楊志飛，閆光輝，羅 浩，常文文

（蘭州交通大學 電子與信息工程學院，蘭州 730070）

隨著研究生的不斷擴招，研究生規(guī)模不斷擴大，研究生管理數(shù)據(jù)也日趨龐大，這些數(shù)據(jù)看似毫無關(guān)聯(lián).在大數(shù)據(jù)時代，找到它們之間有效的關(guān)聯(lián)，分析其關(guān)聯(lián)關(guān)系，有利于發(fā)現(xiàn)其相互作用［1］.同時隨著智能產(chǎn)業(yè)的興起，導致了工程系統(tǒng)社會化、社會系統(tǒng)工程化、簡單系統(tǒng)復雜化的新趨勢，研究生教育也得到了很好地發(fā)展［2］.目前，我國的研究生教育已經(jīng)成為培養(yǎng)高層次人才、支撐自主創(chuàng)新的戰(zhàn)略性力量，也是推進創(chuàng)新型國家的構(gòu)建和“中國夢”實現(xiàn)的主導力量［3］，因而需要優(yōu)化課程教學管理，不斷推動教學改革與創(chuàng)新［4］.研究生教學管理主要為學術(shù)型研究生和專業(yè)型研究生［5］.課程體系是專業(yè)培養(yǎng)的重要內(nèi)容，是實現(xiàn)人才培養(yǎng)的最主要途徑和最重要的基礎(chǔ)，是實現(xiàn)人才培養(yǎng)方案的依托.2019年3月，教育部發(fā)布教研廳［2019］1號文件《教育部辦公廳關(guān)于進一步規(guī)范和加強研究生培養(yǎng)管理的通知》明確要求，要堅持“服務(wù)需求，提高質(zhì)量”的研究生教育發(fā)展主線，優(yōu)化和完善方案設(shè)置.構(gòu)建多元化的研究生課程體系勢在必行［2］，分析課程間的關(guān)系有利于構(gòu)建優(yōu)質(zhì)的課程體系，有利于解決研究生學習的多樣性問題.復雜網(wǎng)絡(luò)是根據(jù)數(shù)學方法、圖論等發(fā)展起來的定量分析方法，是研究復雜系統(tǒng)的新視角.復雜網(wǎng)絡(luò)目前已經(jīng)應(yīng)用在自然科學與社會科學研究的各個方面，比如疾病傳播、氣象動力學、歷史演化等.在教育方面，復雜網(wǎng)絡(luò)也有了一定的應(yīng)用，通過分數(shù)將課程關(guān)聯(lián)，分析本科專業(yè)核心課程［6］；挖掘課程內(nèi)知識點，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型，優(yōu)化教學過程［7-8］.本文將復雜網(wǎng)絡(luò)作為研究生課程群體系的建模原理，以研究生培養(yǎng)計劃為基礎(chǔ)，將其定義為選課關(guān)系，對研究生課程進行建模和分析，探索研究生課程間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，同時借助網(wǎng)絡(luò)分析可視化工具，直觀地展示各專業(yè)培養(yǎng)方案中課程之間的結(jié)構(gòu)以及關(guān)聯(lián)關(guān)系.最后，以蘭州交通大學電子與信息工程學院研究生培養(yǎng)方案中的課程為例，并將課程作為一個向量，通過每門課程中的學生集合建立課程之間的關(guān)聯(lián)，計算其相關(guān)關(guān)系，將課程間的復雜關(guān)系通過網(wǎng)絡(luò)圖的方式呈現(xiàn)；將學生集合作為課程的重要屬性之一并融合兩種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析課程重要性.

