江蘇泰興市鼓樓小學(xué)教育集團(tuán)鼓樓校區(qū)（225499） 趙麗君

何為數(shù)形結(jié)合？數(shù)學(xué)家華羅庚有過經(jīng)典總結(jié)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@句話深刻揭示了數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵。實(shí)際教學(xué)中，廣大教師正是明白這一點(diǎn)，才不遺余力地用“形”的直觀去彌補(bǔ)“數(shù)”的抽象，用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)去彌補(bǔ)“形”的粗放，讓數(shù)和形完美結(jié)合，交相輝映，將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)功能發(fā)揮到極致。由此，數(shù)形結(jié)合既是一種研究數(shù)學(xué)問題的思想方法，同時(shí)又可以看成是揭示數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯的有效手段。下面筆者將以數(shù)形結(jié)合為切入點(diǎn)和研究思路，對(duì)“倍數(shù)與因數(shù)”的教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)。

一、借“形”引出概念

【教學(xué)片段1】

師（出示圖1、圖2）：某個(gè)運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上，中日兩個(gè)國(guó)家的體育代表團(tuán)分別站成兩種隊(duì)形，計(jì)算一下，中日兩國(guó)各派出多少人參加這次運(yùn)動(dòng)會(huì)的開幕式？

圖1

圖2

生1：根據(jù)圖1列隊(duì)的情況，可以算出中國(guó)代表團(tuán)的人數(shù)為9×4=36（人）。根據(jù)圖2列隊(duì)的情況，可以算出日本代表團(tuán)的人數(shù)為5×7=35（人）。

師：在9×4=36這個(gè)乘法算式中，按照以往的稱謂，相乘的兩個(gè)數(shù)9和4稱之為乘數(shù)，而相乘所得的結(jié)果36則稱之為積。在隊(duì)列中，9是每行站隊(duì)的人數(shù)，4則表示一共站了4行，36則是這個(gè)隊(duì)列中運(yùn)動(dòng)員的總數(shù)。

師：聯(lián)系今天學(xué)習(xí)的課題“倍數(shù)與因數(shù)”，請(qǐng)大家猜測(cè)，在計(jì)算圖1中國(guó)代表團(tuán)的人數(shù)的乘法算式中，哪一部分是因數(shù)，哪一部分是倍數(shù)。

生2：在9×4=36這個(gè)算式中，4和9是36的因數(shù)，36是4和9的倍數(shù)。

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家再次觀察圖2的隊(duì)形，重點(diǎn)關(guān)注行數(shù)、列數(shù)和總數(shù)，并對(duì)照匹配的乘法算式5×7=35，說說哪一部分是因數(shù)，哪一部分是倍數(shù)。

生3：列數(shù)5與行數(shù)7都是總?cè)藬?shù)35的因數(shù)，總?cè)藬?shù)35是行數(shù)5和列數(shù)7的倍數(shù)。

（根據(jù)學(xué)生回答板書，如圖3）

圖3

【評(píng)析】倍數(shù)與因數(shù)是定義兩個(gè)自然數(shù)的倍率關(guān)系的，這種關(guān)系可以用乘法算式直觀反映出來。在自然數(shù)的乘法算式中，乘數(shù)和積就是因倍數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)。可見，這部分新知完全可以脫離乘法算式，只要乘法算式中的各數(shù)字為非0自然數(shù)即可。僅僅依靠這種形式上的關(guān)聯(lián)還不夠，運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式體育代表團(tuán)隊(duì)形的情境，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，而且能借助圖形的直觀性從另一個(gè)維度呈現(xiàn)因倍數(shù)的關(guān)系：行數(shù)和列數(shù)是因數(shù)，隊(duì)列總?cè)藬?shù)為倍數(shù)，而且它們是相互依存的。這樣一來，可以觀察出總?cè)藬?shù)就是行數(shù)和列數(shù)的整倍數(shù)，因?yàn)樾袛?shù)和列數(shù)以及總?cè)藬?shù)必須全部是整數(shù)。之后再來對(duì)照計(jì)算總?cè)藬?shù)的乘法算式，三管齊下，因倍數(shù)的概念就會(huì)非常清晰通透。這種融入數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，可謂匠心獨(dú)具，將陌生的新知在不知不覺中滲透到舊知中，毫無痕跡。

二、用“形”抽象概念

【教學(xué)片段2】

師：倍數(shù)與因數(shù)是兩個(gè)舉足輕重的概念，是分?jǐn)?shù)運(yùn)算中通分和約分的奠基內(nèi)容，所以請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必學(xué)好。

