)變量。

1)在生產(chǎn)與試驗(yàn)條件為A時(shí)，通過試驗(yàn)測(cè)得KA的nA組試驗(yàn)數(shù)據(jù)KAi(i=1，2，…，nA)時(shí)，其力學(xué)性能指標(biāo)KA的平均值與精密度分別為：

(1)

(2)

在生產(chǎn)與試驗(yàn)條件為A時(shí)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)KAi(i=1，2，…，nA)有效性的判據(jù)ti為：

(3)

在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)，若判據(jù)ti滿足

|ti|≤tα,nA

(4)

表明有(1-2α)的把握認(rèn)為試驗(yàn)數(shù)據(jù)KAi是有效的，否則是無效的。

式中，tα,nA為用α?xí)r與(nA-1)查得的t分布系數(shù)。

工程上可取α=0.01、0.02、0.05，文中取α=0.01，所用t分布系數(shù)見表1[19]。

表1 分布系數(shù)

如果KAi為無效數(shù)據(jù)，需要將其排除后重新統(tǒng)計(jì)KA的平均值與精密度，再進(jìn)行有效性判別。

1.1.2 兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性

當(dāng)同一型號(hào)銅材在生產(chǎn)或者試驗(yàn)條件發(fā)生改變時(shí)，應(yīng)當(dāng)通過銅材力學(xué)性能指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差與均值比較，分析條件發(fā)生改變時(shí)對(duì)其同質(zhì)性的影響；如果條件發(fā)生改變，對(duì)銅材力學(xué)性能指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差與均值的影響都在控制范圍內(nèi)，可認(rèn)為條件發(fā)生改變時(shí)兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)無顯著差異是同質(zhì)性的，否則存在顯著差異是不同質(zhì)性的。雖然銅材力學(xué)性能指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差與均值是未知的，但可由有限的有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度，預(yù)測(cè)銅材力學(xué)性能指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差與均值，通過對(duì)比兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精密度與平均值，分別分析其是否存在顯著差異，然后進(jìn)行同質(zhì)性判斷。

1)標(biāo)準(zhǔn)差的比較。假設(shè)在條件分別為A與B時(shí)，銅材力學(xué)性能指標(biāo)K的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σKA與σKB，σKA與σKB是否具有同質(zhì)性可采用F分布比較。

在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)，比較標(biāo)準(zhǔn)差σKA與σKB是否存在顯著差異的判據(jù)為[16-17]

(5)

如果F滿足

F1-2α,nA-1,nB-1≤F≤Fα,nB-1,nA-1

(6)

表明的標(biāo)準(zhǔn)差σRA與σRB無顯著差異，是同質(zhì)的。

其中

式中，F(xiàn)1-2α,nA-1,nB-1與Fα,nB-1,nA-1分別為F分布系數(shù)，分別由雙側(cè)置信度(1-2α)、(nA-1)及(nB-1)與α、(nB-1)及(nA-1)查得。

文中取α=0.01，所用F分布系數(shù)見表1[20]。

如果F不滿足式(6)，表明標(biāo)準(zhǔn)差σKA與σRB存在顯著差異，不具有同質(zhì)性。

2)均值的比較。假設(shè)在條件分別為A與B時(shí)，銅材力學(xué)性能指標(biāo)K的標(biāo)準(zhǔn)差σRA與σRB無顯著差異，當(dāng)銅材力學(xué)性能指標(biāo)K的均值分別為μKA與μKB時(shí)，μKA與μKB是否具存在顯著差異可采用t分布判別。

在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)，比較均值μKA與μKB是否存在顯著差異的判據(jù)tKAB為[16-17]

(7)

其中

(8)

如果tKAB滿足

|tKAB|≤tα,nA+nB-2

(9)

表明在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)μKA與μKB無顯著差異。

如果tKAB滿足

tKAB>tα,nA+nB-2

(10)

表明在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)μKA與μKB存在顯著差異，并且μKA>μKB。

如果tKAB滿足

tKAB<-tα,nA+nB-2

(11)

表明在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)μKA與μKB存在顯著差異，并且μKA<μKB。

文中取α=0.01，所用t分布系數(shù)見表1[19]。

3)兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性的判斷。兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性，是指其標(biāo)準(zhǔn)差與均值分別無顯著差異，這是合并兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)。

1.2 概率分布

銅材力學(xué)性能指標(biāo)K的概率分布包括分布規(guī)律與分布參數(shù)。

1.2.1 分布規(guī)律

如果在條件A與B時(shí)，銅材力學(xué)性能指標(biāo)K分別有nA與nB個(gè)有效性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并且A與B兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有同質(zhì)性，則可將，A與B兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)合并，對(duì)銅材力學(xué)性能指標(biāo)K的分布規(guī)律進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，具體方法是[8，16-17]：

