司東現(xiàn)，李祝飛，姬雋澤，張恩來，楊基明

中國科學技術(shù)大學 近代力學系，合肥 230027

內(nèi)轉(zhuǎn)式進氣道憑借壓縮效率高、氣動阻力小等性能優(yōu)勢[1-3]，在新一代高超聲速飛行器研發(fā)中備受關(guān)注。然而，由于采用內(nèi)收縮幾何約束的設(shè)計特點[4-7]，內(nèi)轉(zhuǎn)式進氣道內(nèi)部流動往往面臨激波匯聚增強問題[8]，因而激波的演化特征從根本上有別于二維平面激波[9]。

近年來，一系列以軸對稱內(nèi)錐流動為代表的研究工作[8,10-14]相繼展開，對軸對稱激波匯聚特征的認知也不斷加深。然而，在實際工程應(yīng)用中，理想化的軸對稱構(gòu)型難以保證，偏離軸對稱的幾何設(shè)計方案[15-16]往往更為普遍。為揭示小幅偏離軸對稱流動的典型特征，作者團隊[17]前期提出了一種近軸對稱橢圓內(nèi)錐構(gòu)型。與軸對稱激波明顯不同的是，這種橢圓內(nèi)錐前緣激波的初始強度沿周向恒定，但曲率沿周向分布不均勻。在向下游匯聚增強的過程中，出現(xiàn)沿激波周向的強度非均勻性，并不斷加劇。當非均勻性發(fā)展到一定程度，激波面甚至出現(xiàn)間斷，形成拐折結(jié)構(gòu)(Kink)。而一旦激波面出現(xiàn)間斷，即使激波在匯聚過程中持續(xù)增強，最終也有可能發(fā)生規(guī)則反射[17-18]，與軸對稱激波的“必然馬赫反射”[11-12,19]相比，出現(xiàn)顛覆性變化。由此可見，激波面從連續(xù)到間斷的轉(zhuǎn)變，對于橢圓內(nèi)錐流動中的激波匯聚問題，至關(guān)重要。

隨著三維曲面激波的應(yīng)用不斷深化，相關(guān)理論也不斷充實。其中具有代表性的是M?lder[20-22]提出的彎曲激波理論，該理論能夠在一定程度上揭示內(nèi)收縮約束下曲面激波的匯聚機理，尤其在軸對稱激波匯聚問題中展示了可觀的潛力[14]。然而，對于激波面從連續(xù)到間斷轉(zhuǎn)變的問題，現(xiàn)有的理論尚難以定量預(yù)測，并給出合理解釋。因此，嘗試探索新的研究方法和途徑十分必要。

鑒于三維問題的復(fù)雜性，“空間降維”[23-24]不失為一種行之有效的分析方法。經(jīng)典的高超聲速等價原理[25-26]可以將繞細長體的三維定常流動等價轉(zhuǎn)化為二維非定常流動。對于三維內(nèi)錐流動中的激波匯聚，則可以等價為二維平面內(nèi)的激波內(nèi)收縮運動。此時，便可望從幾何激波動力學(Geometrical Shock Dynamics，GSD)理論[23-24,27-29]中獲得解決等價問題的思路。GSD理論對于解決非均勻激波匯聚、激波面從連續(xù)到間斷等問題，具有獨到的優(yōu)勢。但從目前對激波動力學的應(yīng)用來看，已有的研究大都集中于平面激波繞射、平面激波在變截面管道中傳播形狀和強度的演化、聚焦[30-33]或均勻柱激波運動[34-35]等易于解析的問題，對于本文等價轉(zhuǎn)化而來的具有非均勻性的二維內(nèi)收縮運動激波，少有關(guān)注。此外，由于非均勻性的存在，傳統(tǒng)的GSD方法難以直接應(yīng)用。因此，GSD方法自身，也很有發(fā)展和拓展的必要。

針對前期[17]采用的橢圓內(nèi)錐構(gòu)型，利用高超聲速等價原理，將三維定常的橢圓內(nèi)錐流動簡化為二維平面內(nèi)的非定常流動，力求對激波的演化過程得到另一角度的刻畫。進一步地，發(fā)展出基于GSD理論的“波面-擾動追蹤法”，并利用該方法考察了不同長短軸比下橢圓激波在內(nèi)收縮運動中的演變過程，重點分析了非均勻性的發(fā)展和激波面從連續(xù)到間斷的演變特征。

