趙雪鵬 (西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 215028)

2021年新高考數(shù)學(xué)I卷第20題是一道立體幾何題，難度適中，屬于常規(guī)題.最近筆者所帶的兩個班級(高二年級比較好的兩個理科班，學(xué)生的理解能力和運算能力較好)已經(jīng)學(xué)完了空間向量這一章節(jié)，在復(fù)習(xí)課上，限時15分鐘在這兩個班級做了本道試題.但是學(xué)生普遍做得不理想，不少學(xué)生得分低，出現(xiàn)了很多出乎意料的錯誤.通過對學(xué)生答題情況進行細致的分析，筆者對學(xué)生的常見錯誤進行了歸納總結(jié)，并提出了若干想法.

1 試題賞析

(2021年全國新高考I卷第20題)如圖1，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點.

圖1

(1)證明：OA⊥CD；

λ={λ1,,λt,,λT}為T位決策專家權(quán)重，可由應(yīng)急主體根據(jù)各決策專家的地位、經(jīng)驗、知識或能力等因素確定，

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

在平時的教學(xué)過程中，一定要以教材為依托，對照數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)要求，教學(xué)過程中穩(wěn)扎穩(wěn)打，講透每一個知識點，切忌囫圇吞棗，不能讓學(xué)生有云里霧里的感覺.對于一些重要的知識點，要反復(fù)強調(diào)，從最基礎(chǔ)的題目抓起，通過題目強化學(xué)生對知識的理解.對于一些難度較大的題目，要引導(dǎo)學(xué)生從一些關(guān)鍵點上去打開缺口，引導(dǎo)優(yōu)秀的學(xué)生自己去鉆研，切不可過分提高要求.

2 學(xué)生答題情況

2.1 第(1)題答題情況

第(1)題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理，指向?qū)W生的空間立體感及邏輯推理能力.該題的常規(guī)做法是通過面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，然后再通過線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直.具體做法如下：因為AB=AD，O為BD中點，所以AO⊥BD.因為平面ABD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，AO?平面ABD，因此AO⊥平面BCD.因為CD?平面BCD，所以AO⊥CD.

第(1)題屬于容易題，學(xué)生應(yīng)該能做出來，但從批改的情況來看，該小題還是出現(xiàn)了以下一些典型的錯誤：

數(shù)學(xué)解題應(yīng)包含審題、語言表達、作答規(guī)范三個方面.

(2)審題不清.學(xué)生審題不細心，答題不細致，丟了一些冤枉分.例如，第(1)題證明OA⊥CD，但有些學(xué)生看成了OA⊥OC；同樣，由面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)該得到OA⊥面BCD，但有些學(xué)生誤寫成OA⊥面ABD.諸如此類的低級錯誤比比皆是，因此而丟分，實在可惜.

LSTM的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。其中最重要的組成部分是記憶細胞,它所存儲的狀態(tài)貫穿于整個網(wǎng)絡(luò),只進行少量的線性交互,這樣可以保證梯度信息在長期傳播過程中保持穩(wěn)定[15]。另外LSTM中還包括3個門控單元(一種讓信息選擇性通過的結(jié)構(gòu)):“遺忘門”決定需要從細胞狀態(tài)中丟棄的信息;“輸入門”確定添加到細胞中的新信息;“輸出門”確定最終的輸出。

根據(jù)保護動作報告及錄波數(shù)據(jù)分析，110kV陽石甲線發(fā)生單相高阻接地故障時，各保護動作情況可以分為以下四個階段：

(3)還有的學(xué)生由于不理解面面垂直這一條件，亂寫一通.首先得到AO⊥BD，然后默認(rèn)為AO⊥OC，緊接著由線面垂直的判定定理得到線面垂直，進而得到線線垂直，這樣的學(xué)生還不占少數(shù).這類情況凸顯出學(xué)生對試題的不理解，沒有領(lǐng)會命題意圖，對已學(xué)知識的掌握還不夠熟練.

從以上這幾種典型的錯誤可以看出，學(xué)生對所學(xué)知識掌握得不扎實，沒有做到理解性地學(xué)習(xí).例如，犯第(1)種類型的錯誤的學(xué)生，不理解面面垂直的含義，只是機械性地去背面面垂直的性質(zhì)定理的條件，根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線的規(guī)律，很快會忘記，所以在答題時漏這漏那.同樣，對于第(3)種錯誤，受所給圖形的誤導(dǎo)，默認(rèn)為OA⊥OC，這是典型的條理不清晰.

