胡文愷，馬鴻宇，劉亞醉，魏小東，趙 罡，申立勇，李 新

T樣條用于計算機(jī)輔助設(shè)計、分析和制造的新型表示方法

胡文愷1，馬鴻宇2，劉亞醉3，魏小東4，趙 罡5，申立勇2，李 新1

(1. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230000； 2. 中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100049； 3. 北京航空航天大學(xué)航空發(fā)動機(jī)研究院，北京102206； 4. 上海交通大學(xué)密西根學(xué)院，上海 200240； 5. 北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京 100083)

幾何造型主要研究在計算機(jī)環(huán)境下幾何模型的表示與設(shè)計，其是計算機(jī)輔助設(shè)計、工程和制造領(lǐng)域中重要的基礎(chǔ)研究方向。當(dāng)前工業(yè)制造中幾何模型表示的標(biāo)準(zhǔn)是非均勻有理B樣條(NURBS)。然而，由于張量積拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，NURBS在表示復(fù)雜幾何模型時具有難以克服的局限性。T樣條是一種新型兼容NURBS的自由曲面造型表示技術(shù)。由于克服了NURBS的多個重要的局限，T樣條自提出后引起了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的極大關(guān)注。為了使國內(nèi)外同行對T樣條的發(fā)展歷程和研究現(xiàn)狀有一個較為全面的了解，對其進(jìn)行系統(tǒng)綜述。在廣泛文獻(xiàn)調(diào)研的基礎(chǔ)上，對T樣條的定義、基礎(chǔ)算法，以及在計算機(jī)輔助設(shè)計、工程和制造中的應(yīng)用進(jìn)行歸納總結(jié)和詳細(xì)分析，重點分析了這些算法的基本思想和原理，比較了其優(yōu)點和不足。由于工業(yè)界對幾何表示的精度和效率的要求越來越高，導(dǎo)致T樣條的研究仍然不完善，還存在大量亟待解決的問題和可能的發(fā)展方向。

T樣條；非均勻有理B樣條；計算機(jī)輔助設(shè)計；計算機(jī)輔助分析；計算機(jī)輔助制造

2003年Sederberg等[1-2]提出了T樣條，并將其引入計算機(jī)輔助設(shè)計(computer-aided design，CAD)領(lǐng)域。作為非均勻有理B樣條(non-uniform rational B-splines，NURBS)的高位替代，T樣條在十幾年中得到了充分的發(fā)展，在計算機(jī)輔助設(shè)計、分析和制造等不同領(lǐng)域中發(fā)揮著日益重要的作用。

在CAD領(lǐng)域，T樣條解決了多個NURBS表示的弊端和限制。首先，由于張量積結(jié)構(gòu)，NURBS曲面表示的幾何模型存在大量的冗余控制點，而T樣條由于支持局部細(xì)分可以大量減少控制點的數(shù)目；同時，T樣條可以用單一，水密的幾何模型表示復(fù)雜的工藝設(shè)計，任何裁剪NURBS模型可以用一個無裁剪，水密的T樣條模型表示[3]；而且多個NURBS曲面片可以縫合為一個水密的T樣條曲面片[1,4]；另外，T樣條完全兼容NURBS表示，可以嵌入到現(xiàn)有的任何NURBS技術(shù)平臺，并大幅降低算法落地的成本。

在計算機(jī)輔助分析領(lǐng)域，尤其是等幾何分析(isogeometric analysis，IGA)中，T樣條的表現(xiàn)遠(yuǎn)優(yōu)于NURBS。工程物理仿真問題的求解往往受曲面光滑性，水密性和局部細(xì)分性影響，T樣條則完美的解決了上述所有問題。故而，T樣條被認(rèn)為是一種既適用于設(shè)計也適用于分析的技術(shù)。

在計算機(jī)輔助制造領(lǐng)域，尤其是針對復(fù)雜自由曲面的加工中，需要使用縫合或裁剪NURBS曲面，這一類曲面在拼接和裁剪處往往存在縫隙，T樣條技術(shù)很好的彌補(bǔ)NURBS曲面在刀軌規(guī)劃方面的缺陷。另外，Standard for The Exchange of Product model (STEP)標(biāo)準(zhǔn)為模型的交換提供了切實可行的參考框架。T樣條與STEP的結(jié)合是當(dāng)前實現(xiàn)設(shè)計制造一體化落地的重要技術(shù)手段，兩者的深度融合是提升我國制造業(yè)，尤其是高端制造業(yè)水平的迫切需求。

設(shè)計制造一體化是當(dāng)前制造業(yè)向數(shù)字化、智能化轉(zhuǎn)型的重要方向之一，模型的表達(dá)和交換是實現(xiàn)設(shè)計制造一體化的兩塊基石。T樣條可以通過靈活的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)描述以及任意復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的模型表示能力，在工業(yè)制造領(lǐng)域具有深刻的理論意義和應(yīng)用價值。本文將在后續(xù)章節(jié)中分別從設(shè)計、分析和制造角度出發(fā)，概述T樣條在工業(yè)生產(chǎn)中的理論與應(yīng)用。

1 T樣條的基本概念

1.1 T樣條定義

任意次數(shù)的T樣條是基于T網(wǎng)格進(jìn)行定義[1-2, 5-6]。參數(shù)域中的T網(wǎng)格稱為索引T網(wǎng)格，為了方便研究，通常對索引T網(wǎng)格進(jìn)行分析討論。

圖1 雙次數(shù)為(2,2)的T網(wǎng)格示例

從給定錨點出發(fā)，沿著網(wǎng)格和方向發(fā)射2條射線，穿過T網(wǎng)格，并記錄1+2和2+2個節(jié)點索引，如圖1中的實心錨點所示。這些節(jié)點索引構(gòu)成錨點對應(yīng)的混合函數(shù)的局部索引向量

從式(1)可見，每個控制點有唯一對應(yīng)的混合函數(shù)，和錨點一一對應(yīng)。T(,)是雙次數(shù)為(1,2)的張量積B樣條函數(shù)，即

圖2 T樣條曲面示例與對應(yīng)的T網(wǎng)格[1]

Fig. 2 An example of a T-spline surface with the corresponding T-mesh[1]

1.2 任意拓?fù)銽樣條

T樣條可以推廣到任意拓?fù)洌纯刂凭W(wǎng)格中允許奇異點存在。如圖3中的紅色頂點所示。奇異點是網(wǎng)格內(nèi)部度數(shù)不等于4，同時也不是T點的頂點。在任意拓?fù)銽網(wǎng)格中，混合函數(shù)的定義規(guī)則對奇異點附近的錨點不適用。

圖3 任意拓?fù)銽網(wǎng)格，紅色頂點為奇異點[7]

任意拓?fù)銽樣條通常有2種方式定義：基于細(xì)分曲面的方法[1,8-9]和基于有限曲面片的方法[10]。2種方法大多數(shù)都只能處理雙三次T樣條，生成的曲面僅在包含奇異點的面中有所不同。