1 模型和方法

1.1 三維橢圓內(nèi)錐模型

本文關(guān)注的三維定常橢圓內(nèi)錐流動[17]，來流馬赫數(shù)Ma∞=6，來流靜壓p∞=891 Pa，靜溫T∞=101 K。采用如圖1(a)所示的橢圓內(nèi)錐模型，以模型入口橢圓中心為原點O，軸線為x方向，長軸方向為y方向，短軸方向為z方向，來流方向與x方向保持一致。模型軸向長度L=0.1 m，入口半長軸長度a=0.1 m，前緣壓縮角度沿周向保持恒定，為δ0=10°，φ為旋轉(zhuǎn)角。以模型入口橢圓的長短軸比(Aspect Ratio,AR)為研究參數(shù)，AR=a/b,通過改變?nèi)肟诎攵梯Sb的長度得到AR=1.11和AR=1.43這2種典型構(gòu)型，入口型線如圖1(b)所示。

圖1 橢圓內(nèi)錐模型示意圖和前緣型線

1.2 高超聲速等價原理及非定常數(shù)值模擬方法

針對小擾動情況下的細長體構(gòu)型，高超聲速等價原理[25-26]可以將三維定常流動等價轉(zhuǎn)化為二維平面內(nèi)的非定常流動。若自由來流沿x方向，則三維定常流中的流向位置坐標x與二維非定常流中的時間t具有等價關(guān)系，即

x～V∞t

(1)

式中：V∞為三維定常流動的來流速度。

對于本文研究的三維定常橢圓內(nèi)錐流動，圖2給出了應(yīng)用高超聲速等價原理簡化的示意圖。如圖2所示，在三維定常流場中，橢圓內(nèi)錐模型前緣(x0=0)產(chǎn)生橫向形狀與模型入口重合的三維內(nèi)聚激波。在y-z二維平面內(nèi)，則可以等價為初始時刻(t0=0)與橢圓內(nèi)錐模型入口形狀相同的二維橢圓活塞(W0)瞬間開始做內(nèi)收縮運動，產(chǎn)生與W0形狀重合的內(nèi)收縮運動激波(S0)。在向下游發(fā)展的過程中，三維橢圓內(nèi)錐模型與二維內(nèi)收縮運動活塞始終可以建立等價關(guān)系，且在等價關(guān)系下，三維內(nèi)聚激波的橫向結(jié)構(gòu)與二維內(nèi)收縮運動激波結(jié)構(gòu)保持一致。在三維橢圓內(nèi)錐模型的尾緣位置(x=xt)，壁面(Wt)約束消失，激波(St)繼續(xù)向中心運動。

圖2 橢圓內(nèi)錐模型高超聲速等價原理示意圖

上述基于高超聲速等價原理建立的等價關(guān)系在小擾動假設(shè)下(即激波角較小時)成立，滿足βs～sinβs(βs為三維定常激波角)。然而，當激波角較大時，小擾動假設(shè)不能完全滿足。因此，在本文的具體案例中，根據(jù)實際的三維定常激波角對式(1)中的等價關(guān)系進行了幾何修正。

為驗證上述等價原理的準確性，使用動網(wǎng)格技術(shù)進行了二維非定常數(shù)值模擬。1.3節(jié)中將二維數(shù)值結(jié)果與三維定常流動結(jié)果[17]進行了對比。二維計算域的邊界和內(nèi)部離散網(wǎng)格與三維橢圓內(nèi)錐模型入口邊界和離散網(wǎng)格保持一致，以三維定常流場中的來流靜壓和靜溫條件對二維計算域進行初始化。

1.3 等價的二維非定常流場

本節(jié)以AR=1.43構(gòu)型為例，介紹利用高超聲速等價原理所得到的二維非定常流場基本結(jié)構(gòu)，并與對應(yīng)的三維定常流場結(jié)構(gòu)[17]進行對比。

