王 薇， 張 靜

(1.北京教育科學(xué)研究院， 北京 100049；2.北京市一零一中學(xué)石油分校， 北京 100049)

在數(shù)學(xué)教育中，問題解決能力是指“能解決帶有實(shí)際意義的和有關(guān)學(xué)科中的數(shù)學(xué)問題以及解決生產(chǎn)和日常生活中的實(shí)際問題的能力”[1]，是數(shù)學(xué)能力的重要組成?；诨顒永碚摰暮诵乃枷?，提出促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力的學(xué)習(xí)活動框架及實(shí)施策略，旨在更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力。

一、數(shù)學(xué)問題解決能力的基本要求

(一)問題解決能力的含義分析

我國2011年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的總目標(biāo)提出，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力[2]。在總目標(biāo)的具體闡述中提出，學(xué)生初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；初步形成評價(jià)與反思的意識。

問題解決能力與應(yīng)用意識密切關(guān)聯(lián)。應(yīng)用意識的內(nèi)涵有兩方面：一是有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題；二是認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，綜合實(shí)踐活動是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體。

(二)問題解決能力的目標(biāo)要求

我國對義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的發(fā)展目標(biāo)，從發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決實(shí)際問題、體驗(yàn)方法的多樣性、分析問題和解決問題的方法、檢驗(yàn)解決過程、評價(jià)與反思、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科和生活的聯(lián)系、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識等方面提出要求，其中“發(fā)現(xiàn)和提出問題”要求“初步學(xué)會”，“分析和解決實(shí)際問題”要求“綜合運(yùn)用”，“解決問題方法的多樣性”要求“經(jīng)歷體驗(yàn)”，“分析問題和解決問題的方法”要求“掌握”，“評價(jià)與反思”要求“形成意識”，“數(shù)學(xué)與其他學(xué)科和生活的關(guān)聯(lián)”要求“體會聯(lián)系”等。

二、指向問題解決能力發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動內(nèi)涵及功能

(一)指向問題解決能力的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動內(nèi)涵

由維果茨基、列昂捷夫提出并發(fā)展的活動理論認(rèn)為，活動在知識技能內(nèi)化過程中起到橋梁性作用?；顒酉到y(tǒng)中包含三個(gè)核心要素和三個(gè)次要要素，分別是主體、客體、共同體，工具、規(guī)則、分工[3]。在活動理論視角下，“活動”具有四個(gè)基本特征：活動總是由主體實(shí)現(xiàn)的；活動是主體與客體的交互作用；活動總是創(chuàng)造性的；活動是獨(dú)立的[4]。

活動理論為教學(xué)設(shè)計(jì)分析學(xué)習(xí)過程和結(jié)果提供了新的視角。它關(guān)注的不是知識狀態(tài)，而是學(xué)生參與的活動、學(xué)生在活動中使用的工具、活動中合作學(xué)習(xí)者的社會關(guān)系和情境化的關(guān)系、活動的目的和意圖以及活動的客體或結(jié)果[5]?；诨顒永碚摰幕舅枷耄赶騿栴}解決能力的學(xué)習(xí)活動的內(nèi)涵，是指將抽象的數(shù)學(xué)知識向真實(shí)世界和真實(shí)問題的任務(wù)轉(zhuǎn)化，使課堂教學(xué)成為以解決任務(wù)為中心的活動，學(xué)生通過操作、游戲、匯報(bào)、表演等方式參與任務(wù)探究，從而獲得知識，發(fā)展問題解決能力。

(二)指向問題解決能力的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動原則

在內(nèi)涵界定和基本框架下，提出促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的學(xué)習(xí)活動的實(shí)施原則：第一，把握知識本質(zhì)。數(shù)學(xué)知識是基礎(chǔ)，問題解決能力的培養(yǎng)需要引導(dǎo)學(xué)生感悟知識的本質(zhì)，體會知識的聯(lián)系。第二，創(chuàng)設(shè)問題情境。問題情境是載體，問題解決能力的發(fā)展需要建立在學(xué)生對現(xiàn)實(shí)世界的思考和經(jīng)驗(yàn)積累之上，要在與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的情境中獲取知識。第三，建立共同體。合作性“學(xué)習(xí)活動”可以為每個(gè)成員提供良好的知識資源，學(xué)習(xí)共同體使每個(gè)成員能夠從中獲得更多的知識[6]。共同體的建立不僅要依據(jù)每個(gè)學(xué)生的學(xué)業(yè)基礎(chǔ)，而且要依據(jù)他們的思維類型和認(rèn)知傾向。關(guān)注共同體參與者的不同觀點(diǎn)，使其充分表達(dá)與對話。第四，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程?；顒舆^程是關(guān)鍵，問題解決能力的對象是學(xué)生，教師不必過分關(guān)注自己的講課技巧，而應(yīng)更多關(guān)注學(xué)生的思考、探究、交流等學(xué)習(xí)過程?；顒舆M(jìn)程的動態(tài)性使得課堂上經(jīng)常出現(xiàn)預(yù)期外的新問題和新觀點(diǎn)，對學(xué)生知識和能力的形成具有重要價(jià)值，教師需要及時(shí)捕捉、正確評價(jià)并加以利用[7]。

