張馬悅,陳思博,桑芝芳

(蘇州大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006)

物體的滾動是物體的運動形式之一，然而在很多大學(xué)物理教科書中，對于物體滾動中的摩擦問題解釋過于簡略，有些直接忽略[1-3]，導(dǎo)致部分學(xué)生對滾動摩擦知之甚少，對其認(rèn)識仍只停留在高中階段，只認(rèn)識到：當(dāng)壓力相同時，滾動摩擦力比滑動摩擦力小很多.筆者認(rèn)為學(xué)生有必要對滾動摩擦的成因及其相關(guān)知識有所掌握.一方面，在實際生活中或者在做物理實驗過程中，滾動摩擦作用往往不可忽略；另一方面，學(xué)習(xí)滾動摩擦有助于學(xué)生形成完整的力學(xué)知識體系.本文對滾動摩擦的成因做了簡要分析，并且對滾動摩擦和滾動摩擦力這兩個概念進(jìn)行了闡釋.

1 滾動摩擦的成因分析

滾動摩擦在我們的實際生活中十分常見.例如，壓路機在工作時，路面由于發(fā)生不對稱形變，對碾輪的滾動起阻礙作用；自行車在水平地面上行進(jìn)時，輪胎由于發(fā)生不對稱形變，導(dǎo)致地面對其作用力不對稱，阻礙其滾動.由于材料、硬度、表面狀況等因素的不同，滾動物體與支承面之間的滾動摩擦還可能受熱彈性滯后、微觀滑動以及塑性滯后等作用的影響，可見實際的滾動摩擦情況相當(dāng)復(fù)雜.為了方便研究，我們假設(shè)兩接觸物體中的其中一個為剛體，另一個物體在力的作用下發(fā)生形變，不易發(fā)生形變的物體較硬，易發(fā)生形變的物體較軟.從中，我們簡化出兩種基本模型：1) 剛體在水平軟支承面上的滾動；2) 軟物體在水平剛性支承面上的滾動，并且假設(shè)滾動物體在支承面上做無滑滾動，以便進(jìn)一步分析滾動摩擦的成因.

1.1 剛體在水平軟支承面上做純滾動

我們假設(shè)滾動物體為圓柱形剛體，軟支承面在壓力的作用下發(fā)生形變.若圓柱體在水平支承面上靜止，如圖1所示，圓柱體受重力FG作用，支承面發(fā)生的形變是對稱的，因而對圓柱體的支持力對稱分布在重力作用線兩側(cè)，支承面對圓柱體的支持力合力FN通過圓柱體質(zhì)心O.FG與FN構(gòu)成一對平衡力，故物體不發(fā)生滾動.

圖2 物體受水平外力作用

若在柱體質(zhì)心O處施加一個水平力F，如圖2所示，此時支承面會對圓柱體產(chǎn)生一個與力F方向相反的摩擦力Fs，物體將在力Fs產(chǎn)生的力矩作用下向右滾動.然而，在實際情況中，當(dāng)水平力F不太大時，物體仍能在支承面上保持靜止.這是因為受材料黏彈性性能影響，當(dāng)物體發(fā)生滾動或者有滾動趨勢時，支承面的形變是不對稱的，從而使得接觸面上的支持力分布不對稱，如圖3(a)所示.

接觸面上分布力的示意圖

將接觸面上不對稱分布的力進(jìn)行合成，合力為F0，并可等效看成作用在接觸面上的A點，如圖3(b)所示.為了便于描述A點的位置，我們建立以O(shè)點為坐標(biāo)原點，以水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向的直角坐標(biāo)系，則A點坐標(biāo)可表示為(xA,-yA,0)，其中xA>0，yA>0.FN為F0的豎直分力，近似與支承面垂直；Fs為F0的水平分力.此時在豎直方向上有FG+FN=0，在水平方向上有Fs+F=0，因而合外力等于0；又由于FN和FG構(gòu)成一對力偶，產(chǎn)生力偶矩為M=xAFN；F和Fs構(gòu)成一對力偶，產(chǎn)生力偶矩為M′=yAFs，M和M′大小相等，方向相反，從而合力矩等于0.因此，物體仍能在支承面上保持靜止.由上述分析可知，F(xiàn)N和FG這對力偶產(chǎn)生的力偶矩起著阻礙物體滾動的作用，稱為滾動摩擦力偶矩，大小為M=xAFN.

當(dāng)水平力F逐漸增加時，支承面對圓柱體作用力的作用點A向前移動，F(xiàn)G與FN之間的距離xA增大，滾動摩擦力偶矩也隨之增大，直到xA增大到可能達(dá)到的最大值δ時(圖4)，物體便達(dá)到了一個將滾未滾的臨界平衡態(tài).這時，滾動摩擦力偶矩達(dá)到最大，稱為最大滾動摩擦力偶矩，用Mmax表示，其大小為Mmax=δFN.在物理學(xué)中，我們通常把δ稱為滾動摩擦因數(shù)，它具有長度的量綱，經(jīng)實驗測定，滾動摩擦因數(shù)大小跟滾動物體和支承面的材料硬度、表面狀況等因素有關(guān)[4].

圖4 最大滾動摩擦力偶矩

如果繼續(xù)增大力F，F(xiàn)s也隨之增大，當(dāng)F和Fs產(chǎn)生的力偶矩大于最大滾動摩擦力偶矩，即M′=yAFs>Mmax時，柱體將會加速滾動.在滾動的過程中，滾動摩擦力偶矩大小近似等于Mmax；如果撤去力F(圖5)，物體將繼續(xù)向前滾動，但在滾動摩擦力偶矩M作用下，柱體的角速度將會逐漸減小直至為零，柱體最終靜止在支承面上.從上述分析我們可知，柱體所受滾動摩擦力偶矩大小介于零和Mmax之間，即0≤M≤Mmax.