模擬教學(xué)在鼻科復(fù)雜解剖立體化、快速有效的提高鼻科醫(yī)師鼻內(nèi)鏡鼻竇手術(shù)的技術(shù)水平具有不可比擬的優(yōu)勢。尤其是近年來，醫(yī)學(xué)影像學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，醫(yī)學(xué)影像導(dǎo)航技術(shù)使得術(shù)前評估、術(shù)中實時導(dǎo)航成為可能。實踐操作中應(yīng)當(dāng)更加重視醫(yī)學(xué)模擬技術(shù)在鼻科醫(yī)師掌握基本的解剖理論、聯(lián)系臨床實踐和提高手術(shù)技巧方面的作用[5-6]。

2.2 第(2)題答題情況

第(2)題主要考查二面角及三棱錐的體積，指向?qū)W生的直觀想象和數(shù)學(xué)運算能力.學(xué)生主要有兩種解法，一種是綜合演繹法，一種是向量坐標(biāo)法.具體解法如下：

圖2

同時，對于基礎(chǔ)知識和基本方法的訓(xùn)練不應(yīng)該只是簡單的重復(fù)和片面的記憶，而要通過整理、歸納和總結(jié)，多方面地去認(rèn)識每個數(shù)學(xué)知識及它們之間的聯(lián)系.通過分類、整理，逐步形成一個條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的知識結(jié)構(gòu)體系，以便在解題時，準(zhǔn)確依據(jù)給定的信息，快速尋求解題途徑，優(yōu)化答題過程，最終在考試過程中對基礎(chǔ)知識的理解和基本方法的運用胸有成竹[1].

方法2 (向量坐標(biāo)法)第(2)題大部分學(xué)生使用向量坐標(biāo)法，也是高中數(shù)學(xué)解決立體幾何線面角和二面角等問題的常見方法.由于題中沒有給出坐標(biāo)系，要求學(xué)生自己先建系，每個人的建系有所不同，因此第(2)題的向量法解析不再陳述了，主要列舉第(2)題解答中出現(xiàn)的一些問題.一些學(xué)生沒有在解答過程中交代建系的過程，也沒有在圖中畫出坐標(biāo)系，作答過程極其隨意；部分學(xué)生作答時缺乏邏輯性，例如，在求面EBC的法向量時，寫出點E,B,C的坐標(biāo)后，并沒有接著寫出向量EB,EC或BC的坐標(biāo)形式，直接得到等式并求出法向量，導(dǎo)致解答過程不嚴(yán)謹(jǐn)；計算錯誤也是該方法中的一個常見問題，例如，部分學(xué)生寫的方程組是對的，但法向量求錯了，更有甚者，點C的坐標(biāo)就求錯了，導(dǎo)致本小題幾乎不得分.諸如此類的錯誤讓筆者感到觸目驚心，本題本應(yīng)是一道簡單的送分題，硬被某些學(xué)生變成了“送命題”.因此，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式急需調(diào)整.

3 教學(xué)建議

數(shù)學(xué)學(xué)科考試以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識為思維材料和操作對象，考查學(xué)生各方面已經(jīng)得到發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在平時的教學(xué)過程中，教師要以數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向進行有效的復(fù)習(xí).

3.1 強化基礎(chǔ)知識和基本方法

本題是一道立體幾何題，以常見的三棱錐為模型，主要考查了面面垂直的性質(zhì)定理、二面角及三棱錐的體積運算，試題背景常見，而且問題呈現(xiàn)的形式也比較常規(guī)，主要指向?qū)臻g幾何的立體感及數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

對于數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)知識和基本方法，記憶是一方面，更重要的是理解.俗話說“好記性不如爛筆頭”，這句話稍微改編一下，變?yōu)椤昂糜浶圆蝗缰R理解”，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)效果將更好.例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)面面垂直的性質(zhì)定理時，通過實物演示去理解這個過程，那么會更容易地記住這四個條件，無論過多長時間都能記住.因此，理解基礎(chǔ)知識和基本方法顯得尤為重要，也暗示著在平時的教學(xué)復(fù)習(xí)過程中不能一味地刷題，更要重視知識的形成過程.

情竇初開的少男少女，當(dāng)遇到異性遞來的“求愛信”時，最要緊的是自己要保持理智，要明白這個階段的好感并不是真正的“丘比特之箭”，對方還不具有成熟的愛情所具有的那份責(zé)任感，而只是本能的異性吸引的暫時表現(xiàn)，因為這個年紀(jì)還不會懂得愛的真正含義，更沒有能力去承擔(dān)愛的義務(wù)。

3.2 注意解題的規(guī)范性與完整性

(1)在用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)定理時漏條件.在用面面垂直的性質(zhì)定理時，很多學(xué)生漏掉了平面ABD∩平面BCD=BD和AO?平面ABD這兩個條件；在用線面垂直的性質(zhì)定理時，很多學(xué)生漏掉了CD?平面BCD這一條件.更有甚者，沒有出現(xiàn)AO⊥BD和平面ABD⊥平面BCD這一關(guān)鍵條件，導(dǎo)致不必要的丟分.

