馮 陽(yáng)

(蘇州市相城區(qū)望亭中學(xué)，江蘇蘇州，215100)

教育家陶行知指出，教師的職責(zé)重在指導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，最終讓學(xué)生“自得”和“自動(dòng)”，教師的教與學(xué)生的學(xué)，都是以“做”為中心的.這種通過(guò)教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成終身學(xué)習(xí)能力的觀點(diǎn)恰恰與現(xiàn)在發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的核心素養(yǎng)相對(duì)應(yīng).這種目標(biāo)不是一些應(yīng)景的、空洞的口號(hào)，而是與學(xué)生數(shù)學(xué)課堂上的健康發(fā)展緊密聯(lián)系的，需要教師、學(xué)生在教、學(xué)、做中進(jìn)行有效溝通.新版教材中有大量體現(xiàn)時(shí)代要求和“潮流”的具體實(shí)例，既能激發(fā)學(xué)生的社會(huì)參與興趣和探知欲望，培養(yǎng)其實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，又發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，形成理性思維.

本文主要從課堂教學(xué)出發(fā)，以新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.3.1《對(duì)數(shù)的概念》為例，闡述筆者教、學(xué)、做合一課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)思路與教學(xué)實(shí)踐中的一些做法及思考，力求提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 課前思考

本節(jié)內(nèi)容是對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要一環(huán).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“很多數(shù)學(xué)概念是從實(shí)際生活中通過(guò)理想化的形式抽象出來(lái)的，學(xué)習(xí)概念的有效方式就是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化和尋找實(shí)際意義的互逆過(guò)程.”對(duì)數(shù)是為解決天文學(xué)中繁雜的運(yùn)算而產(chǎn)生的，是人類突破固有，創(chuàng)造新知的重要表現(xiàn).在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)精心設(shè)計(jì)，把前人遇到的問題通過(guò)情景設(shè)置呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷過(guò)程，形成概念生成的一般規(guī)律，激勵(lì)學(xué)生勇于挑戰(zhàn)，大膽創(chuàng)新，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)一步做到學(xué)、做合一.

對(duì)數(shù)概念教學(xué)，如果直接把概念灌輸給學(xué)生，那教師的“教”只體現(xiàn)在把單一的知識(shí)傳遞給了學(xué)生，而沒有發(fā)揮學(xué)生“學(xué)”的主體作用，這種沒有經(jīng)歷“做”的學(xué)習(xí)過(guò)程，掌握的知識(shí)是毫無(wú)生命力的，學(xué)生的思維品質(zhì)也不會(huì)得到提高.所以，課堂教學(xué)的目的是為能夠促進(jìn)學(xué)生有深度的“學(xué)”，教師的“教”的活動(dòng)應(yīng)當(dāng)始終圍繞這個(gè)目的展開.“教”的主要方式是引導(dǎo)學(xué)生自主探究，在“做”中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題.教師是“教”的主體，“教”的主旨是學(xué)生在自主探索時(shí)引導(dǎo)方向，讓學(xué)生和問題直接對(duì)話；學(xué)生是“學(xué)”的主體，“學(xué)”應(yīng)該在教師的引導(dǎo)下，積極地發(fā)現(xiàn)問題，在探究中提出問題、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，進(jìn)而解決問題并構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

本節(jié)課對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生前面有過(guò)一些經(jīng)驗(yàn)，比如分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)等，這些數(shù)的產(chǎn)生，都是運(yùn)算“瓶頸”下的突破，學(xué)生對(duì)數(shù)的發(fā)展有了初步的思維和直觀想象，但縱向聯(lián)系能力仍顯不足，教學(xué)中通過(guò)問題情境的創(chuàng)設(shè)，在“做”中再次讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算瓶頸，由此萌發(fā)渴望，尋求突破.

2 教學(xué)過(guò)程生成

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

問題1：已知經(jīng)過(guò)x年后與某地景區(qū)人數(shù)是2001年的y倍，x、y滿足關(guān)系式y(tǒng)=1.11x.如果要求經(jīng)過(guò)多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，……，該如何解決？

上述問題是教材上的一則引例，于學(xué)生而言可能挑戰(zhàn)太大，會(huì)使其無(wú)從下手.可以考慮相對(duì)簡(jiǎn)潔的問題，比如可以引入棋盤麥粒問題.