1 基于選課關(guān)系的課程群復雜網(wǎng)絡(luò)建模和分析

1.1 課程群復雜網(wǎng)絡(luò)建模

采用復雜網(wǎng)絡(luò)技術(shù)對研究生選課關(guān)系的課程群建模，從而可以利用復雜網(wǎng)絡(luò)中的社團劃分、重要節(jié)點排序?qū)φn程群進行分析，同時將復雜網(wǎng)絡(luò)技術(shù)應(yīng)用于研究生課程群的建設(shè)，其建模過程可以定義為Stu-Course-CN，其建模流程如下：

1）根據(jù)研究生培養(yǎng)方案建立每學期的課程群ΩC=｛c1，…，ci，…，cM｝，其中的ci表示第i門課程.

2）根據(jù)研究生的培養(yǎng)計劃建立每門課的選課學生集合ΩSi=｛fi（ci）｝，其中：ΩS=｛s1，s2，…，sN｝為選課的學生集合；｛fi（ci）｝為第i門課程的學生集合.

3）剔除學生集為空的課程，將非空學生集的課程定義為選課課程群=ΩC＼｛ci|ΩSi=?｝；然后，計算選課課程群中課程之間的學生集的交集，Numij=|ΩSi∩ΩSj|為第i，j 2門課程之間的共有學生數(shù).

4）根據(jù)復雜網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣原理，建立基于Numij的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，其鄰接矩陣為

定義該網(wǎng)絡(luò)為選課課程群網(wǎng)絡(luò).

1.2 課程群聚類和社團分析

為了分析選課課程群的內(nèi)在關(guān)系，對課程群網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進行社團分析.課程群網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的社團研究可以揭示錯綜復雜的課程群網(wǎng)絡(luò)如何由相對獨立又相互交錯的社團構(gòu)成.根據(jù)社團內(nèi)的節(jié)點之間連接非常緊密而社團間的連接卻相對稀疏的現(xiàn)象，分析課程群的社團結(jié)構(gòu)，對了解課程群網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和分析網(wǎng)絡(luò)特性具有極為重要的意義，并且可以進一步幫助發(fā)現(xiàn)課程之間的聚類關(guān)系，為課程群建設(shè)、排課安排等提供一定的應(yīng)用價值.

課程群網(wǎng)絡(luò)的社團分析算法分為3個階段，這3個階段重復迭代，定義為stepA算法［9-10］.假設(shè)課程群網(wǎng)絡(luò)為由N門課程組成的N個節(jié)點的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，同時采用網(wǎng)絡(luò)模塊度的度量準則模塊度增益ΔQ.定義社團B的模塊化增益為

第1階段，完成初步社團劃分，計算步驟如下：

1）為每個節(jié)點分配一個社團，此時社團數(shù)等于節(jié)點數(shù).

2）對每個節(jié)點i，考慮其鄰居節(jié)點j，將節(jié)點i從其社團移除，并將其放置在j的社團中.

3）計算每個社團的模塊化增益ΔQ.若ΔQ≥0，則保留i在j社團中，完成一次社團節(jié)點的移動；若ΔQ＜0，則i恢復到原來的社團中，節(jié)點社團移動失敗.

4）遍歷所有的節(jié)點.

5）當模塊化增益不再有正值時，第1階段完成.

第2階段，完成新網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建，計算步驟如下：

1）將第1階段形成的社團視為節(jié)點；

3）生成新網(wǎng)絡(luò)；

4）對新網(wǎng)絡(luò)采用第1階段步驟對其進行迭代計算.

第3階段，判斷模塊化增益是否為最大值，若不是最大值繼續(xù)第1階段和第2階段，否則結(jié)束社團劃分.

stepA算法計算示意圖如圖1所示.首先，通過計算模塊度增益及對其的優(yōu)化過程形成新社團；其次，根據(jù)社團劃分建立新網(wǎng)絡(luò).重復這2個階段直到模塊化增益達到最大值.

