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        把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),提升數(shù)學(xué)教學(xué)的效能

        2023-01-05 12:32:58江蘇省常熟市昆承中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年24期
        關(guān)鍵詞:鄰邊直角度數(shù)

        ?江蘇省常熟市昆承中學(xué) 張 超

        數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心內(nèi)容,也是掌握其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ),學(xué)好數(shù)學(xué)概念可以使知識(shí)的運(yùn)用更加靈活,使學(xué)生更加能夠理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).然而數(shù)學(xué)概念具有抽象性和復(fù)雜性的特點(diǎn),常常使很多學(xué)生望而生畏,無法理解其內(nèi)涵,影響了其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).因此,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)效果對于數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效能有著重大影響.在教學(xué)中,教師要從學(xué)生的角度出發(fā),重視數(shù)學(xué)概念的生成和學(xué)生的感悟,不能采用讓學(xué)生強(qiáng)行記憶的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué),只有這樣才能提升數(shù)學(xué)概念的教學(xué)效果.筆者擬以“銳角三角函數(shù)”一課為例,從分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)的問題出發(fā),探討有效推進(jìn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略.

        1 忽視學(xué)生感悟的概念導(dǎo)入,導(dǎo)致學(xué)習(xí)低效

        案例1導(dǎo)入“銳角三角函數(shù)”

        (1)Rt△ABC中,∠C為直角,AC的長度為3,BC的長度為4,求AB的長度.

        (2)Rt△ABC中,∠C為直角,AC的長度為3,∠B的度數(shù)是40°,求AB的長度.

        設(shè)計(jì)評析:本例是通過問題進(jìn)行導(dǎo)入,第(1)問在已有的對勾股定理認(rèn)知的基礎(chǔ)上,學(xué)生很容易求出AB的長度.接著教師繼續(xù)提出第(2)問,學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備難以求出AB的長度,從而設(shè)疑導(dǎo)入.看似是精心設(shè)計(jì),為了激發(fā)學(xué)生的探究欲,實(shí)則卻忽視了導(dǎo)入的必要性,“為了導(dǎo)入而導(dǎo)入”,這樣的導(dǎo)入就失去了意義,學(xué)生只是跟隨教師盲目操作,對新學(xué)的知識(shí)沒有很深的印象.

        改進(jìn)建議:本例可以通過創(chuàng)設(shè)以下情境進(jìn)行導(dǎo)入——小華和小方兩人一起步行,小華在傾斜角為30°的斜坡上步行,小方在傾斜角為40°的斜坡上步行,兩人在同一水平上步行了150 m,請問誰登得高?高多少呢?

        改進(jìn)評析:修改之后的設(shè)計(jì)通過連續(xù)的追問引入課題,第一個(gè)問題大部分學(xué)生都能回答,一下子激發(fā)了學(xué)生的興趣,使學(xué)生對學(xué)習(xí)充滿信心.在此基礎(chǔ)上,學(xué)生試圖去回答登得高多少時(shí),卻發(fā)現(xiàn)遇到了困難,無法解決其中的數(shù)量關(guān)系,這時(shí)自然地引入課題,使得學(xué)生充滿了想要探究的好奇心,一下子吸引了學(xué)生的注意力.這樣的設(shè)計(jì)既考慮了學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平,又讓學(xué)生帶著疑問進(jìn)入了學(xué)習(xí)狀態(tài),發(fā)揮了導(dǎo)入的最佳效應(yīng).

        數(shù)學(xué)概念的導(dǎo)入首先要使學(xué)生從心理上產(chǎn)生認(rèn)同感,這就需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)符合學(xué)生生活實(shí)際的情境,使學(xué)生明晰引入數(shù)學(xué)概念以及建立這一概念的理由,激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力,為深入學(xué)習(xí)做好心理準(zhǔn)備.

        2 忽視概念生成的探究,導(dǎo)致學(xué)習(xí)低效

        案例2正弦定義

        (1)由特殊到一般概括正弦的定義.

        已知Rt△ABC中,∠C為直角.