(三)指向數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的學(xué)習(xí)活動功能

1.增加了將數(shù)學(xué)應(yīng)用于數(shù)學(xué)以外的情境中的機(jī)會

促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的學(xué)習(xí)活動模式，提倡以活動為載體開展課堂教學(xué)，活動不僅融合了數(shù)學(xué)內(nèi)部相互聯(lián)系的諸多知識，而且涉及數(shù)學(xué)以外的其他知識，幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)既可以與其他學(xué)科建立聯(lián)系，如數(shù)學(xué)與自然科學(xué)、社會科學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融和商業(yè)之間的聯(lián)系，也可以與日常生活建立聯(lián)系，讓學(xué)生有足夠的機(jī)會體驗(yàn)在一個(gè)特殊情境中數(shù)學(xué)是怎樣發(fā)揮作用的，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的體會。比如教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)天氣方面的科學(xué)活動，讓學(xué)生在測量數(shù)據(jù)、觀察數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、交流數(shù)據(jù)的活動中，體會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的過程，掌握運(yùn)用數(shù)據(jù)的方法和思路。

2.幫助學(xué)生建立起嚴(yán)密的問題分析框架

促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的學(xué)習(xí)活動模式，要求教師每節(jié)課都要設(shè)計(jì)具有情境的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思路分析實(shí)際情況的能力[8]。學(xué)生不僅能夠建立起一套抽象的解決問題的路徑，而且能夠?qū)W會在眾多復(fù)雜方法之中選擇簡單的解決問題的方法。在解決情境化的學(xué)習(xí)任務(wù)過程中，學(xué)生需要系統(tǒng)地考慮各種方法的可能性，通過記錄、比較和篩選，確定最優(yōu)的解決方案。同時(shí)，與傳統(tǒng)課堂上設(shè)計(jì)的問題情境不同，促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的學(xué)習(xí)活動任務(wù)具有很強(qiáng)的開放性和復(fù)雜性，與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題非常相近。為了解決這些任務(wù)，學(xué)生就需要對復(fù)雜的情境不斷抽象，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表征，進(jìn)而建立起嚴(yán)密的問題分析框架，學(xué)會分析問題和解決問題的思路。

3.促進(jìn)學(xué)生形成自我反思和自我評價(jià)的意識

促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的學(xué)習(xí)活動模式中，反思是一個(gè)重要的教學(xué)策略。通常在一節(jié)課的課中或下課前，教師會帶領(lǐng)學(xué)生做反思，反思的一個(gè)重要目的就是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我監(jiān)控和自主學(xué)習(xí)。比如在反思中教師會引導(dǎo)學(xué)生提出以下若干問題：“在開始之前，我已經(jīng)確認(rèn)我理解這個(gè)問題嗎？”“我有哪些方法可以選擇？”“我有進(jìn)步嗎？”“我有計(jì)劃嗎？”“為什么我采用的方法是可行的和正確的？”類似的這些問題能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成對問題理解和反思的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知的發(fā)展。