師：仿照前面習(xí)得的方法，請(qǐng)大家隨機(jī)寫出2～3個(gè)不重復(fù)的乘法算式，并在點(diǎn)陣圖（如圖4）中圈畫，然后與同桌互相說說“誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)”。

圖4

師（出示圖5）：這是“神算子”寫出的算式和配圖，正確嗎？如果沒有異議，請(qǐng)說說“誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)”。

圖5

師：像這樣具備因倍數(shù)關(guān)系的數(shù)對(duì)多嗎？

生（齊）：多。

師：誰(shuí)能一口氣說完？

生1：唯一的辦法就是用代數(shù)式表示，這樣可以代表所有存在因倍數(shù)關(guān)系的數(shù)對(duì)。

師：好極了！如果分別用字母a、b、c表示3個(gè)不同的數(shù)，如何表示它們之間的因倍數(shù)關(guān)系？

生2：a×b=c（a、b、c均為大于0的自然數(shù)），則c為a、b的倍數(shù)，a、b為c的因數(shù)。

【評(píng)析】自主探究環(huán)節(jié)中的“圈畫、列式、陳述”，其目的在于構(gòu)建因倍數(shù)的幾何模型，即在點(diǎn)格圖中根據(jù)行數(shù)和列數(shù)來反映因數(shù)，用總數(shù)來反映倍數(shù)。借助這個(gè)幾何模型，它們之間的數(shù)量關(guān)系也呼之欲出——行數(shù)乘以列數(shù)等于總數(shù)，這就意味著因數(shù)乘以因數(shù)等于倍數(shù)?！吧袼阕印钡淖髌分?，有只有一行的，也有列數(shù)大于行數(shù)的。這既提供了常規(guī)例子，又展示了特例——行數(shù)為1。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生抽象出字母表達(dá)式，就順理成章了。顯然，教學(xué)片段1的情境以及教學(xué)片段2的“圈畫、列式與陳述”，只是從情境、圖形、語(yǔ)言和操作幾個(gè)方面讓學(xué)生理解概念，最后抽象出的字母表達(dá)式才是終極形式，字母表達(dá)式才是概念內(nèi)涵的核心。那么，大費(fèi)周章地運(yùn)用這么多表征來讓學(xué)生理解概念有無必要？曾有美國(guó)權(quán)威學(xué)者采用圖6揭示概念的發(fā)展過程：“實(shí)物操作只是展示數(shù)學(xué)概念的初級(jí)形態(tài)，圖像、語(yǔ)言、表達(dá)式才能起到抽象作用，并且深刻揭示概念內(nèi)涵。”這一觀點(diǎn)就是概念教學(xué)的燈塔：在教學(xué)中，任何一種表征都不應(yīng)被忽略，各種表征應(yīng)該串聯(lián)起來形成合力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)客觀需要選用合適的表征來理解。

圖6

三、“形”助理解規(guī)定

【教學(xué)片段3】

師：以前學(xué)習(xí)的倍數(shù)，其實(shí)還可以用除法算式c÷a=b（abc≠0）表示，這里a、b、c的取值范圍不作限定，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)均可，只要不為0。今天學(xué)習(xí)的倍數(shù)則用乘法算式來理解，形如a×b=c的算式就可以表示因倍數(shù)關(guān)系，此處a、b、c的取值范圍是否還是那么隨意？

生1：我認(rèn)為不作限定，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)均可，只要不為0。

生2：不對(duì)！這次學(xué)習(xí)的倍數(shù)與以前學(xué)習(xí)的倍數(shù)大有不同，此處的a、b、c必須為非0自然數(shù)。

師：請(qǐng)說說你的理由。

生3：我們是在點(diǎn)陣圖中提煉因倍數(shù)概念的，行數(shù)、列數(shù)、總數(shù)都必須是非0自然數(shù)，這是常識(shí)。

師：“倍數(shù)”與“倍”只有一字之差，它們到底有何異同？

生4：從數(shù)量比較上看，它們反映的都是兩個(gè)數(shù)的倍率關(guān)系。不同點(diǎn)是，“倍”是一個(gè)廣義寬泛的概念，其中的“數(shù)”可以是所有數(shù)型，只要排除0；“倍數(shù)”是一個(gè)狹義的概念，其中的“數(shù)”嚴(yán)格限定為非0自然數(shù)，規(guī)定極為嚴(yán)苛。

