孫雪梅，包廣啟

(1. 曲靖師范學(xué)院教師教育學(xué)院，云南曲靖，655011 2. 云南省曲靖市第二中學(xué)，云南曲靖，655000)

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020)》明確指出：“加快民族教育事業(yè)發(fā)展，對(duì)于推動(dòng)少數(shù)民族和民族地區(qū)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展，促進(jìn)各民族共同團(tuán)結(jié)奮斗、共同繁榮發(fā)展，具有重大而深遠(yuǎn)的意義.”數(shù)學(xué)教育在促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展和形成理性思維方面具有獨(dú)特的、不可替代的重要作用，但因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)語言的形式化特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維的特殊性，以及不同的歷史文化經(jīng)濟(jì)背景，導(dǎo)致少數(shù)民族地區(qū)的數(shù)學(xué)教育水平與發(fā)達(dá)地區(qū)相比還有一定差距.

統(tǒng)一的、以主流文化以及漢語言思維習(xí)慣為背景的國家課程忽略少數(shù)民族學(xué)生所處的歷史文化背景和思維模式，現(xiàn)行教材所提供的問題情境、實(shí)例等對(duì)他們來說都是不太熟悉的，使得少數(shù)民族學(xué)生在學(xué)習(xí)中面臨著“文化沖突”的問題，也給他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成了困難[1].因此，如何結(jié)合當(dāng)?shù)匚幕Y源，積極開發(fā)和有效利用各種文化資源來補(bǔ)充和銜接現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材，使少數(shù)民族學(xué)生借助熟悉的當(dāng)?shù)匚幕榫尺M(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而提高少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效益是值得少數(shù)民族地區(qū)教師思考的問題.

文章第一作者參加曲靖市高中數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)比賽的評(píng)委工作，聽了第二作者任教的人教版(A版)高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第四章第二節(jié)的“指數(shù)函數(shù)的概念”一課，受到啟發(fā)，在他的教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，嘗試將楚雄彝族自治州的地方文化資源融入此節(jié)課.現(xiàn)將教學(xué)過程設(shè)計(jì)的主要環(huán)節(jié)呈現(xiàn)出來，對(duì)于問題和例題的解答，教材中已有詳細(xì)解答，就不再呈現(xiàn).

1 教學(xué)案例及設(shè)計(jì)分析

1.1 引入文化資源，銜接教材

情境一：萬家壩古墓群位于楚雄市城南的青龍河畔，是周朝時(shí)期的古墓葬遺址.1975年，云南省文物工作隊(duì)對(duì)遺址進(jìn)行了清理發(fā)掘，共發(fā)掘79座古墓.出土的隨葬品有兵器、生產(chǎn)工具、生活用具、樂器、裝飾品等文物共1 245件，其中青銅器1 002件，尤以5件銅鼓最為珍貴，被命名為“萬家壩型銅鼓”(如圖1所示).經(jīng)“碳-14測(cè)年法”測(cè)定，銅鼓距今已有二千六百年左右，是迄今為止科學(xué)發(fā)掘所獲銅鼓中最早的銅鼓.它在研究銅鼓的起源和發(fā)展、我國鎏金技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展、我國古代五聲和七聲音階的形成發(fā)展以及我省滇青銅文化的歷史等方面有著重要的意義和參考價(jià)值.

圖1 萬家壩型銅鼓之一

根據(jù)情境一中的相關(guān)史料，教師說明：考古中經(jīng)常會(huì)使用“碳-14測(cè)年法”來測(cè)定文物年代.“碳-14測(cè)年法”是根據(jù)生物體死亡后停止新陳代謝和該生物體中碳14的衰變程度來推算生物體死亡年代的一種測(cè)量方法.然后，教師提出問題：生物體死亡后，其體內(nèi)的碳14的量衰變的規(guī)律是什么呢？請(qǐng)大家閱讀課本第115頁的《閱讀與思考》，并思考課本第113頁的問題2.

設(shè)計(jì)意圖：教師結(jié)合當(dāng)?shù)乜脊攀妨希ㄟ^對(duì)“萬家壩型銅鼓”及其在歷史及科學(xué)研究中的重要意義和價(jià)值的介紹，自然引出 “碳-14測(cè)年法”， 無縫銜接教材.這不僅增強(qiáng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的針對(duì)性，而且將地方文化滲透到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，增強(qiáng)了學(xué)生的自豪感.

1.2 模型建立，概念抽象

問題一：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的衰減比率(簡稱為衰減率)衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

問題1：生物死亡后體內(nèi)碳14含量的年衰減率p是多少？

解：略.

問題2：求出生物體內(nèi)碳14含量y隨死亡年數(shù)x變化的函數(shù)解析式？

解：略.

情境二：呈現(xiàn)楚雄州的旅游風(fēng)景名勝資源：楚雄世界恐龍谷旅游區(qū)(如圖2所示)、元謀土林(如圖3所示)等風(fēng)光照.