三、促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力的學(xué)習(xí)活動實(shí)踐策略

(一)1～3年級以游戲化、體驗(yàn)式為主

1.設(shè)計(jì)游戲化的學(xué)習(xí)活動

小學(xué)低年級的學(xué)生，由于年齡特點(diǎn)的限制，游戲仍然是他們最為感興趣的活動形式。教師在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動時(shí)，可針對低年級學(xué)生的年齡特點(diǎn)和思維特征，設(shè)計(jì)學(xué)生喜歡的游戲，將抽象復(fù)雜的知識融入生動活潑的游戲當(dāng)中，讓學(xué)生邊“玩”邊學(xué)。游戲的作用，在于激發(fā)、喚醒學(xué)生對于學(xué)習(xí)的熱情和動力，讓學(xué)生在游戲中理解知識、運(yùn)用知識。通過游戲的參與，學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的積極性明顯提高，對知識的理解力得到提升，學(xué)習(xí)獲得感增強(qiáng)，從而真正實(shí)現(xiàn)“友善”地學(xué)習(xí)。比如，在“混合運(yùn)算”的教學(xué)中，教師可設(shè)計(jì)“跳蚤市場”的游戲：讓學(xué)生準(zhǔn)備一些舊書或舊玩具作為商品，用彩紙代替貨幣，一部分學(xué)生扮演售貨員，一部分學(xué)生扮演購物者。通過購物游戲，學(xué)生加深了對混合運(yùn)算法則的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，幫助學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。再如，在“數(shù)的比較”的教學(xué)中，教師可設(shè)計(jì)師生比猜的游戲：先讓學(xué)生寫一個(gè)兩位數(shù)，教師寫一個(gè)三位數(shù)，進(jìn)行比較。再讓學(xué)生寫一個(gè)三位數(shù)，教師寫一個(gè)四位數(shù)，進(jìn)行比較。然后學(xué)生之間可以自行寫出不同的數(shù)，再進(jìn)行比較。在學(xué)生與教師和同學(xué)充分的互動中，不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能夠幫助學(xué)生探索出不同位數(shù)的兩個(gè)數(shù)以及相同位數(shù)的兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，總結(jié)出數(shù)的比較規(guī)律，從而完成教學(xué)目標(biāo)，真正做到自主學(xué)習(xí)。

2.借助具體形象直觀感知

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，小學(xué)1～3年級的學(xué)生主要處于具體運(yùn)算階段，形式運(yùn)算能力還沒有發(fā)展起來，形象思維占主導(dǎo)，抽象思維較弱。因此，低年級小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)更多地采用具體化、形象化的方式，將抽象的東西直觀化，幫助學(xué)生借助實(shí)物來觀察、分析和思考，先初步形成感性認(rèn)識，然后進(jìn)一步延伸和抽象，獲得理性認(rèn)識。這種方式不僅能夠調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且有助于降低學(xué)習(xí)的難度，便于學(xué)生更好地接受抽象的數(shù)學(xué)知識。實(shí)物的選擇一般選取學(xué)生熟悉的物品、圖形或數(shù)據(jù)，鼓勵學(xué)生從實(shí)際出發(fā)，獲得直觀感知，進(jìn)而逐步聯(lián)結(jié)到形式化的數(shù)學(xué)知識。比如，在“厘米認(rèn)識”的教學(xué)中，教師可先讓學(xué)生觀察圖釘?shù)拈L度、手指的寬度，初步認(rèn)識1厘米的實(shí)際長度，然后說一說生活中的哪些物體的長度大約是1厘米。再如，在“角的認(rèn)識”的教學(xué)中，教師可先引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)物，了解角的形象，然后再找一找身邊的“角”，總結(jié)歸納出角的特點(diǎn)。

3.運(yùn)用數(shù)學(xué)的“眼光”看待身邊的事物

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要目標(biāo)，就是教會學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，體會數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科之間的聯(lián)系，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。義務(wù)教育的第一學(xué)段是培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲最為重要的時(shí)期，在這一階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常運(yùn)用數(shù)學(xué)的“眼光”看待身邊的事物，指導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量、類別、層次等角度觀察事物、思考問題，讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)、親近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)現(xiàn)象和問題保有一定的好奇心。比如，教師可以經(jīng)常問學(xué)生：這種物品有多少個(gè)？可以分成幾類？具有什么層級？等等。這些問題不僅能夠引起學(xué)生的好奇心，而且能夠逐漸培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)思維能力，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

4.設(shè)置階梯式的學(xué)習(xí)任務(wù)

由于小學(xué)1～3年級學(xué)生的理解能力還較低，在義務(wù)教育的第一學(xué)段，教師要設(shè)法為學(xué)生創(chuàng)建易于上手、易于參與、易于理解的學(xué)習(xí)活動。因此教師在設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，需要盡可能提供一種“階梯式”的問題串，幫助學(xué)生從低到高、從易到難地進(jìn)入問題、思考問題、解決問題。階梯式的問題設(shè)置，能夠使不同層次的學(xué)生既能獲得成功的體驗(yàn)，又能面臨一定的挑戰(zhàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感，鍛煉克服困難的意志力，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。除了問題設(shè)置外，問題要求也要盡可能體現(xiàn)層次性，即通過階梯式的步驟要求為學(xué)生解決問題搭建腳手架。借助教師提出的階梯式要求，學(xué)生能夠一步一步地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，體會問題解決的層層剖析、層層深入的過程，幫助學(xué)生真正領(lǐng)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維和方法。

