齊龍興，陳宏宇

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，常微分方程是一門核心課程，其實(shí)際應(yīng)用背景深刻且生動。大量微分方程來自于生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)，比如來自于幾何和力學(xué)中的伯努利微分方程和里卡蒂微分方程、解決人口問題的馬爾薩斯人口模型等。在分析實(shí)際問題和解決實(shí)際問題的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方法中，常微分方程已成為不可缺少的強(qiáng)有力的工具。[1]因此，在常微分方程的課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生利用常微分方程的理論和方法解決實(shí)際問題的能力，具有十分重要的意義。

在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，常微分方程由于其課程模塊的設(shè)置決定了教師授課時更多地關(guān)注于專業(yè)理論的講授。2016 年 12 月習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上發(fā)表重要講話時強(qiáng)調(diào)要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人。[2]要想在這樣一門非思政類的專業(yè)課程中更好地融入思想政治教育，常微分方程的課程模塊勢必要進(jìn)行重新劃分。

1 傳統(tǒng)課程模塊

當(dāng)前，常微分方程課程一直按照傳統(tǒng)模塊進(jìn)行教學(xué)，一般側(cè)重介紹關(guān)于微分方程的一些基本概念，針對不同階數(shù)和不同類型的方程，尋求求解方程特解和通解的方法和技巧。學(xué)生們在學(xué)習(xí)常微分方程這門課程中，普遍反映理論性較強(qiáng)，且大部分理論和公式都要記憶，對常微分方程如何應(yīng)用并解決實(shí)際問題了解較少。[3，4]例如，面對日常生活中的一些實(shí)際問題，大部分學(xué)生不知道怎么去分析問題、建立方程模型、利用數(shù)學(xué)軟件模擬及預(yù)測解的發(fā)展趨勢等等。再例如，針對某一傳染病的傳播，如何建立微分方程組分析疾病的傳播趨勢及預(yù)測病人數(shù)，如何為衛(wèi)生部門提供防控策略的建議等。因此，培養(yǎng)學(xué)生基于實(shí)際問題建立常微分方程并幫助解決實(shí)際問題的能力，是講授常微分方程這門課中首先要關(guān)切的問題。

此外，常微分方程這門課程基本都是理論介紹，主要是告訴學(xué)生如何求出具體方程的精確解。然而，在實(shí)際問題中，有時并不需要求出精確解，或者精確解求不出來，但需要根據(jù)方程來預(yù)測解的發(fā)展趨勢。這時，就需要進(jìn)行一系列的數(shù)值模擬。如何利用 Matlab,Maple等數(shù)學(xué)軟件對微分方程進(jìn)行模擬，這也是在講授過程中需要重視的問題。

由于常微分方程這門課的課時不足、課程內(nèi)容較多等原因，課程模塊的設(shè)置決定了教師在講授過程中需要加快節(jié)奏，把方程求解過程盡可能詳細(xì)地通過板書演示給學(xué)生看，把課程內(nèi)容盡可能多地傳授給學(xué)生。這樣，授課過程中，教師對學(xué)生進(jìn)行思政教育的時間就不多了。這就導(dǎo)致教學(xué)過程中教師很少或者幾乎沒有涉及到思政教育的思想。也正是因?yàn)樗颊氐娜鄙?，教學(xué)過程中不能激發(fā)課堂的豐富性。即便有部分提及思政元素的教師，也由于其在思政方面的教育是意識單獨(dú)，未能與學(xué)生達(dá)成共鳴，課堂上做不到師生互動，課堂氛圍仍是單調(diào)乏味。而良好的思政教育不僅可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識，還能讓學(xué)生潛移默化地愉快地接受教師傳授的思政教育思想。因此，思政教育的思想急需充分融入這門課的教學(xué)中。