圖3(a)～圖3(d)分別給出了三維定常橢圓內(nèi)錐流場中x/L=0.10,1.40,1.60,2.00截面上無量綱密度(ρ/ρ∞)云圖，詳見文獻[17]，其中，ρ∞為三維定常流場中的來流密度。圖3(e)～圖3(f)分別展示了修正后對應(yīng)于圖3(a)～圖3(d)位置的等價二維非定常流場的無量綱密度云圖，對應(yīng)的時刻分別為t/ΔT=0.10,1.47,1.69,2.12，其中，ΔT滿足式(1)等價關(guān)系(L～V∞ΔT)。從圖3中的三維定常和二維非定常流場結(jié)構(gòu)可以看出，初始橢圓形激波在匯聚過程中，非均勻特征逐漸突出。以激波面出現(xiàn)間斷為標志，可以將非定常內(nèi)收縮運動激波(S)的演化過程劃分為連續(xù)激波非均勻強化和間斷激波平面化發(fā)展兩個階段。在連續(xù)激波非均勻強化階段，圖3(a)和圖3(b)所示的x/L=0.10,1.40截面上的三維定常流場結(jié)構(gòu)與圖3(e)和圖3(f)所示的t/ΔT=0.10,1.47時刻的二維非定常流場結(jié)構(gòu)等價。在內(nèi)收縮運動過程中，雖然S的初始強度沿周向相同，但是初始橢圓形激波在長軸端點處的曲率最大，激波在長軸端點附近匯聚更快，激波強度和波后密度也會更快地增大，使得S沿周向逐漸演化出強度的非均勻性，并且隨著S匯聚增強，強度非均勻性也逐漸加劇。尤其在沿長軸和短軸2個方向上，S的強度差異最為突出。從t/ΔT=1.47時刻(圖3(f))可以看出，S在長軸方向上的強度已經(jīng)明顯大于在短軸方向上的強度，波后呈現(xiàn)為“紅黃色”高密度區(qū)域。總體來說，雖然在這一階段，S的非均勻性逐漸顯著，但激波面始終維持連續(xù)、光滑的形狀。然而，隨著S進一步匯聚，激波面難以繼續(xù)維持光滑、連續(xù)的形狀。在三維定常流場中x/L=1.60截面(圖3(c))，等價的二維非定常流場結(jié)構(gòu)在t/ΔT=1.69時刻(圖3(g))，強烈的周向不均勻性使S的激波面出現(xiàn)間斷，形成Kink，此后進入間斷激波的平面化發(fā)展階段。在t/ΔT=2.12時刻(圖3(h))，Kink更加明顯，S被中心對稱的4個Kink劃分成兩對強度不同的平面化激波段：沿長軸運動的激波段(S1)和沿短軸運動的激波段(S2)。綜合上述兩個階段，通過對比圖3(a)～圖3(d)和圖3(e)～圖3(h)可以看出，二維運動激波結(jié)構(gòu)與三維定常激波的橫向結(jié)構(gòu)吻合較好，驗證了高超聲速等價原理在三維橢圓內(nèi)錐流場中的適用性。

圖3 AR=1.43構(gòu)型三維定常及等價的二維非定常流場結(jié)構(gòu)

GSD對于解決二維內(nèi)收縮激波運動問題，有著快捷、高效的優(yōu)勢。利用GSD方法，結(jié)合等價原理，可望為定量預(yù)測三維定常橢圓內(nèi)錐激波的非均勻演化過程，并揭示激波面發(fā)展出間斷的內(nèi)在機理，提供新的途徑。

2 激波動力學波面-擾動追蹤法

由1.3節(jié)分析可知，橢圓內(nèi)收縮運動過程中的非均勻演化機理是值得探究的重點之一。然而，已有的GSD方法還難以解決激波的非均勻擾動傳播問題。因此，本文從GSD基本方程出發(fā)，發(fā)展出對激波非均勻擾動傳播問題具有獨到適用性的“波面-擾動追蹤法”。下面，就其相關(guān)的原理和數(shù)值算法進行介紹。

2.1 原 理

最早由Chester[36]、Chisnell[37]以及Whitham[38]建立的CCW關(guān)系是GSD理論的基礎(chǔ)，它描述了激波在一維變截面管道中運動時，激波馬赫數(shù)(Mas)隨管道面積(A)變化的關(guān)系：

