嚴(yán)蘭蘭， 宋希辰， 魏子華， 謝 磊

一種2連續(xù)組合曲線的表示

嚴(yán)蘭蘭， 宋希辰， 魏子華， 謝 磊

(東華理工大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013)

針對(duì)Bézier曲線以及現(xiàn)有眾多含形狀參數(shù)的擴(kuò)展Bézier曲線的2拼接條件均對(duì)控制頂點(diǎn)有嚴(yán)格要求的問題，擬提出一種2連續(xù)組合曲線，其能綜合Bézier與B樣條方法的優(yōu)點(diǎn)，其基函數(shù)具有顯式表達(dá)式，既具有B樣條方法的自動(dòng)光滑性，又能輕松擁有Bézier曲線的端點(diǎn)幾何特征。為此，構(gòu)造了一組含6個(gè)參數(shù)的基函數(shù)，按照3次Bézier曲線的定義方式由之構(gòu)造了基于4個(gè)控制頂點(diǎn)的曲線段，根據(jù)曲線段的拼接條件，按照3次B樣條曲線的定義方式構(gòu)造了基于4點(diǎn)分段的組合曲線。基函數(shù)具有全正性，其同時(shí)包含3次Bernstein基函數(shù)和所有由內(nèi)部節(jié)點(diǎn)重復(fù)度均為1的節(jié)點(diǎn)向量所確定的3次B樣條基函數(shù)作為特例。曲線段具有保凸性、端點(diǎn)位置以及形狀可調(diào)性，其同時(shí)包含3次Bézier曲線和3次B樣條曲線段作為特例。組合曲線的定義方式自動(dòng)保證了其整體2連續(xù)，將部分參數(shù)取特定值，即可使其端點(diǎn)插值、端邊相切，此時(shí)其中依然存在用于調(diào)整內(nèi)部形狀的獨(dú)立參數(shù)。按一定規(guī)則選取組合曲線中的參數(shù)，即可重構(gòu)2連續(xù)的3次B樣條曲線。

曲線設(shè)計(jì)；B樣條方法；Bézier方法；幾何連續(xù)；形狀參數(shù)

Bézier方法與B樣條方法是幾何設(shè)計(jì)中描述自由型曲線曲面的基本方法，二者各具優(yōu)點(diǎn)，但也存在一個(gè)共同的不足，即在一定條件下不具備形狀可調(diào)性。具體地，Bézier方法采用Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)，控制頂點(diǎn)的數(shù)量決定其所需基函數(shù)的次數(shù)，而次數(shù)一旦指定，基函數(shù)便完全確定。B樣條方法采用B樣條作為基函數(shù)，指定其次數(shù)，再給定節(jié)點(diǎn)向量(其所含節(jié)點(diǎn)數(shù)量與基函數(shù)次數(shù)有關(guān))，B樣條基函數(shù)便隨之確定。因此，對(duì)于Bézier方法而言，一旦控制頂點(diǎn)給定，Bézier曲線曲面的形狀便被唯一確定；對(duì)于B樣條方法而言，若控制頂點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量均給定，則B樣條曲線曲面的形狀也被唯一確定。正因?yàn)槿绱?，文獻(xiàn)[1-14]均以增加形狀調(diào)整自由度為主要目標(biāo)展開了對(duì)Bézier或B樣條方法的擴(kuò)展研究，大量含形狀參數(shù)的擴(kuò)展Bézier或擴(kuò)展B樣條曲線曲面應(yīng)運(yùn)而生。上述文獻(xiàn)的共同之處在于構(gòu)造了含自由參數(shù)的基函數(shù)，且具有類似于Bernstein基函數(shù)[1-7]或B樣條基函數(shù)[8-14]的諸多性質(zhì)，由其定義的曲線曲面分別具有類似于Bézier或B樣條曲線曲面的眾多性質(zhì)，同時(shí)還擁有Bézier與B樣條方法不具備的形狀可調(diào)性，即可以通過改變基函數(shù)中的自由參數(shù)來調(diào)整曲線曲面的形狀。雖然文獻(xiàn)[15-18]的主要研究目標(biāo)有別于上述文獻(xiàn)，但其中給出的曲線曲面模型同樣具有獨(dú)立于控制頂點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量的形狀調(diào)整自由度。