基于細(xì)分的定義方法是對樣條節(jié)點插入方法的推廣，也是最成熟的將樣條推廣到任意拓?fù)涞姆椒?。如catmull-clark (CC)細(xì)分就是三次均勻B樣條推廣到任意拓?fù)?。但即使不包含奇異點，CC細(xì)分曲面也不能表示非均勻B樣條，因為CC細(xì)分不支持非均勻節(jié)點。為此，文獻(xiàn)[8]于1998年提出非均勻細(xì)分曲面(non-uniform rational subdivision surface，NURSS)。2003年將其推廣至T樣條中[1]，稱為on-unifornm rational catmull-clark surface with T-junctions (T-NURCCs)。文獻(xiàn)[9]于2019年提出hybrid non-uniform subdivision surface (HNUSS)，曲面保證1連續(xù)性，同時基于HNUSS的IGA可以保證最佳收斂速度。然而，細(xì)分曲面在包含奇異點的曲面對應(yīng)的參數(shù)表示是無窮片多項式曲面，因此不能向后兼容NURBS，即細(xì)分曲面不能嚴(yán)格表示為NURBS。

基于有限曲面片的定義方法使用有限多項式表示奇異點附近曲面，并將控制網(wǎng)格中的每個面映射到有限個多項式曲面片。基于有限曲面片的方法更適合實際應(yīng)用，并可以向前和向后兼容NURBS表示。文獻(xiàn)[10]使用Bézier曲面方法提取初始0連續(xù)的基函數(shù)，將控制網(wǎng)格中的每個面轉(zhuǎn)換為雙三次的Bézier曲面片，再通過約束優(yōu)化方法得到1連續(xù)曲面。文獻(xiàn)[7]通過進(jìn)一步優(yōu)化1條件，對于非均勻節(jié)點可以得到改進(jìn)的曲面質(zhì)量。

1.3 局部細(xì)分算法

局部細(xì)分算法是T樣條的核心算法，基于局部細(xì)分算法可以衍生出T樣條的眾多應(yīng)用。

文獻(xiàn)[2]采用遞歸算法對T樣條進(jìn)行局部細(xì)分，算法在遞歸過程中細(xì)分所有可能影響的混合函數(shù)。其核心在于：T網(wǎng)格中的錨點與混合函數(shù)是緊密耦合的，每一個錨點對應(yīng)一個混合函數(shù)，且混合函數(shù)的節(jié)點向量是由T網(wǎng)格所決定的。對于給定的T樣條和新增控制點，算法輸出一個包含所有新增控制點的T樣條，并通過以下步驟保持幾何形狀不變：

算法1.T樣條局部細(xì)分算法。

輸入：給定T樣條、待插入控制點。

輸出：包含所有新增控制點的新T樣條。

步驟1.修改T網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，插入所有新增控制點；

步驟2.將所有混合函數(shù)加入列表L中，如果L非空，則從L中選擇一個混合函數(shù)并重復(fù)步驟3～5；

步驟3.如果混合函數(shù)與當(dāng)前T網(wǎng)格相耦合，繼續(xù)；

步驟4.如果混合函數(shù)有缺失節(jié)點，則將混合函數(shù)細(xì)分為2個新的混合函數(shù)，并將其加入到列表L中；

步驟5.如果混合函數(shù)有未指定的節(jié)點，則在T網(wǎng)格中插入對應(yīng)位置的控制點；

步驟6.計算所有控制點的新位置。

2012年Scott等[11]提出一種高度局部化的細(xì)分優(yōu)化算法，可以使細(xì)分后的T樣條成為適合分析的T樣條(AST樣條)。新算法大幅提高了計算效率和網(wǎng)格質(zhì)量，并沿用至今。圖4展示了AST樣條細(xì)分算法的優(yōu)越性。2018年Li和ZHANG[12]基于AST樣條提出AS++樣條，并進(jìn)一步優(yōu)化了T樣條的局部細(xì)分算法[13]，減少了細(xì)分過程中不必要的擴(kuò)散控制點數(shù)目。

1.4 T樣條的變種

隨著T樣條相關(guān)理論研究的不斷深入，在面向不同實際應(yīng)用問題中，涌現(xiàn)出眾多T樣條的變種，以下簡單介紹其中幾類。

AST樣條[14-15]是影響最大也是應(yīng)用最廣泛的一種T樣條變種，其是一類定義在特殊網(wǎng)格上的T樣條，被證明可以同時滿足設(shè)計和分析的需求。AST樣條保留了NURBS表示的所有好的數(shù)學(xué)性質(zhì)[16-18]，如線性獨立性、單位剖分性、非負(fù)性、凸包性等等，同時可以提供高效且高度局部的細(xì)分算法。AS++樣條改進(jìn)了AST網(wǎng)格的限制條件，減少了控制點擴(kuò)散，2021年Li等[19]提出了任意次數(shù)的AS++樣條。

圖4 AST樣條[11]和NURBS局部細(xì)分算法結(jié)果((a)待細(xì)分區(qū)域；(b) NURBS細(xì)分結(jié)果；(c) AST樣條細(xì)分結(jié)果)

2017年Wei等[20]提出了一種適用于幾何設(shè)計和分析的新型T樣條：截斷T樣條。截斷T樣條有著線性獨立的基函數(shù)和高度局部的細(xì)分算法，細(xì)分可以產(chǎn)生嵌套的樣條空間，故而適用于等幾何分析。此外，還有修改的T樣條[21]、權(quán)重T樣條[22]等。2019年Li和SEDERBERG[23]提出了S樣條，松弛了T網(wǎng)格和混合函數(shù)的聯(lián)系，使得局部細(xì)分過程中不再產(chǎn)生任何冗余控制點。由于和T樣條定義方式類似，已有的T樣條的算法很容易推廣到S樣條上。

2 T樣條在計算機(jī)輔助設(shè)計中的應(yīng)用

T樣條在CAD中應(yīng)用廣泛，并在以Rhinoers和Autodesk系列產(chǎn)品為代表的商業(yè)軟件中使用。

2.1 NURBS轉(zhuǎn)化成T樣條

NURBS模型的控制點在拓?fù)渖媳仨毷菑埩糠e結(jié)構(gòu)，意味著NURBS模型中存在大量僅僅為了滿足拓?fù)湟蟮娜哂嗫刂泣c，其占用大量計算資源，嚴(yán)重影響設(shè)計效果和效率。

NURBS轉(zhuǎn)化T樣條就是將NURBS曲面轉(zhuǎn)換成相同或逼近的T樣條曲面，從而減少冗余控制點數(shù)目，通常有2種簡化方法[2,24]。

(1) 自下而上，迭代細(xì)分簡單T樣條以逼近復(fù)雜T樣條曲面。其關(guān)鍵在于生成復(fù)雜曲面的一個最小簡化模型，然后不斷進(jìn)行細(xì)分，直到達(dá)到所需精度；

(2) 自上而下，迭代簡化原有模型以得到簡化模型。其關(guān)鍵在于評估現(xiàn)有控制點，在給定誤差下移除不需要的冗余控制點。

圖5展示了青蛙模型和對應(yīng)NURBS曲面的控制點，圖6展示了2種不同方法簡化后的結(jié)果，誤差均為1.5%。原有NURBS曲面模型中存在11 625個控制點，左圖是迭代簡化的結(jié)果，共有3 975個控制點，右圖是迭代細(xì)分的結(jié)果，共有5 035個控制點。

圖5 青蛙模型與NURBS控制點[24]

圖6 T樣條重構(gòu)NURBS簡化模型[24]

2.2 多個NURBS曲面縫合為單一T樣條曲面

在幾何建模中，復(fù)雜模型的各個部分往往是獨立建模的，在邊界可能無法精確匹配。應(yīng)用T樣條可以將多個NURBS曲面縫合為單一曲面，這個過程稱為曲面縫合或曲面拼接[1,4]。