(二)4～6年級以情境式、互動式為主

1.將數(shù)學(xué)眼光轉(zhuǎn)向更為寬闊的生活情境

在義務(wù)教育的第二學(xué)段，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的觀察能力，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將視野從身邊的物品轉(zhuǎn)向更為廣闊的生活情境，讓學(xué)生觀察社會生活和媒體傳播中的信息，思考其中存在哪些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，能夠抽象出什么數(shù)學(xué)問題，可以運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)方法建立模型等。教師的適當(dāng)引導(dǎo)不僅能夠幫助學(xué)生意識到數(shù)學(xué)的實(shí)用性價(jià)值，體會數(shù)學(xué)對自然及社會所產(chǎn)生的作用，而且能夠促進(jìn)他們將所學(xué)的知識應(yīng)用到實(shí)際生活中去。這一階段是幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值觀的重要階段，教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生創(chuàng)造更多的機(jī)會，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的思想、方法和意義，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)活動的探索性和創(chuàng)造性，形成對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值的深刻認(rèn)同。

2.采用團(tuán)隊(duì)合作形式鼓勵交流質(zhì)疑

4～6年級的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的主體學(xué)習(xí)能力，形成了初步的團(tuán)隊(duì)合作意識，自我監(jiān)控能力也與1～3年級相比有了顯著提升，在課堂中能夠比較好地控制自己的行為，因此在課堂上可以采用團(tuán)隊(duì)合作的形式，鼓勵學(xué)生通過合作發(fā)現(xiàn)新知、通過交流獲得啟發(fā)、通過討論解決問題。建構(gòu)主義認(rèn)為，每個(gè)人都在以自己的經(jīng)驗(yàn)為背景建構(gòu)對事物的理解，認(rèn)識相對狹窄和有限。而集體討論和交流，能夠讓學(xué)生看到對同一問題不同的理解、不同的思考和不同的方法，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性具有特殊的意義。此外，在團(tuán)隊(duì)討論過程中，學(xué)生之間的觀點(diǎn)交鋒、相互質(zhì)疑也能夠促進(jìn)學(xué)生自我反思和批判性思維能力的提升。

3.引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出結(jié)論

4～6年級是小學(xué)階段的關(guān)鍵年齡，是學(xué)生從具體思維為主要形式過渡到以抽象邏輯思維為主要形式的一個(gè)轉(zhuǎn)折時(shí)期。在這一時(shí)期，教師要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)充分的對知識進(jìn)行抽象概括的空間和機(jī)會，讓學(xué)生思考，自己總結(jié)出結(jié)論。自己總結(jié)，就需要學(xué)生進(jìn)行自主思考，要進(jìn)行分類、分層、歸因、整合，這些都是重要的數(shù)學(xué)能力，也是學(xué)生將來社會生活所必需的重要素養(yǎng)。在讓學(xué)生自己總結(jié)結(jié)論的同時(shí)，教師可以進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，教給學(xué)生總結(jié)的思路和方法，比如從哪個(gè)角度總結(jié)、總結(jié)的要點(diǎn)應(yīng)該包括哪些、總結(jié)出的結(jié)論應(yīng)該具備怎樣的特點(diǎn)。

4.運(yùn)用可視化的形式呈現(xiàn)學(xué)生思維

小學(xué)4～6年級的學(xué)生，雖然邏輯思維能力的發(fā)展還處在起步階段，卻已具有豐富的想象力和創(chuàng)造力，對于色彩、圖像的敏感度很高。在這一階段，教師可以利用學(xué)生對圖畫的濃厚興趣，運(yùn)用思維導(dǎo)圖的方式來培養(yǎng)他們的邏輯性和條理性。思維導(dǎo)圖的特點(diǎn)在于畫面生動、內(nèi)涵豐富，包含了色彩、線條、圖像、符號、文字等多種元素，極大地刺激了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣點(diǎn)，讓學(xué)生更喜歡上數(shù)學(xué)課。思維導(dǎo)圖也是一種表達(dá)方式，是除了口頭表達(dá)、書面表達(dá)之外的一種非語言的表達(dá)方式，是用圖畫的形式呈現(xiàn)學(xué)生的思維。為了畫出思維導(dǎo)圖，學(xué)生就需要主動梳理自己的知識脈絡(luò)，明確邏輯關(guān)系，建立框架體系，自然而然地將被動的學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

