江蘇省通州高級(jí)中學(xué) (226300)

袁 源

高考數(shù)學(xué)壓軸試題蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，是研究高考、備戰(zhàn)高考的良好素材，筆者對(duì)2021年高考數(shù)學(xué)乙卷理科20題進(jìn)行解法探究，發(fā)現(xiàn)換元法可以快速地求解，于是觸發(fā)了我的思考.

1.試題呈現(xiàn)及解析

試題設(shè)計(jì)簡潔、解題入口寬，解法靈活多樣，能有效地考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，突出綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力.在解決指數(shù)函數(shù)不等式、對(duì)數(shù)函數(shù)不等式或指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)混合不等式時(shí)，比如在解決恒成立問題或零點(diǎn)問題時(shí)，使用參變量分離法、隱零點(diǎn)代換法都避免不了復(fù)雜的計(jì)算，效果還不一定很好，然而合理使用“轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、換元”三大法寶會(huì)達(dá)到意想不到的效果.

評(píng)析：鑒于函數(shù)ln(1-x)的形式較為復(fù)雜，進(jìn)行換元，令t=ln(1-x)，再構(gòu)造函數(shù)g(t)=(t-1)et+1,t≠0求解，解法簡潔，真正體現(xiàn)了換元思想在導(dǎo)數(shù)中的運(yùn)用魅力.

2.方法應(yīng)用

例1 已知x3e2x-3lnx-ax-1≥0恒成立，求a的取值范圍.

例2 若函數(shù)f(x)=(x-2)2ex+ae-x-2a|x-2|有6個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x-2)2ex+ae-x-2a|x-2|有6個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)=(x-2)2e2x-2a|x-2|ex+a有6個(gè)零點(diǎn).令t=|x-2|ex，則g(t)=t2-2at+a，首先研究t=|x-2|ex=|(x-2)ex|，只需研究y=(x-2)ex，由y′=(x-1)ex，當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，函數(shù)y=(x-2)ex單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，函數(shù)y=(x-2)ex單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(2)=0，則可以繪制函數(shù)y=(x-2)ex的草圖如圖1，又因?yàn)閤=1時(shí)，y=-e，所以可以通過圖象的變換得出t=|x-2|ex=|(x-2)ex|的草圖如圖2.

圖1

圖2

評(píng)析：求解本題的關(guān)鍵有兩個(gè)方面，一方面可以將函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；另一方面是令t=|x-2|ex進(jìn)行換元，構(gòu)造一元二次方程即可求解問題.

可見，利用換元法解決這類指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)混合不等式問題或函數(shù)零點(diǎn)問題，可以帶來極大地便利.

好題總是回味無窮，耐人尋味，高考題深入展示了化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、換元思想在不等式的證明中的運(yùn)用.在教學(xué)中，我們應(yīng)該經(jīng)常與學(xué)生共享這些高考試題的思維探究和解法形成，引導(dǎo)學(xué)生探究解題方法，總結(jié)解題策略，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性、敏捷性、靈活性和深刻性是大有益處的.