將一組B樣條曲面縫合為一個B樣條曲面要求：任意2個相鄰曲面沿公共邊界具有相同的節(jié)點向量。因此在縫合前需要比對邊界節(jié)點向量，通過節(jié)點插入匹配相鄰曲面邊界。NURBS的張量積結(jié)構(gòu)使其在節(jié)點插入過程中產(chǎn)生大量冗余控制點，而T樣條因其局部細(xì)分性質(zhì)，只需要修改公共邊界附近的曲面，從而大幅提高了算法效率。

縫合算法的主要步驟如下：首先確定需要縫合的公共邊界；應(yīng)用重新參數(shù)化使得相鄰曲面沿公共邊界有相同的參數(shù)化；在T網(wǎng)格的適當(dāng)位置插入控制點，使相鄰曲面沿公共邊界節(jié)點向量一致；最后合并邊界端點。

圖7展示了應(yīng)用T樣條縫合臉部模型的結(jié)果。左圖采用18個不同的NURBS曲面表示，用顏色深淺以區(qū)分不同曲面片；右圖是縫合后的T樣條曲面模型。

圖7 應(yīng)用T樣條縫合臉部模型[4]

2.3 裁剪NURBS轉(zhuǎn)換為非裁剪T樣條曲面

裁剪技術(shù)是NURBS用來表示復(fù)雜拓?fù)淝娴慕?jīng)典方法。裁剪NURBS表示存在嚴(yán)重缺陷，即不同裁剪NURBS在裁剪邊界上無法保證理論上的連續(xù)性，從而在幾何模型中會產(chǎn)生縫隙，會導(dǎo)致很多分析物理性質(zhì)的軟件失效。這個縫隙問題就是幾何建模中的“臟”幾何問題，嚴(yán)重影響了CAD和computer-aided engineering (CAE)的融合，困擾了CAD界長達(dá)數(shù)十年。

2008年文獻(xiàn)[3]給出了一種將裁剪NURBS轉(zhuǎn)換為無裁剪T樣條曲面的方法。其首先將裁剪NURBS曲面轉(zhuǎn)換成一個逼近的無裁剪的T樣條曲面；接著利用T樣條縫合方法將多個無裁剪的T樣條曲面拼接成單一、水密的T樣條曲面模型。圖8展示了轉(zhuǎn)換后無裁剪的T樣條模型；2017年CAI等[25]提出了一種新的裁剪轉(zhuǎn)換T樣條的方法，并通過Bézier曲面操作將其用于等幾何分析；隨后在2019年進(jìn)一步改進(jìn)裁剪轉(zhuǎn)換步驟[26]，采用遺傳算法優(yōu)化了裁剪曲線的擬合誤差，解決了原有算法中可能產(chǎn)生的曲面扭曲、交叉等問題。

圖8 將裁剪NURBS轉(zhuǎn)換成無裁剪T樣條模型[3]((a)無裁剪T樣條模型；(b)單一T樣條模型)

Fig. 8 Convert trimmed NURBS into a single T-spline[3]((a) Untrimmed T-splines; (b) A single T-splines)

2.4 T樣條的擬合

幾何模型的高階曲面表示通常更簡潔高效，并可以大幅簡化許多幾何建模和處理算法，提高算法效率。因此用T樣條擬合數(shù)據(jù)模型成為T樣條應(yīng)用中的一個基本問題。

將任意網(wǎng)格轉(zhuǎn)換為規(guī)則的T樣條形式是近年來的研究熱點。Zheng等[27]提出了一種自適應(yīng)的T樣條擬合算法，用于擬合函數(shù)數(shù)據(jù)和簡單拓?fù)涞娜蔷W(wǎng)格[28-30]。Yang等[31-32]用T樣條通過一組放樣曲線；Li等[33]提出了周期性全局參數(shù)方法(PGP)，并用T樣條擬合任意拓?fù)涞娜蔷W(wǎng)格。Myles等[34]提出構(gòu)建由少量四邊形曲面片組成的控制網(wǎng)結(jié)構(gòu)，并且分片曲面的邊界可以與尖銳的特征或曲面邊界對齊。Wang等[35-36]提出了一種有效方法構(gòu)建復(fù)雜拓?fù)浠驈?fù)雜幾何的流形T樣條。該方法的核心思想是幾何感知對象分割，將任意復(fù)雜的曲面模型分割成幾個簡單的圖，再用T樣條曲面進(jìn)行擬合。Zhao等[37]討論了一種基于T樣條的曲面片重建耦合方法，并采用迭代重建方法生成每個面片。Kovacs等[38]提出一種細(xì)分方法，將Catmull-Clark和NURBS拓展到一類特殊的T網(wǎng)格：二元T網(wǎng)格，保證每個四邊形的邊上至多有一個T點，新的細(xì)分方案可以在含奇異點的局部網(wǎng)格上生成高質(zhì)量的曲面。Campen和ZORIN[39]提出了一種新的曲面構(gòu)造和參數(shù)化方式，使得對任意給定的引導(dǎo)場結(jié)構(gòu)，存在與之兼容的參數(shù)化方式，可以構(gòu)建與引導(dǎo)場結(jié)構(gòu)一致的光滑的有理曲面片。此外，T樣條的曲面重建和形狀變形也有著深入的研究[40-45]，還有一些工作著重探究T樣條的部分重建問題[46-52]。

T樣條擬合點云數(shù)據(jù)是T樣條擬合應(yīng)用的另一類問題。WANG和Zheng[27,53]最早開始探究T樣條的擬合方法。文獻(xiàn)[28]提出了一種基于曲率引導(dǎo)的T樣條擬合方法。但這些方法大多基于最小二乘原理，在擬合過程中，每次迭代都需要重新計算所有控制點。而T樣條基函數(shù)不是張量積定義，最小二乘擬合法的計算系數(shù)矩陣的過程會帶來龐大的計算開銷。為了降低計算復(fù)雜度，近年來的工作主要集中在快速T樣條擬合方法。LIN和ZHANG[54-55]提出了一種漸進(jìn)式T樣條數(shù)據(jù)擬合算法用于擬合大型數(shù)據(jù)集，漸進(jìn)式擬合方法的迭代速度是穩(wěn)定的，并且對不斷增長的未知T網(wǎng)格頂點數(shù)量不敏感。Feng和TAGUCHI[56]提出了一種新穎的“分割-連接-擬合”算法，將點云劃分為一組B樣條曲面片，再將B樣條曲面片縫合成單一的T樣條曲面。這種方法僅適用于可以投影到平面上的模型，對于一般的點云，尤其是參數(shù)化不均勻的點云，這種方法是無效的。Lu等[57]介紹了一種快速T樣條局部擬合方法，引入分割技術(shù)識別T網(wǎng)格中的活躍區(qū)域和非活躍區(qū)域，控制點迭代僅需在活躍區(qū)域中進(jìn)行，從而提高擬合效率。

3 T樣條與等幾何分析

為了無縫融合CAD和CAE，2005年Hughes等[58]提出IGA，以解決二者因底層幾何表示的不兼容導(dǎo)致的低效瓶頸問題。IGA最初建立于作為當(dāng)前CAD工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的NURBS之上，在精確性、穩(wěn)定性等方面均展現(xiàn)出了優(yōu)越的數(shù)值特性，成為計算力學(xué)領(lǐng)域近十多年以來影響最為深遠(yuǎn)的研究熱點之一。然而，受限于NURBS張量積結(jié)構(gòu)，IGA最初并不支持自適應(yīng)細(xì)分與復(fù)雜幾何，前者能夠高效捕捉幾何與數(shù)值解的局部特征，而后者對于實際工程應(yīng)用必不可少。