圖5 無外力作用下的滾動

對于同一滾動物體而言，支承面越硬，其滾動摩擦因數(shù)δ就越小，受到的最大滾動摩擦力偶矩也越小，物體滾動時受到的阻礙就越小，反之亦然.這也解釋了為什么我們在軟質(zhì)地面上騎車比在硬質(zhì)地面上騎車感覺更費力.

1.2 軟物體在水平剛性支承面上做純滾動

下面我們討論軟物體在水平剛性支承面上的純滾動.在這一模型中，支承面為剛體，滾動物體為發(fā)生形變的圓柱體，例如行進(jìn)中的自行車輪胎.如圖6(a)所示，當(dāng)物體靜止在水平支承面上時，與支承面的接觸面上受到的支持力對稱分布，其合力與重力平衡.

若使柱體在水平力F的作用下發(fā)生無滑滾動，則柱體還將受到一個向后的靜摩擦力以防止物體與支承面之間發(fā)生相對滑動.經(jīng)實驗證明，柱體在滾動過程中接觸面上各點所受到的支持力呈不對稱分布，后部支持力相比前部迅速減小，分布情況大致如圖6(b)所示.類似地，將接觸面上分布的力進(jìn)行合成，支持力合力FN可等效看成作用在接觸面中心點前方的A點，靜摩擦力合力為Fs，如圖6(c)所示.同樣建立以柱體質(zhì)心O點為原點，以水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向的直角坐標(biāo)系，我們可以表示出點A的坐標(biāo)為(xA,-yA,0)，其中xA>0，yA>0.重力FG和支持力FN構(gòu)成一對力偶，對物體的滾動起阻礙作用，該力偶矩就是滾動摩擦力偶矩，大小為M=xAFN.

支持力對稱分布

由滾動摩擦力偶矩公式可知，在自行車行進(jìn)過程中，自行車胎氣充得越足，車胎與地面接觸面積就越小，xA就越小，滾動摩擦力偶矩就越小，自行車騎起來就更為容易.

綜上所述，滾動摩擦是一個物體在另一物體上滾動或有滾動趨勢時，支承面對滾動物體作用力的不對稱分布所引起的一種阻礙滾動的作用.這種力的不對稱分布既可以是由于滾動物體的不對稱形變產(chǎn)生的，也可以是由于支承面的不對稱形變產(chǎn)生的.如果兩個物體都為剛性的，則支承面對物體的支持力作用點位于兩剛性物體的接觸點A處，此時xA=0，物體不受滾動摩擦作用，而是受靜摩擦力作用[5].當(dāng)然，在現(xiàn)實生活中，絕對剛體是不存在的，任何物體在受力作用后，都會或多或少地發(fā)生一定量的形變，實際發(fā)生的滾動摩擦是一個更為復(fù)雜的過程.國內(nèi)外也有許多學(xué)者對不同情況下物體所受滾動摩擦的成因進(jìn)行了深入研究[6-8]，進(jìn)一步完善了滾動摩擦理論.

2 滾動摩擦與滾動摩擦力

通過上述討論我們可知滾動摩擦對滾動物體的阻礙作用，是由支承面對物體支持力的力矩造成的，即滾動摩擦的實質(zhì)不是力而是力矩.然而，學(xué)生普遍存在“當(dāng)壓力相同時，滾動摩擦力比滑動摩擦力小很多”這一觀念.那么如何理解滾動摩擦力這一說法呢，我們對此作以下探討.

圖7 物體在水平外力作用下做純滾動

我們以剛性均質(zhì)圓柱體在水平軟支承面上做純滾動為例，假設(shè)物體在水平力F作用下做純滾動，如圖7所示，根據(jù)剛體運動規(guī)律有

F-Fs=max

(1)

Iβz=yAFs-xAFN

(2)

FN=mg

(3)

ax=βzr

(4)

其中，m為圓柱體的質(zhì)量，ax是柱體質(zhì)心的加速度，βz是柱體相對于質(zhì)心軸的角加速度，r為圓柱體半徑，I為圓柱體轉(zhuǎn)動慣量.通過上式可解得

從物理學(xué)角度而言，滾動摩擦和滑動摩擦兩者性質(zhì)并不相同.人們普遍認(rèn)為“當(dāng)壓力相同時，滾動摩擦力比滑動摩擦力小很多”，是因為人們通常是用使物體前進(jìn)所需的外力來衡量是否省力還是費力的.也就是說，當(dāng)壓力相同時，克服物體滾動摩擦所需要的外力要比克服物體滑動摩擦所需要的外力小得多.我們通常采用滾動摩擦力這一說法也是為了基于學(xué)生的認(rèn)知水平更好地向?qū)W生解釋輪子、小車等物體的運動情況.

3 結(jié)語

本文分析了剛體在水平軟支承面上做純滾動和軟物體在水平剛性支承面上做純滾動兩種情況下所受滾動摩擦的成因.分析表明，滾動摩擦是一個物體在另一物體上滾動或有滾動趨勢時，支承面對滾動體作用力的不對稱分布所引起的一種阻礙滾動的作用，其實質(zhì)不是力，而是力矩.本文還進(jìn)一步闡釋了如何理解滾動摩擦力這一概念，希望對更全面地認(rèn)識物體的滾動運動有所幫助.

在實際課堂中，教師應(yīng)改進(jìn)對滾動摩擦等相關(guān)知識的教學(xué)，進(jìn)一步完善學(xué)生的知識體系，對于學(xué)生有可能產(chǎn)生的困惑和認(rèn)知錯誤加以及時糾正，以正確的教育理念和方法促進(jìn)學(xué)生物理學(xué)科素養(yǎng)的提高.