針對以上問題，需要對常微分方程這門課的傳統(tǒng)模塊進(jìn)行改革創(chuàng)新。[5]在講解常微分方程中，有必要給學(xué)生們介紹一些利用常微分方程來解決實(shí)際問題的新知識和新方法，以培養(yǎng)學(xué)生的會學(xué)會用的能力。最后，指導(dǎo)學(xué)生利用Matlab等軟件進(jìn)行數(shù)值模擬和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行缘?。這些在常微分方程課程的教學(xué)中都有利于培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題必備的能力。

2 課程模塊劃分的創(chuàng)新

作為一門實(shí)踐性很強(qiáng)的課程，不僅僅希望學(xué)生們能學(xué)到并掌握理論知識，并知道如何應(yīng)用這些理論知識，還要在課程的教學(xué)過程中進(jìn)行全方位的思想政治教育，兩手都要硬。要做到這些，傳統(tǒng)的課程模塊勢必要進(jìn)行改革創(chuàng)新。因此，本研究基于此目的，將對常微分方程這門課進(jìn)行一系列的模塊改革創(chuàng)新，并提出新的成績評定體系，為達(dá)到真正的學(xué)以致用。

為更好地適應(yīng)創(chuàng)新型、復(fù)合型、應(yīng)用型人才培養(yǎng)，本課程需要對模塊劃分進(jìn)行創(chuàng)新，主要從方程的基礎(chǔ)理論、求解計(jì)算、數(shù)值模擬分析和實(shí)際應(yīng)用四個方面對“常微分方程”的課程模塊進(jìn)行重新調(diào)整，同時在每個模塊中加入豐富的思政內(nèi)容。

2.1 基礎(chǔ)理論模塊

基本概念是常微分方程基礎(chǔ)知識的重要組成部分。概念如果沒有掌握清楚,學(xué)生就無法掌握后面的定理和一些公式。基本概念也是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。只有掌握正確的概念,才能對后面學(xué)習(xí)微分方程的類型有正確的判斷和推理,進(jìn)而才能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。因此，將常微分方程中所有涉及到的定義和定理都放在基礎(chǔ)理論部分，作為本課程的第一模塊。在原來傳統(tǒng)模塊的基本概念的基礎(chǔ)上加上一階方程、高階方程和方程組中所有定義和定理。這樣可以集中向?qū)W生展示出各類方程的性質(zhì)和特點(diǎn)，從而也幫助學(xué)生更容易地理解和記憶。比如，在介紹一階線性微分方程時，首先寫出齊次方程，再寫出非齊次方程，再寫出伯努利方程。這樣三個方程直觀地演示給學(xué)生，讓學(xué)生印象深刻。同時告訴學(xué)生，在一個微分方程里這樣改動一項(xiàng)，就會得到不同類型的方程，就如同在生活中，一件事情會由于隨意做的一個動作就有可能改變了它的發(fā)展方向。由此告誡學(xué)生做任何事都要三思而后行。再比如介紹恰當(dāng)方程時，引導(dǎo)學(xué)生要說恰當(dāng)?shù)脑?、做恰?dāng)?shù)娜撕颓‘?dāng)?shù)氖?。再比如，在判斷函?shù)組和向量函數(shù)組線性相關(guān)和線性無關(guān)時要利用弗朗斯基行列式。雖然兩個行列式形式不一樣，但這個行列式的來源和性質(zhì)都是一樣的，而且判斷準(zhǔn)則也是一樣的。所以，將這兩個概念都放在一起介紹，不僅幫助學(xué)生記憶和理解，也節(jié)省了很多時間。

同時，在講授這些基礎(chǔ)理論的過程中，從微分方程的發(fā)展史和數(shù)學(xué)史開展思政教育，向?qū)W生講授科學(xué)家們在追求真理、探求知識過程中的寶貴工匠精神。從1676 年微分方程概念的第一次提出開始，微分方程得到了飛速地發(fā)展，并且在各個領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。在微分方程的發(fā)展過程中，一大批數(shù)學(xué)家的心血注入其中，有萊布尼茨、牛頓、柯西、歐拉、李雅普諾夫等。其中，伯努利家族更是尤為突出，一個家族3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家。由此教育學(xué)生在學(xué)習(xí)任何知識時都不能急于求成，要有不怕困難、勇往直前的勇氣與斗志。