問題2：棋盤上第一格放2粒麥粒，第二格放4粒，第三格放8粒，第四格放16粒，依次這樣放，我們?nèi)菀椎玫降趚格與那一格的粒數(shù)y之間函數(shù)關(guān)系為y=2x，x∈N*，那么從第幾格開始，放的麥粒數(shù)多于10，多于100，多于1000，多于10000？

問題3：若上面的“x∈N*”改為“x∈R”,是否存在實(shí)數(shù)x，使得2x=3？若存在，求出x，若不存在，請(qǐng)你說(shuō)出理由.

問題2通過(guò)學(xué)生的自主求解，喚醒已掌握的指數(shù)冪運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又起到適應(yīng)運(yùn)算的過(guò)程.對(duì)于問題2中的幾個(gè)問題，因?yàn)榉浅Ｈ菀捉獯?，可以讓學(xué)生來(lái)展示運(yùn)算成果，增強(qiáng)自信心；對(duì)于問題3學(xué)生根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以確定x是唯一存在的，但指數(shù)方程的求解采用已有的知識(shí)無(wú)法求解，引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知障礙，能夠激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

2.2 經(jīng)歷認(rèn)知，建立重構(gòu)

問題1：在求指數(shù)方程時(shí)，沒有現(xiàn)成的運(yùn)算工具.同學(xué)們學(xué)過(guò)哪些運(yùn)算方法呢？

問題2：為什么要學(xué)習(xí)減法、除法、開方運(yùn)算？

問題3：類比思考如何解決上面的問題？

引導(dǎo)學(xué)生積極探索，通過(guò)合作交流自己的發(fā)現(xiàn)，教師的“教”要做到點(diǎn)到為止，把“學(xué)”和“做”的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生.通過(guò)學(xué)生的互動(dòng)與思考，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)的運(yùn)算發(fā)展，類比得到以下結(jié)論：

上述環(huán)節(jié)，教師的“教”主要負(fù)責(zé)巡視，傾聽各組討論情況，發(fā)現(xiàn)問題并提醒.類比以上過(guò)程，明確減法、除法、開方運(yùn)算是加法、乘法、乘方運(yùn)算發(fā)展的必然結(jié)果，并且都是可逆互化的.進(jìn)而教師可以自然而然的引導(dǎo)學(xué)生自編求解指數(shù)方程的問題.如下：

教師引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)知數(shù)的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造新運(yùn)算的渴望，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的緊迫性和必要性.

2.3 突破思維，構(gòu)建新知

(1) 對(duì)數(shù)的概念

在教學(xué)中，教師引入課后“閱讀與思考”中的《對(duì)數(shù)的發(fā)明》納皮爾發(fā)明的運(yùn)算符號(hào)，即已知對(duì)數(shù)的底數(shù)和冪，求指數(shù)，需要引入新的運(yùn)算符號(hào)，就是對(duì)數(shù)符號(hào)log.寫出前面問題1、2、3的答案,引導(dǎo)學(xué)生歸納出對(duì)數(shù)的概念，教師講解對(duì)數(shù)的概念x=logaN中，明確x，a，N的含義，log是英文單詞logarithm(對(duì)數(shù))前三個(gè)字母，它是一個(gè)新的符號(hào).提醒學(xué)生注意對(duì)數(shù)讀法和書寫格式，a是底數(shù)，以下標(biāo)形式出現(xiàn)，N是真數(shù)，它和log齊平.介紹常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)，這兩個(gè)對(duì)數(shù)可以直接講授，但提醒學(xué)生課后可以通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)等途徑進(jìn)一步了解無(wú)理數(shù)e、常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自主學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)興趣.

