孫曉燕，李進(jìn)金，2

(1.華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021；2.閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 漳州 363000)

知識(shí)空間理論(KST)源于Birkhoff[1-2]提出的關(guān)于擬序的定理.文獻(xiàn)[3-5]結(jié)合教育心理學(xué)將KST發(fā)展完善，并建立了一套反映教育教學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)理論，為知識(shí)和學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)提供了有效的科學(xué)方法[5-7].KST的一個(gè)核心的假設(shè)是個(gè)體對(duì)項(xiàng)目的回答可以被二分為正確(用1表示)或錯(cuò)誤(用0表示)，這使得KST在對(duì)知識(shí)和學(xué)習(xí)進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)具有局限性.二分的評(píng)價(jià)體系僅適用于判斷、選擇等客觀題，而對(duì)于解答題、應(yīng)用題等主觀題則無(wú)法適用.針對(duì)這一局限性，Schrepp[8]首先將KST推廣到有2個(gè)以上答案的問(wèn)題，用線性有序集評(píng)估解決方案的質(zhì)量，并提出一個(gè)嚴(yán)格封閉的知識(shí)結(jié)構(gòu).Bartl 等[9]討論了具有分級(jí)知識(shí)狀態(tài)的知識(shí)空間.Stefanutti 等[10]提出了KST的多分推廣，假設(shè)項(xiàng)目集上的水平集為完備格，并將嚴(yán)格封閉條件分解為多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的4個(gè)獨(dú)立性質(zhì)構(gòu)成的充要條件集合.Heller[11]在Stefanutti 等[10]的基礎(chǔ)上，將擬序知識(shí)空間推廣到多分情形，提出了多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的2個(gè)條件，并考慮了項(xiàng)目特定的響應(yīng)尺度.

技能代表潛在的認(rèn)知能力，是利用知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)執(zhí)行某些活動(dòng)的能力.Falmagne等[4]首先建立了問(wèn)題和技能之間的聯(lián)系.Doignon[12]將技能映射引入KST中.Duntsch等[13]提出的技能函數(shù)通過(guò)為每個(gè)項(xiàng)目分配一個(gè)相關(guān)的技能子集，將可觀察的解決方案與一些潛在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái).Korossy[14]在技能集上建立相應(yīng)的技能空間.Heller等[15]探索基于能力的個(gè)性化學(xué)習(xí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并研究了分布式技能函數(shù)和知識(shí)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格化[16].近年來(lái)，人們?cè)絹?lái)越重視技能和知識(shí)的評(píng)估及其程序化應(yīng)用[17-22].在Stefanutti[18]提出的框架中，問(wèn)題的解決過(guò)程被描述為從操作集合中獲取操作序列，技能用操作序列表示，操作序列應(yīng)用于某初始狀態(tài)，產(chǎn)生一個(gè)最終狀態(tài)，由此定義問(wèn)題的狀態(tài)空間，從而誘導(dǎo)出知識(shí)空間.

基于Stefanutti等[10]與Heller[11]提出的知識(shí)空間的多分推廣，及Stefanutti[18]提出的程序性知識(shí)的評(píng)價(jià)，本文提出根據(jù)各項(xiàng)目的操作步驟設(shè)定響應(yīng)值集的框架，通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)定義項(xiàng)目狀態(tài)空間，并導(dǎo)出析取的技能映射，證明技能映射通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)是多分知識(shí)空間.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 技能映射誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)

在KST中，知識(shí)域Q由一組關(guān)于特定主題的項(xiàng)目的集合表示，項(xiàng)目的答案可以被二分為正確(用1表示)或錯(cuò)誤(用0表示).知識(shí)狀態(tài)K是Q的子集，表示個(gè)人有能力在理想條件下(即假設(shè)粗心的錯(cuò)誤和幸運(yùn)的猜對(duì)不會(huì)發(fā)生)正確回答的項(xiàng)目的集合.知識(shí)結(jié)構(gòu)是二元組(Q，K)，其中，K是一個(gè)由Q的子集構(gòu)成的知識(shí)狀態(tài)集族，且至少包含?和Q.知識(shí)結(jié)構(gòu)(Q，K)是并封閉的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的F?K，∪F∈K.滿足并封閉的知識(shí)結(jié)構(gòu)(Q，K)稱為知識(shí)空間.有關(guān)KST的詳細(xì)描述，見(jiàn)文獻(xiàn)[5-7].