圖1 選課網(wǎng)絡(luò)社團分析步驟Fig.1 Analysis steps of course selection network community

1.3 課程節(jié)點重要性分析

在選課課程群網(wǎng)絡(luò)中，有必要對該網(wǎng)絡(luò)中的課程進行重要性分析，發(fā)現(xiàn)和挖掘選課關(guān)系下課程的重要性，為下一步的課程建設(shè)做支持.在復雜網(wǎng)絡(luò)中，刻畫節(jié)點重要程度的一個指標就是節(jié)點中心化，用于定量表示網(wǎng)絡(luò)中一些節(jié)點比其他節(jié)點更重要或處于更中心的位置，該指標用于確定網(wǎng)絡(luò)中個體所處位置與其在群體中的影響之間的關(guān)系，已廣泛應(yīng)用于保障體系［11］、燃氣管網(wǎng)［12］、傳輸效率［13］和個人績效［14］等方面.節(jié)點重要性的度量方法主要有節(jié)點度、特征向量和接近度等，但這些指標僅考慮網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的結(jié)構(gòu)關(guān)系.在選課關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，在兼顧課程群網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的結(jié)構(gòu)關(guān)系的同時引入課程屬性（尤其是課程的選課人數(shù)），以便對課程重要性進行多屬性［15-16］分析.

1）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的局部信息處理.在基于選課關(guān)系的課程群網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，雖然度指標能直接反映一個節(jié)點對網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點的直接影響力，但擁有大量連接的鄰居節(jié)點可能有更大的影響力，也就是在選課課程群網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中節(jié)點的重要性不僅與自身的信息有關(guān)，而且與該節(jié)點的鄰居節(jié)點的度也存在一定關(guān)聯(lián)，即該節(jié)點的度及其鄰居節(jié)點的度越大，節(jié)點越重要，可以采用一個多級鄰居信息指標以及其鄰居之間的緊密程度對網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點重要性進行度量，將其定義為基于鄰居信息與集聚系數(shù)的節(jié)點重要性評價方法（P（i））［17］.

其中：fi為節(jié)點vi自身的度與其所有鄰居vu度之和，即fi=k（i）+k（u），k（u）表示節(jié)點vu的度，Γ（i）表示當前節(jié)點vi的鄰居節(jié)點集合；cci為節(jié)點vi的集聚系數(shù)；G為整個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點集.

2）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的全局信息處理.基于網(wǎng)絡(luò)全局屬性的節(jié)點重要性度量主要考慮網(wǎng)絡(luò)全局信息，特征向量指標不僅考慮全局網(wǎng)絡(luò)信息，同時考慮了鄰居節(jié)點的重要性程度.特征向量指標強調(diào)節(jié)點之間的相互影響，節(jié)點的重要性不僅與其連接的邊數(shù)有關(guān)，而且和連接節(jié)點的重要性成線性關(guān)系，設(shè)網(wǎng)絡(luò)具有N個節(jié)點，A表示網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣，λ1，λ2，…，λN表示A的N個特征值.設(shè)λ為矩陣A的最大特征值，有

其中：aij為A中元素；ei為節(jié)點i的重要性度量值；ej為節(jié)點i鄰居節(jié)點的重要性度量值.則節(jié)點i的特征向量指標可以定義為

3）網(wǎng)絡(luò)節(jié)點選課人數(shù)屬性處理.根據(jù)Stu-Course-CN建模流程，計算每門課的學生人數(shù)si，形成課程人數(shù)集合s=｛s1，…，si，…，sN｝.人數(shù)是選課的最重要的屬性，對其歸一化處理，歸一化公式為

因選課中最大人數(shù)不等于最小人數(shù)，所以s′i∈（0，1）.

