秦敬偉，田仕釗，郭步超，張童

(1.華融普瑞(北京)科技有限公司，北京 100096；2.山西機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 長治 046000)

0 引言

3D打印技術(shù)[1]在各個領(lǐng)域都廣泛應(yīng)用，憑借其自身優(yōu)勢，多數(shù)商家均應(yīng)用此項技術(shù)快速且有效地制造相應(yīng)產(chǎn)品。隨著該技術(shù)越來越被用戶認(rèn)可，大部分企業(yè)擬通過3D打印技術(shù)將企業(yè)的數(shù)字化模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換[2]，可見該技術(shù)具有很好的發(fā)展前景。不僅如此，3D打印機還具有成本低以及空間占用小的特點。其優(yōu)點雖多，但精度較低，因此降低了其產(chǎn)品整體的性價比。為突顯出3D打印技術(shù)的性價比，需進(jìn)一步提升打印機的打印技術(shù)，因此多數(shù)研究人員展開3D打印精度提升的研究[3]。洪海春等[4]利用建筑成型技術(shù)構(gòu)建模型，定義出3D打印技術(shù)中的組裝精度以及控制精度的策略，最后得出控制產(chǎn)品的誤差方法，根據(jù)誤差分析出整體產(chǎn)品的校正角度，從而實現(xiàn)3D打印技術(shù)精度的提升。BROWN M L等[5]開發(fā)了一種3D打印復(fù)雜結(jié)構(gòu)的方法，將結(jié)構(gòu)拆分為帶有連接器的部分，分別打印每個部分，然后在打印后進(jìn)行結(jié)構(gòu)組裝。該方法具有諸如多色打印、框架優(yōu)化和縮減、打印時間縮減等優(yōu)點，并可用于繞過打印托盤尺寸限制。以上兩種方法沒有考慮到多材料零件的運動軌跡會有所不同，導(dǎo)致無法精確提取零件打印誤差，同時延長了提取時間，存在打印精度低、打印效果差和校正所需時間長的問題。

為了解決上述方法中存在的問題，本文提出基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法。

1 基于反饋控制的位移平衡和位置跟蹤

通過研究發(fā)現(xiàn)，3D打印精度最主要的影響因素是機器噴口溫度以及位移等?，F(xiàn)如今3D打印主要利用開環(huán)操控方法打印。為降低因開環(huán)操控所帶來的消極影響，可借用反饋控制算法[6-7]對多材料零件進(jìn)行處理。

1.1 3D打印的位移平衡控制

根據(jù)3D打印原理可知，多材料零件的實時位置變化公式為

Ji+1=NMbi+1+UMai+1+VMci+1+UE(bi+1+ci+1+ai+1)

(1)

式中：J代表多材料零件外荷載；M代表樣本數(shù)值結(jié)構(gòu)；N代表零件質(zhì)量；V代表零件阻尼；U代表零件恢復(fù)力；E代表多材料零件樣本；a代表零件位移；c代表速度；b代表零件加速度。

多材料零件的速度計算公式為

(2)

式中Δt代表零件積分時間間隔。

加速度的計算公式為

(3)

經(jīng)不斷推導(dǎo)和計算，生成全新的帶有混合體系的反饋控制零件運動方程，其表達(dá)式為

JEQ,i+1=UMai+1+LPDai+1+UE(bi+1+ci+1+ai+1)

(4)

其中參數(shù)LPD的計算表達(dá)式為

LPD=4NM/Δt2+2VM/Δt

(5)

由于反饋控制方法不能直接計算出零件位移，需要在反饋控制混合體系零件運動方程中添加等效外力進(jìn)行計算[8]，假設(shè)該等效外力為JEQ,i+1，其運算表達(dá)式為

(6)

通過在式(4)中添加等效外力后，生成的方程解即為所需要的零件位移結(jié)果。

為保證零件位移的精度，在計算出零件位移結(jié)果后還需計算出混合體的平衡方程。在計算過程中已知參數(shù)LPD是固定值，因此可利用LPD檢驗位移結(jié)果是否平衡，得出基于位移的混合體系平衡方程表達(dá)式為

(7)

通過不斷地計算和更新，得出滿足式(7)的位移結(jié)果即為所要控制的位移，以此保證位移平衡。

1.2 零件軌跡跟蹤預(yù)測

由于我國3D打印技術(shù)多利用開環(huán)進(jìn)行控制，在實際操作過程中由于零件之間摩擦等外界因素導(dǎo)致多材料零件運動出現(xiàn)較大誤差，最終呈現(xiàn)的打印效果較差，因此須從根源解決問題，消除誤差。首先設(shè)置零件運動的每一步為一個單位，對其進(jìn)行檢測后確定零件的位移、速度以及位置，從而預(yù)測出零件的運動軌跡[9]。