(2)

式中：K(Mas)為Mas的緩變函數(shù)。進一步地，Whitham[39]利用圖4所示的正交曲線坐標系(α為常數(shù)，表示不同時刻的激波面；β為常數(shù)，表示激波面各部分法矢量的積分曲線，即射線)，并結(jié)合微分關(guān)系：

(3)

將GSD推廣到了二維，建立了擾動沿激波面?zhèn)鞑サ母拍睿⒔o出了擾動沿激波面?zhèn)鞑サ膬纱靥卣骶€方程。在y-z平面內(nèi)，兩簇特征線方程可表示為

(4)

(5)

式中：A為射線管(相鄰兩條射線之間看作一維變截面管道)面積；θ為射線與水平方向(y軸)的夾角；c為擾動傳播速度的系數(shù)；ν為擾動軌跡(即特征線)與射線的夾角。若式(4)(式(5))對左行(右行)特征線在整個流場成立，則為簡單波擾動，否則為雙向擾動[27,34-35]。

圖4 正交曲線坐標系(α, β)中的激波位置和射線[27]

在等價的橢圓激波內(nèi)收縮運動過程中，彎曲橢圓激波面上分布著雙向傳播的擾動，并且雙向擾動始終貫穿激波的非均勻演化過程，結(jié)合式(4)和式(5)即可計算出沿特征線的參數(shù)變化。然而，由于特征線式(4)和式(5)不含時間變量，計算出的參數(shù)是在空間上分布的，難以將這些參數(shù)對應(yīng)在任意確定時刻的激波面上。對于激波非均勻匯聚問題而言，得到不同時刻的激波面及參數(shù)變化是必要的。為此，本文提出了一種“波面-擾動追蹤法”。

圖5以一般的二維曲面運動激波為例，展示了該方法的基本原理。遵循數(shù)值求解思想，將初始(t0時刻)激波面用一系列點(圖5中t0時刻激波面上的綠色點)離散。在激波運動過程中的任意t時刻和t+Δt時刻(Δt為時間增量)，建立波面-擾動追蹤關(guān)系。圖5給出了t時刻激波面上任意3個相鄰離散點的位置矢量xt,i-1，xt,i和xt,i+1，它們在從初始激波面?zhèn)鞑ザ鴣淼奶卣骶€(圖5中藍色線)上。為區(qū)分擾動傳播的2個方向，站在激波面上面向激波的運動方向看，定義向左傳播的特征線為左行(C+)特征線，向右傳播的特征線為右行(C-)特征線。

圖5 “波面-擾動追蹤法”原理示意圖

根據(jù)GSD基本原理，激波從t時刻運動到t+Δt時刻，激波面上的各離散點沿射線運動。由于射線方向在任意時刻均與激波面垂直，可以用t時刻激波面上離散點的法向(圖5中紅色箭頭)代替射線方向，射線的面積為圖5中相鄰黑色虛線(其中，黑色虛線為圖5中相鄰離散點的中垂線)包圍的激波面弧長。實際上，圖5中相鄰黑色虛線為一組射線，同樣垂直于t時刻的激波面，因此可以將激波面看作被射線分割的若干波面微元，每一個波面微元沿著射線管道的傳播可以看作是激波在準一維管道[39]中運動。從t時刻到t+Δt時刻，射線管面積改變，波面微元的激波馬赫數(shù)也隨之改變，兩者變化滿足CCW關(guān)系。與此同時，擾動也沿激波面?zhèn)鞑?，因此，可以利用特征線關(guān)系，計算特征線從t時刻到t+Δt時刻的軌跡。再結(jié)合t+Δt時刻的激波面，可以確定C+和C-兩組特征線傳播到t+Δt時刻激波面上的位置和馬赫數(shù)。綜上所述，從t0時刻開始，任意時刻的激波面位置，以及沿激波面?zhèn)鞑サ臄_動均可以得到。