在選課的課程網(wǎng)絡(luò)中，需要充分考慮網(wǎng)絡(luò)的局部信息和全局信息，同時融合選課人數(shù)信息，為此定義課程重要性指標為

2 仿真實驗和結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)來源和建模結(jié)果

采用蘭州交通大學電信學院研究生連續(xù)3年的選課情況作為分析對象.本文以2018年第2學期研究生的選課情況為例，實際開課共33門，研究生182名，3個專業(yè)方向（信息與通信工程、計算機科學與技術(shù)、電子科學工程）.為了便于分析，對課程進行編號處理，定義如下：1代表功率電子學；2代表大規(guī)模集成電路CAD；3代表可信計算與信息安全；4代表基于FPGA的數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計；5代表現(xiàn)代半導體物理與器件；6代表應(yīng)用統(tǒng)計學；7代表機器學習；8代表模糊數(shù)學及應(yīng)用；9代表深度學習；10代表最優(yōu)化方法及應(yīng)用；11代表DSP技術(shù)及開發(fā)；12代表通信網(wǎng)協(xié)議分析與管理；13代表通信系統(tǒng)仿真技術(shù)；14代表軟件無線電技術(shù)；15代表數(shù)字圖像處理；16代表語音信號處理；17代表信號檢測與估值；18代表應(yīng)用密碼學；19代表無線通信技術(shù)與應(yīng)用；20代表軌道交通通信技術(shù)；21代表無線通信網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃與優(yōu)化；22代表軟件體系結(jié)構(gòu)；23代表智能計算；24代表數(shù)據(jù)挖掘；25代表現(xiàn)代數(shù)據(jù)庫技術(shù)；26代表網(wǎng)絡(luò)安全技術(shù)；27代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用；28代表統(tǒng)計決策與模式識別；29代表分布式系統(tǒng)；30代表高級計算機圖形學；31代表智能鐵路運輸系統(tǒng)（ITS-R）；32代表科技英語寫作（信息類）；33代表虛擬現(xiàn)實技術(shù)及應(yīng)用.根據(jù)式（1）獲得課程之間的鄰接矩陣（見表1），采用Stu-Course-CN構(gòu)建學生培養(yǎng)計劃下的課程之間的復雜網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)如圖2所示，該網(wǎng)絡(luò)共33個節(jié)點，468條邊.從圖2的選課關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中可以發(fā)現(xiàn)：該網(wǎng)絡(luò)為稠密網(wǎng)絡(luò)，大部分課程之間具有較為稠密的連接，僅個別課程連接比較稀疏.從該網(wǎng)絡(luò)中無法直接獲得課程的專業(yè)方向以及課程的重要性，為此需要對該網(wǎng)絡(luò)進行社團和重要性分析.

圖2 選課關(guān)系的課程復雜網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Course complex network of course selection relationship

2.2 社團分析

為了挖掘網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中隱藏的信息，對該33門課的選課關(guān)系課程群網(wǎng)絡(luò)采用stepA算法進行社團分析，結(jié)果如圖3所示，最終模塊度ΔQ收斂于0.171，社團劃分為三類，分別為：電子科學方向，包括1，2，4，5，15，25等6個節(jié)點；計算機方向，包括3，6，7，10，18，22，23，24，26，29，32等11個節(jié)點；信息與通信方向，包括8，9，11，12，13，14，16，17，19，20，21，27，28，30，31，33等16個節(jié)點.與培養(yǎng)方案進行比較，社團劃分與培養(yǎng)方案課程劃分一致.圖4為培養(yǎng)方案的課程關(guān)系，在培養(yǎng)方案中，15（數(shù)字圖像處理）、25（現(xiàn)代數(shù)據(jù)庫技術(shù)）和32（科技英語寫作（信息類））3門課為3個培養(yǎng)方向的共有課程，但15（數(shù)字圖像處理）內(nèi)容偏重信息與通信方向，25（現(xiàn)代數(shù)據(jù)庫技術(shù)）內(nèi)容偏重計算機方向；18（應(yīng)用密碼學）、24（數(shù)據(jù)挖掘）、26（網(wǎng)絡(luò)安全技術(shù)）、27（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用）和30（高級計算機圖形學）是計算機方向和信息與通信方向的共有課程，但18（應(yīng)用密碼學）內(nèi)容偏重于信息與通信方向，24（數(shù)據(jù)挖掘）、26（網(wǎng)絡(luò)安全技術(shù)）、27（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用）和30（高級計算機圖形學）4門課程內(nèi)容偏重于計算機方向.從圖3的選課網(wǎng)絡(luò)社團劃分可以看出：15（數(shù)字圖像處理）、25（現(xiàn)代數(shù)據(jù)庫技術(shù)）在分類中屬于電子科學方向，說明這兩門課程主要選擇的學生為電子科學方向?qū)W生，可能同這學期電子科學方向開課的課程數(shù)少有一定的關(guān)系；30（高級計算機圖形學）屬于信息與通信方向分類，說明該課程主要由信息與通信方向的學生進行選課.從上述分析中可以得出：基于學生選課關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的社團劃分和培養(yǎng)方案是一致的，說明該方法在選課網(wǎng)絡(luò)中是可行的.同時從社團劃分中也可以看出個別課程的主要選課學生的學科方向，對后期的培養(yǎng)方案修訂具有一定的意義.