假設(shè)已知零件的理想運動位置，將其與實際零件運動位置進(jìn)行比較，得出零件的位置偏差方程式，其表達(dá)式為

(8)

式中：rx代表零件在x方向上的位移；Δo(rx)代表x方向上理想位置與實際位置的偏差；ry代表零件在y方向上的位移；Δo(ry)代表y方向上理想位置與實際位置的偏差；o*(qx)代表零件在x方向上的理想位置；o*(qy)代表零件在y方向上的理想位置；o(rx)代表零件在x方向上的實際位置；o(ry)代表零件在y方向上的實際位置。

利用機器原始理想速度以及零件的所有偏差得出零件的下一步期望速度，其計算表達(dá)式為

(9)

利用零件期望速度和實際速度得出零件的速度變化率，其運算公式為

(10)

式中：Δ(rx+1)代表零件在x方向上的速度變化結(jié)果；Δ(ry+1)代表零件在y方向上的速度變化結(jié)果；v(rx)代表零件在x方向上的實際速度；v(ry)代表零件在y方向上的實際速度。

進(jìn)而可以得出零件在x方向上的實際運行速度；當(dāng)|Δ(rx+1)|≤Δ*時，速度公式為

(11)

當(dāng)|Δ(rx+1)|>Δ*時，速度公式為

v(rx+1)=Δ*sgn[Δ(rx+1)]+v(rx)

(12)

同理，零件在y方向上的實際運行速度計算公式如下：

(13)

式中：Δ*代表零件運動的最大變化速率；sgn代表符號函數(shù)。

根據(jù)零件的速度可預(yù)測出零件的運動軌跡。

2 3D打印的誤差修正

3D打印的精度提升實質(zhì)上就是對打印誤差的校正[10]。根據(jù)3D打印加工原理得出其中加工誤差計算公式，其表達(dá)式為

(14)

式中：Δm代表位移誤差極值；Δj代表實際產(chǎn)品的誤差極值。

根據(jù)分析可知，3D打印結(jié)果的誤差修正[11]就是對其結(jié)果進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移。當(dāng)結(jié)果符合最小二乘原則時，該結(jié)果就是最優(yōu)結(jié)果，即計算出理論結(jié)果中x和y方向上的平移向量以及旋轉(zhuǎn)角度的最優(yōu)值。

假設(shè)某點原始坐標(biāo)為(xi,yi)，經(jīng)過修正后的坐標(biāo)為(x′i,y′i)，其中(x′i,y′i)坐標(biāo)的計算公式為

(15)

式中：γ代表旋轉(zhuǎn)角度；lx代表x方向上的平移向量；ly代表y方向上的平移向量。

假設(shè)修正后的坐標(biāo)是多條線段的頂點坐標(biāo)，在最小二乘法的幫助下，通過所有偏差平方以及最小構(gòu)造進(jìn)行匹配得出目標(biāo)函數(shù)，其表達(dá)式為

(16)

式中H代表目標(biāo)函數(shù)。

根據(jù)不斷推導(dǎo)得出角度誤差的極值計算公式為

(17)

式中：Δx代表x軸上的誤差；Δy代表y軸上的誤差。

在式(15)的基礎(chǔ)上利用平移向量以及旋轉(zhuǎn)角度的最優(yōu)解得出空間內(nèi)的坐標(biāo)，即得到3D打印的整體輪廓[12]，最終對產(chǎn)品的各個曲線進(jìn)行擬合，確保擬合精度，也保證了各個線段以及曲線的連續(xù)性，進(jìn)而得出精度最高的3D打印結(jié)果，以此完成零件3D打印精度的提升。

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法的整體有效性，現(xiàn)對所提方法、文獻(xiàn)[4]方法和文獻(xiàn)[5]方法進(jìn)行打印精度、打印效果和校正所需時間的測試。

3.1 實驗準(zhǔn)備

實驗過程中，在VS2013與Open GL函數(shù)庫編程環(huán)境下，通過計算機建模軟件建模，再將建成的三維模型“分區(qū)”成逐層的截面，即切片，從而指導(dǎo)打印機逐層打印。設(shè)計軟件和打印機之間協(xié)作的標(biāo)準(zhǔn)文件格式是STL文件格式。一個STL文件使用三角面來近似模擬物體的表面。目標(biāo)打印效果如圖1所示。

圖1 目標(biāo)3D打印效果圖

設(shè)圖1所示的多材料零件是功能梯度實體，該實體是由多種原材料混合而成，則功能梯度實體零件任意一點材料最多由n種材料混合而成。多材料零件所有原材料體積總和為1，原材料總體積用V表示，則總的多材料三維零件體積計算方法可由式(18)表示。