圖2 楚雄世界恐龍谷

圖3 元謀土林

根據(jù)情境二，自然引出課本中的問題1作為探究問題二.

問題二：隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數(shù)的不斷增加，楚雄世界恐龍谷旅游區(qū)(A地)、元謀土林(B地)兩景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B地則取消了景區(qū)門票．

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合當(dāng)?shù)芈糜钨Y源，找到與教材中問題1聯(lián)系的結(jié)合點(diǎn)，順勢(shì)引入問題二，符合學(xué)生的實(shí)際生活背景，并且也讓學(xué)生有親切感和代入感.這開啟了良好的開端，為后面的數(shù)學(xué)作鋪墊，起到了“未譜曲調(diào)先有情”的效果.

1.2.1 發(fā)現(xiàn)和提出問題

問題3：假如你是地方政府工作人員，面對(duì)游客人數(shù)的變化，你該關(guān)注什么問題？

解：略.

設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)生代入角色，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，巧妙引出探究A、B兩種方案對(duì)應(yīng)的游客人次的年增長量問題.緊緊圍繞教材內(nèi)容，但又不拘泥于教材，步步為營，將學(xué)生置身問題情境中，激起學(xué)生的求知欲和認(rèn)知沖突.

1.2.2 建立和求解模型

呈現(xiàn)教材中的數(shù)據(jù)(如表1所示)：A、B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次及逐年增加量．

表1 A、B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次及年增加量

引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)數(shù)據(jù)的觀察和分析，試著去比較A、B兩種方案對(duì)應(yīng)游客人次的年增長量并發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

問題4：比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？

引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法探尋規(guī)律.根據(jù)上表分別畫出A，B兩地景區(qū)采取不同措施后15年的游客人次變化圖象.

解：略.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4可以得出A地景區(qū)游客人次近似直線上升，年增加量約為10萬次，為后面的例3中求圖4的函數(shù)解析式f(x)奠定基礎(chǔ)；觀察圖5可以看出B地景區(qū)游客人次為非線性增長，年增加量越來越大，用現(xiàn)有的知識(shí)求不出圖5的函數(shù)解析式，為接下來探求此函數(shù)解析式埋下伏筆.

圖4

圖5

問題5：求出圖5的函數(shù)解析式.

引導(dǎo)學(xué)生分組探究：通過對(duì)B地景區(qū)每年的游客人次做相應(yīng)的運(yùn)算(一些組做減法，一些組做除法)去發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律，從而建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型描述出此變化規(guī)律.最后，通過學(xué)生的探究能找出刻畫圖5的函數(shù)解析式：y=1.11x(x∈[0,+∞)).

解：略.

設(shè)計(jì)意圖：A地有相同的增長量(年增加量大致為10萬次)，但B地游客增長量不同，不能憑借增長量求出B地游客人數(shù)y與年數(shù)x的關(guān)系式，應(yīng)該尋找相同的量(增長率)來刻畫圖5的函數(shù)解析式.通過分組探究，讓學(xué)生掌握做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增長率.增加量、增長率是兩個(gè)很重要的刻畫事物變化規(guī)律的量.

1.2.3 指數(shù)函數(shù)概念的引入

結(jié)合這兩個(gè)函數(shù)解析式的求解過程，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：這兩個(gè)函數(shù)刻畫了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？決定這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？要素之間的相互關(guān)系如何？可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？然后，歸納這兩個(gè)函數(shù)的共性，并指出指數(shù)x∈R時(shí)ax(a>0，且a≠1)有意義，從而給出刻畫這類現(xiàn)象變化規(guī)律的函數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R．

讓學(xué)生自主探究問題6.

問題6：指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定a大于0且不等于1?

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)函數(shù)解析式的共同特點(diǎn)，抽象出指數(shù)函數(shù)定義，并通過對(duì)指數(shù)函數(shù)定義中底數(shù)a的范圍探究，讓學(xué)生感悟抽象思維、分類討論的數(shù)學(xué)思想.結(jié)合函數(shù)解析式：y=1.11x(x∈[0,+∞))的求解過程分析，讓學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)刻畫的現(xiàn)實(shí)事物變化規(guī)律的關(guān)鍵詞是“增長率為常數(shù)”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法是做除法運(yùn)算.這為后續(xù)學(xué)生懂得哪些實(shí)際問題可以通過建立指數(shù)函數(shù)型來解決做好鋪墊.

以上教學(xué)圍繞兩個(gè)情境(情境一、情境二)及一系列環(huán)環(huán)相扣的問題鏈(三個(gè)大問題(問題一、問題二、問題三)和6個(gè)小問題(問題1—問題6))的探究，使教學(xué)不再僅僅停留在指數(shù)函數(shù)概念的知識(shí)表層，而且深入到知識(shí)產(chǎn)生過程中所嵌入的思想、方法與思維，并賦予知識(shí)和問題文化內(nèi)涵，使學(xué)生在主動(dòng)學(xué)習(xí)和探究的過程中，積累了分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，使其數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以提升.