注意到在曲線設(shè)計(jì)中，對(duì)于開曲線而言，通常希望其具有Bézier曲線的端點(diǎn)幾何特征。即：曲線首末端點(diǎn)為控制多邊形的首末頂點(diǎn)，曲線在端點(diǎn)處與控制多邊形相切。若直接采用Bézier方法進(jìn)行曲線設(shè)計(jì)，該特征自動(dòng)滿足，但單一的Bézier曲線段難以描述復(fù)雜形狀，組合Bézier曲線具有描述復(fù)雜形狀的潛能，但為了保證組合曲線在連接處的光滑性，相鄰曲線段的控制頂點(diǎn)之間需滿足嚴(yán)格的約束關(guān)系。相比而言，B樣條曲線在連接處的光滑性由B樣條基函數(shù)在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)性自動(dòng)保證。鑒于此，采用B樣條方法描述復(fù)雜形狀更加方便。為了使B樣條曲線具有Bézier曲線的端點(diǎn)幾何特征，需將兩端的節(jié)點(diǎn)重復(fù)度取為+1 (為曲線次數(shù))，而內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，只要在數(shù)學(xué)上成立即可。但無論內(nèi)部節(jié)點(diǎn)是否均勻，此時(shí)的B樣條基函數(shù)都屬于非均勻型，因此在定義域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)區(qū)間上，即使采用局部參數(shù)表示，其基函數(shù)也不會(huì)具有像均勻B樣條基函數(shù)那樣統(tǒng)一的顯式表達(dá)式。因此，要獲取基函數(shù)表達(dá)式，只能由具體的節(jié)點(diǎn)向量通過遞推公式進(jìn)行遞推計(jì)算。概括而言，Bézier曲線具有良好的端點(diǎn)幾何特征，Bernstein基函數(shù)具有統(tǒng)一的顯式表達(dá)式，2個(gè)優(yōu)點(diǎn)都是B樣條曲線不具備的，但B樣條曲線勝在自動(dòng)光滑。

雖然現(xiàn)有文獻(xiàn)給出了各種擴(kuò)展的Bézier曲線或擴(kuò)展的B樣條曲線，但目前沒有哪種擴(kuò)展方法能集Bézier與B樣條方法的優(yōu)點(diǎn)于一身。大部分?jǐn)U展Bézier曲線的拼接條件與Bézier曲線類似，因此在描述復(fù)雜形狀時(shí)并不方便，雖然文獻(xiàn)[19]給出了易拼接的擴(kuò)展Bézier曲線，但其在端點(diǎn)處的曲率為零。雖然文獻(xiàn)[10-14,17-18]給出的擴(kuò)展B樣條基函數(shù)具有顯式表達(dá)式，但其無法自動(dòng)具備Bézier曲線的端點(diǎn)幾何特征。

基于上述分析，同時(shí)考慮到2連續(xù)可以滿足工程中大部分設(shè)計(jì)需求，因此本研究希望給出一種新的曲線表示方法，使其既具有顯式表達(dá)的基函數(shù)，又能自動(dòng)實(shí)現(xiàn)2連續(xù)，同時(shí)還可以輕松擁有Bézier曲線的端點(diǎn)幾何特征。

1 基函數(shù)及其性質(zhì)

1.1 基函數(shù)的表示

3次Bernstein基函數(shù)給出一組新的基函數(shù)。

其中，

1.2 基函數(shù)的性質(zhì)

其余全為0，其中，,kl為的與行，與列形成的子式；的16個(gè)3階子式為

2 曲線及其性質(zhì)

圖1 端點(diǎn)在端邊上的3次aP曲線((a)對(duì)稱；(b)非對(duì)稱)

圖2 端點(diǎn)不在端邊上的3次aP曲線((a)對(duì)稱；(b)非對(duì)稱)