        ①如果∠A的度數(shù)為30°,那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少?

        ②如果∠A的度數(shù)為45°,那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少?

        ③如果∠A的度數(shù)為60°,那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少?

        (2)請大家觀察幾何畫板的演示,思考一般情況下,在Rt△ABC中,當(dāng)銳角A取固定值時(shí),∠A的對邊與鄰邊的比是固定的嗎?

        (3)經(jīng)過大家的共同證明,我們得到了一個(gè)結(jié)論:在Rt△ABC中,對于銳角的任何一個(gè)固定值,它的斜邊與對邊的比是固定的,與Rt△ABC的大小無關(guān).

        教師板書正弦定義:在△ABC中,∠C為直角,那么銳角A的對邊與斜邊的比就叫做∠A的正弦,記作sinA.

        師:這里要注意sinA是一個(gè)完整的符號,不是一個(gè)乘積形式,符號中的“∠”是習(xí)慣省去的,而單獨(dú)的“sin”也是沒有意義的.

        設(shè)計(jì)評析:上述設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師希望通過由特殊到一般歸納正弦定義的良苦用心,問題由易到難,便于學(xué)生接受.但是在整個(gè)流程中學(xué)生始終處于被動(dòng)地位,正弦定義的概念并不是學(xué)生在探究中主動(dòng)獲取的,是被動(dòng)地接受的.在學(xué)生觀察幾何畫板演示的過程中,學(xué)生被動(dòng)接受了∠A的對邊與鄰邊的比值是一個(gè)固定值,教師并沒有引導(dǎo)學(xué)生去論證和思考,只是直接把結(jié)論灌輸給了學(xué)生.這一環(huán)節(jié)中,學(xué)生只需用到記憶性思維,而沒有調(diào)動(dòng)其他的思維形式,然而強(qiáng)行記憶是容易遺忘的,也將影響到知識(shí)和技能的運(yùn)用.

        改進(jìn)建議:上述流程可以變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生探索的過程,改進(jìn)如下.

        (1)探究問題

        已知Rt△ABC中,∠C為直角.

        ①如果∠A的度數(shù)為30°,那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少?

        納入標(biāo)準(zhǔn):①均滿足上述診斷標(biāo)準(zhǔn)。②年齡≥18周歲。③患者、家屬于研究前均知情,并閱讀、簽字“知情同意書”。

        ②如果∠A的度數(shù)為45°,那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少?

        ③如果∠A的度數(shù)為60°,那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少?

        (2)觀察分析

        請大家觀察幾何畫板的演示,思考一般情況下,Rt△ABC中,當(dāng)銳角A取固定值時(shí),∠A的對邊與鄰邊的比是固定的嗎?

        (3)猜想證明

        學(xué)生經(jīng)過討論闡述自己的想法,然后猜測:一般情況下,在Rt△ABC中,當(dāng)銳角A取固定值時(shí),∠A的對邊與鄰邊的比是固定的.

        (4)動(dòng)手實(shí)踐

        在教師的引導(dǎo)下,改變點(diǎn)B的位置(如圖1)學(xué)生通過測量計(jì)算∠A的對邊與鄰邊的比看有沒有發(fā)生變化;當(dāng)∠A的度數(shù)發(fā)生改變時(shí),再次通過測量計(jì)算比值進(jìn)行對比.

        圖1

        (5)推理論證

        經(jīng)過猜想和實(shí)踐之后如何證明這個(gè)結(jié)論,為什么∠A的對邊與鄰邊的比不發(fā)生變化呢?在教師的提示下學(xué)生自主探索,可以通過相似三角形的知識(shí)進(jìn)行推理驗(yàn)證.

        (6)再次探究

        師:經(jīng)過剛才的證明,大家已經(jīng)知道了∠A的對邊與鄰邊的比與點(diǎn)B的位置是無關(guān)的,那么它與∠A的度數(shù)是否有關(guān)呢?我們應(yīng)該用什么方法驗(yàn)證呢?

        生1:可以改變∠A的度數(shù)再次進(jìn)行測量.

