劉永凱，呂福睿，高世杰，鄧永停，吳 昊

（1. 中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2. 中國科學院大學，北京 100049）

1 引 言

隨著探測能力、空間分辨率等的提高，地基大口徑望遠鏡對伺服系統(tǒng)跟蹤性能的要求越來越高。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)多為復(fù)合軸跟蹤結(jié)構(gòu)，以動態(tài)范圍廣的主軸作為粗跟蹤系統(tǒng)，以響應(yīng)速度快的子軸作為精跟蹤系統(tǒng)。而精跟蹤控制系統(tǒng)的帶寬越高，復(fù)合軸系統(tǒng)的動態(tài)目標跟蹤能力越強，穩(wěn)定性越高。研究結(jié)果證明，為充分發(fā)揮復(fù)合軸系統(tǒng)的優(yōu)勢，精跟蹤系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬應(yīng)是粗跟蹤系統(tǒng)閉環(huán)帶寬的6～10 倍［1］。因此，精跟蹤系統(tǒng)帶寬對于地基大口徑望遠鏡的動態(tài)目標跟蹤性能至關(guān)重要。

壓電促動器（Piezoelectric Actuator ，PEA）具有尺寸小、質(zhì)量輕、出力大、噪聲低等優(yōu)點，而且具備納米級的分辨率、超高的重復(fù)定位精度和優(yōu)異的動態(tài)特性，因此在精密制造、生物醫(yī)療、半導體產(chǎn)業(yè)、航空航天、自動化與機器人技術(shù)、消費電子和精密光學等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［2］。壓電式快速反射鏡以PEA 為驅(qū)動元件，具有響應(yīng)速度快、指向精度高、諧振特性好、抗電磁干擾能力強等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用在自適應(yīng)光學［3］、激光通信［4］、光束準直［5］和三維顯微鏡［6］等系統(tǒng)中，以實現(xiàn)光束的高精度指向與精密跟蹤。然而，PEA 材料的固有特性決定了壓電式快速反射鏡必然會存在遲滯非線性效應(yīng)［7-10］，這不僅會導致系統(tǒng)控制精度的降低，還會在閉環(huán)跟蹤的過程中導致系統(tǒng)有效帶寬的下降，嚴重影響光電系統(tǒng)的動態(tài)目標跟蹤能力。因此，對壓電式快速反射鏡的遲滯效應(yīng)進行補償控制，是提高精跟蹤系統(tǒng)帶寬，實現(xiàn)高性能動態(tài)目標跟蹤的關(guān)鍵。

目前，描述PEA 遲滯的模型主要包括：Preisach 模 型［11］、Prandtl-Ishlinskii（P-I）模 型［12］、Krasonselskii-Pokrovskii（K-P）模 型［13］、分 數(shù) 階 模型［14］和Bouc-Wen 模型［15］等。上述模型均為靜態(tài)模型，隨著PEA 控制信號變化頻率的提升，模型精度下降，因此人們針對PEA 動作頻率與遲滯效應(yīng)的關(guān)系開展研究，提出了基于Hammerstein結(jié)構(gòu)的率相關(guān)遲滯模型［16］。

在壓電式快速反射鏡控制方面，常見的控制方法主要有前饋控制、反饋控制和前饋-反饋復(fù)合控制等。袁剛［17］采用基于Bouc-Wen 模型的前饋控制法，使壓電式快速反射鏡的鏡面偏轉(zhuǎn)角度與輸入控制電壓的線性度提高到2.3%，遲滯誤差減小到±0.5%，該控制方式屬于開環(huán)控制，并未研究閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤帶寬。王昱棠［18］采用雙PID 閉環(huán)的反饋控制方法，在頻率為30 Hz 的跟蹤信號下跟蹤殘差相比于單環(huán)控制降低46%，由于該方法通過內(nèi)部閉環(huán)來改善遲滯非線性，降低了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和帶寬。王玉坤［19］提 出 采 用Smith 預(yù) 估 算 法 補 償PID 的 閉 環(huán)控制方式，系統(tǒng)誤差抑制帶寬較傳統(tǒng)PID 控制提高26%，但該方式將遲滯非線性擾動作線性處理，沒有進行補償，因此系統(tǒng)的動態(tài)性能還可進一步提高。