3 曲線拼接條件

由式(4)和式(5)可得

若

其中，

說明曲線()在節(jié)點(diǎn)2處2連續(xù)。

4 組合曲線的定義

根據(jù)拼接條件(7)，接下來定義一種在分段連接點(diǎn)處能自動(dòng)滿足2連續(xù)性的組合曲線。

注7：在實(shí)際的組合曲線設(shè)計(jì)中，如果并不要求所有的連接處都2連續(xù)，例如某些指定的曲線段之間只需滿足1或0連續(xù)，則只需讓指定曲線段的參數(shù)之間僅滿足式(9)中前2行或第1行的關(guān)系即可。

5 組合曲線參數(shù)的選取

這些條件可以轉(zhuǎn)化為更易于使用的等價(jià)形式

(1) 根據(jù)約束條件(11)選取第1段的參數(shù)。

(2) 由第1段的參數(shù)，根據(jù)式(9)通過計(jì)算確定第2段的前4個(gè)參數(shù)，根據(jù)約束條件式(11)選取第2段的后2個(gè)參數(shù)。

6 B樣條曲線的重構(gòu)

將3次B樣條曲線的方程從整體表示改寫成分段表示后，每一段上的基函數(shù)即由式(12)給出。

與上述情形對(duì)應(yīng)的曲線即為由相應(yīng)控制頂點(diǎn)定義的3次準(zhǔn)均勻B樣條曲線。

7 組合曲線圖例

圖3 C2連續(xù)組合3次aP曲線((a)均勻；(b)準(zhǔn)均勻； (c)非均勻)

按照第5節(jié)所述流程，獲取如下3組參數(shù)

圖5(a)中第3段與第4段之間0連續(xù)，其余段之間2連續(xù)。圖5(b)中第2段與第3段之間0連續(xù)，其余段之間2連續(xù)。

圖5 數(shù)字設(shè)計(jì)((a)數(shù)字2；(b)數(shù)字3)

8 總 結(jié)

下一步的研究計(jì)劃是構(gòu)造基于(≥5)點(diǎn)分段的G(2≤≤-2)連續(xù)組合曲線，并對(duì)相應(yīng)的組合曲面展開分析。

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Representation of a kind of2continuous composite curve

YAN Lan-lan, SONG Xi-chen, WEI Zi-hua, XIE Lei

(College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China)

To meet the strict requirements for the control points made by the2continuity conditions of the Bézier curve and many existing extended Bézier curves with shape parameter, a2continuous composite curve representation method was proposed. The method could synthesize the advantages of the Bézier method and B-spline method, and its basis function had explicit expression. It was of the automatic smoothness as that of the B-spline method, easily possessing the end-point geometric characteristic of the Bézier curve. To this end, a set of basis function with six parameters was constructed. On this basis, a curve segment based on four control points was constructed according to the definition mode of the cubic Bézier curve. According to the -continuity conditions between the curve segments, a kind of composite curve on four-point piecewise scheme was constructed according to the definition mode of the cubic B-spline curve. The basis function was of total positivity, and contained the cubic Bernstein basis functions and the cubic B-spline basis functions that were determined by the node vector with the repetition degree of all internal nodes being one. The curve segment had the feature of convexity-preserving, endpoint position, and adjustable shape, and contained the cubic Bézier curve and the cubic B-spline curve segment as special cases. The definition of the composite curve could automatically ensure its2continuity at each junction. The composite curve could have end-point interpolation and end-edge tangency by setting some of its parameters as specific values. At this point, the composite curve still contained independent parameters used to adjust its internal shape.As long as the parameters of the composite curve were selected according to certain rules, the2continuous cubic B-spline curve could be reconstructed.

curve design; B-spline method; Bézier method; geometric continuity; shape parameter

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061057

A

2095-302X(2022)06-1057-13

2022-07-25；

：2022-10-13

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11261003，11761008)；江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20161BAB211028)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ160558)

嚴(yán)蘭蘭(1982-)，女，教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：yxh821011@aliyun.com

25 July，2022；

13 October，2022

National Natural Science Foundation of China (11261003, 11761008); Jiangxi Natural Science Fund (20161BAB211028); Jiangxi Provincial Department of Education Science and Technology Project (GJJ160558)

YAN Lan-lan (1982-), professor, Ph.D. Her main research interest covers computer aided geometric design. E-mail：yxh821011@aliyun.com