楊 茜，曾 忠，李家宇,張良奇

(重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶 400044)

液滴在電場作用下發(fā)生變形及運動，這種現(xiàn)象廣泛存在于自然界和工業(yè)應(yīng)用中。例如，雨滴在雷暴中發(fā)生爆裂[1]；在石油工業(yè)中，通過電場控制促進液滴融合，有助于實現(xiàn)油水分離[2]；在微流控裝置中，通過電融合可以精確、無污染地控制試劑的混合[3]等。

相比于直流電場中的液滴研究，弱導(dǎo)電液滴在交變電場中的運動和變形研究還鮮有報道[4-6]。對于單個液滴變形，Torza等[4]通過理論和實驗研究了交變電場下弱導(dǎo)電液滴的變形，發(fā)現(xiàn)交變電場頻率會影響液滴的平均變形：當(dāng)頻率趨于0時，交變電場中液滴的平均變形收斂于等效直流電場中的漏電介質(zhì)模型穩(wěn)態(tài)解[7]；當(dāng)頻率趨近于無窮大時，交變電場中液滴的平均變形收斂于基于理想介質(zhì)模型得到的穩(wěn)態(tài)解[8]。Esmaeeli等[9]基于漏電介質(zhì)模型研究了交變電場中二維液滴的變形，結(jié)果表明對于所有的電導(dǎo)率比和介電常數(shù)比，液滴在交變電場中的平均變形與等效直流電場作用下的穩(wěn)態(tài)變形相等。根據(jù)漏電介質(zhì)模型的假設(shè)，電荷弛豫時間應(yīng)當(dāng)遠小于流動時間，而當(dāng)電場頻率過高時，流動時間減小，漏電介質(zhì)模型將不再適用，這就限制了Esmaeeli等的研究所采用的電場頻率。為了克服漏電介質(zhì)模型對電場頻率的限制，López-Herrera等[10]提出了基于電荷守恒方程的兩相流模型，并被Sahu等[11]用于交變電場中軸對稱弱導(dǎo)電液滴的變形研究，結(jié)果表明當(dāng)電導(dǎo)率比和介電常數(shù)比不相等時，液滴在交變電場中的平均變形與等效直流電場產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)變形不相等，但他們并未對電場頻率的影響進行深入研究。對于雙液滴在交變電場的融合，當(dāng)前研究主要關(guān)注油包水乳狀液，適用于理想電介質(zhì)模型，國內(nèi)外學(xué)者研究了電場頻率[12-13]、電場強度[14]、液滴半徑[15]、雙液滴間距[16-17]及油水界面張力[18]等因素對雙液滴融合的影響。此外，陳曉東等[19]采用漏電介質(zhì)模型研究了雙液滴在交流電場下的相互作用變形。綜上所述，當(dāng)前對于交變電場中液滴變形的研究主要采用理想電介質(zhì)模型和漏電介質(zhì)模型，而弱導(dǎo)電液滴在交變電場中的變形和融合還未得到充分關(guān)注，交變電場頻率對液滴變形作用的物理機理也尚不明確。