根據(jù)研究現(xiàn)狀可知，針對率相關(guān)遲滯前饋補償法對閉環(huán)跟蹤系統(tǒng)帶寬影響的研究相對較少。然而，在基于地基大口徑望遠鏡的復(fù)合軸光學目標動態(tài)跟蹤系統(tǒng)中，以壓電式快速反射鏡為執(zhí)行機構(gòu)的精跟蹤系統(tǒng)主要抑制的是中高頻段的擾動，其系統(tǒng)帶寬對于整個系統(tǒng)的目標跟蹤性能至關(guān)重要。針對上述問題，本文從提高系統(tǒng)動態(tài)目標跟蹤性能的角度出發(fā)，基于應(yīng)用廣泛、模型可靠的P-I 模型結(jié)合動態(tài)線性ARX 模型建立了壓電式快速反射鏡的率相關(guān)動態(tài)遲滯模型，并結(jié)合反饋控制算法進行復(fù)合控制，以提高基于壓電式快速反射鏡的精跟蹤系統(tǒng)誤差抑制帶寬，進而提高復(fù)合軸系統(tǒng)的動態(tài)目標跟蹤能力。

2 遲滯效應(yīng)原理

2.1 遲滯效應(yīng)

遲滯現(xiàn)象廣泛存在于以PEA 為驅(qū)動的機構(gòu)中，由于逆壓電效應(yīng)，PEA 升壓曲線和降壓曲線之間存在回差，最終表現(xiàn)為輸入和輸出之間存在嚴重的非線性效應(yīng)。對于壓電式快速反射鏡，遲滯效應(yīng)表現(xiàn)為輸入的控制電壓信號與鏡面偏轉(zhuǎn)角度之間的非線性、多值性和非單一路徑的特點。除此之外，PEA 的遲滯特性還與控制信號的頻率與幅值有關(guān)，呈現(xiàn)為率相關(guān)性。

圖1 為基于某型號壓電式快速反射鏡測量的遲滯曲線。圖1（a）展示了輸入信號幅值一定，不同頻率下的遲滯曲線。圖1（b）展示了輸入信號頻率一定，不同幅值下的遲滯曲線。由測試結(jié)果可知：輸入幅值相同頻率變化的電壓信號后，輸出的遲滯曲線在高頻率電壓驅(qū)動下變寬，輸出位移范圍減小，并且產(chǎn)生順時針旋轉(zhuǎn)；輸入頻率相同幅值變化的電壓信號后，輸出的遲滯曲線在高幅值電壓驅(qū)動下變寬，輸出位移范圍增大，并出現(xiàn)非單調(diào)響應(yīng)現(xiàn)象。

圖1 不同輸入電壓頻率和幅值下的遲滯曲線Fig.1 Hysteresis curves at different input voltages and frequencies

2.2 基于Play 算子的P-I 模型

P-I 模型屬于唯象模型，是依靠系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系進行建模，核心方法是基于遲滯單元（例如Play、Stop 算子）的加權(quán)疊加。本文基于Play 算子建立模擬遲滯特性的P-I 模型。Play 算子的輸入信號x和輸出信號y之間的關(guān)系如圖2所示。

圖2 Play 算子Fig.2 Play operator

Play 算子的數(shù)學表達式為：

式 中：t∈[t0，tm]，t0≤t0≤…ti-1≤t≤ti≤…≤tm-1≤tm；x(t)為分段單調(diào)輸入信號。

初始條件為：

其中r為Play 算子閾值。

將多個閾值不同的Play 算子線性加權(quán)疊加，得到具有遲滯特性的模型，輸出公式為：

式中：ωj和rj為Play 算子的權(quán)重和閾值，滿足0=r1＜…＜rn＜+∞；n為play 算 子 加 權(quán) 疊 加 的數(shù)量。

基于式（1）～式（3）建立遲滯模型并進行仿真分析，如圖3 所示。輸入隨機的正弦信號，輸入信號經(jīng)P-I 模型后輸入-輸出之間呈現(xiàn)遲滯非線性關(guān)系。從圖3 可以看出，P-I 模型描述的遲滯曲線受到輸入幅值變化的影響，即輸入幅值越大，產(chǎn)生的遲滯曲線越寬，該現(xiàn)象與實驗測試出的PEA 遲滯特性相符，因此通過合適的方法調(diào)整P-I 模型中的權(quán)重系數(shù)和閾值系數(shù)，可以描述實際的PEA 遲滯曲線，以便對遲滯帶來的非線性誤差進行補償和抑制。