2)假設(shè)銅材力學(xué)性能指標(biāo)K為隨機(jī)變量，且基本符合正態(tài)分布；

3)把n個(gè)具有有效性與同質(zhì)性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)K1、K2、…、Kn分為M個(gè)區(qū)間，M=1+3.3lgn，取整數(shù)；

4)理論頻數(shù)。對(duì)于基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量K，其試驗(yàn)數(shù)據(jù)Ki落在分組區(qū)間[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]內(nèi)的理論概率為

式中:Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)積分；a1=(Ki)min，aM+1=(Ki)max，(Ki)min、(Ki)max分別為Ki中的最小值與最大值。

其中

n個(gè)具有有效性與同質(zhì)性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Ki位于分組區(qū)間[aj，aj+1]內(nèi)的理論頻數(shù)為n×pj；

5)計(jì)算每個(gè)分組區(qū)間[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]內(nèi)實(shí)際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和：

工程上一般取顯著度δ=0.05[13]，文中所用的χ2分布系數(shù)見表1[21]。

1.2.2 分布參數(shù)

如果銅材力學(xué)性能指標(biāo)K是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，均值與標(biāo)準(zhǔn)差為其分布參數(shù)，可采用具有有效性與同質(zhì)性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行取值區(qū)間估計(jì)。

1)均值的取值區(qū)間。在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)，力學(xué)性能指標(biāo)K的均值μK取值區(qū)間為[16-17]：

μK∈[μKmin，μKmax]

(12)

其中

(13)

(14)

式中，μKmin與μKmax分別為力學(xué)性能指標(biāo)K的均值μK在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)的下限與上限，MPa。

文中取α=0.01，所用t分布系數(shù)見表1[19]。

1)標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間。在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)，力學(xué)性能指標(biāo)K標(biāo)準(zhǔn)差σK的取值區(qū)間為[16-17]：

σK∈[σKmin，σKmax]

(15)

其中

(16)

(17)

式中，σKmin與σKmax分別為力學(xué)性能指標(biāo)K標(biāo)準(zhǔn)差在雙側(cè)置信度為(1-2α)時(shí)的下限與上限，MPa。

取α=0.01，文中所用χ2分布分布系數(shù)見表1[21]。

2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效性與同質(zhì)性分析

2.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)

維氏硬度、抗拉強(qiáng)度與延伸率是TP2銅材力學(xué)性能指標(biāo)的重要組成部分，文獻(xiàn)[16]分別提供了兩個(gè)企業(yè)關(guān)于上述指標(biāo)的90個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，文中采用R、H與δ分別表示抗拉強(qiáng)度、維氏硬度與延伸率，用A與B分別表示兩個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)與試驗(yàn)條件，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2，利用式(1)與式(2)得到的平均值與精密度也列入表2。

表2 不同企業(yè)相同力學(xué)指標(biāo)試驗(yàn)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)(nA=nB=15)

2.2 同組單個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性

根據(jù)表2中的平均值與精密度，利用式(3)與式(4)，可得到相同企業(yè)不同指標(biāo)單個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效性的判據(jù)，在α=0.01即雙側(cè)置信度為98%時(shí)，有效性的判據(jù)與結(jié)論見表3。由表3可知，同組的單個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)都是有效的。

表3 相同力學(xué)指標(biāo)同組單個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性判別(雙側(cè)置信度為98%)

表4 相同力學(xué)指標(biāo)不同組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性判別(雙側(cè)置信度為98%)

2.3 相同力學(xué)指標(biāo)不同組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性

在α=0.01即雙側(cè)置信度為98%時(shí)，利用式(5)～式(11)，可判別相同力學(xué)指標(biāo)不同組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性，同質(zhì)性的判據(jù)與結(jié)論見表4。由表4可知，同組維氏硬度試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有同效性，但是不同組維氏硬度試驗(yàn)數(shù)據(jù)不具有同質(zhì)性；抗拉強(qiáng)度與延伸率試驗(yàn)數(shù)據(jù)同時(shí)具有有效性與同質(zhì)性。

2.4 具有有效性與同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)合并與統(tǒng)計(jì)

由于抗拉強(qiáng)度與延伸率試驗(yàn)數(shù)據(jù)同時(shí)具有有效性與同質(zhì)性，因此，可將其分別合并統(tǒng)計(jì)，合并后每組試驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)量為n=nA+nB=30，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表5。

表5 具有有效性與同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的合并統(tǒng)計(jì)