另一方面，T樣條因水密性、NURBS兼容性、自適應(yīng)、復(fù)雜幾何建模便捷性等特點，在IGA創(chuàng)始之初便成為其實現(xiàn)設(shè)計與仿真無縫融合最重要的手段之一。將T樣條應(yīng)用于IGA的工作肇始于Hughes團(tuán)隊與Sederberg團(tuán)隊的一項合作工作[7]，在對流-反應(yīng)-擴(kuò)散、結(jié)構(gòu)力學(xué)問題中均充分展現(xiàn)了T樣條自適應(yīng)特性為仿真分析帶來的高效性，如圖9所示。

圖9 T樣條首次應(yīng)用于IGA，示例為對流-擴(kuò)散問題[7]

然而，彼時T樣條在數(shù)值分析中的理論尚未得到建立，在IGA中的應(yīng)用也僅局限于“盒狀”的簡單幾何，從而在諸多方面均存在開放問題。首先，在T樣條基本理論方面，線性無關(guān)、任意階次、單位分解性(partition of unity)、可細(xì)分性(或嵌套性)、逼近理論等都有待解決。其次，由于T樣條內(nèi)蘊(yùn)細(xì)分方法的不確定性，T樣條自適應(yīng)細(xì)分存在擴(kuò)散可能，如何減弱乃至消除這一趨勢也是研究熱點之一。再者，在實際問題中，利用T樣條對復(fù)雜幾何建模的關(guān)鍵在于處理一種稱為奇異點的特征點，如何協(xié)調(diào)奇異點、T節(jié)點、邊界的相互影響更是重中之重。最后，T樣條在實體建模方面的拓展也一直是T樣條最具挑戰(zhàn)性的難點之一。

為解決以上開放問題，多種T樣條變體相繼被提出，如適用于分析的T樣條(analysis-suitable T-splines，AST)、對偶協(xié)調(diào)T樣條(dual compatible T-splines)、截斷T樣條(truncated T-splines)、AST++樣條、S樣條、非結(jié)構(gòu)AST樣條等。其中AST樣條的理論已相對完備、應(yīng)用也最為多元，而其他變體則均與其存在緊密聯(lián)系。以下從基本理論、細(xì)分?jǐn)U散、奇異點處理、實體建模4個方面綜述T樣條相關(guān)工作。

3.1 基本理論

T樣條函數(shù)的線性無關(guān)性是T樣條得以應(yīng)用于仿真分析的前提條件，可保證所得線性方程組的可求解性。在T樣條應(yīng)用于IGA后，BUFFA等[59]通過構(gòu)造具有特定重節(jié)點的T網(wǎng)格，發(fā)現(xiàn)了具有線性相關(guān)T樣條函數(shù)的反例，揭示了在T網(wǎng)格不加限制的條件下T樣條在分析中的潛在問題，并提出了保證線性無關(guān)性的幾個充分條件與對應(yīng)T網(wǎng)格細(xì)分的指導(dǎo)方法，如圖10所示。

圖10 具有線性相關(guān)函數(shù)(紅點所示)的T網(wǎng)格[59]

以此為開端，文獻(xiàn)[18]從理論上揭示了T樣條線性無關(guān)性與T樣條-NURBS轉(zhuǎn)換矩陣滿秩的等價性，為線性無關(guān)的判定提供了計算途徑。文獻(xiàn)[11]隨后提出了一種特定的T網(wǎng)格限定形式以滿足求解偏微分方程的諸多要求，并將之命名為適合分析的T樣條(nalysis-suitable T-splines，AST樣條)。AST樣條具有直觀的判定原則，僅需在T節(jié)點處檢驗幾種延長線的垂直相交情況即可，其在流固耦合[60]、電磁[61]等復(fù)雜物理仿真中也均有重要應(yīng)用。文獻(xiàn)[14]更為光滑、雙三次AST樣條建立了理論基礎(chǔ)，包括嵌套性、基本的逼近性質(zhì)等。文獻(xiàn)[12]還在AST樣條基礎(chǔ)上提出了放松T網(wǎng)格限制的AST++樣條，并嚴(yán)格證明了AST++在兼容AST的同時更具有所有AST的所有性質(zhì)(圖11)。另一方面，在AST樣條發(fā)展的同時，對偶協(xié)調(diào)T樣條[17]作為AST樣條的等價形式被提出，其核心是為T樣條函數(shù)引入研究一維B樣條性質(zhì)的對偶泛函，這為研究AST樣條線性無關(guān)、單位分解性、任意階次、逼近性質(zhì)等諸多方面提供了統(tǒng)一的框架[15]。

圖11 AST++樣條(左)與AST樣條(右)細(xì)分對比[12]

3.2 細(xì)分?jǐn)U散

早在T樣條提出之初，其細(xì)分方法便存在一個核心問題，即沒有明確的細(xì)分算法終止條件。在最壞情況下，可導(dǎo)致局部細(xì)分?jǐn)U散為全局細(xì)分，意味著在目標(biāo)區(qū)域之外加入過多冗余自由度而導(dǎo)致低效[62]。擴(kuò)散的程度由T網(wǎng)格連接關(guān)系所需滿足的拓?fù)浼s束決定，而由于AST樣條對于T網(wǎng)格的限制最為嚴(yán)格，細(xì)分?jǐn)U散問題在AST樣條中尤為突出。

此方面的研究工作通過對T樣條函數(shù)進(jìn)行特殊處理以減少乃至消除T網(wǎng)格限制條件，其中最具代表性的方法有截斷T樣條[20]、AST++樣條[12]與S樣條[23]。首先，文獻(xiàn)[20]將截斷分層B樣條(truncated hierarchical B-splines)中的截斷操作擴(kuò)展至T樣條，以消除T節(jié)點附近樣條函數(shù)的冗余分量，從而將AST樣條的三類網(wǎng)格約束減少為一類，有效減弱了AST樣條的細(xì)分?jǐn)U散現(xiàn)象，但相關(guān)理論僅在特殊T網(wǎng)格結(jié)構(gòu)下得到建立。其次，AST++則對所涉及的T樣條函數(shù)引入適當(dāng)?shù)臋?quán)重，大幅減弱了AST網(wǎng)格的限制，并且同時保留了AST樣條的所有性質(zhì)。最后，文獻(xiàn)[23]提出的S樣條相對于T樣條在思想上更接近分層樣條，從而完全消除了擴(kuò)散現(xiàn)象。但目前除線性無關(guān)外的大部分理論仍有待建立，并且S樣條對應(yīng)的控制網(wǎng)較為扭曲，其在設(shè)計中的可應(yīng)用性還有待檢驗。

3.3 奇異點處理

對復(fù)雜幾何進(jìn)行滿足水密性條件的建模必定涉及奇異點，而如何在T樣條框架下處理奇異點則是T樣條在實際工程應(yīng)用中最為重要的問題。這涉及到有效協(xié)調(diào)不同幾何特征(奇異點、T節(jié)點、以及邊界)間的T網(wǎng)格約束，相關(guān)研究工作的核心思想在于使三者互不影響，從而得以單獨處理每種特征、簡化理論建立與算法實現(xiàn)。