【分析】“倍數(shù)”是什么？要向?qū)W生說清這一概念，不能僅靠范例，因?yàn)榉独皇且幻嬷~，容易讓學(xué)生“一葉障目不見泰山”。如果此時(shí)與相近易混的概念“倍”做一番比較，那么學(xué)生的眼界和思路將會(huì)更加寬闊，看問題的角度也會(huì)更全，分析問題時(shí)會(huì)更全面。通過比較辨析，學(xué)生弄清二者之間的異同點(diǎn)。相同點(diǎn)是都表示兩數(shù)的倍率關(guān)系，都可以用乘除法算式表示。不同點(diǎn)僅僅在于稱呼和取值范圍的不同——“倍”只要不為0，所有數(shù)型都可，因?yàn)檫@是由除法的性質(zhì)決定的，除法算式的結(jié)果可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等各種形式，“倍”就是除法算式中衍生的一個(gè)概念，除法算式才是“倍”這個(gè)概念的母體；而“倍數(shù)”的概念則是由特殊的乘法算式?jīng)Q定的，特殊之處就在于是計(jì)算圈畫出的點(diǎn)子圖的總數(shù)時(shí)，行數(shù)、列數(shù)必須都是整數(shù)，所以這里的數(shù)只能是非0自然數(shù)。通過對(duì)比辨析，學(xué)生調(diào)用在點(diǎn)子圖中積累的直觀經(jīng)驗(yàn)論述了因倍數(shù)概念的內(nèi)涵本質(zhì)。在此，借助直觀的點(diǎn)子圖還有另一好處，那就是讓“0除外的自然數(shù)”這一規(guī)定顯得合乎情理。

四、依“形”建構(gòu)模型

【教學(xué)片段4】

師：點(diǎn)子圖幫了我們的大忙，有了它，因倍數(shù)概念就非常淺顯易懂，以后找倍數(shù)就可以回想點(diǎn)陣圖。請(qǐng)大家思考一下，借助點(diǎn)陣圖尋找某數(shù)的倍數(shù)，其實(shí)是對(duì)應(yīng)地先確定什么，再找什么？

生1：先確定一行的點(diǎn)數(shù)，再逐步遞增行數(shù)計(jì)算總數(shù)。

師：下面請(qǐng)大家依據(jù)他的描述，自己動(dòng)手圈畫一下，試著找一下7的倍數(shù)。

（學(xué)生邊匯報(bào)教師邊播放課件，最后得出圖7）

圖7

師：通過剛才的操作，請(qǐng)歸納找一個(gè)非0自然數(shù)a的倍數(shù)的方法。

生2：a×1，a×2，a×3……

生3：依次找a的1倍、2倍、3倍……

師：根據(jù)自然數(shù)的定義，倍數(shù)的數(shù)量是無限多的，有最小的倍數(shù)，一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)就是它本身，沒有最大的倍數(shù)。

【評(píng)析】“圈畫點(diǎn)陣圖，并嘗試找出7的倍數(shù)”的活動(dòng)，一方面，讓學(xué)生體驗(yàn)找倍數(shù)的直觀方法，進(jìn)一步領(lǐng)悟倍數(shù)的概念；另一方面，在這種直觀操作中，找倍數(shù)的方法也不言自明：一個(gè)數(shù)就是每一行的點(diǎn)數(shù)，倍數(shù)就是在不同行數(shù)下的總點(diǎn)數(shù)。通過圈畫，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，就是將這個(gè)數(shù)量不斷復(fù)制，復(fù)制一次就有一個(gè)倍數(shù)出現(xiàn)，倍數(shù)可以無限大，這映射到乘法算式里就是將目標(biāo)數(shù)從小到大不斷連續(xù)乘以自然數(shù)——從這個(gè)數(shù)的1倍開始找起，接著找它的2倍、3倍……同時(shí)，倍數(shù)的特征也一覽無余：一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)就是它自己，倍數(shù)可以無窮大，相鄰兩個(gè)倍數(shù)的相差值是它的本身。

因倍數(shù)本是一個(gè)代數(shù)概念，這個(gè)概念的內(nèi)涵本身并不復(fù)雜，可以直接借助乘除法算式來定義，只不過，一旦與乘除法發(fā)生勾連，那么概念的范圍勢(shì)必會(huì)受到學(xué)生前認(rèn)知的干擾，而倍數(shù)是專門針對(duì)非0自然數(shù)設(shè)計(jì)的，也就是只有正整數(shù)乘法算式中，才可言倍數(shù)概念。這樣一來，學(xué)生的理解難度就會(huì)驟然加大。在教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合之后，倍數(shù)概念必須定義在非0自然數(shù)范圍內(nèi)就顯得天經(jīng)地義，因?yàn)槿魏侮?duì)列的列數(shù)和行數(shù)以及總數(shù)都必須是正整數(shù)，這是與客觀現(xiàn)實(shí)相適配的。因此，用數(shù)形結(jié)合的方法來理解倍數(shù)概念可以精準(zhǔn)揭示概念內(nèi)涵。