田艷豐, 王健宇, 王 哲, 吳宋林

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)具有較高的工作效率、功率密度以及較好的轉(zhuǎn)矩慣性比等特點，在眾多工業(yè)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。PMSM控制系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，很難對其進行高精度控制[1]。傳統(tǒng)的矢量控制方法是將定子電流分為d軸勵磁電流和q軸轉(zhuǎn)矩電流，并分別單獨控制。然而該控制策略控制性能有限，不能將電流完全解耦[2]。在PMSM的實際控制中，參數(shù)攝動、模型誤差和外界干擾等因素，會對其控制效果造成一定的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性，使實際應(yīng)用中的系統(tǒng)精確控制變得更加困難[3]。文獻[4]將電壓前饋的補償環(huán)節(jié)加入矢量控制，使d、q軸電流解耦，但是在負載突然變化時，仍不能徹底解耦。

近年來，為了解決PMSM的解耦問題，國內(nèi)外眾多學(xué)者在矢量控制系統(tǒng)中加入了一些非線性控制技術(shù)[5]，如滑模變結(jié)構(gòu)控制[6]、反步控制[7]、自抗擾控制[8]、反饋線性控制[9-10]等。文獻[11]提出了一種擴張狀態(tài)觀測器，用于擾動的估算，并對實際運行的系統(tǒng)去除抖振，但此方法不能有效提高系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)性能。文獻[12]提出了一種結(jié)合反饋線性化解耦的PI控制器來控制PMSM轉(zhuǎn)速，但是在實踐中，反饋線性化控制(FLC)不能在系統(tǒng)非穩(wěn)態(tài)的狀態(tài)下實現(xiàn)快速響應(yīng)。

FLC是一種非線性控制方法，在非線性系統(tǒng)解耦方面其有著顯著的優(yōu)越性。此方法基于微分幾何學(xué)，通過對數(shù)學(xué)模型的分析，得出該系統(tǒng)的線性控制規(guī)律[13]，能準(zhǔn)確解耦被控對象的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)系統(tǒng)的線性化。PMSM因其非線性和強耦合的特性，需要利用反饋線性化方法進行解耦，使其獲得矢量控制所不能達到的控制精度。文獻[14]提出將FLC應(yīng)用于線性伺服系統(tǒng)，實現(xiàn)永磁直線電機解耦。文獻[15]提出了基于反饋線性化的永磁直線同步電機自適應(yīng)動態(tài)滑?？刂?，采用反饋線性化理論，將永磁直線同步電機d、q軸電流完全解耦，把PMSM控制系統(tǒng)劃分成兩個相互獨立的線性子系統(tǒng)，但系統(tǒng)對參數(shù)變動敏感，魯棒性降低。由此可見反饋線性化解耦需要與其他控制方法結(jié)合使用，以實現(xiàn)高性能控制。

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)速度快、抗擾能力強與易于控制等特點，已成為廣泛使用的控制策略[16]。但為保證系統(tǒng)的抗擾性和穩(wěn)定性，在常規(guī)的滑模控制中，開關(guān)增益必須設(shè)置得足夠大，以消除系統(tǒng)的干擾，而開關(guān)增益越大，系統(tǒng)越容易產(chǎn)生高頻抖振。為了減少系統(tǒng)抖振，文獻[17]采用改進傳統(tǒng)趨近律的方法設(shè)計出滑?？刂破鳎囼灲Y(jié)果表明，雖然新型滑?？刂破髂軌驕p少系統(tǒng)產(chǎn)生的抖振，但系統(tǒng)的抗干擾能力下降，響應(yīng)時間加長。

綜上所述，本文將反饋線性化解耦理論與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，以表貼式PMSM為研究對象，將輸入-輸出反饋線性化方法作為解耦策略應(yīng)用于PMSM，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)向線性系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換。運用微分幾何工具將PMSM分解為轉(zhuǎn)速和激勵電流兩個線性化子系統(tǒng)。然后結(jié)合滑?？刂频乃枷?，在傳統(tǒng)滑模趨近率的基礎(chǔ)上，提出了一種改進的滑?？刂品椒ǎ瑢⑵渑cFLC相結(jié)合，設(shè)計出系統(tǒng)控制器作用于PMSM，以獲得更好的控制效果。最后通過仿真平臺進行分析，檢驗系統(tǒng)可行性。

