楊曉霞，鄧永停，趙金宇，張 斌

（中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033）

1 引 言

自抗擾控制方法（Active Disturbance Rejection Control，ADRC［1-2］）是一種基于過程誤差來抑制或消除誤差的控制方法，在工業(yè)和工程領域得到了廣泛的應用［3-8］。跟蹤微分器（Tracking Differentiator，TD［9］）是自抗擾控制方法的一個主要組成部分，主要用于對不連續(xù)或帶隨機噪聲的信號提取連續(xù)信號及微分信號。大量的理論研究工作針對TD 的收斂性［10-11］、微分信號的提取能力以及濾波能力［12-14］展開，很多TD 的改進形式［15-16］被提出并應用在不同領域中［17-18］。事實上，TD 的一個主要作用是用于對控制系統(tǒng)中的參考信號進行過渡過程安排，過渡過程信號作為參考信號和反饋信號之間的一個橋梁，當參考信號發(fā)生大的跳變時，仍然能夠保證反饋信號跟蹤一個連續(xù)漸變的過渡過程信號，從而使得控制誤差不會出現(xiàn)大的跳變，進而保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

TD 又分為線性TD（Linear TD，LTD）和非線性TD（Nonlinear TD，NLTD）。在安排過渡過程時，LTD 的優(yōu)點在于算法復雜度低，簡單易實現(xiàn)，缺點在于跟蹤不同幅值的階躍信號時，需要調(diào)節(jié)快速因子參數(shù)，否則容易造成LTD 輸出信號的速度和加速度過大或者過小，起不到過渡作用。NLTD 的優(yōu)點在于通過使用最速控制綜合函數(shù)，使得在一定加速度的限制下能夠最快地跟蹤參考輸入，但是其算法復雜度高、計算量大，并且在跟蹤不同幅值的階躍信號時也存在輸出速度過大或過小的問題。

在使用跟蹤微分器安排過渡過程時，應該使得輸出的過渡過程信號的速度、加速度與物理系統(tǒng)的反饋能力相匹配，否則，過渡過程信號變化太快起不到過渡作用，變化太慢會影響系統(tǒng)的最大跟蹤能力。本文研究了一種帶速度和加速度飽和限制的變參數(shù)線性跟蹤微分器，它既能夠在參考信號和反饋信號之間起過渡橋梁的作用，又能夠充分發(fā)揮受控物理對象的最大速度和最大加速度能力。

2 TD 性能分析

經(jīng)典的安排過渡過程的工具是LTD 和NLTD。

2.1 線性跟蹤微分器

LTD 的離散形式如下：

其中：p0為設定值，h是離散化的采樣步長參數(shù)，r1為快速因子，是系統(tǒng)唯一的可調(diào)參數(shù)，它決定系統(tǒng)的收斂速度。當設定值p0(k)≡p0為常值時，定義x1第一次到達0.99p0的時間為過渡時間T0，定義VmaxLTD和amaxLTD分別是LTD 輸出的最大速度和最大加速度，也就是VmaxLTD=max(|x2|)，amaxLTD=max(|x?2|)，表1給出了LTD 的最大速度和最大加速度與參數(shù)和設定值之間的關系。

表1 LTD 的最大速度和最大加速度與參數(shù)的對應關系Tab.1 Relationship among VmaxLTD，amaxLTD and parameters

使用MATLAB 的數(shù)據(jù)擬合工具，可以得到擬合表達式：

圖1 給出了當p0=1 時離散計算結果與擬合函數(shù)曲線之間的關系?？梢钥闯觯^渡過程時間T0與參數(shù)r1成反比，并且與最終的穩(wěn)態(tài)響應值沒有關系，這說明使用LTD 安排過渡過程時，只要參數(shù)r1確定，跟蹤穩(wěn)態(tài)值1 和跟蹤穩(wěn)態(tài)值100 或者10 000 的時間是相同的，這就導致LTD 給出的VmaxLTD和amaxLTD均與穩(wěn)態(tài)值p0相關，p0越大，VmaxLTD和amaxLTD越大，而如果VmaxLTD和amaxLTD遠遠超過物理系統(tǒng)的反饋速度和加速度能力，那么物理系統(tǒng)的反饋信號就無法跟蹤LTD 所給出的過渡過程信號，此時LTD 所給出的信號就起不到過渡作用。