技能是與項(xiàng)目的解決相關(guān)的算法步驟或操作程序.在KST中，通過(guò)技能映射將知識(shí)域Q中的每個(gè)項(xiàng)目與有助于解決這個(gè)項(xiàng)目的技能聯(lián)系起來(lái)，并從這個(gè)關(guān)聯(lián)中推斷出知識(shí)狀態(tài).由技能映射誘導(dǎo)知識(shí)狀態(tài)的模型有析取、合取與能力模型.在以下的多分推廣中，僅考慮析取模型.

設(shè)非空的項(xiàng)目集Q，非空的技能集S，技能映射是三元組(Q，S，τ)，其中，τ是從Q到S的非空冪集的映射，τ：Q→2S{?}.給定T?S，由T通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)為

KT={q∈Q|τ(q)∩T≠?}.

取遍T(mén)?S，所有誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)的集合是由τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu).由τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是知識(shí)空間.有關(guān)技能映射及其誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)的詳細(xì)背景，見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7].

1.2 多分知識(shí)狀態(tài)

在KST的多分推廣中，知識(shí)域Q中的項(xiàng)目的解決質(zhì)量由水平集L中的級(jí)別l∈L表示.在Schrepp[8]提出的KST多分推廣中，L是線性有序集.Stefanutti等[10]設(shè)定L是完備格.

設(shè)X是非空集，≤是X上的偏序關(guān)系(即滿足自反性、傳遞性、反對(duì)稱性的二元關(guān)系)，則稱(X，≤)為偏序集.設(shè)(X，≤)為偏序集，對(duì)于任意的A?X，A的最小上界稱為A的上確界，記為supA或∨A；A的最大下界稱為A的下確界，記為infA或∧A.若?A?X，恒有supA與infA存在，則稱(X，≤)為完備格.若?a，b∈X，恒有sup{a，b}=a∨b與inf{a，b}=a∧b存在，則稱(X，≤)為格.有限格是完備格.有關(guān)格理論的詳細(xì)背景知識(shí)，見(jiàn)文獻(xiàn)[2，23-24].

在Heller[11]提出的KST多分推廣中，個(gè)體對(duì)知識(shí)域Q中各項(xiàng)目的掌握程度用有限的響應(yīng)值集V表示，且設(shè)非空有限響應(yīng)值集V是格，由于V是有限的，所以V是完備格.

多分知識(shí)狀態(tài)是Q到V的映射K：Q→V，表示將Q中每個(gè)項(xiàng)目對(duì)應(yīng)V中的一個(gè)響應(yīng)值.這樣的映射集合記為VQ=∏q∈QV.多分知識(shí)狀態(tài)有兩種表示形式，分別由Heller[11]和Stefanutti等[10]提出.

子集表示法[11]：多分知識(shí)狀態(tài)K是Q×V的一個(gè)特定子集，即對(duì)于任意K∈VQ，K?Q×V.記

pv=(p，v)∈Q×V，

對(duì)于任意K∈VQ，規(guī)定pv∈K?K(p)=v，則

K={pv|p∈Q，K(p)=v∈V}?Q×V.

向量表示法[10]：在給定的有限知識(shí)域Q中，設(shè)|Q|=n，當(dāng)固定各項(xiàng)目的順序時(shí)，多分知識(shí)狀態(tài)K可以簡(jiǎn)記為以V中的響應(yīng)值為分量的n維向量.設(shè)Q={q1，q2，…，qn}，對(duì)于任意K∈VQ，記

K=v1v2…vn=(v1，v2，…，vn).

