陸蘭蘭

(江蘇省常州外國語學(xué)校 213000)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，其中綜合類問題在中考中常作為壓軸題出現(xiàn).為使得學(xué)生在解題中少走彎路，提高學(xué)生解答二次函數(shù)綜合問題的能力，應(yīng)將其作為一個(gè)專題進(jìn)行系統(tǒng)講解.二次函數(shù)綜合問題主要包括：圖形周長問題、圖形面積問題、角度關(guān)系問題、點(diǎn)的坐標(biāo)問題、圖形形狀判斷問題、參數(shù)定值問題六類，為使學(xué)生更好地掌握解決上述綜合的問題的思路與方法，教學(xué)中應(yīng)圍繞具體例題展開教學(xué)活動(dòng).

1 二次函數(shù)與圖形周長問題

二次函數(shù)與圖形周長問題常依托二次函數(shù)性質(zhì)考查一些特殊圖形周長的計(jì)算.其中一些涉及周長最值的問題往往會(huì)考查圓的性質(zhì)以及路徑最短模型.突破該類問題不僅需要熟練掌握各種圖形周長的計(jì)算方法，而且需理解與掌握相關(guān)模型的計(jì)算過程，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，結(jié)合習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境迅速構(gòu)建熟悉的模型，使得問題得以順利解決.

圖1

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求△OMN周長的最小值.

對(duì)于問題(1)根據(jù)給出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式方程，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求得具體表達(dá)式.問題(2)運(yùn)用二次函數(shù)方程求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)后，充分挖掘題干中的隱含條件，找到MN兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為求直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離之和問題，借助路徑最短模型計(jì)算出結(jié)果.

解(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)2-4，將點(diǎn)A(-3，0)代入得4a-4=0，a=1，則拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x-3；

(2)令x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1，則A(-3，0)，C(0，-3)，則容易求解出直線AC的方程為y=-x-3.設(shè)M(t，-t-3)(-3

圖2

2 二次函數(shù)與圖形面積問題

二次函數(shù)與圖形面積問題是初中數(shù)學(xué)的?？紗栴}.計(jì)算圖形面積時(shí)如若為規(guī)則圖形可聯(lián)系規(guī)則圖形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.對(duì)不規(guī)則的圖形常采用兩種方法進(jìn)行處理：方法一，將不規(guī)則圖形分割成若干規(guī)則圖形；方法二，借助圖形之間的關(guān)系通過圖形面積相減間接得出結(jié)果.如此便可將該類綜合問題轉(zhuǎn)化為求線段長度問題，借助題設(shè)條件以及二次函數(shù)圖象特點(diǎn)，不難求出最終結(jié)果.

例2已知直線y=x-3和x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B(1，0)，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，如圖3，連接CE，P為直線y=x-3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

圖3

(1)求拋物線的表達(dá)式；

問題(1)根據(jù)題干描述求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解；問題(2)運(yùn)用二次函數(shù)方程以及題干中的已知條件求出點(diǎn)P坐標(biāo)以及直線PN的表達(dá)式.將直線和拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M和點(diǎn)N坐標(biāo)，將△AFN，△BFM面積作差得出四邊形ABMN的面積.

圖4

3 二次函數(shù)與角度關(guān)系問題

二次函數(shù)與角度關(guān)系問題是初中數(shù)學(xué)各類測試中的常考問題.解答該類問題的思路是，首先運(yùn)用幾何性質(zhì)分析線段之間的長度關(guān)系得出對(duì)應(yīng)角度的大小，如等腰直角三角形、等邊三角形、圓直徑所對(duì)的圓周角等；然后借助銳角三角函數(shù)值進(jìn)行逆向推理得出對(duì)應(yīng)的角度.對(duì)于角度之間的關(guān)系，可運(yùn)用三角形內(nèi)角和，外角定理進(jìn)行分析.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)向下平移直線AB，得到過點(diǎn)M的直線y=mx+n，且和x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM-∠ACM=45°.

問題(1)根據(jù)直線方程求出點(diǎn)A坐標(biāo)結(jié)合拋物線過原點(diǎn)得出表達(dá)式.問題(2)根據(jù)直線平移后的題干求出平移后的直線方程，然后通過求出對(duì)應(yīng)線段長度得出∠DMH的正弦值以及對(duì)應(yīng)角度大小，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用外角定理證明得出結(jié)論.

4 二次函數(shù)與點(diǎn)的坐標(biāo)問題

二次函數(shù)與點(diǎn)的坐標(biāo)問題常結(jié)合相關(guān)圖形進(jìn)行設(shè)問，要求學(xué)生計(jì)算出滿足某一條件的點(diǎn)的坐標(biāo).解答該類問題思路因題而異，如要求滿足某個(gè)圖形形狀時(shí)則需運(yùn)用圖形性質(zhì)，當(dāng)為直角三角形時(shí)應(yīng)注重勾股定理的應(yīng)用，判斷線段、角度關(guān)系得出點(diǎn)的坐標(biāo).要求滿足某個(gè)圖形周長、面積問題時(shí)需要表示出對(duì)應(yīng)的周長、面積.對(duì)于一些最值型問題需借助二次函數(shù)性質(zhì)，確定具體坐標(biāo)來解答.

綜上所述，二次函數(shù)綜合問題難度較大，教學(xué)實(shí)踐中既要做好相關(guān)問題類型的歸納與總結(jié)，以及不同類型問題求解過程的講解，又要要求學(xué)生做好聽課筆記，把握解決不同綜合問題的細(xì)節(jié)，并在課下開展針對(duì)性的訓(xùn)練活動(dòng)，更好地鞏固所學(xué)知識(shí)，鍛煉解題靈活性，實(shí)現(xiàn)解題能力的進(jìn)一步提升.