(18)

式中：mi表示第i種原材料的體積比例；n表示材料種類數(shù)。

3.2 3D打印效果圖

在上述實驗設(shè)置的基礎(chǔ)上，分別打印所提方法、文獻(xiàn)[4]方法和文獻(xiàn)[5]方法修正后的結(jié)果，將以上幾種結(jié)果進(jìn)行對比，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 3種方法經(jīng)過修正后的3D打印效果圖

根據(jù)結(jié)果可知，未經(jīng)過修正的打印結(jié)果中出現(xiàn)多處曲線和線段的誤差。在修正方法的幫助下，3種打印結(jié)果精度均得到提升。經(jīng)過所提方法修正后的打印效果與理想結(jié)果無差異，文獻(xiàn)[4]方法得出的打印效果雖強于文獻(xiàn)[5]方法，但比所提方法要差，文獻(xiàn)[5]方法的修正結(jié)果最差。因此證明所提方法的修正效果最好。

3.3 校正精度

打印結(jié)果另一個有效的評價指標(biāo)就是比較各方法間的標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差越小說明方法的精度越高，即精度提升效果最佳?，F(xiàn)保證所提方法、文獻(xiàn)[4]方法以及文獻(xiàn)[5]方法的實驗環(huán)境相同，比較3種方法的打印結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如表1所示。

表1 不同方法的標(biāo)準(zhǔn)差 單位：%

根據(jù)表1可知，10組實驗中標(biāo)準(zhǔn)差最小的均是所提方法，其余兩種方法的標(biāo)準(zhǔn)差均大于所提方法。因為所提方法在進(jìn)行精度提升前利用反饋控制對打印運動位移進(jìn)行控制，并預(yù)測出打印機的運動軌跡，完成位置跟蹤，繼而提升誤差精度，從而加強校正精度，因此保證了所提方法的打印精度，并盡可能地降低標(biāo)準(zhǔn)差。

3.4 校正所需時間

在提升打印精度時，不僅需要保證校正精度，還需要保證校正效率，即盡可能地縮短校正時間。因此得出另一個驗證打印精度提升優(yōu)劣的指標(biāo)，即在同一精度要求下，校正所需時間最短的即為最優(yōu)打印精度提升方法。

在同一實驗環(huán)境下，選取10組不同精度要求的實驗樣本，利用3種方法進(jìn)行校正，得出校正所需時間最小的即為最優(yōu)精度提升方法。由圖3可知，在每組實驗下所需時間最短的校正方法均是所提方法，其余兩種方法所需的校正時間均不同程度地高于所提方法，從而得出所提方法的校正效率最高。

圖3 3種方法的誤差校正時間

3.5 校正結(jié)果

現(xiàn)如今的3D打印結(jié)果均會存在誤差，為加強打印精度，可在實際操作過程中對誤差進(jìn)行校正。但實施過程中會因為各種不確定因素導(dǎo)致不能呈現(xiàn)與理想結(jié)果相同的校正效果，因此結(jié)果中均會存在較小誤差。為得出最接近理想結(jié)果的方法，即最優(yōu)精度提升方法，現(xiàn)在同一環(huán)境下利用3種方法對同一產(chǎn)品進(jìn)行打印，得出實際結(jié)果與理想結(jié)果之間的誤差，誤差越小則方法越優(yōu)。為了使最優(yōu)方法具有說服力，分別對3種方法的平均誤差以及最大誤差進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 3種方法的實際結(jié)果與理想結(jié)果的平均誤差

圖5 3種方法的實際結(jié)果與理想結(jié)果的最大誤差

分析圖4可知，在每組實驗中，實際結(jié)果與理想結(jié)果的平均誤差最小的都是所提方法。從圖5可知，所提方法最大誤差僅僅在0.1 mm左右，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩種方法的最大誤差。

綜上所述，所提方法利用反饋控制提升了打印精度，有助于成型精度的提升。

4 結(jié)語

由于3D打印技術(shù)具有價格低廉、易操作和易推廣的優(yōu)點，因此該技術(shù)越來越普及，而如何最大程度地提高產(chǎn)品成型精度，以此彰顯產(chǎn)品性價比，是各個商家普遍重視的問題。在所有3D打印機中均具有原理性誤差以及加工誤差等，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)這種誤差是可治理的。本文提出基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法。該方法在反饋控制的作用下控制打印位移并預(yù)測其運動軌跡，再對打印誤差進(jìn)行校正，實現(xiàn)多材料零件3D打印精度提升，解決了打印精度低、打印效果差和校正所需時間長的問題，以此提高3D打印成型的幾何精度。