?衡陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

聶 靜 彭嘉瑤 羅振國(guó) 羅李平

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》[1]從教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施的幾個(gè)主要環(huán)節(jié)提出了數(shù)學(xué)教學(xué)建議，而落實(shí)這些建議的關(guān)鍵是實(shí)施單元教學(xué).單元教學(xué)強(qiáng)調(diào)基于整體視角重構(gòu)知識(shí)體系，防止知識(shí)教學(xué)碎片化，要求教師將零碎的知識(shí)以本身的邏輯關(guān)系或者數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析、重組與整合，以促進(jìn)學(xué)生深化理解知識(shí)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力以及提高核心素養(yǎng)具有重要意義.近年來(lái)，以三角函數(shù)[2]、平面向量[3]、高中函數(shù)[4]、直線與平面平行[5]、數(shù)列[6]等知識(shí)本身的邏輯關(guān)系進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)的理論和實(shí)踐研究成果比較多，但很少涉及復(fù)習(xí)課.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》[1]同時(shí)指出復(fù)習(xí)課的復(fù)習(xí)題要關(guān)注單元知識(shí)的系統(tǒng)性，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，增進(jìn)復(fù)習(xí)的有效性，達(dá)到相應(yīng)單元的“學(xué)業(yè)要求”.數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想，它可以把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，進(jìn)行幾何直觀的分析與代數(shù)抽象的探索.本研究基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，以復(fù)習(xí)課為視角，探索以數(shù)形結(jié)合思想為主線的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的單元教學(xué)設(shè)計(jì).

2 數(shù)形結(jié)合思想涉及的知識(shí)內(nèi)容

現(xiàn)對(duì)高中數(shù)學(xué)中涉及數(shù)形結(jié)合思想的知識(shí)點(diǎn)作以下梳理：函數(shù)與方程和不等式、集合中的Venn圖、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最值、三角函數(shù)的概念、用三角函數(shù)解三角形、平面向量的概念與運(yùn)算、復(fù)數(shù)的表示、解析幾何中涉及的平行、垂直的證明與距離、角度的計(jì)算(以數(shù)解形)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、幾何概率等.

從數(shù)形結(jié)合涉及的知識(shí)點(diǎn)可以看出，數(shù)形結(jié)合思想幾乎貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程.

3 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過(guò)程中已經(jīng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想涉及的各知識(shí)點(diǎn)有所理解，但由于高中數(shù)學(xué)知識(shí)高度抽象，可能對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)的理解不夠深刻；同時(shí)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有了初步體會(huì)，有的學(xué)生可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合可以把抽象的問(wèn)題直觀化，但是更多的學(xué)生還是偏向于喜歡從小學(xué)就開(kāi)始接觸的代數(shù)法，缺少對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí).

4 教學(xué)目標(biāo)

下面摘錄高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中涉及數(shù)形結(jié)合思想的部分知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)目標(biāo)要求.

(1)函數(shù)與方程和不等式：

借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.

(2)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值：

借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、 最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義.

(3)三角函數(shù)的概念：

借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會(huì)引入弧度制的必要性.

(4)復(fù)數(shù)的表示：

掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義.

(5)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

以上教學(xué)目標(biāo)中都提到了借助圖形或者幾何意義理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生在學(xué)習(xí)新課時(shí)已經(jīng)有所把握.

現(xiàn)將以復(fù)習(xí)課為視角，以數(shù)形結(jié)合思想為主線的復(fù)習(xí)課單元教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：注重?cái)?shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，深化理解數(shù)學(xué)概念，提高解題的效率.

5 例談數(shù)形結(jié)合思想單元教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施

下面結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知程度，從數(shù)形結(jié)合思想有利于學(xué)生深化理解數(shù)學(xué)概念和提高解題效率兩個(gè)方面進(jìn)行舉例說(shuō)明，引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度進(jìn)行探究.

5.1 數(shù)形結(jié)合思想有利于深化理解數(shù)學(xué)概念

(1)利用數(shù)形結(jié)合思想深化理解函數(shù)單調(diào)性.

圖1

(2)利用數(shù)形結(jié)合思想深化理解導(dǎo)數(shù)幾何意義.

導(dǎo)數(shù)的概念涉及極限的思想，抽象性很強(qiáng)，甚至對(duì)于切線的概念學(xué)生都會(huì)感到很抽象，所以僅對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行符號(hào)語(yǔ)言的描述，學(xué)生很難接受.也許在初學(xué)時(shí)記住了導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，但是，學(xué)生可能還達(dá)不到對(duì)其真正深入理解.

圖2

如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切，學(xué)生對(duì)此結(jié)論很熟悉.如圖2所示，過(guò)點(diǎn)A(0,1)作單位圓x2+y2=1的切線，學(xué)生很快可以給出這條切線的方程為y=1.

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義來(lái)推導(dǎo)單位圓在點(diǎn)A(0,1)處的切線方程，看是否與y=1一致.