圖1 T0，VmaxLTD，amaxLTD 與LTD 參數(shù)r1的關系Fig.1 Relationship between T0，VmaxLTD，amaxLTD and r1

另一方面，通過簡單地在LTD 的輸出信號上加入速度和加速度飽和環(huán)節(jié)，是不能夠解決這個問題的，因為通過仿真計算可以看出，此時LTD 的輸出會發(fā)生振蕩。設p0=100，r1=15，h=0.001，根據(jù)式（2）可以推算出LTD 給出的最大速度和最大加速度如下：

設物理系統(tǒng)反饋的最大速度Vmax和最大加速度amax如下：

圖2 給出了加入式（4）的速度和加速度上界后LTD 的輸出曲線。

圖2 帶速度和加速度飽和限制的LTD 輸出Fig.2 Output of LTD with speed and acceleration saturation

2.2 非線性跟蹤微分器

離散最速跟蹤微分器利用fhan 函數(shù)實現(xiàn)，它的加速度通過參數(shù)r限定，具體形式如下：

其中：h是采樣周期，r是快速因子，h0是濾波因子，可以大于采樣周期h，fhan 是非線性函數(shù)，具體形式如下：

其中：fsg(a，d)=(sgn(x+d)-sgn(x-d))/2，sgn(·)是符號函數(shù)。經(jīng)過計算可以得到T0，VmaxN-LTD以及amaxNLTD與參數(shù)r和p0的關系如下：

其中VmaxNLTD和amaxNLTD分別是NLTD 的最大速度和最大加速度?？梢钥闯觯琋LTD 的加速度是具有上限的，但是最大速度跟穩(wěn)態(tài)值p0有關，沒有上限，因此帶有速度飽和Vmax的NLTD 設計如下：

與LTD 不同，給NLTD 加入速度飽和限制之后不會引起信號的波動。圖3 給出了帶有速度飽和的NLTD 輸出曲線，其中p0=100，Vmax=21，r=12，h=0.001，h0=0.01。

圖3 帶速度飽和的NLTD 輸出Fig.3 Output of NLTD with speed saturation

帶有速度飽和的NLTD 可以給出與物理系統(tǒng)反饋能力相匹配的過渡過程信號，在實現(xiàn)過渡作用的同時能夠充分發(fā)揮系統(tǒng)的最大反饋能力。但是，由于非線性函數(shù)fhan 的計算比較復雜，不利于在工程中的實時實現(xiàn)。本文給出一種變參數(shù)LTD，合理地將參數(shù)r設計為跟蹤誤差的函數(shù)，克服了LTD 的不足，并且比帶有速度飽和的NLTD 更簡單易實現(xiàn)。

3 變參數(shù)線性跟蹤微分器設計

連續(xù)的VLTD 設計如下：

其中時變參數(shù)r1（t）設計如下：

其中：r可以設計為反饋物理信號的最大加速度，σ≥1 是唯一的可調(diào)參數(shù)。將式（10）代入式（9）可以得到VLTD 的一般形式如下：

可以看出，VLTD 與LTD 的區(qū)別在于將快速因子設置為一個時變函數(shù)，它設計為跟蹤誤差的減函數(shù)，以此保證初期跟蹤誤差非常大時，過渡過程的加速度也不會非常大。當跟蹤誤差小于1 時，VLTD 就變?yōu)長TD。

3.1 VLTD 的收斂性分析

對VLTD 的收斂性進行分析，得到如下定理。

定理1，設p0是常值，對于任意的初值x1（0）和x2（0）=0，VLTD 都能在有限時間內(nèi)收斂至線性區(qū)間內(nèi)，其中線性區(qū)間定義為跟蹤誤差的絕對值小于1 的區(qū)間。