圖3 P-I 模型模擬遲滯特性Fig.3 P-I model simulates hysteresis characteristics

該模型屬于靜態(tài)非線性模型，而實際PEA的遲滯特性是率相關(guān)的，遲滯特性不僅受信號幅值的影響，也受信號頻率的影響。對于目標變化速率快的動態(tài)光學目標跟蹤系統(tǒng)，壓電式快速反射鏡的控制信號頻率也快速變化，因此，有必要在此基礎(chǔ)上建立一個與輸入信號頻率相關(guān)的動態(tài)遲滯模型。

2.3 基于P-I 的率相關(guān)模型

為了建立壓電式快速反射鏡的率相關(guān)模型，本文采用Hammerstein 結(jié)構(gòu)將靜態(tài)非線性P-I 模型與動態(tài)線性ARX 模型串聯(lián)，其結(jié)構(gòu)如圖4 所示。圖中，u表示輸入信號，x表示輸入信號經(jīng)過P-I 模型后的中間信號，y為輸出信號。

圖4 率相關(guān)P-I 模型結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of rate-dependent P-I model

ARX 模型的表達式為：

其 中：B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bnb z-nb，A(z-1)=a0+a1z-1+a2z-2+…+ana z-na。

圖5 為基于P-I 的率相關(guān)模型在輸入相同幅值，不同頻率信號下的輸出遲滯曲線。該曲線與實際PEA 在不同輸入頻率信號下的遲滯曲線相同，由此可見，基于P-I 的率相關(guān)模型與實際PEA的遲滯特性相符合。

圖5 不同輸入頻率下的率相關(guān)P-I 模型輸出Fig.5 Rate-dependent P-I model output at different input frequencies

3 遲滯效應(yīng)補償

3.1 基于逆模型的前饋控制補償

為了減小PEA 遲滯非線性的影響，前饋控制是有效的方法之一。本文采用的方法是對上一節(jié)建立的遲滯非線性模型求取逆模型，將逆模型作為前饋控制器與壓電式快速反射鏡串聯(lián)，補償PEA 遲滯特性帶來的非線性誤差，其結(jié)構(gòu)如圖6 所示。圖中，u表示輸入信號，x表示輸入信號經(jīng)過前饋控制器后的中間信號，y為輸出信號。

圖6 逆模型前饋補償控制框圖Fig.6 Block diagram of inverse model feedforward compensation control

遲滯模型與其逆模型的關(guān)系如圖7 所示，遲滯逆模型也屬于非線性模型，并在坐標系中與遲滯模型關(guān)于45°線對稱。因此，輸入信號經(jīng)過逆模型計算后再提供給壓電式快速反射鏡，整個系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號呈線性關(guān)系。

圖7 遲滯模型和逆模型示意圖Fig.7 Hysteresis model and inverse model

針對動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)的高頻輸入信號，本文建立了靜態(tài)非線性P-I 模型與動態(tài)線性ARX模型串聯(lián)的率相關(guān)模型。首先對靜態(tài)非線性P-I模型取逆，其逆模型可以表示為：

式中：

其中w'i和r'i為P-I 逆模型的權(quán)重系數(shù)和閾值系數(shù)。

然后，建立動態(tài)線性部分G0(z)的逆模型W0(z)，表示為：

將上述兩逆模型串聯(lián)后得到系統(tǒng)的前饋控制器，前饋控制屬于開環(huán)控制，其抗干擾能力和穩(wěn)定性較差。為提高實際工程應(yīng)用的可靠性，針對存在外界擾動的動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)，應(yīng)采用前饋控制與反饋結(jié)合的復(fù)合控制方式。

3.2 前饋-反饋復(fù)合控制補償

前饋-反饋復(fù)合控制結(jié)構(gòu)如圖8 所示。圖中，u表示控制系統(tǒng)的輸入信號，y表示輸出信號。前饋控制器為率相關(guān)遲滯模型的逆模型，反饋控制器采用PID 控制，其表達式為：