1 PMSM反饋線性化

本文研究表貼式PMSM，以d、q軸電流和轉(zhuǎn)速參數(shù)作為狀態(tài)變量。忽略磁阻轉(zhuǎn)矩，d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

式中：id、iq和ud、uq分別為d、q軸定子電流和電壓;Rs為定子電阻;L為定子電感;Ψr為永磁磁通;B為黏滯摩擦系數(shù);J為轉(zhuǎn)動慣量;p為極對數(shù);ωr為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速;Tl為負載轉(zhuǎn)矩。

定義系統(tǒng)狀態(tài)變量[18]：x=[x1,x2,x3]T=[id,iq,ωr]T，定義系統(tǒng)輸入變量：u=[u1,u2]T=[ud,uq]T，將式(1)改寫為標(biāo)準(zhǔn)的仿射非線性系統(tǒng)的形式：

(2)

根據(jù)微分幾何理論[19-20]定理1：若仿射非線性方程式(2)在x0的一個鄰域內(nèi)滿足：

(3)

并且m×m維矩陣：

(4)

為非奇異矩陣，則在x0處，非線性方程式(2)有一個向量關(guān)系度r=[r1,r2,…,rm]，也就是指在x0的附近，可以用非線性方程式(2)來實現(xiàn)輸入和輸出的解耦。

在FLC過程中，首先要解決的問題就是確定系統(tǒng)的相對階。根據(jù)式(2)，確定了r1=1，r2=2的相對階數(shù)。則系統(tǒng)的總相對階r=r1+r2=3。

對式(2)求李導(dǎo)數(shù)并計算D(x),b(x)和z：

(5)

由于Lgh1(x)≠0,Lg2Lfh2(x)≠0，則該系統(tǒng)不存在零動態(tài)問題，并滿足反饋線性化條件。引入新的線性虛擬控制量：

(6)

系統(tǒng)解耦合后的結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 解耦后的 PMSM 數(shù)學(xué)模型

式(2)反饋變換得：

(7)

式(7)對PMSM系統(tǒng)進行了反饋線性化，引用新的線性變量解決系統(tǒng)耦合問題,然后根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)理論進行控制器的設(shè)計。

2 控制器設(shè)計

采用反饋線性化原理，可以將PMSM的ωr和id進行解耦，但該方法會使系統(tǒng)抗干擾能力下降。為此設(shè)計改進趨近律的滑模控制器分別對ωr和id進行控制，以提升系統(tǒng)性能。其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 PMSM系統(tǒng)框圖

2.1 改進指數(shù)趨近律

文獻[21]闡述了終端吸引子的概念，并將其應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。文獻[22]在此基礎(chǔ)上，將終端吸引子引入傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律并應(yīng)用于電機，給出了一種無開關(guān)函數(shù)的滑模趨近律，形式如下：

(8)

式(8)共分為兩個部分。由方程的第一部分可知該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋是基于指數(shù)函數(shù)的，且其漸近過程會隨狀態(tài)變量的持續(xù)改變而發(fā)生改變，故稱變指數(shù)趨近律。后一項既加入了終端吸引子模型，又將其作為一個冪函數(shù)來表示，因此成為末端吸引趨近律。這樣既保證了系統(tǒng)狀態(tài)軌跡遠離原點時系統(tǒng)狀態(tài)會有更快的運動軌跡，提高系統(tǒng)的快速性，又能提高系統(tǒng)狀態(tài)在趨近率的作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最終使其狀態(tài)量收斂。

下面分析其穩(wěn)定性，通過Lyapunov第二方法來分析式(8)的滑?？刂葡孪到y(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

定義Lyapunov函數(shù)為

(9)

V正定，且存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：

(10)

由于參數(shù)ε、k、p、q均大于零，a、b為非負數(shù)，且p、q之和為偶數(shù)，因此：

(11)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)，采用趨近律式(8)的滑模控制滿足穩(wěn)定性和可達性，系統(tǒng)的原點處于平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一旦系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面，其可以沿著滑模面移動，并不斷接近平衡點。

2.2 電流環(huán)控制器設(shè)計

在對系統(tǒng)的電流環(huán)進行反饋線性化解耦后，可以將輸入和輸出之間的關(guān)系簡化為v1通過積分環(huán)節(jié)得到id，如圖1(a)所示。本系統(tǒng)采用了一種滑動模態(tài)控制器。設(shè)計方式如下：

選取被控對象：

(12)

由跟蹤誤差選取狀態(tài)變量：

(13)

由式(13)確定系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(14)

(15)