上式中：vi=K(qi)，qi∈Q，i=1，2，…，n.

例如，設(shè)Q={a，b，c}，V={0，1，2}，多分知識(shí)狀態(tài)K：Q→V定義為K(a)=1，K(b)=2，K(c)=0，則多分知識(shí)狀態(tài)K的子集形式為K={a1，b2，c0}?Q×V.固定各項(xiàng)目順序?yàn)閝1=a，q2=b，q3=c，則多分知識(shí)狀態(tài)K用向量形式表示為K=120=(1，2，0).

為了避免記號(hào)的混亂，在以下論述與推導(dǎo)中，均采用多分知識(shí)狀態(tài)的子集表示法，向量表示法僅出現(xiàn)在圖形中.另外，由于文中僅考慮有限知識(shí)結(jié)構(gòu)與有限知識(shí)空間的多分推廣，因此，在以下論述中均假設(shè)知識(shí)域Q是有限集，且Q中各項(xiàng)目的響應(yīng)值集是有限集.

2 技能映射誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)

2.1 項(xiàng)目特定的響應(yīng)值集

例1設(shè)Q={q1，q2}.項(xiàng)目q1為解方程2+x2=x2+2x；項(xiàng)目q2為解方程|x-3|=3.根據(jù)項(xiàng)目解答步驟或操作程序的類型設(shè)定響應(yīng)值集，2個(gè)項(xiàng)目的響應(yīng)值集的格結(jié)構(gòu)不同.

q1的解答為

q1的解答步驟是層層遞推的.設(shè)V1為有限線性序集，即V1={0，1，2}.

q2的解答為

圖1 有限格V2={0，a，b，c}的Hasse圖Fig.1 Hasse diagram of finite lattice V2={0，a，b，c}

q2的解答步驟中有分類討論.V2={0，a，b，c}，其中，0≤2a，0≤2b，a≤2c，b≤2c，a與b是不可比較的，且a∨2b=c.有限格V2={0，a，b，c}的Hasse圖，如圖1所示.由圖1可知：V2不是線性序集.

例2設(shè)Q={q1，q2}.項(xiàng)目q1：甲用10元購(gòu)買(mǎi)文具，筆記本的單價(jià)為每本6元，甲購(gòu)買(mǎi)1本筆記本應(yīng)找回多少元？項(xiàng)目q2：甲用20元購(gòu)買(mǎi)水果，橙子、蘋(píng)果的單價(jià)分別為每500 g 7元和每500 g 5元，甲購(gòu)買(mǎi)500 g橙子和500 g蘋(píng)果應(yīng)找回多少元？對(duì)于層層遞推的項(xiàng)目解答或操作，根據(jù)步數(shù)設(shè)定響應(yīng)值集，響應(yīng)尺度可能不同.

q1的解答為10-6=4(響應(yīng)值1).

由于q1的解答只需一步，即計(jì)算2個(gè)數(shù)的差，設(shè)定V1為二分的響應(yīng)值集，即V1={0，1}.

q2的解答為

q2的解答過(guò)程分兩步，是層層遞推的.第1步是“求甲購(gòu)買(mǎi)500 g蘋(píng)果和500 g橙子共需多少元？”，即求2個(gè)數(shù)的和；第2步是求2個(gè)數(shù)的差.故設(shè)定V2為三分的響應(yīng)值集，即V2={0，1，2}.

2.2 多分知識(shí)結(jié)構(gòu)

上式中：vi∈Vi，i=1，…，n.

2) ∪K∈KK=Ω，即對(duì)于任意的pv∈Ω，K(pv)={K∈K：pv∈K}≠?.