后來，耿仙要離杭了，便把編輯曲江工潮這事，交與我與樂我二人的肩上，因之我和互助會接觸的機會越多，而知道互助會的內(nèi)容也越清楚了！浙江印刷公司，本來是用包工統(tǒng)工制的，因此有許多工人——互助會員，便不能特殊的工作，多得著一些意外的工銀。諸位！這是禍水了！這自由競爭的私產(chǎn)制度，便要使工人們分離，使工人跳到自由競爭的漩渦去！還有，浙江印刷公司，也因包工統(tǒng)工制，而縛著資本家的生財手段——工人們從此不肯作夜工了！于是互助會的厄運便來了！曲江工潮也要夭折了！呵！文字何用！正義何用！

·審題規(guī)范

認(rèn)真審題對正確解題而言至關(guān)重要，審題是對試題進行分析、尋找有用信息以及探求正確的解題思路的過程.審題過程包括弄清楚題干條件及問題、分析題干條件和問題之間的關(guān)系、找出正確的解題方法等三部分.

4.5.2 公園綠地免費開放后會影響公園滿意度評價 免費開放對公園滿意度的影響較大,說明在公園免費開放后,居民對園內(nèi)的自然景觀、歷史文化氛圍、休憩設(shè)施的數(shù)量及質(zhì)量、園內(nèi)講解和咨詢服務(wù)以及交通便捷程度有高質(zhì)量要求．公園滿意度觀測變量中園內(nèi)自然景觀、休憩設(shè)施的數(shù)量及質(zhì)量、交通便捷程度因子載荷較大,體現(xiàn)了居民對具有優(yōu)美的自然風(fēng)光、舒適的休閑空間以及交通便利的公園的需求．

(1)分析題干中的條件和問題

段異常持續(xù)的時間達到1 min;③兩次短暫性心肌缺血發(fā)作時間間隔>l min,間隔時間內(nèi)ST波段恢復(fù)至基線水平。

(2)分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系

正確地解決一道試題，只分析條件或問題是遠遠不夠的，常常需要將條件和問題聯(lián)系在一起，尋找二者之間的內(nèi)在聯(lián)系，進而去聯(lián)想與其相關(guān)的必備知識，逐一嘗試，即可順利解決本題.例如，2021年新高考I卷第19題，如果學(xué)生將題干的三等分點和問題結(jié)合在一起分析，就能想到互為補角的兩個角的余弦值互為相反數(shù)，那么就會想到在兩個三角形中對這兩個角分別用余弦定理，可以得到三角形邊的等式關(guān)系，進而解決本題.

(3)確定解題思路

對各變量進行相關(guān)性分析，結(jié)果顯示了我們研究的幾個重要變量之間的相關(guān)系數(shù)大小，其中學(xué)校和所處行政區(qū)的相關(guān)性是所有變量兩兩相關(guān)性最強的，其次是地鐵與區(qū)域的相關(guān)性以及地鐵與學(xué)校的相關(guān)性。

一道試題的條件與問題之間必然存在著一系列的關(guān)聯(lián)，這些聯(lián)系是順利解題的關(guān)鍵.然而用哪些關(guān)聯(lián)去解題，需要根據(jù)這些聯(lián)系背后的數(shù)學(xué)知識和其所遵循的數(shù)學(xué)原理來確定.對某些題目而言，這種聯(lián)系比較隱蔽，只有通過認(rèn)真的分析才能發(fā)現(xiàn)；而有些試題的條件和問題之間的聯(lián)系有多種，這也是一題多解的原因所在[1].

·語言敘述規(guī)范

數(shù)學(xué)作為一門理科學(xué)科，有其嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性.因此，教師在平時的教學(xué)(特別是新授課的教學(xué))和學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中要板書清晰和答題規(guī)范，不可隨意漏步驟和答題混亂.平時的閱卷過程中要看語言敘述是否到位.因此，學(xué)生的答題步驟應(yīng)清楚、正確、完整，詳略得當(dāng)，言必有據(jù).