常見的界面捕捉數(shù)值方法可以分為兩類：一是追蹤拉格朗日界面標記點的界面追蹤方法，例如front-tracking方法[20]等；二是用一個標量標識函數(shù)(體積分數(shù)或相變量)來區(qū)分不同相態(tài)流體的界面捕捉方法，例如volume of fluid (VOF)方法[21]、level set方法[22]和相場方法[23]等。采用front-tracking方法和漏電介質(zhì)模型，F(xiàn)ernández等[24-25]研究了直流電場和剪切流動共同作用下多個液滴的變形。Hua等[26]采用front-tracking方法，研究了直流電場下單個液滴的變形。雖然front-tracking方法可以準確追蹤相界面位置，但在處理液滴破裂和融合等復(fù)雜拓撲變化時會遇到困難，需要額外的特殊處理。界面捕捉方法通過求解關(guān)于界面識別函數(shù)的對流擴散方程來反映界面運動和變形，可以有效捕捉復(fù)雜界面拓撲變化。M?hlmann等[27]采用level set方法，研究了直流電場作用下，雷諾數(shù)對剪切流動中的液滴的影響。結(jié)合VOF方法和level set方法，Tomar等[28]研究了直流電場中導(dǎo)電液滴的變形和融合。Lin等[29]采用相場方法和漏電介質(zhì)模型，研究了直流電場中雙液滴的融合。考慮到漏電介質(zhì)模型的局限性，López-Herrera等[10]引入電荷守恒模型以考慮電荷的輸運，發(fā)展了基于VOF方法的電場作用下兩相流動模型。相比于VOF和level set方法，相場方法具有堅實的理論基礎(chǔ)，既能保證質(zhì)量、能量守恒以及滿足熱力學(xué)第二定律，還可以通過修正界面自由能泛函引入復(fù)雜的流體屬性和物理效應(yīng)，例如黏彈性多相流動[30]、表面活性劑作用[31]、壁面濕潤性[32-33]以及熱毛細效應(yīng)[34]。此外，在數(shù)值層面上，相場方法描述相界面運動和變形無需引入額外的非物理處理。因此筆者選擇相場方法捕捉界面運動和變形，采用電荷守恒模型描述電荷的輸運，發(fā)展了考慮電場作用的兩相流數(shù)值方法，在OpenFOAM框架下完成程序開發(fā)，研究不同頻率交變電場作用下弱導(dǎo)電單個液滴變形和雙液滴融合，系統(tǒng)分析了不同電物性參數(shù)條件下電場頻率對液滴變形和融合時間的影響。

1 基本理論

1.1 Cahn-Hilliard相場模型

相場方法是基于自由能理論的一種擴散界面方法。對于兩相不混溶流體A和B，令流體A的體積分數(shù)為C，則流體B的體積分數(shù)為1-C，體積分數(shù)C即為相變量，它隨時間的演化由Cahn-Hilliard方程[35]來控制：

(1)

(2)

式中：u是流動速度；M為遷移率；φ為化學(xué)勢，由總自由能泛函對相分數(shù)的變分得到；ε為界面厚度；σ為表面張力系數(shù)；a為待定系數(shù)；t是時間。對于沒有外界質(zhì)量流入的邊界，化學(xué)勢φ的邊界條件為

nw·?φ=0，

(3)

式中nw為邊界的外法向方向矢量。

van der Waals[36]提出當(dāng)相分布處于平衡狀態(tài)時自由能應(yīng)取極值，此時化學(xué)勢φ=0，所得一維相分布為

(4)

在自由能理論中，表面張力的作用可理解為單位相界面上的自由能，對于平衡態(tài)的界面[31]可得到

(5)

(6)

(7)

1.2 電場控制方程

根據(jù)電流體動力學(xué)理論，產(chǎn)生的動態(tài)電流很小時，可以忽略磁感應(yīng)效應(yīng)，因此電場強度是無旋的，即?×E=0。對于電介質(zhì)流體，由高斯定律可得

?·(εEE)=ρE，

(8)

式中：εE為流體的介電常數(shù)，ρE為體電荷密度。電荷守恒方程為：

(9)

式中σE為流體的電導(dǎo)率。

(10)

方程(8)和(9)可寫為：

(11)

(12)

電場力Fe的表達式為：

(13)

式中：第一項為庫侖力，第二項為極化應(yīng)力。

1.3 流動控制方程

對于等溫不可壓兩相流動，流體運動控制方程為不可壓縮的N-S方程組：

(14)

式中：ρ為密度；p為壓強；μ為黏性。此外，流動方程中各物性參數(shù)定義如下：

ρ=ρ1C+ρ2(1-C)，

μ=μ1C+μ2(1-C)，

εE=εE1εE2/(εE1(1-C)+εE2C)，

σE=σE1σE2/(σE1(1-C)+σE2C)。

(15)

(16)