圖2 例3的結(jié)構(gòu)(K1，)的Hasse圖Fig.2 Hasse diagram of structure (K1，) of example 3

圖3 例3的結(jié)構(gòu)(K2，)的Hasse圖 圖4 例3的結(jié)構(gòu)(K3，)的Hasse圖Fig.3 Hasse diagram of structure Fig.4 Hasse diagram of structure (K2，) of example 3(K3，) of example 3

2.3 項(xiàng)目的狀態(tài)空間與項(xiàng)目的相關(guān)技能

設(shè)項(xiàng)目集Q={q1，q2，…，qn}.這里提出的框架中，響應(yīng)值集是根據(jù)項(xiàng)目的解答或操作步驟設(shè)定的.為了保證操作步驟的有限性，假定各項(xiàng)目的解答或操作是非循環(huán)的.對(duì)于任意的項(xiàng)目qi∈Q，qi的操作集是由其解答或操作的每個(gè)步驟構(gòu)成的集合，記為Λi.在這里，僅考慮每個(gè)項(xiàng)目的某個(gè)特定解法，對(duì)于一題多解的情形將在能力模型中考慮.

命題1對(duì)于任意的項(xiàng)目q∈Q，設(shè)q的解答或操作非循環(huán)且步驟數(shù)有限，則項(xiàng)目q的操作集Λ是有限集.設(shè)Λ={λ1，λ2，…，λr}，根據(jù)每步操作逐一設(shè)定響應(yīng)值，得到項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V是有限格.

1) 如果項(xiàng)目q的解答或操作是層層遞推的，且步驟數(shù)為r，記第k步操作為λk，k=1，2，…，r，則q的操作集為Λ={λ1，λ2，…，λr}.設(shè)項(xiàng)目q的初始狀態(tài)為q0，即q的響應(yīng)值集V的底元為0，根據(jù)每步操作逐一設(shè)定響應(yīng)值，即每步操作產(chǎn)生新的項(xiàng)目狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值加1，則項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V為有限線性序集，且V={0，1，…，r}.

2) 如果q的解答或操作中具有n個(gè)分支，則V不是線性序集.首先，按各分支的層層遞推的步驟數(shù)設(shè)定各分支上線性有序的響應(yīng)值集，再將任意k(2≤k≤n)個(gè)不可比較的響應(yīng)值的上確界(稱為分支定向并[11])設(shè)為新的響應(yīng)值，并且規(guī)定當(dāng)n=2時(shí)，設(shè)a1與b1不可比較，a2與b2不可比較，且a1∨b1=c，a2∨b2=d，如果a1≤a2且b1≤b2，則c≤d；否則，c與d不可比較.當(dāng)n>2時(shí)，設(shè)A?V，B?V，若A?B，則∨A≤∨B；若?l∈A，恒有m∈B，使得l≤m，則∨A≤∨B；否則，∨A與∨B不可比較.這樣得到的項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V為有限格.

例如，例1中的項(xiàng)目q1的解答步驟是層層遞推的，且步驟數(shù)為2，所以，設(shè)定V1為有限線性序集，且V1={0，1，2}.項(xiàng)目q2的解答有2個(gè)分支，2個(gè)分支的步驟數(shù)均設(shè)定為1，所以，2個(gè)分支上的響應(yīng)值分別為0≤2a，0≤2b.由于a和b不可比較，設(shè)響應(yīng)值c=a∨2b，得V2={0，a，b，c}.V2是有限格.

如果將例1中q2的2個(gè)分支步驟數(shù)均設(shè)定為2，即

圖5 有限格V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}的Hasse圖Fig.5 Hasse diagram of finite lattice V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}

則0≤2a1≤2a2且0≤2b1≤2b2.將{a1，a2，b1，b2}中任意2個(gè)不可比較的響應(yīng)值的上確界設(shè)為新的響應(yīng)值(例如，在實(shí)際應(yīng)用中可以取2個(gè)不可比較的響應(yīng)值的和為它們的上確界)，即

a1∨2b1=c，a2∨2b1=d，a1∨2b2=e，a2∨2b2=f.

由于a1≤2a2，b1≤2b1，所以，(a1∨2b1)≤2(a2∨2b1)，即c≤2d.同理得，c≤2e，d≤2f，e≤2f.由于a2≥2a1，b1≤2b2，所以a2∨2b1與a1∨2b2不可比較，即d與e不可比較.則V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}是有限格，如圖5所示.

