張治國(guó)，陳豫眉，梁 倩

(西華師范大學(xué)a.數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 b.公共數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 南充 637009)

0 引言

分?jǐn)?shù)階偏微分方程已被廣泛應(yīng)用于生物、化學(xué)和物理等領(lǐng)域[1-6].由于應(yīng)用背景廣泛并且分?jǐn)?shù)階微分方程難以獲得精確解，故求其數(shù)值解尤為重要.目前有不同的數(shù)值方法用于求解Riesz空間分?jǐn)?shù)階方程.Meerschaert等[7-8]應(yīng)用移位的Grünwald-Letnikov公式逼近Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，提出了無(wú)條件穩(wěn)定的一階差分格式.Celik等[9]使用分?jǐn)?shù)階中心差分公式近似了Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，提出了無(wú)條件穩(wěn)定的二階隱式差分格式.劉桃花等[10]研究了帶有分?jǐn)?shù)階邊界條件的Riesz分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程，他們利用分?jǐn)?shù)階中心差分公式離散Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), 對(duì)邊界條件中的左側(cè)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)使用標(biāo)準(zhǔn)的Grünwald-Letnikov公式離散.林海欣等[11]研究了帶左側(cè)Rieman-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)邊界條件的對(duì)流擴(kuò)散方程，他們利用分?jǐn)?shù)階中心差分算子離散Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),同時(shí)對(duì)于邊界條件則是使用加權(quán)和移位的Grünwald-Letnikov公式進(jìn)行離散.尹修草[12]和曾寶思等[13]研究的分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程中含有帶整數(shù)階的Robin邊界條件，利用中心差分公式離散Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).古傳運(yùn)等[14]推廣了含Rieman-Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程的比較定理.

給定如下帶有分?jǐn)?shù)階邊界條件的Riesz空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流彌散方程：

(1)

u(x,0)=q(x),0

(2)

(3)

(4)

定義中Γ(·)為Gamma函數(shù).

本文主要討論β>0時(shí)的情況.

1 差分格式構(gòu)造及理論分析

均勻剖分給定區(qū)域

(N，M∈Z+)分別為空間及時(shí)間步長(zhǎng)，則xi=ih(i=0,1,…,N)，tm=mΔt(m=0,1,…,M).再令φi=φ(xi)，

Celik等[9]定義如下分?jǐn)?shù)階中心差分算子：

(5)

其中

利用(5)式對(duì)(4)式在點(diǎn)(xi,tm)進(jìn)行近似處理，即：

(6)

利用向后Euler差分近似一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得：

(7)

林海欣等[11]利用加權(quán)和移位的Grunwald-Letnikov公式對(duì)(3)式中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，得到

(8)

其中

在時(shí)間層t=tm(m=1,2,…,M)，及(6)-(8)式可以得到(1)-(3)式的如下隱式差分格式：

(9)

由此可知，差分格式(9)與原方程(1)-(3)是相容的.

(10)

將(10)式改寫成矩陣形式：AXm=Xm-1+Fm,1≤m≤M，其中

A是一個(gè)N×N系數(shù)矩陣：

定理1.1隱式差分格式(9)的解滿足存在唯一性.

證明結(jié)合引理1.1可知：

結(jié)合引理1.2可知，當(dāng)i=N時(shí)，

即矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，由其可逆性可得：差分格式(9)的解存在且唯一.

定理1.2差分格式(9)是無(wú)條件穩(wěn)定的.

(11)

(12)

(13)

(14)

運(yùn)用(14)式(m-1)次,得

‖εm‖∞≤‖εm-1‖∞≤…≤‖ε0‖∞.

(15)

由(11)-(15)式可以得到，差分格式(9)無(wú)條件穩(wěn)定的.

證明由em的定義可以得到：

(16)

由引理1.2和Stirling定理，有

(17)

(18)

運(yùn)用(18)式(m-1)次,得

(19)

由(16)-(19)式可以得到：

‖em‖∞≤C(Δt+h2).

通過(guò)(16)-(18)式可以知道差分格式(9)是收斂的，其收斂階為O(Δt+h2).

2 數(shù)值算例

考慮以下方程：

其中

初邊值條件為：

該方程的準(zhǔn)確解是u(x,t)=e-tx2(1-x)2.這里β=1，α=1.5.

圖1 數(shù)值結(jié)果

表1 最大誤差和時(shí)間收斂階，其中

表2 最大誤差和空間收斂階，其中

表3 文獻(xiàn)[10]中的最大誤差和收斂階

3 結(jié)論

本文研究了帶有分?jǐn)?shù)階邊界條件的一類Riesz分?jǐn)?shù)階對(duì)流彌散方程，通過(guò)中心差分算子離散Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，對(duì)右邊界點(diǎn)x=b處的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用二階加權(quán)和改進(jìn)的Grunwald-Letnikov公式離散，從而構(gòu)造出隱式有限差分格式.理論分析了隱式差分格式解的存在唯一性、穩(wěn)定性和收斂性，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了差分法的可行性.