·作答規(guī)范

進入高中，考試對于學(xué)生而言是再正常不過的事情，但是一到考試，學(xué)生多少會有點緊張，這時很容易犯一些低級的錯誤，而自己還不自知.例如，在本道試題第(1)題證明中學(xué)生所犯的錯誤.學(xué)生的作答要準(zhǔn)確、簡潔、全面，既要注意結(jié)果的驗證、取舍，又要注意答案的完整，要做到審清題目的目標(biāo)，按目標(biāo)作答.

3.3 提高學(xué)生的計算能力

數(shù)學(xué)運算作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，滲透在數(shù)學(xué)考卷的各個方面.現(xiàn)在的數(shù)學(xué)考試主要考學(xué)生的“想”和“算”，而“算”的準(zhǔn)確性是學(xué)生能拿到基本分的關(guān)鍵，顯得尤為重要.本道試題的第(2)題，用向量法做題時，有的學(xué)生一開始就把點C的坐標(biāo)求錯，往下的過程雖然全對，但一分不得，這樣的錯誤非常可惜.因此，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力顯得尤為重要.要想提高運算能力，一方面需要通過限時的練習(xí)來提高做基礎(chǔ)題的速度，另一方面要提高運算的準(zhǔn)確率.提高運算能力不僅要細心，更需要思考，且“思”要在“算”的前面.通過思考，明確運算的方向，能對運算的結(jié)果有一定的預(yù)見性.平時的教學(xué)過程中一定要重視學(xué)生的計算，涉及到計算問題，例如概率統(tǒng)計、空間向量求二面角和解析幾何等計算量大的題目，務(wù)必讓學(xué)生去算，甚至課堂上專門拿出時間讓學(xué)生去做，這是劃得來的.通過比較不同的算法，提高數(shù)學(xué)運算的速度和準(zhǔn)確率.

各組大鼠給藥42 d后，HE染色結(jié)果顯示：各實驗組牙齦上皮及結(jié)締組織均有不同程度的增生，可見上皮釘突增粗伸長并深入結(jié)締組織層，且結(jié)締組織中膠原纖維束明顯增多；其嚴(yán)重程度依次為Nif+CsA組﹥CsA組﹥Nif組﹥對照組，與大鼠牙齦增生外形觀察結(jié)果一致(圖3)。

3.4 注意答題細節(jié)，養(yǎng)成好的答題習(xí)慣

平常數(shù)學(xué)考試的閱卷過程中經(jīng)常反饋出來的信息是：難題大家?guī)缀醵寄貌坏椒?，而簡單題、送分題也有很多人得不到分.究其原因，主要是答題習(xí)慣差、書寫不注意細節(jié).

（1）施工過程中的資金配置問題資金在施工企業(yè)中的重要地位是不言自明的。特別是在我們的建筑施工中，研究如何合理的優(yōu)化資金配置是具有非常大的意義。由于開發(fā)商資金的短缺，就必然造成施工單位的資金短缺。而另一方面，施工企業(yè)也是自負(fù)盈虧的、獨立的市場經(jīng)濟主體。為了自身的利益，施工企業(yè)也會毫不猶豫的追逐經(jīng)濟效益，此時很有可能就會經(jīng)常性的偷工減料或者使用劣質(zhì)的材料代替。例如，在暖通空調(diào)設(shè)備的選擇上，很有可能會選擇一些不是高效節(jié)能的或者不符合建筑施工需要的設(shè)備[1]。

對于學(xué)生做題過程中的主要問題，筆者作了如下的梳理，以備今后教學(xué)中注意.

(1)字不必要漂亮，但必須清晰有條理

平時教學(xué)中，有教師強調(diào)卷面整潔、字體漂亮可以贏得閱卷老師好感，多得分.于是有的學(xué)生便刻意而為，字體力求漂亮.其實，在考試緊張的狀態(tài)下，過分關(guān)注字體漂亮，勢必會影響答題的速度.因此，遵循“慢思考、快答卷、字跡清”才是更可行的準(zhǔn)則.所以，字不必要漂亮，但要一目了然，答題過程要清晰有條理.

(2)答題過程不必要詳細，但要突出重點步驟，盡可能覆蓋“得分點”

任何考試的閱卷基本原則之一是“看點給分”，這就要求考生能盡量清晰有條理地把必要的知識點、關(guān)鍵步驟寫出來.在閱卷過程中，不少學(xué)生不著邊際地亂寫一通，但沒有得分點，因此勞而無功，白白浪費了寶貴的時間.

在平時的學(xué)習(xí)過程中，教師和學(xué)生要經(jīng)常性地反思自己的教學(xué)和學(xué)習(xí)方式，在反思過程中，不斷地對自己不合理的教學(xué)和學(xué)習(xí)行為進行批判，督促自己不斷地學(xué)習(xí)進步，成就最好的自己.