2.2 求解計(jì)算模塊

學(xué)生要正確求解微分方程，首先要會判斷方程的類型。通過對第一模塊中基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)，學(xué)生對所有方程都有了一個全面的認(rèn)識，然后回憶這些方程的特點(diǎn)，進(jìn)而判斷出正確的類型。比如，在判斷是否是恰當(dāng)方程時，首先回憶出恰當(dāng)方程的微分形式，然后分別計(jì)算微分形式中的兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)看是否相等，利用恰當(dāng)方程的判別法則進(jìn)行判斷。方程類型判斷的教學(xué)過程中可以培養(yǎng)學(xué)生判別的能力，同時告訴學(xué)生在實(shí)際生活中，也要利用正確的道德觀、人生觀和價(jià)值觀判別人和事。

接下來，針對不同類型的方程分別介紹各自的求解方法。在傳統(tǒng)模塊中，各類方程的求解方法是分開介紹的。確實(shí)，有些方程的求解方法與其他方程的求解方法不同，需要單獨(dú)介紹，但有些方程的求解方法或者求解思路是一樣的。比如常數(shù)變易法在求解非齊次微分方程時可以利用，在非齊次微分方程組中同樣可以利用，而且利用的思路是類似的。這樣就可以放在一起給學(xué)生講授，同時還可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識方程和方程組在求解時雖然方法相同，但步驟稍有不同。

在講授這一模塊的課程內(nèi)容時，學(xué)生學(xué)會常微分方程的多種求解方法是關(guān)鍵。但與此同時，還要對學(xué)生開展思政教育，教育學(xué)生具體方程具體分析，在求解過程時要發(fā)散思維，思考多種解決問題的辦法，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。我們在講課過程中就遇到不少這樣的學(xué)生，課后積極討論各種求解方法，然后請教老師指點(diǎn)。這是非常值得表揚(yáng)的。

2.3 數(shù)值模擬分析模塊

學(xué)過微分方程的同學(xué)都知道，有些方程的求解很麻煩，有些方程來源于實(shí)際問題，其實(shí)不需要知道它的精確解，只要知道變量的發(fā)展趨勢。這種情況下，只需要給出一個幾何圖形即可解決。目前，已經(jīng)有很多文獻(xiàn)介紹過利用數(shù)學(xué)軟件畫出微分方程中的積分曲線。

數(shù)學(xué)軟件有很多，在講授時可以選擇幾個常用的。比如在Matlab中編寫一個程序，就能畫出方程中未知函數(shù)關(guān)于自變量的變化趨勢圖。寫過程序的同學(xué)都知道，程序中的很多代碼都是一樣的，只要改變方程的表達(dá)式和參數(shù)即可。因此，將幾何圖形分析單獨(dú)作為一個模塊，將所有學(xué)過的方程都集中起來講授。學(xué)生們帶上各自的電腦或者記下筆記，只要輸入一個程序，稍稍改變就可向?qū)W生們?nèi)空故境鰧W(xué)過的所有方程的幾何圖形，然后對圖形進(jìn)行講解，并分析它的實(shí)際意義。這樣在課堂上教師不僅教會了學(xué)生如何利用數(shù)學(xué)軟件編程、畫圖和對圖形的分析，而且學(xué)生學(xué)起來容易，動手操作也方便。教師在授課過程中，也不需要每講到一個方程就要打開軟件演示一次了。