事實上，T樣條一開始便包含了奇異點處理，具體使用了一種非均勻細(xì)分方法[1]。然而，細(xì)分方法因其無限分段的函數(shù)結(jié)構(gòu)并不利于與已有仿真數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)結(jié)合，因此基于Bernstein多項式的有限表征形式在分析中更受歡迎。文獻(xiàn)[9]首次提出非結(jié)構(gòu)AST樣條，并輔以邊界元配點法對風(fēng)力發(fā)電機(jī)等復(fù)雜模型進(jìn)行了結(jié)構(gòu)力學(xué)分析。其中奇異點處樣條函數(shù)的構(gòu)造基于幾何連續(xù)性，最終每個樣條函數(shù)表示為一個雙四次Bernstein多項式的線性組合，系數(shù)僅取決于奇異點價數(shù)(valence)而與具體幾何無關(guān)。但此構(gòu)造在2個方面存在根本性的不足：首先，奇異點與T節(jié)點處間的網(wǎng)格約束過強(qiáng)，為滿足此限制需在奇異點附近多次均勻細(xì)分網(wǎng)格；其次，所得樣條函數(shù)的逼近性質(zhì)較差，無法達(dá)到理論所期的最優(yōu)收斂階。針對這些問題，Casquero等[63]將基于參數(shù)連續(xù)性的Bézier退化構(gòu)造引入AST樣條中處理奇異點，減弱了奇異點與T節(jié)點間的網(wǎng)格約束，同時在數(shù)值上保證了最優(yōu)收斂階。此工作更結(jié)合KL殼單元成功對汽車B柱、側(cè)板等復(fù)雜工程構(gòu)件進(jìn)行了大變形力學(xué)仿真與模態(tài)分析，相比于傳統(tǒng)有限元殼單元展現(xiàn)了突出的高效性。在后續(xù)工作中，WEI等[64]完全消除了奇異點間約束(圖12)，使得同一單元能夠出現(xiàn)多個奇異點，進(jìn)一步減弱了非結(jié)構(gòu)T網(wǎng)格的限制條件，從而得以利用分辨率較低的網(wǎng)格。然而，Bézier退化構(gòu)造在設(shè)計中無法提供A級高質(zhì)量的曲面模型，建立同時適用于設(shè)計與分析的非結(jié)構(gòu)T樣條仍是開放問題。

圖12 非結(jié)構(gòu)AST樣條應(yīng)用于汽車B柱仿真[64]

3.4 實體建模

實體建模是IGA創(chuàng)始以來最具挑戰(zhàn)性的問題之一，其根本原因在于CAD僅對實體表面建模而并不具有內(nèi)部信息，但I(xiàn)GA需要內(nèi)部信息來賦予實體物理性質(zhì)。利用T樣條實體的工作主要集中于卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的Zhang等[65](圖13)與萊布尼茨漢諾威大學(xué)的Morgenstern團(tuán)隊[66]。前者利用T樣條的自適應(yīng)特性對復(fù)雜邊界模型進(jìn)行實體參數(shù)化，而后者致力于將AST樣條的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)拓展至三維以構(gòu)造AST樣條實體，具體通過高冗余度的網(wǎng)格分級(grading)實現(xiàn)。總體而言，三維情況下T網(wǎng)格結(jié)構(gòu)異常復(fù)雜，構(gòu)造滿足約束條件的T網(wǎng)格在簡單長方體區(qū)域已然十分困難，遑論包含三維奇異點的復(fù)雜實體，因而此方向無論理論建立抑或算法實現(xiàn)均是極為困難的開放問題。

圖13 基于邊界模型的T樣條實體參數(shù)化[65]

綜上，T樣條在IGA中的理論與應(yīng)用均取得了長足的進(jìn)展，經(jīng)歷了從最初不加網(wǎng)格限制的一般情況，到加入嚴(yán)格限制的AST樣條，再到逐步放松約束的各類AST樣條變體以及非結(jié)構(gòu)AST樣條。目前AST樣條理論已基本建立完備，仍未涉及的問題是在奇異點情況下的逼近理論，但這并非T樣條的特有問題，而是非結(jié)構(gòu)樣條在IGA中的理論難點。在此理論基礎(chǔ)的助力下，充分發(fā)揮T樣條在實際應(yīng)用中的潛力需要大力發(fā)展其對復(fù)雜幾何的支持，亦即T樣條與奇異點的結(jié)合。這將主要涉及基于AST變體的非結(jié)構(gòu)T樣條、奇異點處理、奇異點與T節(jié)點耦合、開源T樣條算法庫等方面的研究。

首先，當(dāng)前非結(jié)構(gòu)T樣條主要基于AST樣條，然而AST++等新變體能夠在保留AST所有性質(zhì)的情況下減弱細(xì)分?jǐn)U散，是未來非結(jié)構(gòu)T樣條發(fā)展極為有利的基石。其次，當(dāng)前非結(jié)構(gòu)T樣條的奇異點處理主要基于曲面細(xì)分、幾何或參數(shù)連續(xù)性等方法，其中參數(shù)連續(xù)性方法是目前為止最能兼顧設(shè)計與分析的構(gòu)造方法，然而其退化本質(zhì)將會在設(shè)計中引發(fā)重重阻力，因而其他更具潛力的奇異點處理方法將會使非結(jié)構(gòu)T樣條在IGA中更具競爭力。再者，目前非結(jié)構(gòu)T樣條仍需對T網(wǎng)格施加特定約束以“孤立”奇異點與T節(jié)點，這在很大程度上抵消了T網(wǎng)格本該帶來的靈活性，因而如何消除此約束是大幅提升非結(jié)構(gòu)T樣條靈活性的關(guān)鍵。最后，開展非結(jié)構(gòu)T樣條的算法開源項目非常有助于在學(xué)術(shù)界形成合力。非結(jié)構(gòu)T樣條數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，實現(xiàn)困難，需要深厚的理論儲備與豐富的實踐經(jīng)驗，在這方面北京航空航天大學(xué)的WANG等[67]已開發(fā)了基于半邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的算法。為適應(yīng)T樣條變體與奇異點處理的更新迭代，未來此類開源項目的可擴(kuò)展性尤為重要，以能夠易于進(jìn)行二次開發(fā)，并快速完成造型設(shè)計與仿真分析的雙重驗證。

4 T樣條和STEP標(biāo)準(zhǔn)

隨著產(chǎn)品制造需求的不斷變化，制造業(yè)對生產(chǎn)加工提出了更高的要求，生產(chǎn)制造過程需要具備高柔性、快速響應(yīng)等能力來應(yīng)對復(fù)雜多變的制造需求。自由曲面的加工能力是衡量加工制造水平的重要指標(biāo)之一，尤其是針對復(fù)雜自由曲面的加工。目前，針對自由曲面的加工，仍然采用NURBS進(jìn)行曲面的設(shè)計和刀軌規(guī)劃，對于復(fù)雜自由曲面，一般采用拼接或裁剪的方式描述NURBS曲面，在進(jìn)行曲面刀軌規(guī)劃時，在拼接和裁剪處往往會存在縫隙，從而導(dǎo)致刀軌的不連續(xù)，在進(jìn)行數(shù)控加工時，可能會造成機(jī)床運(yùn)動速度的突變，影響加工質(zhì)量，甚至?xí)?dǎo)致刀具的斷裂，損壞機(jī)床。因此，在進(jìn)行刀軌規(guī)劃時，需要經(jīng)驗豐富的工藝員花費(fèi)大量的時間修復(fù)刀軌，驗證刀軌的正確性。T樣條技術(shù)的出現(xiàn)能夠很好的彌補(bǔ)NURBS曲面在刀軌規(guī)劃方面存在的缺陷，得益于T型節(jié)點的優(yōu)勢，T樣條能夠采用單張面片描述具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的自由曲面，使得在進(jìn)行曲面刀軌規(guī)劃時，曲面參數(shù)域能夠保持一致，從根本上避免了曲面拼接和裁剪中存在縫隙的問題。