項(xiàng)目q的解答或操作中可能具有n(n>2)個(gè)分支，例如例4的項(xiàng)目q有3個(gè)分支.

將{2a，2b，2c}中任意k(2≤k≤3)個(gè)不可比較的響應(yīng)值的上確界設(shè)為新的響應(yīng)值，即

2a∨2b=3d，2a∨2c=3e，2b∨2c=3f，∨{2a，2b，2c}=4.

圖6 有限格V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}的Hasse圖Fig.6 Hasse diagram of finite lattice V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}

由于{2a，2b}?{2a，2b，2c}，所以，∨{2a，2b}≤∨{2a，2b，2c}，即3d≤4.同理得，3e≤4，3f≤4.由于2b與2c不可比較，所以，2a∨2b與2a∨2c不可比較，即3d與3e不可比較.同理得，3d與3f不可比較，3e與3f不可比較.項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}是有限格，如圖6所示.

在這里，只考慮由錯(cuò)誤操作導(dǎo)致的錯(cuò)誤狀態(tài).例如，將“計(jì)算兩個(gè)數(shù)的和”錯(cuò)誤操作為“計(jì)算兩個(gè)數(shù)的差”.不考慮由于操作不熟練或粗心計(jì)算導(dǎo)致的錯(cuò)誤狀態(tài).例如，將“7+5”錯(cuò)誤計(jì)算為“11”.

項(xiàng)目qi的單個(gè)操作對(duì)項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移的作用可以用定義3中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)φi表示.

例5續(xù)例2，Q={q1，q2}，考察q1和q2的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù).Λ1={λ1}，Λ2={λ1，λ2}，其中，λ1表示計(jì)算2個(gè)數(shù)的差，λ2表示計(jì)算2個(gè)數(shù)的和.

圖7 例2的項(xiàng)目q1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.7 State transition diagram of item q1 of example 2

圖8 例2的項(xiàng)目q2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.8 State transition diagram of item q2 of example 2

定義4[18]設(shè)非空有限操作集Λ，由Λ中的s個(gè)操作元組成的操作序列λ1λ2…λs∈Λs稱為Λ的1個(gè)長(zhǎng)度為s的操作序列.具有任意長(zhǎng)度的所有操作序列(包括空操作程序ε，即s=0)的集合記為Λ*，即

Λ*=∪s∈NΛs={ε}∪Λ∪Λ2∪….

上式中：空操作序列ε是Λ*的單位元，即?λ∈Λ*，ελ=λε=λ.

定義5設(shè)非空有限操作集Λ，操作序列集Λ*，對(duì)于任意s∈Z+，任意給定長(zhǎng)度為s的操作序列λ1λ2…λs∈Λs，λ1λ2…λs的子序列是操作序列λiλi+1…λi+t，其中，1≤i≤s且0≤t≤s-i.

定義6設(shè)非空有限操作集Λ，操作序列集Λ*，對(duì)于任意2個(gè)非空操作序列σ1，σ2∈Λ*{ε}，規(guī)定σ1≤σ2當(dāng)且僅當(dāng)σ1是σ2的子序列.

注4[18]設(shè)項(xiàng)目集Q={q1，q2，…，qn}，對(duì)于任意的qi∈Q，項(xiàng)目qi的狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足以下2個(gè)性質(zhì).

圖9 項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移的傳遞性Fig.9 Transitivity of item state transition

λ1，λ2，λ1λ1，λ1λ2，λ2λ1，λ2λ2.

如果項(xiàng)目q∈Q的解答或操作中有分支，則需要考慮非空操作組合對(duì)給定項(xiàng)目狀態(tài)的作用.