證 明：設z1(t)=x1(t)-p0，z2(t)=x2(t)，σr=σ，那么VLTD 可以簡化為：

因此只需證明對于任意的z1(0) 和z2(0)=0，存在時間點tc＞0 使得|z1(tc)|＜1。

情形1：如果|z1(0)|＜1，那么當t＞0 時系統(tǒng)的變化規(guī)律如下：

上述微分方程的解如下：

由于z2(0)=0，所以有：

對于情形1，當系統(tǒng)的初值處于線性區(qū)間時，系統(tǒng)始終處于線性區(qū)間內(nèi)。

情形2：如果z1(0)≥1，那么系統(tǒng)的變化規(guī)律如下：

整理第二個方程得到：

在時間區(qū)間[0，τ]上對等式兩邊進行積分，得到：

進一步整理得：

將式（19）在時間區(qū)間[0，t]上進行積分，得到：

如果存在時間點tc∈[0，t]，使得z1(tc)＜1，那么結論成立。而如果對于任意的τ∈[0，t]都有z1(τ)≥1，那么：

整理式（21）得：

顯然，不等式的右邊是關于t的二次函數(shù)，當t＞4(-1)/σr時，式（22）的右邊相對于t是一個單調(diào)遞減函數(shù)，并且：

因此，一定存在tc＞0，使得：

從而有：

結論成立。

情形3：如果z1(0)≤-1，那么系統(tǒng)的變化規(guī)律如下：

整理第二個方程可得：

將 式（27）的 兩 端 在 時 間 區(qū) 間[0，τ] 上 積分得：

進一步整理得：

將上述方程的兩邊在時間區(qū)間[0，t]上積分得：

如果存在tc∈[0，t]，使得z1(tc)＞-1，那么結 論 成 立。如 果 對 于 任 意 的?τ∈[0，t]都 有z1(τ)≤-1，那么有：

因此有：

顯然，不等式右邊是一個關于t的二次函數(shù)，當t＞時，不 等 式 右 邊 是 一個關于t的單調(diào)遞增函數(shù)，并且有：

所以存在tc＞0，使得：

因此有：

定理結論成立。

上述結論說明，對于任意的初值x1（0），VLTD 必定能在有限時間內(nèi)收斂至線性區(qū)間內(nèi)。

3.2 VLTD 的速度和加速度上限分析

設tvmax為VLTD 到達速度上限的時間點，那么有x?2(tvmax)=0，也就是：

進一步整理得：

如果|x1(tvmax)-p0|＜1，那么有：

如果|x1(tvmax)-p0|≥1，那么有：

也就是：

根據(jù)VLTD 的特點，|x1(tvmax)-p0|≥p0/2，因此VLTD 的最大速度滿足：

不等式（40）說明當|x1(tvmax)-p0|≥1 時，VLTD 的速度輸出最大值不存在上限。

另一方面，可以推導出VLTD 在初始時刻達到最大加速度σ2r，并且減速階段的加速度明顯比加速階段的加速度小。為了避免VLTD 減速階段的加速度過小，一般選取參數(shù)σ＞1，這樣就會導致加速階段的加速度會超過物理系統(tǒng)的最大反饋加速度，因此，在VLTD 的加速度輸出上加入加速度飽和上限即可。

通過上面的分析可知，有必要對VLTD 的速度和加速度輸出加入飽和限制，記x3為VLTD 的加速度輸出，VmaxVLTD為VLTD 的速度上限，那么帶有速度和加速度飽和限制的離散VLTD 形式設計如下：

3.3 仿真設計

設物理系統(tǒng)的最大速度和最大加速度分別為Vmax=20 和amax=12，VLTD 的參數(shù)取值如下：采 樣 步 長h=0.001，σ=2.3，r=12，速 度 上 限VmaxVLTD=20，加速度上限為r，穩(wěn)態(tài)響應值p0=100，50，10，1，圖4 分別給出了加入速度和加速度限制前后的VLTD 輸出對比曲線。可以看出，加入速度和加速度飽和限制之后，VLTD 的收斂性沒有受到影響，而且在p0較大，也就是VLTD 本身輸出的最大速度超過VmaxVLTD時，速度飽和才起作用；而在p0較小時，也就是VLTD 本身輸出的最大速度不超過VmaxVLTD時，速度飽和不起作用。一旦σ確定之后，無論p0取值如何，加速度飽和都會起作用，因為只要σ＞1，那么初始段的加速度一定會大于r。