信息的完整性和一致性是現(xiàn)代制造業(yè)的關(guān)鍵所在，尤其是在產(chǎn)品制造的不同階段，如何保證產(chǎn)品信息在不同軟件系統(tǒng)之間進(jìn)行完整無損的數(shù)據(jù)交換，對于提高產(chǎn)品的加工效率和加工質(zhì)量有著重要的意義。國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(International Organization for Standardization，ISO)提出的STEP標(biāo)準(zhǔn)為產(chǎn)品在整個制造過程中的數(shù)據(jù)交換提供了有利的支撐，已經(jīng)成為制造業(yè)的主要數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)，目前主流的CAD/CAE/CAM/CNC廠商均支持STEP標(biāo)準(zhǔn)(圖14)。綜上所述，T樣條和STEP技術(shù)為自由曲面在產(chǎn)品全生命周期中的表達(dá)和交換提供了重要的技術(shù)支持。為了將T樣條和STEP技術(shù)從理論走向?qū)嵺`，需要探索如下關(guān)鍵技術(shù)：T樣條數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、STEP建模語言、T樣條STEP模型的構(gòu)建。

圖14 基于STEP的產(chǎn)品全生命周期管理

T樣條相對于NURBS能夠表達(dá)更加復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此，采用描述NURBS的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)難以有效的表達(dá)T樣條曲面。國內(nèi)外學(xué)者和相關(guān)公司對此開展了相關(guān)的探索。Rhino作為最早支持T樣條的CAD軟件，設(shè)計了一種T樣條的存儲格式(TSM)用于T樣條模型的讀寫，TSM格式定義了：面、邊、頂點、連接等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來描述T樣條，該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)借鑒了半邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)之上引入元數(shù)據(jù)標(biāo)簽，很好的解決了T樣條中重節(jié)點的表達(dá)難題。SCOTT等[68]采用CGAL庫中提供的半邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)，實現(xiàn)了不包含奇異點的T樣條模型的建模。Lin等[69]提出了一種擴(kuò)展的T網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，引入了實邊、虛邊、實頂點、虛頂點的概念，該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)能夠方便的計算不包含奇異點的T樣條曲面及其局部細(xì)分算法，此外，該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)還能夠存儲為類似obj的文件格式，用于T樣條模型的交換。XIAO等[70]提出了一種T樣條三層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，能夠較好的解決T樣條重節(jié)點的問題，且能與TSM格式進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換。文獻(xiàn)[67]提出了一種用于描述包含奇異點的T樣條數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過局部參數(shù)化建立每一個控制頂點的參數(shù)域，奇異點二鄰域通過Bezier提取的方式進(jìn)行計算。

STEP標(biāo)準(zhǔn)支持設(shè)計、分析、制造、測量、使用、維護(hù)等全生命周期的數(shù)據(jù)交換，被廣泛的用于機(jī)械、電子、建筑等各行各業(yè)。，你如，AP203用于幾何模型的數(shù)據(jù)交換[71]，AP209用于有限元分析數(shù)據(jù)的交換[72]，AP238用于數(shù)控加工中的數(shù)據(jù)交換[73]，AP219用于檢測數(shù)據(jù)的交換[74]，AP242用于基于三維模型的模型管理[75]。STEP為產(chǎn)品全生命周期的數(shù)據(jù)交換提供了重要的支持，通過STEP可以將產(chǎn)品全生命周期的各個過程緊密的結(jié)合起來，如圖14所示。XIao等[70,76]利用現(xiàn)有的STEP模型定義，構(gòu)建了用于T樣條曲面交換的STEP模型，為T樣條在產(chǎn)品全生命周期中的數(shù)據(jù)交換提供了較好的解決方案，也為T樣條曲面的設(shè)計制造一體化搭建了重要的橋梁，T樣條STEP模型如圖15所示。

傳統(tǒng)曲面加工，生成的刀軌通過G代碼后置，傳輸?shù)綌?shù)控機(jī)床上進(jìn)行加工，G代碼從二十世紀(jì)五十年代提出至今已經(jīng)有七十多年的歷史，作為設(shè)計與加工之間的數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)，G代碼穩(wěn)定可靠，但是其歷史局限性已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代制造業(yè)的需求，為制造業(yè)的升級換代帶來了一定的阻力，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：G代碼采用關(guān)鍵字作為描述語言，擴(kuò)展性差，并且容易存在歧義；G代碼僅能夠描述運(yùn)動信息和少量的輔助信息，無法反應(yīng)完整的加工過程；G代碼只具備信息的單向傳輸能力，回溯性差，不利于加工過程的優(yōu)化。

圖15 T樣條STEP模型定義

STEP-NC是STEP在數(shù)控領(lǐng)域的擴(kuò)展，用于取代G代碼，成為設(shè)計和加工之間新的數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)。STEP-NC繼承了STEP標(biāo)準(zhǔn)的全部優(yōu)勢，并且通過對數(shù)控資源的有效集成，方便數(shù)控系統(tǒng)中的具體實現(xiàn)。G代碼和STEP-NC的區(qū)別如圖16所示。Zhao等[77]在T樣條STEP模型的基礎(chǔ)上，探索了T樣條在STEP-NC中的應(yīng)用，實現(xiàn)了T樣條曲面通過STEP-NC在數(shù)控系統(tǒng)中的直接加工，此外還構(gòu)建了用于T樣條曲面粗加工的STEP-NC模型[78]。

T樣條曲面雖然能夠采用單張面片描述復(fù)雜曲面，避免了刀軌不連續(xù)現(xiàn)象的發(fā)生，然而，對于復(fù)雜曲面，如果采用單一的加工策略難以平衡加工效率和加工質(zhì)量之間的矛盾，曲面分區(qū)域加工是解決上述問題的主要手段之一。劉亞醉[79]提出了適加工區(qū)域的概念，并且給出了對應(yīng)的STEP-NC模型，每一個適加工區(qū)域有著相似的加工屬性，而不同的適加工區(qū)域之間加工屬性相似度較大，針對每一個適加工區(qū)域選擇合適的加工策略生成刀軌，不同適加工區(qū)域之間的刀軌通過T樣條曲面的局部細(xì)分能力保證刀軌的連續(xù)性，即保證了加工效率，又能夠獲得較好的加工質(zhì)量。Liu等[76]提出了針對不同曲面特征的STEP-NC分區(qū)域刀軌規(guī)劃算法，包括：矩形區(qū)域分割的刀軌生成算法、曲率分割的刀軌生成算法[80]、分水嶺分割的刀軌生成算法[81]。

圖16 G代碼和STEP-NC對比

5 T樣條與路徑規(guī)劃問題

數(shù)控機(jī)床是整個裝備制造業(yè)的核心生產(chǎn)基礎(chǔ)，是制造機(jī)器設(shè)備的機(jī)器，其發(fā)展水平在一定程度上反應(yīng)了國家工業(yè)綜合水平狀況。數(shù)控加工的主要流程包含CAD，CAM和后處理過程以及機(jī)床加工，如圖17所示。其中，CAM主要包含刀位點路徑和刀軸方向規(guī)劃。由于刀具必須沿著規(guī)劃好的刀位點軌跡行進(jìn)，因此，刀位點路徑的優(yōu)劣直接決定了工件的加工精度和效率。針對其的研究也一直是本領(lǐng)域國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點。