圖8 前饋-反饋復(fù)合控制框圖Fig.8 Block diagram of feedforward-feedback composite control

其中：e(t)為參考輸入與實際輸出的誤差；Kp為比例系數(shù)；Td為微分時間常數(shù)；Ti為積分時間常數(shù)。

這種前饋-反饋復(fù)合控制結(jié)合了前饋控制對遲滯非線性的補償和反饋控制抗干擾性高、穩(wěn)定性好的優(yōu)點，適用于存在外界干擾，且跟蹤信號頻率較快的動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)。

3.3 動態(tài)目標跟蹤性能仿真

基于精跟蹤控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，搭建動態(tài)目標跟蹤仿真系統(tǒng)，利用基于P-I 的率相關(guān)模型表示壓電式快速反射鏡，用其逆模型作為前饋控制器，PID 作為反饋控制器。

為了探究遲滯補償對閉環(huán)控制系統(tǒng)性能的影響，本文進行了3 種不同控制策略的對比仿真，3 種PID 控制器的參數(shù)調(diào)節(jié)判斷條件一致，具體參數(shù)如下：

（1）PID 閉環(huán)負反饋控制：PID 控制器參數(shù)為Kp=0.25，Ti=463.2，Td=0.00026；

（2）基于P-I 模型的前饋補償結(jié)合PID 負反饋的復(fù)合控制：PID 控制器參數(shù)為Kp=0.27，Ti=501.3，Td=0.000 51；

（3）基于P-I 的率相關(guān)動態(tài)模型的前饋補償結(jié)合PID 負反饋的復(fù)合控制：PID 控制器參數(shù)為Kp=0.33，Ti=551.7，Td=0.000 48；

為研究不同控制方式的動態(tài)目標跟蹤效果，并驗證基于率相關(guān)動態(tài)模型的前饋-反饋復(fù)合控制法對動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)的帶寬優(yōu)化作用，在仿真分析中，通過引入頻率從1～500 Hz 遞增，幅值指數(shù)衰減的正弦信號來模擬跟蹤目標的高速變頻、變幅運動，分別分析了以上3 種控制方式的誤差抑制能力，結(jié)果如圖9～圖10 所示。

圖9 三種控制方式的時域控制效果對比Fig.9 Comparison of time domain control effects of three control modes

圖10 三種控制方式的頻域控制效果對比Fig.10 Comparison of frequency domain control effect of three control modes

由仿真結(jié)果可知，采用單一PID 負反饋控制系統(tǒng)誤差抑制帶寬可以達到63 Hz，加入基于P-I 的前饋補償可以使誤差抑制帶寬達到78 Hz，在此基礎(chǔ)上采用基于P-I 的率相關(guān)前饋補償，可以使系統(tǒng)誤差抑制帶寬提升到89 Hz。仿真結(jié)果表明，前饋補償可以有效提高壓電式快速反射鏡跟蹤控制系統(tǒng)的性能。對于控制信號幅度、頻率快速變化的動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)，基于率相關(guān)的前饋補償法對系統(tǒng)帶寬提高的效果更明顯。

4 實驗與結(jié)果

4.1 實驗平臺

快速反射鏡控制系統(tǒng)實驗平臺如圖11 所示。以嵌入式數(shù)字信號處理器作為主控單元，高速相機作為快速反射鏡輸出偏轉(zhuǎn)量的測量單元，利用快速反射鏡1 和快速反射鏡2 模擬跟蹤目標在方位和俯仰方向的高速運動，以壓電式快速反射鏡為控制對象進行目標跟蹤。

圖11 快速反射鏡控制系統(tǒng)實驗平臺Fig.11 Experiment platform of fast steering mirror control system

4.2 遲滯模型辨識與測試

由實驗結(jié)果可知，壓電式快速反射鏡在輸入電壓信號頻率較低時（一般在5 Hz 以下），輸出的遲滯曲線幾乎沒有任何變化，近似為靜態(tài)遲滯系統(tǒng)。因此，本文在低頻段辨識壓電式快速反射鏡模型中的靜態(tài)非線性部分。采用10 個play 算子來擬合遲滯曲線，權(quán)重系數(shù)w和閾值系數(shù)r的擬合結(jié)果如下：