2.2 算 法

在均勻靜止介質(zhì)中運動時[27]，正交曲線坐標系下的激波面由α=a*t描述，其中:a*為波前介質(zhì)聲速。若在y-z平面內(nèi)令激波面位置x=(y,z)，激波面單位法向量n=(cosθ, sinθ)，則可根據(jù)式(3)寫出正交坐標系下激波面隨時間推進的矢量微分形式，即

(6)

按照2.1節(jié)中介紹的用離散點代替連續(xù)激波面的思想，則式(6)可轉(zhuǎn)化為常微分方程：

(7)

式中：下標i表示離散點編號。對式(7)應(yīng)用三階Runge-Kutta格式[40]進行數(shù)值積分，實現(xiàn)激波面隨時間推進。在數(shù)值積分中，離散點激波馬赫數(shù)(Masi)變化和射線管面積(Ai)變化滿足

(8)

式中：Ai用離散點鄰近的激波面平均弧長代替，即

(9)

其中：si為以激波面端點(i=1對應(yīng)的離散點位置)為起點，沿激波面建立的弧坐標下的離散點位置，即

(10)

為確定任意t時刻激波面離散點法向量，構(gòu)建弧坐標下兩組數(shù)據(jù)點(si(t),yi(t))i=1,2,…,N和(si(t),zi(t))i=1,2,…,N，用修正的三次Akima[41]插值得到兩個函數(shù)Y(s(t))和Z(s(t))。激波面上離散點的單位法向量ni(t)滿足

i=1,2,…,N

(11)

式中：上標“′”表示對弧坐標s的微分。對于激波面端點在實體固壁上的情況，由于壁面本身可以視為一條射線，端點法向量沿壁面方向。

在數(shù)值計算中，Δt需要滿足穩(wěn)定性條件(即Courant-Friedrichs-Lew(CFL)條件[33])。同時，為避免由數(shù)值計算誤差導致的射線相交(射線管面積收縮為0)，引入射線不相交條件[33]，調(diào)整Δt。

如果已知任意t時刻的激波面形狀和強度分布(如圖5中t時刻激波面上的綠色點坐標及參數(shù))，按照上述方法，可計算出t+Δt時刻的激波面形狀和強度分布(如圖5中t+Δt時刻激波面上的兩個邊界點、內(nèi)部黑色點坐標及參數(shù))。至此，完成了在一個時間步內(nèi)，對激波面的追蹤。

在激波運動過程中，還需要計算擾動沿激波面的傳播，建立波面-擾動追蹤關(guān)系。以初始激波面上第m條C-特征線為例，利用式(5)計算擾動由t時刻傳播至t+Δt時刻時，沿特征線的參數(shù)變化。

如圖5所示，若第m條特征線在t時刻傳播到激波面上xt,i點位置，根據(jù)式(5)該特征線在繼續(xù)傳播過程中的軌跡滿足

z=tan(θt,i-ν(Mast,i))y+zt,i-

tan(θt,i-ν(Mast,i))yt,i

(12)

式中：(yt,i,zt,i)、Mast,i和θt,i分別為t時刻激波面上xt,i點的坐標、運動激波馬赫數(shù)和射線角。其中，θt,i由t時刻激波面上xt,i點的單位法向量nt,i確定，即

(13)

其中：nt,i,y和nt,i,z分別為nt,i在y軸和z軸方向上的分量。

(14)

圖6 擾動傳播至邊界求解原理示意圖

(Mast+Δt,i-1-Mast+Δt,i)

(15)

綜合式(12)～式(15)，可以得到初始激波面產(chǎn)生的所有擾動從t時刻到t+Δt時刻的傳播軌跡和馬赫數(shù)變化(如圖5中t+Δt時刻所有綠色點的坐標和參數(shù))。

除初始激波面外，以任意時刻激波面上的特征線節(jié)點(如圖5中特征線與激波面的綠色交點)和固壁邊界上的端點作為激波面的離散點，可由式(11)求解離散點的法向量；再根據(jù)該時刻離散點的坐標、法向量、馬赫數(shù)分布，以及特征線傳播過程，求解下一時刻的激波形狀和參數(shù)。如此進行循環(huán)推進，最終，不僅可以得到二維非定常激波面隨時間行進過程中的幾何形狀及參數(shù)變化，同時還能追蹤擾動隨著激波推進的傳播過程。至此，建立了“波面-擾動追蹤法”。