問題1：對(duì)數(shù)的底數(shù)a有什么限制？為什么？

教師引導(dǎo)，學(xué)生合作交流，并得到以下結(jié)論：

若a<0，則N區(qū)某些數(shù)值時(shí)，logaN不存在，例如：x=log(-3)2，所以a不能小于0；

若a=0，①則當(dāng)N≠0時(shí)，logaN不存在，所以a=0不成立；②當(dāng)N=0時(shí)，log00有了除了0以外的任意實(shí)數(shù)；

若a=1，① 則當(dāng)N≠1時(shí)，log1N不存在；② 當(dāng)N=1時(shí)，log11有無(wú)數(shù)個(gè)值；所以a=1不成立.

綜上可知a>0,且a≠1.

通過(guò)教師提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主地對(duì)a的范圍進(jìn)行分類思考，然后通過(guò)小組合作討論交流完成，目的在于充分調(diào)動(dòng)每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提供展示學(xué)生想法的機(jī)會(huì)，并在合作學(xué)習(xí)中自我修正，上述過(guò)程充分體現(xiàn)了“做學(xué)合一”的理念.通過(guò)以上問題，加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)概念的理解，提升其邏輯推理能力和嚴(yán)謹(jǐn)思維品質(zhì).

問題2：通過(guò)對(duì)數(shù)概念的理解，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式在表示x，a，N的關(guān)系時(shí)是否是同一個(gè)關(guān)系？

問題3：能夠利用較為簡(jiǎn)潔的形式表達(dá)出指數(shù)、對(duì)數(shù)的這種關(guān)系嗎？

上述問題為了引導(dǎo)學(xué)生探究指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系，通過(guò)前面問題的學(xué)習(xí)，探究發(fā)現(xiàn)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式是可以相互轉(zhuǎn)化的，感知指數(shù)運(yùn)算的可逆性.通過(guò)對(duì)x，a，N含義的深度理解，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩者的關(guān)系進(jìn)行結(jié)構(gòu)化和圖象化表示,進(jìn)而加深對(duì)對(duì)數(shù)的理解.如右圖

(2) 通過(guò)例題掌握對(duì)數(shù)概念

問題1：(教材例1)把下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：

① 54=625 ② ③

本例題讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師可以挑選典型問題通過(guò)一體機(jī)等設(shè)備展示出來(lái)，從而讓學(xué)生掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化規(guī)則，加深對(duì)數(shù)的概念理解.同時(shí)，教學(xué)中要求學(xué)生指出指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化時(shí)的注意點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

問題2：請(qǐng)模仿上述例1，自己編寫指對(duì)互化的問題，然后讓同伴檢測(cè)編寫是否正確，并給予解答.

通過(guò)同伴之間相互出題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱度，充分挖掘“做”的功能，加強(qiáng)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化運(yùn)算能力.

問題3：觀察例1中①、②、④、⑤對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)，有什么發(fā)現(xiàn)？

引導(dǎo)學(xué)生歸納上述對(duì)數(shù)式都可化為logaab，引導(dǎo)學(xué)生求得logaab=b.通過(guò)解決上述問題，引導(dǎo)學(xué)生討論出對(duì)數(shù)的兩個(gè)重要結(jié)論：

① 復(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)；② loga1=0，logaa=1.

2.3 回顧反思，完善結(jié)構(gòu)

3 教學(xué)反思

3.1 “教學(xué)做”中激發(fā)興趣、探索生成

教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)在學(xué)生固有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)能力之下設(shè)計(jì).教師的“教”務(wù)必要有分寸感，引導(dǎo)、探討、直接提問等方式都應(yīng)圍繞學(xué)生自主的“學(xué)”展開，目的就是讓學(xué)生覺得“數(shù)學(xué)好玩”、數(shù)學(xué)的“做”很來(lái)勁，讓學(xué)生成為積極的探索者、組織者、主導(dǎo)者.這樣的課堂教學(xué)才能完成有深度的課堂生成.

3.2 “教學(xué)做”中鞏固深化、提高能力

“教”的主體是教師，“學(xué)、做”的主體是學(xué)生，只有在課堂教學(xué)中讓兩者有機(jī)地結(jié)合，即讓學(xué)生通過(guò)自主探究的模式自找問題、自找出路，才能更好的收獲基本知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想；通過(guò)學(xué)生“做”的活動(dòng)，收獲經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)能力.