圖17 數(shù)控加工流程圖

關(guān)于刀位點路徑規(guī)劃的研究可以大致分為兩類：基于拓?fù)湫问降难芯亢突趨?shù)形式的研究?；谕?fù)湫问降膫鹘y(tǒng)路徑規(guī)劃方法主要分為平行方向軌跡規(guī)劃方法，平行輪廓法和空間填充曲線規(guī)劃方法。而基于參數(shù)形式的傳統(tǒng)路徑規(guī)劃方法主要有等參數(shù)法、等平面法和等殘高法。

5.1 基于拓?fù)湫问降穆窂揭?guī)劃

在平行方向軌跡規(guī)劃方法(圖18(a))中，所有路徑與預(yù)先設(shè)定的某條直線平行，所有軌跡首尾相連形成zigzag軌跡[82-84]，這種方法由于比較簡單而被廣泛應(yīng)用于粗加工中。平行輪廓軌跡規(guī)劃方法(圖18(b))基于曲面邊界輪廓構(gòu)造，每條路徑都是曲面邊界的偏置(offset)曲線[85-88]。這類方法生成的路徑連續(xù)性較好，無需頻繁抬刀，從而被廣泛應(yīng)用于型腔加工。而對于空間填充曲線規(guī)劃方法[89-91]，其中文獻(xiàn)[91]嘗試了T樣條上路徑規(guī)劃。由于T樣條具有柔性的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可以把工件的復(fù)雜形狀表達(dá)在單張曲面里，不必像傳統(tǒng)NURBS張量積復(fù)合曲面一樣分片區(qū)域加工，也不必考慮刀路面片之間的跳轉(zhuǎn)和連接問題，因此針對T樣條的路徑規(guī)劃研究具有重要的實際價值。進(jìn)而考慮到T樣條曲面具有不規(guī)則的邊界和孔洞，普通平行輪廓法、平行方向軌跡法難以遍歷整張曲面的問題，提出使用空間填充曲線的方法進(jìn)行路徑規(guī)劃。對曲面應(yīng)用該類型曲線，是將雙參數(shù)曲面空間2映射到單參數(shù)曲線空間。通俗地講，該類型路徑規(guī)劃是使用一條無間斷的曲線按預(yù)設(shè)的誤差遍歷整張曲面，可以保證加工全過程刀具無須中途抬刀或換刀，從而提升加工效率，如圖18(c)所示。

圖18 3種拓?fù)渎窂秸故?(a)平行方向軌跡法[92]；(b)平行輪廓法[92]；(c)自適應(yīng)空間填充曲線法[89])

5.2 基于參數(shù)形式的路徑規(guī)劃

等參數(shù)法主要應(yīng)用在參數(shù)曲面(,)上[93-94]。在規(guī)劃路徑時，需要保持，2個參數(shù)中任一參數(shù)不變，將參數(shù)平面上的等參數(shù)線映射到歐氏空間中參數(shù)曲面上，進(jìn)而生成刀具路徑(圖19(a))。但為了滿足殘高約束，這種方法可能會造成局部區(qū)域加工軌跡過于密集，殘高分布不均，以致影響表面加工質(zhì)量和整體加工效率[95-97]。等平面法則利用一簇平行平面(驅(qū)動面)與加工曲面的交線生成刀具路徑(圖19(b))，這類方法的關(guān)鍵是如何選擇驅(qū)動面。Quinsat和SABOURIN[98]通過最大化材料去除率來選擇驅(qū)動面。Hu等[99]基于殘高約束和動力學(xué)約束構(gòu)建標(biāo)量場，之后利用標(biāo)量場選擇最優(yōu)驅(qū)動面。通過等平面法生成的路徑很難滿足殘高約束，因為其加工行距保持恒定而待加工曲面會比較復(fù)雜。而等殘高方法是在給定第條路徑上的刀位點P,j后，利用預(yù)設(shè)的最大殘留高度，在垂直于當(dāng)前進(jìn)給方向的方向上，計算出下一條路徑對應(yīng)的刀位點P+1,j，如圖19(c)所示。對于等殘高法，初始路徑的選擇非常重要，好的初始路徑可以有效提升加工效率。Giri等[100]通過分析曲面的曲率，給出了選取初始路徑的方法。Chiou和LEE[101]首先利用能量場的原理提出勢場法，之后根據(jù)最大材料去除率選擇初始路徑。Lee和JI[102-103]利用有效切割橢圓來計算加工帶寬，進(jìn)而生成等殘高刀具加工路徑。CHENG[104]基于相鄰路徑的相似性提出了一種新的等殘高法，具有很高的計算效率。

5.3 基于三角網(wǎng)格的新型加工路徑規(guī)劃

隨著近幾年CAD/CAM技術(shù)的快速發(fā)展，三角網(wǎng)格模型在離散幾何建模、CNC數(shù)控加工編程、圖形和圖像等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。三角網(wǎng)格模型由于其簡單、成熟的特點，已成為計算機(jī)圖形學(xué)和數(shù)控加工中常用的自由曲面表示形式。因此，針對三角網(wǎng)格模型的刀位點路徑規(guī)劃研究具有重要的現(xiàn)實意義。然而，現(xiàn)有的基于參數(shù)形式的方法不能直接應(yīng)用于三角網(wǎng)格模型，而以往的基于拓?fù)湫问降姆椒ㄍǔＶ辉诤唵蔚膯沃登嫔仙傻毒哕壽E。因此，在三角網(wǎng)格模型表示的自由曲面上生成刀觸點路徑的算法值得進(jìn)一步研究。近年來，針對三角網(wǎng)格模型的刀位點路徑規(guī)劃已有大量工作[106]。針對二維平面[107]和三維空間網(wǎng)格[108]，其中，文獻(xiàn)[108]在三角網(wǎng)格模型上應(yīng)用了一種新的刀具路徑生成工具：連通費(fèi)馬螺旋線(connected Fermat spirals，CFS)。利用熱方法[109]生成形狀感知的標(biāo)量場，之后將這些等值線連接成CFS。這類刀位點路徑具有以下幾個優(yōu)點：整個路徑僅包含一個終點和起點，從而無須頻繁抬刀、切入；整個待加工曲面可以被CFS完全覆蓋；單個費(fèi)馬螺旋線的起點和終點可以在邊界上任意選擇，從而有利于路徑的連續(xù)性。然而，文獻(xiàn)[108]主要從幾何角度來考慮刀具路徑軌跡的生成，而未考慮后續(xù)的數(shù)控加工。經(jīng)過刀具軌跡優(yōu)化后，其生成的刀具路徑有太多轉(zhuǎn)接點(拐點)，如圖20所示。

圖20 文獻(xiàn)[108]方法生成的路徑

5.4 基于向量場的新型刀位點路徑規(guī)劃

傳統(tǒng)的刀位點路徑規(guī)劃只考慮了曲面本身的幾何信息(高階曲率信息)，而忽視了與眾多加工特型約束(局部最大帶寬、最大材料去除率、最大進(jìn)給速度等)的聯(lián)系，從而無法有效提升加工效率。為此，相關(guān)學(xué)者提出了與加工特型約束深度融合的刀位點路徑規(guī)劃方法：向量場方法。

此類方法將各類加工特型約束作為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合待加工曲面的幾何信息計算出在曲面局部的最優(yōu)加工方向，在曲面上形成向量場，再通過向量場指導(dǎo)路徑規(guī)劃。因此，向量場生成算法與其后的路徑生成算法都是此類路徑規(guī)劃方法的主要研究內(nèi)容。