圖3 課程群的社團劃分Fig.3 Community division of curriculum group

圖4 培養(yǎng)方案課程關(guān)系Fig.4 Relationship between training program

2.3 選課關(guān)系課程群課程重要性分析

為了進一步挖掘課程的有效信息，采用式（7）對選課關(guān)系課程群的課程重要性進行分析，其結(jié)果如圖5所示，圖中列出了選課人數(shù)屬性下的課程重要性分析、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征的課程重要性分析以及二者融合的重要性分析.從圖5中可以看出：絕大多數(shù)的課程在這3種分析下重要性具有一致性，但機器學習、數(shù)字圖像處理、軌道交通通信技術(shù)、數(shù)據(jù)挖掘、現(xiàn)代數(shù)據(jù)庫技術(shù)、分布式系統(tǒng)以及科技英語寫作（信息類）等7門課程值得注意，從這7門課程可以看出，這7門選課人數(shù)都很多，在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)影響下其重要性雖沒有變化，但對其重要性幅值帶來了一定的約束，重要性值更加合理；同時有個別課程二者的重要性不同，如模糊數(shù)學與應(yīng)用，雖然其選課人數(shù)少于應(yīng)用統(tǒng)計學，但其融合后的重要性大于應(yīng)用統(tǒng)計學，說明網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)關(guān)系提升了其重要性；另外，還有分布式系統(tǒng)、應(yīng)用密碼學和現(xiàn)代數(shù)據(jù)庫技術(shù)，這些課程的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接影響了融合后的重要性分析，使得選課人數(shù)多的分布式系統(tǒng)的重要性低于應(yīng)用密碼學和現(xiàn)代數(shù)據(jù)庫技術(shù).從整體上而言，基于選課關(guān)系網(wǎng)絡(luò)課程的重要性能夠反應(yīng)學生的喜好，通過網(wǎng)絡(luò)關(guān)系可以反應(yīng)選課關(guān)系對課程重要性的影響.

圖5 課程重要性分析Fig.5 Curriculum importance analysis

3 結(jié)論

本文首先對研究生課程群的選課關(guān)系進行了分析，建立了選課關(guān)系下的課程群復雜網(wǎng)絡(luò)模型，隨后分析了在選課關(guān)系下的課程群社團結(jié)構(gòu)，并和培養(yǎng)方案進行了比較，結(jié)果表明：該社團結(jié)構(gòu)同培養(yǎng)方案是一致的，同時也挖掘出個別課程主要為某一個學科方向的學生選擇，為培養(yǎng)方案的修訂提供了一定的依據(jù).接著，采用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)指標、選課人數(shù)屬性以及二則的融合對選課關(guān)系下的課程重要性進行了分析，從分析結(jié)果可以看出學生選課的興趣傾向于該門課程在學生中的影響力，這對課程評價有一定的參照價值，同時也有利于研究課程的合理性安排.總之，通過復雜網(wǎng)絡(luò)對研究生課程進行建模不僅能分析課程在課程體系中的重要性，同時為后續(xù)的課程管理與學生興趣相結(jié)合提供依據(jù).