圖4 速度及加速度飽和對VLTD 輸出的影響Fig.4 Impact of speed and acceleration saturation on output of VLTD

將帶速度和加速度飽和的VLTD（41）與帶速度飽和的NLTD（7）進行比較，其中VLTD 的參數(shù)取值與上面仿真相同，NLTD 的參數(shù)取值為r=12，h0=0.01，穩(wěn)態(tài)值p0取為100，圖5 給出了兩者的對比曲線。可以看出，VLTD 可以達到與NLTD 幾乎相同的效果，并且從加速度曲線上可以看出，在接近穩(wěn)態(tài)值時，VLTD 的加速度曲線更平滑，這有利于反饋信號的平穩(wěn)快速地跟蹤。另外，VLTD 的計算復雜度遠遠小于NLTD，在使用時能夠節(jié)省計算內(nèi)存空間，有利于算法的實時性。

圖5 VLTD 和NLTD 輸出曲線的對比Fig.5 Comparison of output between VLTD and NLTD

4 VLTD 在地平式大視場望遠鏡中的應用

4.1 地平式大視場望遠鏡搜索路徑分析

大視場望遠鏡主要針對地球同步軌道（GEO）、同步轉(zhuǎn)移軌道（GTO）及中高軌（MEO）的目標進行搜索、捕獲、跟蹤和測量。不同軌道的目標特性不同，相應的工作模式有所不同。由于極軸式望遠鏡受結構設計的限制，望遠鏡口徑不宜過大，因此將米級大視場望遠鏡設計為地平式結構。由于地平式望遠鏡方位軸和俯仰軸的耦合作用，無論何種工作模式都會牽扯到方位軸的頻繁變步長調(diào)轉(zhuǎn)，即使是對固定赤緯的目標進行搜索。

本文以GEO 目標為例進行說明，GEO 目標的星下點赤緯范圍為±15°，設觀測站址的經(jīng)緯度為(?s，σs)，A是地平式望遠鏡的方位角，E是地平式望遠鏡的俯仰角。以望遠鏡俯仰角大于10°作為目標可觀測的判別條件，可以計算出觀測站能有效觀測±15°赤緯帶的GEO 目標的星下點經(jīng)度為σs±σ0的目標，其中σ0由站址緯度?s決定。以兩個不同緯度的站址為例，設?s1=24°N，?s2=46°N，望遠鏡視場為2.5°×2.5°，搜索路徑采取“Z”字型模式，以星下點緯度不變，經(jīng)度以2.5°作為階躍步長，計算在不同緯度觀測站觀測±15°赤緯帶目標時方位角和俯仰角的變化情況，并且分別計算了每次調(diào)轉(zhuǎn)時方位角和俯仰角分別調(diào)轉(zhuǎn)的步長，得到的曲線如圖6 和圖7所示。

圖6 ?s1=24°N 時方位角和俯仰角的變化規(guī)律Fig.6 Variation of azimuth and elevation angles with ?s1 of 24°N

對比圖6 和圖7 可以看出，觀測站點緯度越低，觀測GEO 目標帶的俯仰角越大，能有效觀測的目標帶經(jīng)度范圍就越大，調(diào)轉(zhuǎn)單個視場時，方位角需要調(diào)轉(zhuǎn)的步長就越大。對于地平式望遠鏡來說，即使固定步長掃描同一赤緯的空間目標，方位軸仍是進行變步長的位置調(diào)轉(zhuǎn)。另外，由于地平式望遠鏡兩個軸的耦合運動，即使掃描同一赤緯的空間目標，望遠鏡的俯仰角并不是固定不變的，而是需要進行變步長的位置調(diào)轉(zhuǎn)，上述兩種情況中俯仰軸分別進行了0～2°不等的位置調(diào)轉(zhuǎn)。在跟蹤模式下，當切換被跟蹤目標時，也需要調(diào)轉(zhuǎn)方位軸和俯仰軸位置，而且調(diào)轉(zhuǎn)的步長與所切換的兩個目標的相對位置有關。

圖7 ?s2=46°N 時方位角和俯仰角的變化規(guī)律Fig.7 Variation of azimuth and elevation angles with ?s2 of 46°N