1.3 概念鞏固，模型應(yīng)用

1.3.1 指數(shù)函數(shù)概念的理解鞏固

例1判斷下列函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)：

總結(jié)：.

例2已知函數(shù)f(x)=ax(a>0，且a≠1)且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值．

解：略.

設(shè)計(jì)意圖：通過辨析指數(shù)函數(shù)和求解指數(shù)函數(shù)解析式及其函數(shù)值，強(qiáng)化對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解.

1.3.2 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型分析和解決問題

進(jìn)一步呼應(yīng)情境一及問題一，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步利用指數(shù)函數(shù)模型分析和解決問題.

例3(1) 在學(xué)習(xí)活動(dòng)一中，某生物死亡后，過了10 000年，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的多少倍？

解：略.

進(jìn)一步呼應(yīng)情境二及問題二，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步利用指數(shù)函數(shù)模型分析和解決問題.

(2) 在學(xué)習(xí)活動(dòng)二中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛? 000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，設(shè)經(jīng)過x年，游客給A，B兩地帶來的收入分別為f(x)和g(x)，請(qǐng)求出f(x)和g(x).

解：略.

(3) 在(2)的基礎(chǔ)上，請(qǐng)比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況．

解：略.

設(shè)計(jì)意圖：利用指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)一步解決與問題一和問題二相關(guān)的問題，讓學(xué)生進(jìn)一步了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，從而加深對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解和應(yīng)用.同時(shí)引出形如y=kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的常用函數(shù)模型.

在以上例題講解的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主完成以下練習(xí)題：

楚雄市2020年底人口為63萬，人均住房面積為46 m2，計(jì)劃2025年底人均住房達(dá)到50 m2，如果該市將每年人口平均增長率控制在1%，那么要實(shí)現(xiàn)上述計(jì)劃，這個(gè)城市平均每年至少要增加住房萬m2.(精確到整數(shù)，注：1.015≈1.05)

解：略.

設(shè)計(jì)意圖：利用指數(shù)函數(shù)型模型，進(jìn)一步解決和學(xué)生家庭相關(guān)的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，幫助學(xué)生切實(shí)感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在社會(huì)、科學(xué)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的作用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高實(shí)踐能力，進(jìn)而讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

2 思考和建議

數(shù)學(xué)教育與歷史文化密切相關(guān)，不同的文化導(dǎo)致不同的教與學(xué).少數(shù)學(xué)民族學(xué)生在主流文化中學(xué)習(xí)面臨的困難是由文化沖突和文化差異造成的[2].文化背景凝聚著民族智慧和文化烙印[3].把地方文化資源從“文化學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”，將地方文化(特別是民族文化)引進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，既擴(kuò)大了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源，又能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)就在身邊，能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)民族文化的認(rèn)同和民族自豪感，還利于激發(fā)少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心.

我國少數(shù)民族文化多姿多彩、特色鮮明、形式多樣，具有濃郁的地域特色.在其歷史發(fā)展進(jìn)程中，他們創(chuàng)造了大量有價(jià)值的文化、藝術(shù)、科學(xué)等文獻(xiàn)典籍，建造了富有民族特色的建筑，產(chǎn)生了絢麗多彩的民俗文化，它們或源于生產(chǎn)實(shí)踐，或源于宗教信仰，或源于活動(dòng)儀式，或源于居住環(huán)境和服飾等.少數(shù)民族地區(qū)的數(shù)學(xué)教育工作者要以文化為視角，從當(dāng)?shù)厣贁?shù)民族族源文化、傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代旅游、休閑文化中，搜集整理其民族的宗教、天文歷法、建筑、服飾、科技、工藝等民族文化文獻(xiàn)典籍、實(shí)物等，從中整理和挖掘民族文化資源，得到第一手鮮活的民族文化資料.然后，在對(duì)民族文化中數(shù)學(xué)文化的挖掘的基礎(chǔ)上，將這些文化資源結(jié)合主流數(shù)學(xué)教材編寫相關(guān)教學(xué)案例，并應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和地方、校本課程資源開發(fā)中.

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材不可能滿足各民族地區(qū)多種文化背景的教育需求.如何在具有濃厚和豐富文化底蘊(yùn)的地方(民族)文化中選擇和開發(fā)符合民族學(xué)生生活環(huán)境、思維方式、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素材和文化資源融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)？這對(duì)民族地區(qū)的數(shù)學(xué)教育工作來說，是值得思考的問題.以上案例只是在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中的情境、實(shí)例、問題中尋找銜接少數(shù)民族地區(qū)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和文化背景的契合點(diǎn)的一些嘗試，借此拋磚引玉，讓更多數(shù)學(xué)教育工作者能參與其中，為提升少數(shù)民族地區(qū)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量貢獻(xiàn)自己的智慧！