(三)7～9年級以邏輯性、分析性為主

1.教學(xué)內(nèi)容及形式適當(dāng)加大抽象度

初中階段是抽象思維發(fā)展的質(zhì)變時(shí)期，在初二年級前后，思維的具體形象成分與抽象邏輯成分會呈現(xiàn)出一個(gè)明顯的對照。盡管促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的學(xué)習(xí)活動模式提倡在真實(shí)具體的情境中，運(yùn)用游戲、活動的形式開展數(shù)學(xué)教學(xué)，但在初中階段，隨著學(xué)生思維抽象性的提高，在設(shè)計(jì)教學(xué)活動時(shí)也不應(yīng)該過于機(jī)械，并不是什么知識都從直觀教具出發(fā)，也不是所有內(nèi)容都有現(xiàn)實(shí)情境。通?？刹捎谩皢栴}情境—建立模型—解釋應(yīng)用”的思路展開教學(xué)，此處的“問題情境”可以是生活的情境，也可以是數(shù)學(xué)的情境，重點(diǎn)落在建立模型上，即運(yùn)用抽象化的思維理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。需要注意的是，加大抽象的同時(shí)，仍然要兼顧直觀，特別是對于初一年級或抽象思維發(fā)展較慢的學(xué)生，教師還應(yīng)適當(dāng)借助直觀形象，幫助學(xué)生逐漸形成抽象化概念。

2.自主探究經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，更主要的是數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)習(xí)，因此教師不能單純地教給學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)論，而要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學(xué)不會的?！苯?jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成過程的主要方式是引導(dǎo)學(xué)生自主探究，而自主探究的有效策略之一即實(shí)施多感官教學(xué)。課堂上學(xué)生通過看、聽、說、觸摸、操作等多種感官運(yùn)動，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，獲得綜合的學(xué)習(xí)活動體驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理等數(shù)學(xué)結(jié)論的深刻理解。

3.借助思維導(dǎo)圖構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識體系

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的形成過程之后，更進(jìn)一步就需要把數(shù)學(xué)知識進(jìn)行內(nèi)化。所謂內(nèi)化，就是將老師教的知識變成學(xué)生自己的知識，或者將學(xué)生自己經(jīng)歷的直觀過程變成具有邏輯性的抽象過程。內(nèi)化是思維的內(nèi)化，而思維導(dǎo)圖正是實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變的有效方法。在課上或課下，教師都可以引導(dǎo)學(xué)生畫出自己的思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會把看似分散的知識點(diǎn)連成線、結(jié)成網(wǎng)，把瑣碎的知識系統(tǒng)化、規(guī)律化、結(jié)構(gòu)化，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的記憶、理解和思考。而這一方式，恰恰也為初中階段學(xué)生抽象思維的形成提供了強(qiáng)有力的工具，成為培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要載體，同時(shí)為數(shù)學(xué)知識的遷移和拓展奠定了基礎(chǔ)。

4.加強(qiáng)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的融合與應(yīng)用

除了引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成和內(nèi)化過程外，教師還要注重幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的遷移體驗(yàn)，鞏固和拓展基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。在初中階段，數(shù)學(xué)知識遷移的范圍隨著數(shù)學(xué)內(nèi)容的復(fù)雜化而逐漸拓展，數(shù)學(xué)知識不僅僅在生活中常見常用，而且進(jìn)一步延伸到與數(shù)學(xué)有關(guān)的各個(gè)學(xué)科，諸如物理、化學(xué)、生物、地理、語文等。在學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)時(shí)，教師需要有意識地融入數(shù)學(xué)以外的其他學(xué)科的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生體會學(xué)科之間的聯(lián)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性與應(yīng)用性。融合方式可多樣，可以在情境創(chuàng)設(shè)時(shí)引入其他學(xué)科的內(nèi)容要素作為數(shù)學(xué)活動的問題背景，也可以在解決問題時(shí)將所得的數(shù)學(xué)結(jié)果指向其他學(xué)科作為數(shù)學(xué)知識的結(jié)果應(yīng)用。