這樣一個模塊的創(chuàng)新，不僅給學(xué)生們動手操作的機(jī)會，幫助他們更直觀地認(rèn)識微分方程和軌線的變化趨勢，也為他們將來深造或從事其他工作時需要用到數(shù)學(xué)軟件打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，同時也為課程的講授節(jié)省了大量的時間。另外，在講授過程中還可以進(jìn)行思政教育。比如，一個漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，周圍的曲線不管從哪一個點(diǎn)出發(fā)都會跑向這個平衡點(diǎn)。每一條曲線都有起點(diǎn)和去向，但都遵循一個法則，那就是曲線上每點(diǎn)的切線斜率都是有規(guī)律的。如同生活中，我們做事必有起因和去處，但也都要遵循正確的做人和做事的原則，圍繞一個中心，不能隨意妄為，否則就會跑偏，容易迷失自我。

2.4 實(shí)際應(yīng)用模塊

常微分方程作為一門應(yīng)用型很強(qiáng)的課程，在物理、化學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)、生態(tài)學(xué)、人口學(xué)，甚至社會學(xué)中都有微分方程的應(yīng)用，其涉及范圍實(shí)在是太廣泛了。因此，將實(shí)際應(yīng)用單獨(dú)作為最后一個模塊，從各個領(lǐng)域中遴選出大量經(jīng)典的實(shí)際問題，以案例的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。先選擇一個課題，將問題數(shù)學(xué)化，提煉出各個變量和參數(shù)，然后建立微分方程模型，進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生利用前面三個模塊中所學(xué)的理論、求解和畫圖能力來解決實(shí)際問題，真正地教會學(xué)生做到學(xué)以致用。通過這樣一個案例具體解決過程的教學(xué)，教會學(xué)生具體問題具體分析的能力和如何將課本知識利用到實(shí)際問題中的技術(shù)和方法。

這一模塊的教學(xué)過程中，不僅訓(xùn)練了學(xué)生大量搜集資料和數(shù)據(jù)，還鍛煉了學(xué)生獨(dú)立解決實(shí)際問題的能力，在案例的選擇中，不同的學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇不同的案例，沒有任何限制，學(xué)生在自己的興趣下開展這種動手動腦的實(shí)踐活動，將會起到事半功倍的效果，同時在不同的案例分析中，針對不同的案例涉及到的人文背景和思政元素，教師可以潛移默化地對學(xué)生進(jìn)行思想政治教育。

3 新模塊下的教學(xué)過程

首先，教學(xué)中不僅向?qū)W生講授理論知識，還要傳授如何建立微分方程模型解決實(shí)際問題的方法。現(xiàn)有的課程理論與實(shí)際脫節(jié)，教材和課堂教學(xué)模式都偏重于強(qiáng)調(diào)常微分方程的理論性、系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，往往脫離了其應(yīng)用的背景和實(shí)際意義。很多學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，要么對所學(xué)知識不感興趣，要么學(xué)習(xí)目的不明確，缺乏正確的學(xué)習(xí)動機(jī)。因此，從課程模塊上徹底改變傳統(tǒng)的方式，真正將本課程建設(shè)成名副其實(shí)的“理論聯(lián)系實(shí)際的課程”。

其次，在課程教學(xué)及組織實(shí)施過程中，為解決課程與教學(xué)改革中出現(xiàn)的問題，需要針對調(diào)整后的課程內(nèi)容有相應(yīng)的組織實(shí)施。在課程內(nèi)容的前三個模塊的教學(xué)中主要以課堂教學(xué)為主，課后討論及練習(xí)為輔。第四個模塊可以從微分方程對其他學(xué)科的應(yīng)用進(jìn)行科研方面的論文學(xué)習(xí)、指導(dǎo)和討論，比如生態(tài)學(xué)、流行病學(xué)、社會學(xué)、人口學(xué)等交叉學(xué)科。同時，這些模塊的教學(xué)需要現(xiàn)代信息技術(shù)與課程教學(xué)有效地結(jié)合，并配以數(shù)學(xué)軟件Matlab、Maple和R繪圖協(xié)助理解，使抽象概念的引入具體生動，克服學(xué)生在數(shù)學(xué)上認(rèn)知與理解的困難。還可以活用學(xué)生的手機(jī)翻轉(zhuǎn)課堂，建立本課程的學(xué)習(xí)群，鼓勵學(xué)生積極討論，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。注意到，要將所學(xué)知識和方法應(yīng)用到實(shí)際中去。實(shí)際問題的來源多種渠道，需要采取的解決措施可能也多種多樣。對于剛剛學(xué)完常微分方程這門課的理論知識的學(xué)生們，要有效地篩選出適合他們的實(shí)際問題。學(xué)生可以利用所學(xué)的常微分方程理論和方法去解決實(shí)際問題，并通過實(shí)踐操作來鞏固課程中所學(xué)過的概念、求解和圖形分析等知識。