無量綱電場方程為：

(17)

(18)

無量綱相場方程為：

(19)

定義密度比λρ=ρ1/ρ2，黏性比λμ=μ1/μ2，介電常數(shù)比Q=εE1/εE2，電導(dǎo)率比R=σE1/σE2，由此得到的無量綱物性參數(shù)為：

(20)

1.4 求解步驟

1)求解對流Cahn-Hilliard方程(19)，更新相變量分布C；

2)根據(jù)方程(20)更新物性參數(shù)ρ、μ、εE和σE；

4)計算表面張力Fs和電場力Fe；

5)采用PISO迭代算法求解N-S方程組(16)，得到新的速度場u和壓力場p。

2 模型和程序驗證

2.1 Laplace定律

根據(jù)Laplace定律，在表面張力的作用下，靜止的孤立液滴將會處于平衡狀態(tài)，液滴的內(nèi)外壓差Δptheory將由液滴半徑R0和表面張力系數(shù)σ決定，理論表達式為

(21)

式中：對于二維平面問題，k=1，對于二維軸對稱和三維問題，k=2。

圖1 在y=1上相對壓力的分布曲線Fig. 1 The profiles of relative pressure at y=1

表1 內(nèi)外壓差數(shù)值解與理論解的相對誤差

2.2 剪切液滴變形

對液滴在剪切流動下的變形進行數(shù)值模擬。采用二維平面模型，計算域為邊長為2的正方形，網(wǎng)格為200×200，液滴位于計算域中心，半徑為0.5，Cn為0.01，遷移率系數(shù)M0為0.01，液滴密度和黏性與環(huán)境流體相同。雷諾數(shù)Re為1，毛細數(shù)Ca分別取0.2、0.4和0.9。左右邊界為周期邊界，上下邊界速度分別為(±1，0)，初始條件為庫埃特流速度分布。定義變形率D=(L1-B1)/(L1+B1)，其中L1是界面到液滴中心的最大距離，B1是界面到液滴中心的最小距離。圖2給出了Ca分別為0.2、0.4和0.9時的計算結(jié)果，液滴隨時間變化的變形率與文獻結(jié)果吻合良好。Ding等[40]和Hu等[41]均采用相場方法描述界面運動，本文的結(jié)果和Hu等的結(jié)果更為吻合，有效驗證了當(dāng)前數(shù)值計算的界面變形捕捉精度。

圖2 不同毛細數(shù)下液滴的變形率隨時間的變化Fig. 2 Temporal variations of the deformation rate of droplets for different Ca

2.3 電荷守恒模型驗證

為驗證電荷守恒模型，分別對直流電場作用下的理想電介質(zhì)液滴和漏電介質(zhì)液滴變形進行研究。對于理想電介質(zhì)液滴，計算域為3×6，液滴半徑為1，雷諾數(shù)Re為3.64，韋伯?dāng)?shù)We為1，介電常數(shù)比Q為5，Cn為0.02，遷移率系數(shù)M0為0.001。圖3為直流電場中液滴變形率D隨電毛細數(shù)CaE的變化，并與文獻[11,26,29,42]的結(jié)果進行對比。本文的結(jié)果和Lin等[29]采用相場方法和理想電介質(zhì)模型的結(jié)果吻合較好，說明提出的模型能夠準確地模擬理想電介質(zhì)液滴的變形。

圖3 直流電場中理想電介質(zhì)液滴變形率隨電毛細數(shù)CaE的變化Fig. 3 Variations of the deformation rate of the perfect dielectric droplet with electrical capillary number in the DC field

參考Sahu等[11]對漏電介質(zhì)液滴變形的研究，選擇計算域為3×6(液滴半徑為1)，Cn為0.02，遷移率系數(shù)M0為0.001，雷諾數(shù)Re=1，韋伯?dāng)?shù)We=1，介電常數(shù)比Q=10，電毛細數(shù)CaE=0.183，Oc=2.68。圖4給出了計算得到的直流電場中液滴變形率D隨電導(dǎo)率比R的變化，可以看出當(dāng)前結(jié)果與參考結(jié)果一致，本文的數(shù)值方法能夠準確描述漏電介質(zhì)液滴的變形。