圖12 為輸入信號為5 Hz 時，P-I模型輸出的遲滯曲線與壓電式快速反射鏡實測的遲滯曲線?？梢钥吹剑Ｐ蛿M合的曲線與實驗測量的曲線基本重合，證明靜態(tài)非線性部分的建模結(jié)果良好。

圖12 5 Hz 下模型與實測遲滯曲線Fig.12 Model and measured hysteresis curves at 5 Hz

然后，采用寬頻譜范圍的正弦信號分別激勵靜態(tài)非線性模型和壓電式快速反射鏡，輸出結(jié)果分別作為輸入和輸出數(shù)據(jù)。將輸入輸出數(shù)據(jù)通過系統(tǒng)辨識的方法得到ARX 模型中的參數(shù)，從而得到壓電式快速反射鏡模型中的動態(tài)線性部分。辨識結(jié)果如下：

圖13 為輸入信號為中高頻時，基于P-I 的率相關(guān)模型輸出的遲滯曲線與壓電式快速反射鏡實測的遲滯曲線。兩條曲線一致性好。因此，本文建立的基于P-I 的率相關(guān)模型無論在低頻段還是高頻段都能模擬實際壓電式快速反射鏡的遲滯非線性曲線。在該參數(shù)下求取其逆模型，完成前饋控制器設(shè)計。

圖13 高頻段模型與實測遲滯曲線Fig.13 High band model and measured hysteresis curves

4.3 遲滯補償下的動態(tài)目標跟蹤

基于本文搭建的動態(tài)目標跟蹤實驗系統(tǒng)，對遲滯前饋補償效果進行了實驗驗證。實驗中，分別記錄了開環(huán)、無前饋補償?shù)拈]環(huán)PID 控制、基于P-I 模型的靜態(tài)前饋補償?shù)拈]環(huán)PID 控制以及基于P-I 率相關(guān)模型的閉環(huán)PID 控制條件下的探測器脫靶量，并對其進行了功率譜密度（power spectral density，PSD）分析，結(jié)果如圖14 所示。

圖14 動態(tài)目標跟蹤實驗結(jié)果Fig.14 Dynamic target tracking experimental results

由實驗結(jié)果可知，單一采用PID 負反饋控制時，系統(tǒng)誤差功率普密度在49 Hz 之前有抑制效果，在49 Hz 后對誤差有放大，起不到抑制效果，因此，該控制方式的誤差抑制帶寬為49 Hz。通過加入基于P-I 模型的靜態(tài)遲滯前饋補償，系統(tǒng)誤差抑制帶寬從49 Hz 提升到65 Hz，在將遲滯補償模型更換為率相關(guān)動態(tài)模型后，系統(tǒng)誤差抑制帶寬提升到了75 Hz。受實驗條件、信號延遲等因素的干擾，實驗測試的系統(tǒng)誤差抑制帶寬與仿真結(jié)果相比有所降低，但遲滯補償帶來的系統(tǒng)帶寬提升現(xiàn)象與仿真結(jié)果一致。實驗結(jié)果表明，有效抑制壓電式快速反射鏡的遲滯非線性擾動，可以提高跟蹤系統(tǒng)的帶寬。

5 結(jié) 論

本文根據(jù)動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)帶寬需求高、控制信號變化速率快的要求，提出了基于P-I 率相關(guān)模型的前饋-反饋復(fù)合控制方法?；赑-I 模型模擬遲滯非線性的原理，建立了P-I 模型與ARX 模型串聯(lián)的率相關(guān)遲滯模型。然后，基于實測壓電式快速反射鏡的數(shù)據(jù)辨識出了率相關(guān)模型的參數(shù)，并根據(jù)其逆模型設(shè)計了補償遲滯的前饋控制器。最后，搭建了動態(tài)目標跟蹤實驗平臺，驗證了率相關(guān)遲滯模型與壓電式快速反射鏡實測遲滯曲線的擬合效果，并檢驗了遲滯補償方法對動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)的優(yōu)化作用。實驗結(jié)果顯示：對于200 Hz 以內(nèi)的典型信號頻率，率相關(guān)遲滯模型均能與實測數(shù)據(jù)較好的擬合；采用基于