        師:很好!請大家來操作一下.

        師:很好!但是這個(gè)結(jié)論還是需要通過理論進(jìn)行證明,大家看看是否可以用幾何圖形來驗(yàn)證?

        生3:如圖2,以O(shè)為圓心,OP為半徑的圓上有一點(diǎn)P,在PH與OP的比值中,當(dāng)角度增大時(shí),PH變大,因此在分母不變的情況下,比值越來越大.

        圖2

        (7)總結(jié)規(guī)律

        通過畫圖可以清晰地看到角度與比值的變化關(guān)系,再次驗(yàn)證了結(jié)論:角度變化,比值也相應(yīng)變化.這種隨著角度變化,比值發(fā)生變化的規(guī)律就是正弦的定義,我們可以用sinA來表示∠A的正弦.

        改進(jìn)評析:通過教師引導(dǎo)下的探究,學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中,經(jīng)過思考、討論、總結(jié),逐步理解了正弦的概念,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,學(xué)生在探究的過程中學(xué)會(huì)了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,理解知識(shí)之間的邏輯關(guān)系.在證明猜想的過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形證明比值相等,真正深化了學(xué)生對概念的理解.

        兩種設(shè)計(jì)方式表面上學(xué)習(xí)效果沒有太大差別,但是從更深層次來看,第二種設(shè)計(jì)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了探索的平臺(tái),鍛煉了學(xué)生的思維,更加有利于學(xué)生的發(fā)展.

        3 不恰當(dāng)?shù)厥褂眯轮?,影響學(xué)生對概念的理解 課堂教學(xué)中一般都有一個(gè)當(dāng)堂鞏固的環(huán)節(jié),通過習(xí)題對當(dāng)堂所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固訓(xùn)練.

        案例3課堂鞏固

        (1)已知Rt△ABC中,∠C為直角,AC的長度為3,BC的長度為4,求sinA和sinB的值.

        (2)已知在△ABC中,CD是AB邊上的高,CD的長度為12,AD的長度為9,BD的長度為5,求sinA,sinB,sin∠ACD和sin∠BCD的值.

        (3)在Rt△ABC中,∠C為直角,a的長度為1,c的長度為2,求sinB的值.

        設(shè)計(jì)評析:上述練習(xí)都是在直角三角形中求正弦值,一方面題型單一,學(xué)生基本只需要單一的固定思維就能解決,沒有起到鍛煉思維的作用;另一方面容易給學(xué)生一種誤導(dǎo),只有在直角三角形中才能求銳角三角函數(shù)的值.因此,對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力起不到應(yīng)有的提升作用,一旦題型稍作改變,學(xué)生可能就一籌莫展了.

        改進(jìn)建議:(1)在Rt△ABC中,∠C為直角,AB的長度為5,BC的長度為3,求∠A的正弦.

        (2)在Rt△ABC中,∠C為直角,BC的長度為3,sinA的值為3∶5,求AB和AC的長度.

        變式訓(xùn)練:在Rt△ABC中,∠C為直角,BC的長度為3,sinA的值為3∶5,求sinB的值.

        改進(jìn)評析:改進(jìn)后的練習(xí),不僅檢測了學(xué)生對正弦知識(shí)的掌握情況,突出了重點(diǎn),而且還通過變式訓(xùn)練,培養(yǎng)了學(xué)生通過設(shè)置參數(shù)解題的方法.這樣的設(shè)計(jì)調(diào)動(dòng)了學(xué)生的多種思維,提升了學(xué)生的解題能力,全面鞏固了所學(xué)知識(shí).

        課堂鞏固的目的是為了了解學(xué)生知識(shí)的掌握情況,因此在習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)要注意問題的廣度,重視思維過程,提高習(xí)題的質(zhì)量,促進(jìn)學(xué)生積極思考.

        總之,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要摒棄給學(xué)生教概念的做法,要以學(xué)習(xí)活動(dòng)為抓手,在引導(dǎo)學(xué)生探究思考的過程中,積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高學(xué)習(xí)能力,深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).

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