圖4 直流電場中漏電介質(zhì)液滴變形率D隨電導(dǎo)率比R的變化Fig. 4 Variations of the deformation rate of the leaky dielectric droplet with electrical conductivity ratio in the DC field

3 交變電場中液滴的變形和融合

圖5 交變電場中液滴的變形流動循環(huán)圖[4]Fig. 5 Deformation-circulation map of a droplet in an alternating electric field[4]

采用二維軸對稱模型，分別對電場中單個液滴的變形和雙液滴的融合進行研究。對于圖6(a)所示的單個液滴和圖6(b)所示的雙液滴，液滴半徑為Rd=1，雙液滴初始界面間最短距離為l0=0.4。計算域特征尺寸L=5，網(wǎng)格為320×640，Cn=0.02，遷移率系數(shù)M0=0.001，雷諾數(shù)Re=1，毛細數(shù)Ca=1，電毛細數(shù)CaE=1，Oc=1。

圖6 軸對稱液滴示意圖Fig. 6 Schematic diagram of axisymmetric droplet

采用固定介電常數(shù)比Q=8，電導(dǎo)率比R分別取值為2、6、8和10。

3.1 Q=R

當(dāng)Q=R時，在不同頻率下，液滴變形率隨時間的變化率如圖7所示，雙液滴之間最短距離隨時間變化如圖8所示。

圖7 不同頻率下液滴變形率隨時間的變化Fig. 7 Temporal variations of deformation rate of droplet for different frequencies

圖8 雙液滴界面間最短距離隨時間變化Fig. 8 Temporal variations of the shortest distance between two droplets for different frequencies

當(dāng)Q=R時，如圖7所示，在等效直流電場和交變電場中，液滴的變形率D>0，呈扁長變形。隨著頻率增大，液滴變形振蕩幅度減小。這是因為當(dāng)交變電場頻率較小時，液滴有足夠的時間發(fā)生變形，產(chǎn)生較大的變形率。而當(dāng)頻率較大時，液滴還未達到變形極限，電場強度就減小，電場力隨之減小，在表面張力的作用下，液滴開始回縮，變形率減小，所以振蕩變形幅度減小。液滴在不同頻率下的平均變形率和等效直流電場的穩(wěn)態(tài)變形率相等。換言之，當(dāng)Q=R時，液滴的平均變形率與頻率無關(guān)。由于此時液滴的平均速度為零，界面處電荷密度為零，相當(dāng)于理想電介質(zhì)流體，所以僅有極化應(yīng)力產(chǎn)生電場力作用。同時可以發(fā)現(xiàn)，液滴變形率的振蕩頻率約為交變電場頻率的兩倍，這與Torza等[4]的理論分析和Esmaeeli等[9]的數(shù)值模擬結(jié)果一致。

如圖8所示，對于雙液滴融合問題，基于交變電場所得液滴界面間的最短距離l繞lDC振蕩。由于振蕩變形的原因，交變電場中的雙液滴會比等效直流電場中的雙液滴先融合，且隨著頻率減小，液滴的變形振蕩幅度增大，使得雙液滴的融合時間縮短，有助于提高液滴融合效率。

3.2 Q≠R

3.2.1 區(qū)域I

如圖10所示，隨著電場頻率增大，雙液滴的融合時間不斷減小。扁長形變形有利于液滴融合，因此當(dāng)大于臨界頻率時，液滴的融合時間急劇減小。當(dāng)小于臨界頻率時，液滴呈扁圓形變形，不利于液滴融合。

圖10 雙液滴界面最短距離隨時間的變化Fig. 10 Temporal variations of the shortest distance between two droplets with different frequencies