最后，要注意模塊創(chuàng)新后課程成績評定的合理性。由于本課程的教學(xué)過程需要和實(shí)際應(yīng)用案例結(jié)合，和學(xué)生的交流和互動形式比較特殊，所以教學(xué)效果的好壞無法由簡單的卷面分?jǐn)?shù)來體現(xiàn)。要強(qiáng)調(diào)過程考核比卷面分?jǐn)?shù)的通過率更重要，加大課堂討論、課后答疑、學(xué)生自主學(xué)習(xí)等方面的考核。而如此繁瑣龐大的工作量可以借助現(xiàn)代信息技術(shù)來統(tǒng)計(jì)完成。

4 結(jié)束語

創(chuàng)新模塊的主要特色首先是倡導(dǎo)問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教育。融思政、知識、能力、素質(zhì)教育于一體，注重問題的提出及其背景，使用現(xiàn)代信息技術(shù)、幾何直觀和物理原型詮釋抽象的概念；強(qiáng)調(diào)概念與方法的來源、不同概念間的內(nèi)在聯(lián)系，著重科學(xué)思維和科學(xué)方法的訓(xùn)練。通過微分方程的應(yīng)用這一模塊的教學(xué)討論和穿插靈活多樣的課程報(bào)告，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，拓展應(yīng)用視野。最后，注重科研和教學(xué)相結(jié)合。課程組學(xué)科平臺厚實(shí)，科研實(shí)力雄厚，授課過程中將自己的科研成果注入到課堂教學(xué)中，著力培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。同時，引進(jìn)數(shù)學(xué)軟件培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件科學(xué)有效地學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問題。

通過很多案例的分析和解決，學(xué)生們也認(rèn)識到學(xué)好”常微分方程“對解決實(shí)際問題起著至關(guān)重要的作用。通過融入思政元素對課程模塊的重新劃分，培養(yǎng)出具備這種活學(xué)活用、能夠解決實(shí)際問題能力的學(xué)生更是關(guān)鍵所在。因此，為培養(yǎng)創(chuàng)新型、復(fù)合型、應(yīng)用型人才的需要，本課程應(yīng)以立德樹人為根本宗旨[6]，本著以學(xué)生能力發(fā)展為目的，采用微積分和數(shù)學(xué)建模的思想，利用代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)的理論知識，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用常微分方程的理論和方法去分析和解決各個學(xué)科中呈現(xiàn)出的實(shí)際問題，進(jìn)而讓學(xué)生掌握并靈活運(yùn)用常微分方程課程中所學(xué)的基礎(chǔ)理論知識和方法，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)、從事數(shù)學(xué)或應(yīng)用研究、教學(xué)工作以及繼續(xù)深造奠定良好的基礎(chǔ)；與此同時，這門課程的學(xué)習(xí)和在實(shí)際問題上的訓(xùn)練，使得學(xué)生們學(xué)會了一些數(shù)學(xué)建模的基本方法，對現(xiàn)代自然科學(xué)和社會科學(xué)中的一些數(shù)學(xué)問題有了初步了解，在分析和解決實(shí)際問題方面，培養(yǎng)了學(xué)生熟練應(yīng)用常微分方程的理論和方法的能力。