湖北省隨州市曾都區(qū)第一中學(xué) (441300)

樂(lè)和順

數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生做錯(cuò)的題目進(jìn)行認(rèn)真分析，找到錯(cuò)誤的原因，幫助學(xué)生彌補(bǔ)存在的知識(shí)缺陷，督促學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)基本概念、基本方法，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的主要方式之一.本文就學(xué)生在學(xué)習(xí)教材中的一道例題時(shí)的出錯(cuò)展開(kāi)了分析和思考.

圖1

引例(人教社2019版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)238頁(yè)例2)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖1，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為110m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.

(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；

(2)求游客甲在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離地面的高度；

(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).

此題(1)中函數(shù)解析式的求解，以下幾種錯(cuò)誤結(jié)果出現(xiàn)的頻率較高：

一、錯(cuò)因分析

此題第(1)問(wèn)“H關(guān)于t的函數(shù)解析式”的求解有較多學(xué)生出錯(cuò)，分析其錯(cuò)誤原因，主要有下面兩點(diǎn)：

一是學(xué)生不會(huì)數(shù)學(xué)建模，不能從實(shí)際問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).

本例實(shí)質(zhì)上就是求圓周上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以模型應(yīng)用y=Asin(ωx+φ)+k的形式，而不用y=Acos(ωx+φ)+k.

二是學(xué)生對(duì)角的概念以及三角函數(shù)的定義沒(méi)有理解清楚.

①人教社2019版高中數(shù)學(xué)A版的角的概念：我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角.為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.

②人教社2019版高中數(shù)學(xué)A版的三角函數(shù)的概念：一般地，任意給定一個(gè)角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無(wú)論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的.所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角α的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義.

設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y).

(1)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；

(2)把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα.

解題分析：摩天輪上的座艙運(yùn)動(dòng)可以近似地看作是質(zhì)點(diǎn)在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn).在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，游客距離地面的高度H呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)來(lái)刻畫(huà).

圖2

解：如圖2，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

(3)略.

一般地，由于高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)間緊，學(xué)習(xí)內(nèi)容多，很多學(xué)生不重視對(duì)做錯(cuò)題目的認(rèn)真分析，以致同類(lèi)題一錯(cuò)再錯(cuò).所以教師教學(xué)中要重視對(duì)學(xué)生錯(cuò)題的原因分析，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析出錯(cuò)的原因，然后針對(duì)性地采取相應(yīng)補(bǔ)救措施.

圖3

以2秒一周的速度繞點(diǎn)O在圓周上按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)(這里的角均指逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角).

(1)求t秒鐘后，點(diǎn)P到直線l的距離用y=f(t)(t≥0)的解析式；

二、教學(xué)思考

教師日常教學(xué)中要重視問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生積極參入教學(xué)過(guò)程，關(guān)注知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，重視數(shù)學(xué)基本對(duì)象的抽象與概括，指導(dǎo)學(xué)生弄清楚數(shù)學(xué)對(duì)象的構(gòu)成要素，理解數(shù)學(xué)方法的實(shí)質(zhì)，切實(shí)掌握好數(shù)學(xué)基本概念、基本方法、基本技能，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).作為教師，我們平常的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把教學(xué)活動(dòng)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)上，加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，樂(lè)學(xué)善學(xué).

教師要重視并督促學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行認(rèn)真分析，找到錯(cuò)因，指導(dǎo)學(xué)生彌補(bǔ)知識(shí)、方法缺陷，舉一反三，提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.同時(shí)，要有計(jì)劃地對(duì)學(xué)困生做好個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們逐步解決學(xué)習(xí)上遇到的問(wèn)題，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)信心.特別是教師在課堂教學(xué)中應(yīng)克服輕概念、重刷題的傾向，真正將“雙基”落到實(shí)處，重視基本概念的學(xué)習(xí)，力求理解和把握概念的本質(zhì).