?浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋初級(jí)中學(xué) 施燕芬

1 問(wèn)題提出

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)碰到規(guī)律探索問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般給出一列數(shù)、一列式子或一列圖形等形式，通過(guò)觀察、比較、歸納、猜想的過(guò)程，尋求內(nèi)在規(guī)律，然后依據(jù)規(guī)律加以運(yùn)用．此類(lèi)問(wèn)題有效地考查了學(xué)生的邏輯推理、歸納猜想、發(fā)現(xiàn)探索，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，考查的數(shù)學(xué)思想有：特殊與一般、類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸．

一般規(guī)律題的解答是先找出相鄰兩項(xiàng)間的聯(lián)系及各項(xiàng)中的數(shù)字與序號(hào)之間的關(guān)系，再?gòu)奶厥獾揭话氵M(jìn)行觀察與猜想，得到一般規(guī)律．但是隨著課改的不斷深入，規(guī)律探索問(wèn)題也有了新變化，面對(duì)新問(wèn)題，應(yīng)該具體對(duì)待．本文中介紹與前面不一樣的規(guī)律探索方法：直接從問(wèn)題的一般情況出發(fā)，得出一般規(guī)律；或在計(jì)算多個(gè)幾何量(或多個(gè)數(shù))之和時(shí)，不分別計(jì)算每個(gè)變量的具體值,而只求出由這些變量構(gòu)成的某個(gè)代數(shù)式的整體值.這種從一般情況分析、或從整體分析處理問(wèn)題的方法，使問(wèn)題解決更合理、更簡(jiǎn)潔且實(shí)用．

2 求點(diǎn)的坐標(biāo)

例1(德陽(yáng)中考)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，△AOB為正三角形，射線(xiàn)OC⊥AB，在OC上依次截取點(diǎn)P1，P2，P3，……，Pn，使OP1=1，P1P2=3，P2P3=5，……，Pn-1Pn=2n-1(n為正整數(shù))，分別過(guò)點(diǎn)P1，P2，P3，……，Pn向射線(xiàn)OA作垂線(xiàn)段，垂足分別為Q1，Q2，Q3，……，Qn,則點(diǎn)Qn的坐標(biāo)為.

圖1

圖2

下面只需解決OQn與OPn的關(guān)系.

在Rt△OPnQn中，由∠QnOPn=30°，可得

點(diǎn)評(píng)：規(guī)律探究問(wèn)題通常由特殊到一般，由具體到抽象，找出幾個(gè)特殊情況，再去類(lèi)比、猜想、分析一般的規(guī)律特征．本題若按部就班，則涉及的點(diǎn)太多，關(guān)系過(guò)于復(fù)雜.因此，反其道而行之，直接去求點(diǎn)Qn的坐標(biāo).利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，尋找Qn的橫縱坐標(biāo)與OQn的關(guān)系，進(jìn)一步尋找OQn與OPn的關(guān)系即可解決．同時(shí)，求OPn運(yùn)用整體思想解決顯得渾然天成、精彩靈動(dòng)．

3 求線(xiàn)段和

因此選:C．

進(jìn)一步拓展：原題已知條件不變，把所求結(jié)論部分改成“求A1B1+A2B2+A3B3+……+AnBn的值”．

4 求與反比例函數(shù)有關(guān)的三角形面積之和

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：本題若將所求三角形的面積一個(gè)一個(gè)算出來(lái)，再去尋找規(guī)律，過(guò)程會(huì)顯得繁瑣而冗長(zhǎng)；而利用每個(gè)三角形的底邊為1及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，再運(yùn)用平移及整體思想，將分散的線(xiàn)段平移到同一條線(xiàn)段上，則可快速解題，化困難為神奇，不得不拍手稱(chēng)快．

5 教學(xué)啟示

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅包括數(shù)學(xué)的一些現(xiàn)成結(jié)果，還包括這些結(jié)果的形成過(guò)程．規(guī)律探索性問(wèn)題，正是新課程理念下培養(yǎng)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、歸納、猜想，發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維和合情推理能力的絕好材料.它不僅可以考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、自主探究、解決問(wèn)題等綜合能力，暴露學(xué)生在解題過(guò)程中的思維品質(zhì)，還能反饋學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況，較直觀地反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體現(xiàn)出新時(shí)期下數(shù)學(xué)課程的基本要求．

探索性問(wèn)題的素材包羅萬(wàn)象，一切都可入題；題型之多彩，設(shè)計(jì)之巧妙，相對(duì)于傳統(tǒng)試題來(lái)說(shuō)是一種突破，是一種創(chuàng)新．規(guī)律探索是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種創(chuàng)造性思維，也是探索發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的一種重要手段，一般按照“問(wèn)題—猜想—驗(yàn)證—總結(jié)—結(jié)論”的流程進(jìn)行解題．在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們不但要探討此類(lèi)問(wèn)題的一般解法，也要有意識(shí)地甄選出別樣解法的試題進(jìn)行對(duì)比訓(xùn)練.這樣學(xué)生便可以靈活運(yùn)用解題方法，從整體上把握題目，創(chuàng)造性地分析解答問(wèn)題，不僅有助于形成整體性的思維方式，而且更能夠讓學(xué)生在解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力．

當(dāng)然以上各題不用整體思想也可以求出，只是過(guò)程更長(zhǎng)一點(diǎn)，運(yùn)用整體思想解題則體現(xiàn)出創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力，是求簡(jiǎn)意識(shí)的體現(xiàn)．因此，在平時(shí)訓(xùn)練時(shí)，我們不僅要思考怎樣去分析題意、探索解題思路，更重要的是思考怎樣才是最簡(jiǎn)的，其解法又是怎樣想到的．這里的核心，不是從一題多解的基礎(chǔ)上找出一個(gè)最優(yōu)解，因?yàn)檫@樣做太浪費(fèi)時(shí)間和精力，而是培養(yǎng)學(xué)生從一開(kāi)始就能較為迅速地尋求和發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的最優(yōu)路徑的意識(shí)和能力，或者說(shuō)幫助學(xué)生如何去制定出最佳的解決方案，這是我們?cè)诹?xí)題教學(xué)中要努力實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)．正如高斯所說(shuō)，“去尋求一種最美和最簡(jiǎn)捷的證明，乃是吸引我去研究數(shù)學(xué)的主要?jiǎng)恿Α保舱沁@種動(dòng)力，才能從更高層次上去激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和探究能力．