4.2 傳統(tǒng)的位置環(huán)分段控制模式

對于地平式大視場望遠鏡來說，無論是進行搜索模式還是跟蹤模式，都會頻繁涉及到望遠鏡兩個軸的變步長位置階躍，而且階躍步長大小不一。傳統(tǒng)的望遠鏡主軸控制，一般對位置控制環(huán)采用分段控制的方式，當位置誤差較大時，位置環(huán)輸出常值；當位置誤差較小時，則進行閉環(huán)解算。位置環(huán)輸出的具體形式如下：

其中：i=1，2，...，N，ω*是位置控制環(huán)的輸出，eθ=θref-θ是位置誤差，θref是位置參考值，θ是位置反饋值，θ0＜θ1＜…＜θN是預設的閾值，ω1＜ω2＜…＜ωN+1是位置控制環(huán)輸出的常值，Cθ是位置閉環(huán)控制器。該方法的缺點在于分段的過程比較依賴經(jīng)驗值，例如θi，ωi以及分段數(shù)N的選擇都需要通過多次試驗，才能使所設計的分段參數(shù)與物理系統(tǒng)的實際響應相匹配，否則如果切入閉環(huán)的速度過大或者過小，都會影響系統(tǒng)的響應品質(zhì)。另外，一旦物理系統(tǒng)的最大速度或者最大加速度發(fā)生改變（例如系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生改變、或者驅(qū)動器的驅(qū)動電流、驅(qū)動電壓發(fā)生改變等），均需要對分段進行重新設計，否則會出現(xiàn)因分段與系統(tǒng)響應能力不匹配所造成的響應過慢或者超調(diào)等現(xiàn)象。

4.3 VLTD 在地平式大視場望遠鏡快速定位中的應用

將帶有速度和加速度飽和限制的VLTD 應用于望遠鏡軸系的快速調(diào)轉(zhuǎn)定位中，并且與傳統(tǒng)的位置分段控制方式進行對比實驗。實驗對象是某1 m 級地平式大視場望遠鏡的方位軸，軸系采用交流永磁同步電機驅(qū)動，驅(qū)動器和控制器硬件平臺采用DSP+FPGA，驅(qū)動電源采用48 V 的開關電源，驅(qū)動電流的最大值為10 A，位置反饋信號采用29 位絕對式編碼器測量，速度反饋信號通過位置反饋信號差分并濾波后得到，控制方式采用電流+速度+位置的三閉環(huán)方式，控制框圖如圖8 和圖9 所示。其中，圖8 的位置環(huán)采用傳統(tǒng)的位置分段控制方式，圖9 的位置環(huán)采用VLTD進行位置參考信號的過渡。除了位置誤差的處理方式不同，兩者的三環(huán)控制器設計完全相同，電流控制器的設計采用傳統(tǒng)的PI 控制器，速度環(huán)控制器采用ADRC 控制方式，具體設計方法見文獻［19］，此處不再贅述，位置環(huán)控制器采用最簡單的比例控制器。

圖8 采用位置分段的控制框圖Fig. 8 Control diagram of position section method

圖9 采用VLTD 的控制框圖Fig. 9 Control diagram of VLTD method

在進行位置環(huán)分段以及VLTD 的設計之前，均需要對系統(tǒng)的最大反饋能力進行摸底測試，得到系統(tǒng)的最大反饋速度為20.5（°）/s，最大加速度約為19.6（°）/s2。在不存在機械限位的前提下，根據(jù)就近調(diào)轉(zhuǎn)原則，方位軸的最大調(diào)轉(zhuǎn)步長為180°。為了驗證系統(tǒng)對不同步長的位置響應能力，用兩種實驗方法分別進行2°～180°之間不同階躍步長的位置階躍實驗，其中位置環(huán)分段參數(shù) 取 值 為：N=8，θ0=0.01°，θ1=0.017°，θ3=0.28°，θ4=1.1°，θ5=2.2°，θ6=11°，θ7=22°，θ8=33°；ω1=0.1(°)/s，ω2=0.2(°)/s，ω3=0.5(°)/s，ω4=1.9(°)/s，ω5=3.8(°)/s，ω6=5.3(°)/s，ω7=11.8(°)/s，ω8=16.7(°)/s，ω9=20(°)/s。