另外，當同簇特征線趨于相交時(射線管面積趨于0)，需終止計算。在數(shù)值計算中，當t時刻激波面上發(fā)出的兩個相鄰?fù)靥卣骶€的交點到對應(yīng)激波面的距離lt，比t時刻的平均弧長Δst低3個數(shù)量級時，認為同簇特征線趨于相交，終止迭代。

為了便于展示和理解上述“波面-擾動追蹤法”的實施過程，圖7給出了該算法的流程圖。

圖7 “波面-擾動追蹤法”算法流程圖

2.3 算法驗證

根據(jù)1.2節(jié)中的等價關(guān)系，將三維橢圓內(nèi)錐模型前緣(x0=0)處的激波角記為λ0(來流馬赫數(shù)Ma∞=6，前緣壓縮角度δ0=10°的楔產(chǎn)生的斜激波的激波角)，則初始時刻(t0=0)二維內(nèi)收縮運動激波馬赫數(shù)為Mas0=Ma∞tanλ0=1.90。以AR=1.43構(gòu)型為例，取周向[-π/2, π/2]區(qū)間內(nèi)的1/2初始橢圓運動激波，按等弧長均勻離散得到N=401個初始離散點，運用發(fā)展的“波面-擾動追蹤法”計算不同時刻的激波面位置和強度分布。通過與三維定常數(shù)值模擬[17]結(jié)果對比，驗證“波面-擾動追蹤法”。

圖8(a)中虛線展示了從三維定常流場中提取的x/L=0.65,1.30典型截面上的激波面，實線展示了采用“波面-擾動追蹤法”得到的等價二維非定常流場中對應(yīng)的激波面(t/ΔT=0.65,1.30)。圖8(b)對比了沿激波面的激波馬赫數(shù)Mas分布，其中旋轉(zhuǎn)角φ與三維模型保持一致(見圖1(a))。圖8(b)中的實線為采用“波面-擾動追蹤法”得到的Mas分布，圖8(b)中的虛線表示由三維定常流場得到的等價Mas分布。根據(jù)三維定常流場x/L截面上激波前后的壓比，按斜激波關(guān)系[42]計算得到激波角λ后，再借助等價關(guān)系Mas=Ma∞tanλ，換算出等價的Mas分布。通過對比圖8中的實線和虛線可以看出，盡管GSD方法因僅考慮了激波面，存在一定的誤差[33,43]，但本文基于GSD發(fā)展的“波面-擾動追蹤法”的計算結(jié)果與三維定常結(jié)果吻合良好。

以此為基礎(chǔ)，可以進一步地利用“波面-擾動追蹤法”定量地分析橢圓內(nèi)收縮運動激波的非均勻匯聚過程，以揭示三維定常橢圓內(nèi)聚流場中Kink的形成機理。

圖8 AR=1.43構(gòu)型不同位置(時刻)激波面和周向馬赫數(shù)分布對比

3 二維流場的幾何激波動力學分析

本節(jié)利用“波面-擾動追蹤法”計算了長短軸比較小的AR=1.11和較大的AR=1.43這2種典型情況，分析激波的形狀及強度的演變過程和機理。

圖9(a)給出了AR=1.11構(gòu)型在t/ΔT=0,0.91,1.74,2.44典型時刻的激波面位置和兩簇特征線，圖9(b)給出了對應(yīng)于圖9(a)中各時刻的周向激波馬赫數(shù)(Mas)分布，用以展示激波強度的周向不均勻性。

