浙江省諸暨市草塔中學(xué)

金鐵強(qiáng)

橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)弦或焦半徑的問(wèn)題是解析幾何中的常規(guī)考點(diǎn)，很多老師在講解的時(shí)候喜歡用“設(shè)而不求”來(lái)解決問(wèn)題.但用此法來(lái)處理焦點(diǎn)弦問(wèn)題也有其弊端，一是步驟過(guò)多，二是有些問(wèn)題不能直接用此法求解，必須再要用到“設(shè)而求之”才能解決.對(duì)于現(xiàn)在的多變題型，已經(jīng)達(dá)不到通解通法的要求，因此有必要對(duì)圓錐曲線焦半徑公式進(jìn)行進(jìn)一步的挖掘和整理，才能適應(yīng)當(dāng)前高考題型的發(fā)展趨勢(shì)，讓學(xué)生能夠更直觀地解題.

1 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓焦半徑公式的推導(dǎo)及應(yīng)用

圖1

這個(gè)公式把焦點(diǎn)弦分成上下兩部分，每部分的焦半徑都有自己的表達(dá)式，這樣對(duì)于條件運(yùn)用可以更直接明了.

圖2

解析1雖步驟不多，但運(yùn)算復(fù)雜.如果我們用焦半徑公式，整個(gè)問(wèn)題就豁然開(kāi)朗.

綜上可知：A(0，1)或A(0，1).

分析公式的本源可得出很簡(jiǎn)單的結(jié)論，焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)及被焦點(diǎn)分開(kāi)的兩段焦半徑的比例值其實(shí)與橢圓的形狀(即a，c的值)，與焦點(diǎn)弦所在直線的方向(即斜率k或傾斜角α)存在關(guān)系，即a，c，α三個(gè)量決定了焦點(diǎn)弦的一切，那我們不妨直接利用這樣的代數(shù)關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，解題就方便多了.

2 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線焦半徑公式的應(yīng)用

同樣地，該公式也適用于雙曲線.

解析：由條件知，若焦點(diǎn)弦為一條交于雙支，一條交于單支，則不能構(gòu)成四邊形，則兩條焦點(diǎn)弦都交于左支或都交于雙支.

利用公式直接代入，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，優(yōu)點(diǎn)顯而易見(jiàn).

3 焦點(diǎn)在y軸上的圓錐曲線焦半徑公式

圖3

因此，簡(jiǎn)單總結(jié)如下：