例7續(xù)例1，項(xiàng)目q1的解答是層層遞推的，Λ1={λ1，λ2}，其中，λ1表示方程的等價(jià)變形，λ2表示解一元一次方程.V1={0，1，2}是有限線性序集，只需考察q1的正確操作序列.與例6的項(xiàng)目q2類似，q1的正確操作序列為λ1，λ2和λ1λ2.

項(xiàng)目q2的解答有分支，V2={0，a，b，c}不是線性序集，需考慮非空操作組合對(duì)給定項(xiàng)目狀態(tài)的作用.項(xiàng)目q2的操作集Λ2={λ3，λ4}，其中，λ3表示當(dāng)x-3≥0時(shí)，解含|x-3|的一元一次方程；λ4表示當(dāng)x-3<0時(shí)，解含|x-3|的一元一次方程.

圖10 例1的項(xiàng)目q2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.10 State transition diagram of item q2 in example 1

例1的項(xiàng)目q2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，如圖10所示.圖10中：

例8續(xù)例6，考察項(xiàng)目集Q={q1，q2}的技能集.V1={0，1}，V2={0，1，2}.由圖7可知，q1的所有正確操作程序?yàn)棣?，因此，q1的所有相關(guān)技能的集合為S1={λ1}.由例6可知，q2的所有正確操作程序是λ2，λ1和λ2λ1，所以，q2的技能集為S2={λ1，λ2，λ2λ1}.因此，項(xiàng)目集Q={q1，q2}的技能集為

S=S1∪S2={λ1，λ2，λ2λ1}.

例9續(xù)例7，考察項(xiàng)目集Q={q1，q2}的技能集.V1={0，1，2}，由例7可知，項(xiàng)目q1的所有正確操作程序?yàn)棣?，λ2和λ1λ2，所以，S1={λ1，λ2，λ1λ2}.V2={0，a，b，c}不是線性序集，由圖10可知，q2的所有的正確操作程序?yàn)棣?，λ4和{λ3，λ4}，所以，S2={λ3，λ4，{λ3，λ4}}.項(xiàng)目集Q={q1，q2}的技能集為

S=S1∪S2={λ1，λ2，λ1λ2，λ3，λ4，{λ3，λ4}}.

例10續(xù)例4，考察項(xiàng)目q的技能集.

圖11 例4的項(xiàng)目q的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.11 State transition diagram of item q in example 4

項(xiàng)目q的操作集Λ={λ1，λ2，λ3，λ4}，V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}.例4的項(xiàng)目q的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，如圖11所示.由圖11得到項(xiàng)目q的所有正確操作程序的集合，即q的技能集為

S={λ1，λ2，λ3，λ4，λ1λ2，λ1λ3，λ1λ4，{λ2，λ3}，

{λ2，λ4}，{λ3，λ4}，{λ2，λ3，λ4}，λ1{λ2，λ3}，

λ1{λ2，λ4}，λ1{λ3，λ4}，λ1{λ2，λ3，λ4}}.

2.4 析取的技能映射

K={qv11,qv22,…,qvnn}=i∈IKi,

2.5 由析取的技能映射誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)

定義16設(shè)析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中τ：Ω+→2S{?}.給定技能狀態(tài)T?S，T表示個(gè)體掌握的技能的集合，由T通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)為

Kd(?)= ?={q⊥11,q⊥22,…,q⊥nn}.

Kd(S)=Ω+={q⊥11,q⊥22,…,q⊥nn}.

定理2設(shè)析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{?}.取遍所有的技能狀態(tài)T?S，所有通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合K是多分知識(shí)結(jié)構(gòu).

{qvi:v≤iw}=qwi,

即∪K∈KK=Ω.所以，K滿足定義2的條件2).

綜上所述，取遍所有的T?S，所有通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合K是多分知識(shí)結(jié)構(gòu).

定義17設(shè)析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{?}.取遍所有的技能狀態(tài)T?S，所有通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合為K={Kd(T)|?T?S}，K稱為由技能映射τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu).