從圖9(a)和圖9(b)中t/ΔT=0時刻的激波面和周向Mas分布可以看出，初始時刻連續(xù)光滑的橢圓激波，雖然沿周向強度均勻分布，但激波自身曲率的不均勻(即幾何上偏離軸對稱的激波形狀)將在激波傳播過程中顯現(xiàn)和產(chǎn)生作用，進而影響后續(xù)的非均勻演變過程。由1.3節(jié)可知，初始激波曲率在長軸端點處最大，激波在長軸端點附近將更快地匯聚并增強。因此，在后續(xù)的t/ΔT=0.91時刻(見圖9(b))，激波強度從長軸到短軸方向呈現(xiàn)逐漸降低的分布趨勢。隨著激波進一步匯聚，強度和幾何非均勻性都不斷強化。對比圖9(b)中t/ΔT=0.91,1.74,2.44時刻沿激波面周向的Mas分布可以看出，長軸和短軸附近的激波強度差異越來越顯著。在t/ΔT=2.44時刻，強烈的非均勻性使得激波面難以維持連續(xù)、光滑的形態(tài)，激波面上出現(xiàn)Kink，進而從連續(xù)轉(zhuǎn)變至間斷。

圖9 AR=1.11構(gòu)型激波面、特征線以及相應(yīng)的激波馬赫數(shù)分布

增大長短軸比至AR=1.43時，結(jié)果如圖10所示。從圖10(a)給出的不同時刻激波面形狀和圖10(b)給出的激波面周向Mas分布可知，相比于長短軸比較小的AR=1.11情況而言，激波在匯聚過程中長、短軸2個方向激波強度的差異凸顯得更快，而在激波的匯聚過程中，Kink也更早地出現(xiàn)。

圖10 AR=1.43構(gòu)型激波面、特征線以及相應(yīng)的激波馬赫數(shù)分布

結(jié)合前期對三維激波的研究[17]可知，若初始激波曲率均勻，即圓柱激波(AR=1.0)，激波在匯聚過程中將始終維持連續(xù)、光滑的波面形狀，直至馬赫盤形成[17]。一旦初始激波偏離圓柱激波形狀(AR增大)，非均勻性在匯聚過程中的強化不可避免，隨之而來的便是激波從連續(xù)到間斷化的發(fā)展。激波偏離軸對稱后的間斷化發(fā)展，改變了原本軸對稱激波中的“無限匯聚”模式，最終可能顛覆軸對稱激波“必然馬赫反射”的規(guī)律[17]。可見，初始連續(xù)光滑的激波面在發(fā)展過程中是如何形成Kink的，能否在理論上進行描述和預(yù)測Kink在激波面上的形成位置是探究激波非均勻匯聚內(nèi)在機理的關(guān)鍵問題。下面，借助本文發(fā)展的“波面-擾動追蹤法”計算出的特征線，可以做更進一步的GSD分析。

從圖9(a)中特征線分布可以看出，初始橢圓激波面上分布著雙向傳播的擾動，激波在內(nèi)收縮運動過程中，左行擾動沿著激波面以Wd=a*·[(Mas2-1)K(Mas)]1/2(與聲速a*和激波馬赫數(shù)Mas正相關(guān)[27])的速度向φ增大的方向傳播，右行擾動沿著激波面以Wd的速度向φ減小的方向傳播，使激波自身不斷增強。雖然初始激波強度均勻分布，但由于幾何非均勻性的影響，以及后續(xù)匯聚過程中強度和曲率兩方面的強化耦合作用，雙向擾動非均勻傳播呈現(xiàn)越來越明顯的非均勻“Shock-Compression”擾動特征[27]。

從圖9(b)中激波面周向Mas分布可以看出，在第四象限內(nèi)(φ∈[-π/2, 0])，激波強度從φ=-π/2～0位置逐漸增大。因此，對于第四象限內(nèi)某時刻處于任意φ1和φ2位置的兩同向右行擾動(以C-特征線為例)，若φ1<φ2，則φ1位置的右行擾動沿著激波面的傳播速度W1小于φ2位置的右行擾動沿著激波面的傳播速度W2。雖然激波面在匯聚過程中持續(xù)收縮，但是由于W1