定義滑模面為

s=cx1+x2

(16)

式中：c>0。

對式(16)求導(dǎo)有：

(17)

采用趨近律式(8)，得到下式：

(18)

令X=x1，得到控制器：

(19)

2.3 速度環(huán)控制器設(shè)計

在對轉(zhuǎn)速環(huán)進行反饋線性化準(zhǔn)確解耦后，輸入v2與輸出ωr的關(guān)系可由二次積分得到，如圖1(b)所示。該控制方法與電流回路相似，但其控制目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型稍有差異。控制目標(biāo)的速度回路數(shù)學(xué)模型如下：

(20)

同時，直接給出了系統(tǒng)轉(zhuǎn)速環(huán)控制器：

(21)

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink平臺進行仿真，按照圖2所示的PMSM系統(tǒng)搭建模型，驗證本文推導(dǎo)出的新型反饋線性化滑?？刂破餍阅埽⒃摽刂撇呗耘c傳統(tǒng)PI控制策略進行對比。PMSM仿真的主要參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM仿真參數(shù)

3.1 空載運行

圖3 空載轉(zhuǎn)速波形

圖4 空載電流波形

圖4分別為采用傳統(tǒng)PI控制策略與新型反饋線性化滑?？刂撇呗赃M行仿真得到的PMSM空載電流響應(yīng)。如圖4 (a)所示，采用傳統(tǒng) PI 控制策略時，id和iq不能完全解耦控制，且波動較大。如圖4(b)所示，采用反饋線性化滑?？刂撇呗詴r，iq動態(tài)響應(yīng)快，穩(wěn)態(tài)幾乎無波動，電流響應(yīng)快速性遠優(yōu)于PI控制器，動、靜態(tài)控制性能與PI控制相比顯著提高。

3.2 負載運行

在t=0.1 s時給電機加10 N·m負載，PMSM系統(tǒng)速度波形如圖5所示。傳統(tǒng)PI控制策略下，電機轉(zhuǎn)速在50 ms時達到穩(wěn)定，并且超調(diào)明顯。而反饋線性化滑?？刂撇呗韵?，電機轉(zhuǎn)速在15 ms時達到穩(wěn)定，快速性提升，并持續(xù)跟蹤給定速度，系統(tǒng)響應(yīng)速度快且穩(wěn)態(tài)無超調(diào)。在突加負載后，反饋線性化滑?？刂葡到y(tǒng)的速度下降了44 r/min，在10 ms后重新實現(xiàn)了對給定轉(zhuǎn)速的跟蹤，其動態(tài)、靜態(tài)性能均比傳統(tǒng)PI控制優(yōu)越。

圖5 負載轉(zhuǎn)速波形

圖6 負載電流波形

圖6(a)為傳統(tǒng)PI控制器下的電流閉環(huán)特性曲線。曲線波動較大、快速性差、超調(diào)嚴重。負載突變時id、iq均出現(xiàn)大幅度波動，有明顯超調(diào)，動態(tài)響應(yīng)慢；而且到達穩(wěn)態(tài)時iq也存在0.5 A的穩(wěn)態(tài)誤差。圖6(b)為反饋線性化滑?？刂撇呗韵碌腜MSM電流跟蹤響應(yīng)曲線。id和iq都跟隨給定值，系統(tǒng)抖振和穩(wěn)態(tài)誤差均較小，iq動態(tài)響應(yīng)快，穩(wěn)態(tài)無波動，iq始終保持在0 A，負載變化時也無明顯波動，電流動、靜態(tài)控制性能與傳統(tǒng)PI控制相比顯著提高。

4 結(jié) 語

對于傳統(tǒng)控制策略不能將PMSM的d、q軸電流完全解耦的問題，將輸入-輸出反饋線性化方法應(yīng)用到PMSM系統(tǒng)中，通過微分運算和反饋線性化理論，實現(xiàn)電流和轉(zhuǎn)速的完全解耦并得到其數(shù)學(xué)模型。并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合滑模控制理論，分別對速度二階子系統(tǒng)和電流一階子系統(tǒng)設(shè)計出新型滑?？刂破?。仿真結(jié)果表明，反饋線性化方法可以有效地簡化非線性系統(tǒng)控制律設(shè)計，減少模型誤差，新型控制策略具有良好的跟蹤性能，抗干擾能力強，動態(tài)響應(yīng)快，與傳統(tǒng)PI控制方式比較，其優(yōu)勢明顯。