定義18[25]稱三元組(U，A，I)為一個(gè)形式背景，其中U={x1，x2，…，xn}為對(duì)象集，每一個(gè)xi(1≤i≤n)稱為一個(gè)對(duì)象；A={a1，a2，…，am}為屬性集，每個(gè)aj(1≤j≤m)稱為一個(gè)屬性；I?U×A為U和A之間的二元關(guān)系，若(x，a)∈I，則稱對(duì)象x具有屬性a，若(x，a)?I，則稱對(duì)象x不具有屬性a.

表1 形式背景表Tab.1 Formal background table

形式背景表，如表1所示.若用1表示(x，a)∈I，用0表示(x，a)?I，則形式背景可表示為只有0和1的表格(或表示為0-1矩陣) .

表2 例13的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表Tab.2 Formal background table of skill map (Ω+，S，τ) of example 13

將Ω+視為對(duì)象集，S視為屬性集，I?Ω+×S是Ω+和S之間的二元關(guān)系，規(guī)定

由表2可得誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)為

圖12 例13的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)(K，)的Hasse圖Fig.12 Hasse diagram of polytomous knowledge structure (K，) of example 13

于是，取遍T(mén)?S，由τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)為

注5命題3的兼容性對(duì)于通過(guò)析取模型誘導(dǎo)多分知識(shí)結(jié)構(gòu)是必要的.如果析取的技能映射τ不滿足該條件，則由τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合可能不滿足定義2的條件2).

例如，在例13中，若定義技能映射τ′為

定理3設(shè)析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{?}.由技能映射τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)K是多分知識(shí)空間.

證明：對(duì)于任意的K1，K2∈K，其中，Ki是由技能狀態(tài)Ti通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)，即

Ki={qvi∈Ω+|?t∈τ(qvi):t∈Ti},i=1,2.

根據(jù)項(xiàng)目q的解答或操作步驟設(shè)定響應(yīng)值，得到的響應(yīng)值集V不一定是線性有序集.例如，例1中的項(xiàng)目q2，V2={0，a，b，c}，其中，a與b是不可比較的，且a∨2b=c.

圖13 例14的項(xiàng)目q的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.13 State transition diagram of item q of example 14

例14的項(xiàng)目q的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，如圖13所示.由圖13得到過(guò)程函數(shù)為

記s1=λ1，s2=λ2，s3={λ1，λ2}，s4=λ1λ3，則Q的技能集S={s1，s2，s3，s4}.由過(guò)程函數(shù)導(dǎo)出析取的技能映射τ為

表3 例14的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表Tab.3 Formal background table of skill map (Ω+，S，τ) of example 14

例14的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表，如表3所示.由表3可得誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)為

圖14 例14的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)(K，)的Hasse圖Fig.14 Hasse diagram of polytomous knowledge structure(K，) of example 14

注7命題3的差異性對(duì)于通過(guò)析取模型誘導(dǎo)多分知識(shí)結(jié)構(gòu)是必要的.如果析取的技能映射r不滿足該條件，則由r通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合可能不滿足定義2的條件2).

例如，在例14中，若定義技能映射τ′為

3 結(jié)束語(yǔ)

基于程序性知識(shí)的評(píng)估，通過(guò)項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)定義項(xiàng)目狀態(tài)空間，從而將問(wèn)題空間推廣到多分情形.通過(guò)過(guò)程函數(shù)導(dǎo)出技能映射，證明了技能映射通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)是多分知識(shí)空間.在文中的框架中，僅考慮每個(gè)項(xiàng)目的某個(gè)特定解法，對(duì)于一題多解的情形將在后續(xù)的能力模型中考慮.為了保證操作集的有限性，假定各項(xiàng)目的解答或操作是非循環(huán)的，所以，對(duì)循環(huán)解路徑的約簡(jiǎn)可以在后續(xù)研究中考慮.另外，由于知識(shí)空間的形式背景與形式概念分析密切相關(guān)[26-29]，因此，將KST的多分推廣與形式概念分析的發(fā)展聯(lián)系起來(lái)將是今后研究的方向.