由上述分析可知，一旦第四象限內(nèi)的同向右行擾動跨過φ=0位置進入第一象限，沿著激波面的傳播速度相對大小關(guān)系便發(fā)生轉(zhuǎn)變。因此，從圖9(a)中可以看出，從第四象限內(nèi)傳播至第一象限內(nèi)的右行擾動不斷靠近初始從φ=0位置產(chǎn)生的右行擾動，即第四象限內(nèi)C-特征線在圖9(a)中紅色區(qū)域內(nèi)追趕初始從φ=0位置發(fā)出的C-特征線。由于激波的對稱性，左行擾動的傳播過程與右行擾動的傳播過程呈現(xiàn)對稱的趨勢，第一象限內(nèi)C+特征線在圖9(a)中藍色區(qū)域內(nèi)追趕初始從φ=0位置發(fā)出的C+特征線。在t/ΔT=2.44時刻附近，同簇C-特征線在第一象限中(0.07, 0.03)位置，同簇C+特征線在第四象限中(0.07, -0.03)位置分別相交(見圖9(a)綠色點)。在特征線交點處，激波面出現(xiàn)間斷，并形成Kink。同時，也意味著激波參數(shù)的間斷。從圖9(b)中t/ΔT=2.44時刻的激波面周向Mas分布可以看出，激波強度在出現(xiàn)Kink位置附近急劇變化。而激波在長軸附近強、短軸附近弱的顯著差異，也隨著Kink的出現(xiàn)，被分割成強、弱兩對激波段。

隨著長短軸比增大至AR=1.43，特征線的發(fā)展趨勢與AR=1.11構(gòu)型類似，但由于初始激波的幾何非均勻性增強，擾動會更早地向長軸附近聚集。如圖10(a)所示，在t/ΔT=1.61時刻，同簇C-特征線在第一象限中(0.39, 0.05)位置，同簇C+特征線在第四象限中(0.39, -0.05)位置相交(見圖10(a)綠色點)。與AR=1.11時相比，激波面上更早地出現(xiàn)Kink。

由上述分析可知，借助“波面-擾動追蹤法”，可以快速地計算出二維橢圓內(nèi)收縮運動激波形成Kink的時間，以及Kink在y-z平面內(nèi)的位置。繼而根據(jù)等價關(guān)系式(1)，可以確定三維定常橢圓內(nèi)錐流場中激波面出現(xiàn)Kink的位置。因此，“波面-擾動追蹤法”能夠揭示三維定常橢圓內(nèi)錐流場中Kink的形成機理。

結(jié)合1.3節(jié)中三維激波的橫向結(jié)構(gòu)可知，形成Kink之后，激波面被中心對稱的Kink劃分為兩組趨于平面化發(fā)展的激波段。不過，一旦激波面上出現(xiàn)Kink，本文發(fā)展的“波面-擾動追蹤法”就面臨新的挑戰(zhàn)。激波面上出現(xiàn)Kink后，需要引入“Shock-Shock”關(guān)系[27]來進行有針對性的描述。以往的“Shock-Shock”作用問題，如平面運動激波在斜楔面上的馬赫反射問題[27]，Kink(即馬赫反射的三波點)兩側(cè)的激波面(入射激波和馬赫桿)均被認為是強度均勻的激波面。然而，對于本文所面臨的問題來說，Kink兩側(cè)的激波面顯然都是非均勻的。換言之，此處所面臨的是更加復(fù)雜的雙向“Shock-Compression”擾動與“Shock-Shock”擾動相互作用問題。如何應(yīng)對這一新的難題，目前尚處于探索之中。

4 結(jié) 論

利用高超聲速等價原理，將三維定常橢圓內(nèi)錐流動簡化為二維平面內(nèi)的非定常流動。針對等價后的二維非定常流動，基于GSD原理提出了“波面-擾動追蹤法”，定量預(yù)測和分析了不同長短軸比下初始強度相同的橢圓激波沿周向非均勻匯聚演變過程，主要得到以下結(jié)論：

1) 基于激波動力學原理提出了“波面-擾動追蹤法”，該方法既能夠得到二維非定常激波在匯聚過程中的波面演變特征及參數(shù)變化，又能夠追蹤擾動沿著激波面的傳播過程。

2) 在初始橢圓激波自身產(chǎn)生的雙向非均勻“Shock-Compression”擾動作用下，非均勻性不斷強化，隨著同向“Shock-Compression”擾動的聚集，激波面從連續(xù)發(fā)展出間斷，形成拐折結(jié)構(gòu)(Kink)。

3) 隨著長短軸比的增加，初始激波面的幾何非均勻性增強，同簇擾動會更快地聚集，激波面上更早形成Kink。