3.2.2 區(qū)域II

當(dāng)Q=8，R=6時，當(dāng)前電物性參數(shù)取值位于區(qū)域II。如圖11所示，在等效直流電場和交變電場中，液滴的變形率D>0，液滴呈扁長形，而且液滴的變形振蕩幅度隨著頻率增大而減小。和位于區(qū)域I時的液滴一樣，隨著頻率增大，液滴的平均變形率Dm不斷增大，液滴的平均變形大于等效直流電場的穩(wěn)態(tài)變形，即Dm>DDC。這是因為電場力由兩部分組成，如等式(13)所示，第一項為電荷產(chǎn)生的庫侖力，第二項為極化應(yīng)力產(chǎn)生的電場力，當(dāng)Q>R時，面向電勢高的電極板的界面電荷為正電荷，面向電勢低的電極板的界面電荷為負電荷[4]，電荷密度在液滴軸向兩端最大，并沿著界面向徑向逐漸減小，此時電荷產(chǎn)生的庫侖力指向液滴內(nèi)部。隨著頻率減小，界面電荷增大，電荷貢獻的庫侖力增大，抑制液滴向扁長變形，因此液滴的平均變形率減小。

對于液滴融合，如圖12所示，由于隨著頻率增大，平均變形率Dm增大，使得液滴界面間的距離減小，雙液滴更易于聚結(jié)。此外，還存在臨界低頻率值，當(dāng)小于該臨界頻率時，雖然平均變形率Dm相對減小，但液滴的變形振蕩幅度增加(如圖11所示)，雙液滴間的界面間距振蕩幅度也變大，易于促進液滴融合。

圖11 不同頻率下液滴變形率隨時間的變化Fig. 11 Temporal variations of the deformation rate of droplet with different frequencies

圖12 雙液滴界面最短距離隨時間的變化Fig. 12 Temporal variations of the shortest distance between two droplets with different frequencies

3.2.3 區(qū)域III

當(dāng)Q=8，R=10時，位于區(qū)域III。如圖13所示，在等效直流電場和交變電場中，液滴的變形率D>0，液滴呈扁長形。隨著頻率增大，液滴的變形振蕩幅度減小，且平均變形率增大。當(dāng)Q

如圖14所示，隨著頻率減小，液滴的平均變形率和變形振蕩幅度都隨之增大，因此雙液滴的融合時間減小。存在臨界頻率fcr，當(dāng)f>fcr，液滴的平均變形小于等效直流電場的穩(wěn)態(tài)變形，即DmDDC，顯然液滴更易聚結(jié)。

圖13 不同頻率下液滴變形率隨時間的變化Fig. 13 Temporal variations of deformation rate the droplet with different frequencies

圖14 不同頻率下，雙液滴界面最短距離隨時間的變化Fig. 14 Temporal variations of the shortest distance between two droplets with different frequencies

4 結(jié) 論

選擇相場法捕捉界面運動，采用電荷守恒模型描述電荷輸運，發(fā)展了考慮電場作用的兩相流動數(shù)值方法，并在OpenFOAM框架內(nèi)完成程序開發(fā)，系統(tǒng)研究了交變電場頻率對單個液滴變形和雙液滴融合的影響。研究結(jié)果表明，隨著頻率增大，液滴的變形振蕩幅度減小，變形振蕩頻率約為交變電場頻率的2倍。當(dāng)Q≥R時，相比于等效直流電場，交變電場更能夠促進液滴融合。當(dāng)Q=R時，液滴的平均變形率和等效直流電場的穩(wěn)態(tài)變形率相等，隨著頻率降低，雙液滴融合時間減少，此時低頻能夠促進液滴融合。當(dāng)Q>R時，隨著頻率增大，液滴的平均變形率增大，雙液滴的聚結(jié)時間減小，而當(dāng)頻率減小到一定值時，由于液滴振蕩變形率增大，雙液滴的聚結(jié)時間也會減少，因此高頻能夠促進液滴融合，同時對于當(dāng)前液滴初始間距，當(dāng)頻率足夠小，也有利于液滴融合。當(dāng)Q