在生成向量場時，由于需要用到待加工曲面的高階幾何信息，因此此類算法總是基于參數(shù)表示的曲面實現(xiàn)。而對于離散形式的曲面，可以首先進(jìn)行樣條擬合并重新參數(shù)化。其優(yōu)化目標(biāo)主要有：局部帶寬最大[101]、最大材料去除率[110]、最大進(jìn)給速度[111]、能量消耗最小[112]等。根據(jù)關(guān)注目標(biāo)的不同，曲面上每個點處的最優(yōu)加工方向也會不同，從而衍生出不同的向量場生成算法。

此外，還可以將最小切削力[113]、最小刀具轉(zhuǎn)角變化[114]等作為優(yōu)化目標(biāo)，或可將這些目標(biāo)組合起來[115]，用以確定向量場。這方面的工作，重心在向量場確定上。對于之后的路徑生成，相關(guān)算法基本采用根據(jù)向量場優(yōu)化出一條初始路徑，再根據(jù)初始路徑，依照等殘高約束做偏置(offset)計算鄰接路徑的策略，但初始路徑選取上向量場起到了指導(dǎo)作用。

路徑生成這一方面的工作，重心放在向量場建立之后的路徑生成上。偏置方法在求解鄰接路徑時，容易產(chǎn)生自交現(xiàn)象。而標(biāo)量場[116]方法則有效避開了這一問題，但其難點在于對貼合向量場與自身光滑性的權(quán)衡，且方程求解總是較為依賴初值；張量場方法[116]則將向量場轉(zhuǎn)化為光滑表達(dá)，在計算和臍點分辨上展現(xiàn)出很大作用，難點在于需要保證張量對參數(shù)的協(xié)變性；拓?fù)浞椒╗117]根據(jù)向量場給出路徑趨勢，對應(yīng)不同的路徑拓?fù)洌渌悸分苯?，但難以處理散亂向量場，即本身不適合作為加工路徑的情況。

總之，向量場方法主要適用于參數(shù)曲面路徑規(guī)劃，側(cè)重于曲面局部的最優(yōu)加工，是一種貪心思想，而為了平衡這一點，在建立向量場之后的路徑生成中，研究的重點是整體的優(yōu)化，從而既利用了局部最優(yōu)的信息，又盡量保證路徑的利于加工。該類算法未來仍有很大的發(fā)展?jié)摿翱臻g。

6 總結(jié)與展望

T樣條由于NURBS兼容，局部細(xì)分，水密曲面以及線性無關(guān)，最優(yōu)收斂等性質(zhì)的保證，目前已經(jīng)證明了在CAD、工程和制造領(lǐng)域中顯示了其巨大的潛力。同時，其也為學(xué)術(shù)和工業(yè)界引入了大量有價值的科學(xué)和工程問題。下面展望T樣條的進(jìn)一步應(yīng)用。

(1) 在設(shè)計上，最重要的問題還是幾何模型的生成問題。T樣條具有表示復(fù)雜幾何的能力，即T樣條可以避免NURBS造型所出現(xiàn)的“臟幾何”問題。但是給定一個NURBS表示的“臟幾何”，以盡可能接近原有幾何表示的方式將其轉(zhuǎn)化成一個T樣條模型仍然未完全解決。這個問題的解決將極大推進(jìn)CAD和其他系統(tǒng)的融合。另外一個重要的問題是給定一個水密的T樣條曲面模型，如何在不改變原始曲面參數(shù)化的基礎(chǔ)上給出曲面的內(nèi)部參數(shù)化。這一問題是在等幾何分析的框架下，設(shè)計、分析融合中的最重要的問題之一。將T樣條的定義推廣到可以處理多邊形參數(shù)化，并結(jié)合網(wǎng)格生成算法可能為上述問題的解決提供幫助。

(2) 在分析上，如何利用仿真的結(jié)果來指導(dǎo)幾何模型的生成是T樣條的一類重要問題。由于分析的目的就是在制造前從物理層面對幾何模型的數(shù)字化提供指導(dǎo)。基于T樣條的幾何造型能力和等幾何思想，這是一個很有應(yīng)用前景的問題。另一方面，在物理仿真中，需要的離散空間通常不是完全和幾何描述空間一致，如何在保持幾何描述空間不變的情況下，引入新的強(qiáng)化空間來優(yōu)化物理仿真也是一個非常重要的問題。

(3) 在制造上，T樣條的應(yīng)用還處于初級階段，但是T樣條已經(jīng)顯示了其應(yīng)用的潛力。由于設(shè)計和分析的目標(biāo)就是制造，如何對制造中涉及到的參數(shù)和過程進(jìn)行建模，并利用這些參數(shù)和模型來優(yōu)化數(shù)字化的設(shè)計和分析是一個關(guān)鍵課題。另外，基于上述過程的一體化體系也是一個系統(tǒng)化和工程化的課題。

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T-splines a new representation for CAD, CAE and CAM

HU Wen-kai1, MA Hong-yu2, LIU Ya-zui3, WEI Xiao-dong4, ZHAO Gang5, SHEN Li-yong2, LI Xin1

(1. School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China, Hefei Anhui 230000, China; 2. School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 3. Research Institute of Aero-Engine, Beihang University, Beijing 102206, China; 4. University of Michigan-Shanghai Jiao Tong University Joint Institute, Shanghai 200240, China; 5. School of Mechanical Engineering and Automation, Beihang University, Beijing 100083, China)

Geometric modeling is the main research area in computer-aided design (CAD), computer-aided engineering (CAE), and computer-aided manufacturing (CAM), focusing on the representation and design of geometric models on computers. Currently, the standard representation is non-uniform rational B-splines (NURBS). However, due to the tensor-product structure, NURBS has several main limitations in terms of the representations of complex models. T-spline is a new NURBS compatible free-form surface representation technology. T-splines have drawn wide attention both from academia and industry, after solving several limitations of the standard NURBS representation. To enable a more comprehensive understanding of T-splines, a systematic review was conducted. Based on the extensive literature research, the definition and basic operations for T-splines and applications of T-splines in CAD, CAE and CAM were summarized and compared, which mainly focused on the basic ideas, theories, merits and demerits of various algorithms. Due to the high demand of accuracy and efficiency required by geometric representation in the industry, the research on T-spline remains imperfect, and a number of problems and possible prospects are in need of exploration.

T-splines; non-uniform rational B-splines; computer-aided design; computer-aided engineering; computer-aided manufacturing

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061018

A

2095-302X(2022)06-1018-16

2022-07-30；

：2022-10-26

國家自然科學(xué)基金項目(62102011，52175213，61872328)；北京市重點專項課題(Z190004)；國家重點研發(fā)計劃課題(2020YFA0713703)

胡文愷(1998-)，男，博士研究生。主要研究方向為計算機(jī)輔助設(shè)計和等幾何分析。E-mail：hwk2014@mail.ustc.edu.cn

李 新(1980-)，男，教授，博士。主要研究方向為計算機(jī)輔助設(shè)計、等幾何分析等。E-mail：lixustc@ustc.edu.cn

30 July，2022；

26 October，2022

National Natural Science Foundation of China (62102011, 52175213, 61872328); The Key Project of Beijing (Z190004), National Key R&D Program of China (2020YFA0713703)

HU Wen-kai (1998-), PhD candidate. His main research interests cover CAD and IGA. E-mail：hwk2014@mail.ustc.edu.cn

LI Xin (1980-), professor, Ph.D. His main research interests cover CAD, IGA, etc. E-mail：lixustc@ustc.edu.cn