在x0=0處，由導(dǎo)數(shù)定義，得

即f′(x0)=k=0.

學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)出單位圓在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為0，從而利用點(diǎn)斜式得出單位圓在點(diǎn)A(0,1)處的切線方程為y=1.這與學(xué)生已知的“過(guò)點(diǎn)A(0,1)作單位圓的切線的方程為y=1”完全一致，從而使學(xué)生更深刻、更信服地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率.

(3)利用數(shù)形結(jié)合思想深化理解虛數(shù)單位i的含義及虛軸的產(chǎn)生.

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念與幾何意義，但是很多學(xué)生仍然不理解i的含義，還有為什么y軸可以表示虛軸？現(xiàn)從圖形上引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)而深化理解.

圖3

我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，如圖3所示，我們用數(shù)軸上的點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)b，b乘-1得到實(shí)數(shù)-b,-b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′， 則點(diǎn)A′可以看作將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O(逆時(shí)針)旋轉(zhuǎn)180°所得[7].(下文提到的旋轉(zhuǎn)均默認(rèn)為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).)

圖4

由i2=-1，即i·i=-1，那么b·(-1)=b·(i·i)=b·i·i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以看作將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O連續(xù)作兩次旋轉(zhuǎn)90°所得[7].如圖4所示，b·i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以看作點(diǎn)A繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°所得，那么bi所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都可以在這條垂直于數(shù)軸的直線上，這樣虛軸就產(chǎn)生了，使學(xué)生深化理解了為什么y軸可以表示虛軸.bi·i表示虛軸上的點(diǎn)再次旋轉(zhuǎn)90°，即得到-b在數(shù)軸上的點(diǎn)A′.

這里利用數(shù)形結(jié)合思想使學(xué)生直觀感知到虛軸是怎么產(chǎn)生的，并深刻理解了i的含義.

利用數(shù)形結(jié)合思想還可以深化理解三角函數(shù)的定義、向量概念與運(yùn)算等，這里不再例談.

5.2 數(shù)形結(jié)合思想有利于提高學(xué)生解題的效率

(1)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助函數(shù)圖象討論方程的解的個(gè)數(shù).

基本思想：先把方程兩邊的式子變成兩個(gè)熟悉的函數(shù)表達(dá)式，然后結(jié)合圖象進(jìn)行分析.

例1已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

分析：由f(x)=|x2+3x|，將f(x)-a|x-1|=0化為|x2+3x|=a|x-1|.令g(x)=a|x-1|,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，即當(dāng)函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍.如圖5所示，分別畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，利用函數(shù)圖象直觀地分析交點(diǎn)的大致情況，從而求出a的取值范圍.

圖5

(2)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助復(fù)數(shù)幾何意義解決復(fù)數(shù)相關(guān)問(wèn)題.

基本思想：從題目所給式子的形式(適時(shí)變形)，基于復(fù)數(shù)幾何意義解題.

例2如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是多少？

分析：此題若是用代數(shù)方法設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，由于條件中含有兩個(gè)絕對(duì)值，因此做起來(lái)會(huì)非常麻煩.引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想與復(fù)數(shù)的幾何意義去求解，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.

圖6

如圖6所示，設(shè)復(fù)數(shù)z，i，-i,-1-i分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z,A(0，1)，B(0，-1)，C(-1，-1).|z+i|可以看作是點(diǎn)Z到B的距離，|z-i|可以看作是點(diǎn)Z到點(diǎn)A的距離，|z+i|+|z-i|=2可以看作是點(diǎn)Z到點(diǎn)B與點(diǎn)Z到點(diǎn)A的距離之和為2，從而得到點(diǎn)Z在線段AB上；|z+i+1|的最小值可以看作點(diǎn)Z到點(diǎn)C的距離.由圖形可以直觀判斷出：當(dāng)點(diǎn)Z與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Z到點(diǎn)C的距離，即|z+i+1|的最小值為1.

(3)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助解析幾何中斜率、距離等幾何意義解決最值問(wèn)題.

基本思想：從題目所給式子的結(jié)構(gòu)形式(或適當(dāng)變形)，利用式子的幾何意義解題，充分利用數(shù)形結(jié)合思想.

例3已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求：

(2)y-x的最小值；

(3)x2+y2的最大值和最小值.

圖7

利用數(shù)形結(jié)合思想還可以解決線性規(guī)劃、幾何概率等問(wèn)題，這里不再例談.

6 評(píng)價(jià)與反思

以數(shù)形結(jié)合思想作為一個(gè)大單元進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，有利于提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí).以復(fù)習(xí)課的視角，基于學(xué)生已有的認(rèn)知程度，舉例說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想可以使學(xué)生深化理解比較抽象的數(shù)學(xué)概念，提高解決問(wèn)題的效率，培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維能力，促進(jìn)了核心素養(yǎng)的發(fā)展.