(四)10～12年級以深刻性、創(chuàng)新性為主

1.設(shè)置多維度、多層次的問題情境

與初中相比，高中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容知識面加寬，難度加深，抽象度顯著提高。在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動時(shí)，僅有生活或其他學(xué)科的固定的、單維的教學(xué)情境，是不足以與高中知識相匹配的。教師應(yīng)設(shè)置多層次、多維度的問題情境，將一系列看似零碎但實(shí)質(zhì)上具有內(nèi)在聯(lián)系的內(nèi)容融合在一起，讓學(xué)生在剝離、梳理和組織這些情境要素時(shí)，在頭腦中形成數(shù)學(xué)及相關(guān)知識的結(jié)構(gòu)體系。同時(shí)，問題情境的設(shè)置還應(yīng)注意變化性和開放性，使學(xué)生能夠經(jīng)歷選擇、分析和決策的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性和批判性。

2.提出概括數(shù)學(xué)思想方法的任務(wù)

在高中階段，隨著教學(xué)內(nèi)容復(fù)雜性的增強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要經(jīng)歷猜想、歸納、推理、證明等過程解決數(shù)學(xué)問題，因此會接觸到函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想方法。在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動時(shí)，除了圍繞教學(xué)內(nèi)容本身設(shè)計(jì)出緊扣數(shù)學(xué)知識的任務(wù)外，還應(yīng)該增加一個(gè)環(huán)節(jié)，即提出讓學(xué)生概括數(shù)學(xué)思想方法的任務(wù)。也就是說，高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)活動，在實(shí)施前與實(shí)施中階段，大致包括：內(nèi)容任務(wù)+方法任務(wù)。在方法任務(wù)部分，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生整理思維過程，分析數(shù)學(xué)思想方法的來龍去脈，概括解題思想，總結(jié)出具有模式化和操作化的數(shù)學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容本質(zhì)的理解。

3.引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)和反思學(xué)習(xí)過程

隨著高中學(xué)生年齡的增長，學(xué)生的自控能力也在日趨提高，培養(yǎng)學(xué)生的檢驗(yàn)和反思習(xí)慣，是提高高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率、提升學(xué)生自我監(jiān)控與評價(jià)能力的有效方法。在完成學(xué)習(xí)任務(wù)之后，教師可以設(shè)計(jì)一系列對解題過程進(jìn)行回顧、探討、分析、評價(jià)的活動。即一個(gè)完整的高中數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)活動大致應(yīng)包括三個(gè)部分：內(nèi)容任務(wù)+方法任務(wù)+反思任務(wù)。反思任務(wù)通常涉及兩個(gè)層面：一個(gè)層面是對已經(jīng)實(shí)施的解題過程及結(jié)果進(jìn)行反思，具體包括讓學(xué)生對解題結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、對解題方法進(jìn)行回顧、對解題思路進(jìn)行概括等；另一個(gè)層面是在更廣闊的范圍內(nèi)對相關(guān)知識和方法進(jìn)行反思，具體包括提出問題、嘗試不同的解題方法、推廣已有命題等。只有經(jīng)歷了對知識本質(zhì)的不斷反思，才能使學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解從經(jīng)驗(yàn)水平上升到理性水平，學(xué)生的思維也會從具體上升到抽象。

4.借助文字、符號和圖形語言加強(qiáng)數(shù)學(xué)交流

促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的學(xué)習(xí)活動模式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體參與，強(qiáng)調(diào)師生之間、生生之間的互動，高中階段的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)成為學(xué)生之間交流數(shù)學(xué)思想的場所。教師應(yīng)當(dāng)激發(fā)學(xué)生的思考，鼓勵他們提出疑問，并用恰當(dāng)?shù)姆绞奖磉_(dá)出來。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，所謂恰當(dāng)?shù)姆绞?，即運(yùn)用三種數(shù)學(xué)語言——文字語言、符號語言和圖形語言，解讀數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)知識，提煉數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)通過交流才能得以深入和發(fā)展，只有借助文字語言、符號語言和圖形語言表達(dá)出來，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才變得清晰，數(shù)學(xué)思想才得以流傳。在高中數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生可以就所學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、自己的理解過程、他人的解題方法等發(fā)表自己的看法。借助文字、符號、圖形語言的梳理，學(xué)生的思路更加清晰、思維更加深刻、因果更加分明、邏輯更加清楚。▲