3 三個(gè)力學(xué)性能指標(biāo)的概率分布

3.1 抗拉強(qiáng)度的分布規(guī)律與分布參數(shù)

3.1.1 抗拉強(qiáng)度的分布規(guī)律

根據(jù)表2～表4的分析，可知由企業(yè)A與B分別得到的抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有有效性與同質(zhì)性，可將兩組數(shù)據(jù)合并分析抗拉強(qiáng)度分布規(guī)律。根據(jù)1.2.1的方法，依據(jù)A組與B組抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別對(duì)兩個(gè)企業(yè)得到的抗拉強(qiáng)度的分布規(guī)律進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

表6 抗拉強(qiáng)度的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

3.1.2 抗拉強(qiáng)度的分布參數(shù)

雙側(cè)置信度為98%時(shí)，將表5中抗拉強(qiáng)度有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)值代入式(12)～式(17)，可得到抗拉強(qiáng)度均值μR和標(biāo)準(zhǔn)差σR的取值區(qū)間：

μR∈[236.1，240.1]，σR∈[3.411，6.361]

3.2 維氏硬度的分布規(guī)律與分布參數(shù)

3.2.1 維氏硬度的分布規(guī)律

根據(jù)表2維氏硬度試驗(yàn)數(shù)據(jù)，以及表3與表4的分析，可知由企業(yè)A與B分別得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有有效性，雖然A組與B組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異，但是，兩組數(shù)據(jù)的均值有顯著差異，因此，不能將兩組數(shù)據(jù)合并分析維氏硬度分布規(guī)律。

在維氏硬度的每個(gè)分組區(qū)間，實(shí)際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和見表7。

表7 維氏硬度的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

3.2.2 維氏硬度的分布參數(shù)

雙側(cè)置信度為98%時(shí)，將表2的維氏硬度有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)值代入式(12)～式(17)，可得到企業(yè)A與B維氏硬度均值μHA、μHB和標(biāo)準(zhǔn)差σHA、σHB的取值區(qū)間：

μHA∈[51.18，54.82]，σHA∈[1.795，4.489]

μHB∈[47.56，51.84]，σHB∈[2.114，5.287]

3.3 延伸率概率分布的討論

根據(jù)表2～表4的分析，可知由企業(yè)A與B分別得到的延伸率試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有有效性與同質(zhì)性，可將兩組數(shù)據(jù)合并分析延伸率分布規(guī)律。根據(jù)1.2.1的方法，依據(jù)A組與B組延伸率試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別對(duì)兩個(gè)企業(yè)得到的延伸率的分布規(guī)律進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

在延伸率試驗(yàn)數(shù)據(jù)的每個(gè)分組區(qū)間，實(shí)際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和見表8。

表8 延伸率的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

以上探索與討論表明，銅材延伸率的概率分布與生產(chǎn)企業(yè)存在比較大的關(guān)系，必須具體問題具體分析。

4 結(jié)語

基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)，建立了試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效性與同質(zhì)性的分析模型，根據(jù)兩個(gè)企業(yè)關(guān)于TP2銅材三個(gè)力學(xué)性能指標(biāo)的90個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)其抗拉強(qiáng)度、維氏硬度與延伸率指標(biāo)的概率分布進(jìn)行了探索，得到如下結(jié)論。

1)雙側(cè)置信度為98%時(shí)，兩個(gè)企業(yè)關(guān)于TP2銅材抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有有效性與同質(zhì)性；顯著度為0.05時(shí)，抗拉強(qiáng)度是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量；抗拉強(qiáng)度在雙側(cè)置信度為98%時(shí)的均值不小于236.1MPa且不大于240.1MPa，標(biāo)準(zhǔn)差不小于3.411MPa且不大于6.361MPa。

2)雙側(cè)置信度為98%時(shí)，兩個(gè)企業(yè)關(guān)于TP2銅材維氏硬度指標(biāo)分別具有有效性，但不具有同質(zhì)性；顯著度為0.05時(shí)，維氏硬度分別是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量；在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，一個(gè)企業(yè)得到的維氏硬度的均值不小于51.18且不大于54.82，標(biāo)準(zhǔn)差不小于1.795且不大于4.489；另一個(gè)企業(yè)得到的維氏硬度的均值不小于47.56且不大于51.84，標(biāo)準(zhǔn)差不小于2.114且不大于5.287。

3)雙側(cè)置信度為98%時(shí)，盡管兩個(gè)企業(yè)關(guān)于TP2銅材延伸率指標(biāo)具有有效性與同質(zhì)性，但是在顯著度為0.05時(shí)的分析表明，延伸率的概率分布與生產(chǎn)企業(yè)存在比較大的關(guān)系，必須具體問題具體分析。