圖10～圖13 分別給出了幾個典型的實驗結果，其中p0=2°，10°，30°和180°。可以看出，使用位置分段的方式均能夠達到無超調(diào)的響應效果，但是由于分段的設置，在減速的過程中不能夠充分發(fā)揮系統(tǒng)的最大減速能力，所以減速段的時間明顯變長。

圖10 當p0=2 時的位置階躍響應Fig.10 Position step response with p0=2

圖11 當p0=10 時的位置階躍響應Fig.11 Position step response with p0=10

圖12 當p0=30 時的位置階躍響應Fig.12 Position step response with p0=30

圖13 當p0=180 時的位置階躍響應Fig.13 Position step response with p0=180

使用VLTD 過渡的實驗中，參數(shù)取值為h=0.001，σ=2.3，r=19，Vmax_VLTD=20。為了驗證VLTD 的輸出速度作為速度前饋的作用，分別完成了帶有速度前饋和不帶有速度前饋的實驗，幾組典型的實驗結果如圖14～圖17 所示。從實驗結果可以看出，使用帶速度和加速度限制的VLTD 安排的過渡過程能夠按照預設的速度和加速度引導望遠鏡軸系運動，在加速和減速段都能夠充分發(fā)揮出系統(tǒng)的反饋能力。

圖14 當p0=2 時的位置階躍響應Fig.14 Position step response with p0=2

圖15 當p0=10 時的位置階躍響應Fig.15 Position step response with p0=10

圖16 當p0=30 時的位置階躍響應Fig.16 Position step response with p0=30

圖17 當p0=180 時的位置階躍響應Fig.17 Position step response with p0=180

表2 列出了實驗中位置響應進入5″誤差帶的時間t1和1″誤差帶的時間t2，它定量地描述了不同實驗方法的效果?？梢钥闯觯褂肰LTD 安排過渡過程的方式可以使得動態(tài)響應時間明顯變短，并且利用VLTD 的第二個輸出作為速度前饋能夠進一步縮短響應時間，與位置分段方法相比，響應時間縮短了大約15%～37%，有效地提高了望遠鏡的搜索效率，對于大視場望遠鏡具有重要的意義。

表2 位置響應進入5″和1″誤差帶的時間Tab.2 Time points for position response in 5″and 1″position error bands （s）

對比實驗中只給出了一種分段取法，雖然通過增加分段數(shù)N以及優(yōu)化分段策略可以進一步提高該方法的響應速度，但是優(yōu)化過程需要進行大量的實驗，而且分段數(shù)N越多，程序的計算復雜度越高，也不利于程序的二次移植。而本文給出的VLTD 設計方法，參數(shù)設定方法簡單，只需測量物理系統(tǒng)的最大反饋速度和加速度，就可以進行參數(shù)的設定，且程序可以進行快速移植。

5 結 論

本文給出了一種為物理信號安排過渡過程的工具——變參數(shù)線性跟蹤微分器，它是在分析已有線性跟蹤微分器安排過渡過程的不足基礎上提出的，所給出的過渡過程能夠很好地與物理系統(tǒng)的反饋能力相匹配，在起到過渡作用的同時，又能夠充分發(fā)揮系統(tǒng)的最大反饋能力。從理論上對VLTD 的收斂性進行了證明，并且給出了仿真計算。將VLTD 應用于地平式大視場望遠鏡的快速調(diào)轉(zhuǎn)控制中，替代傳統(tǒng)的位置環(huán)基于位置誤差的分段控制方式，實驗結果表明，在各種不同大小步長的位置階躍響應中，響應時間可以縮短大約15%～37%，大大提高了望遠鏡的搜索效率。所設計的安排過渡過程方法的參數(shù)簡單易設置，利于在工程中的調(diào)試和實現(xiàn)。

本文中的分析以及實驗均是針對常值信號進行的，VLTD 也可應用于對時變信號的過渡過程安排，在后續(xù)工作中會對VLTD 跟蹤時變信號的性質(zhì)進行分析。