張 昆，羅增儒

(1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，陜西 西安 710061)

1 問題的緣起

對于大多數(shù)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，教科書提供的教學(xué)素材，都能方便教師施教與學(xué)生學(xué)習(xí).但是，在具體教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，對于極少數(shù)具有統(tǒng)攝性的具體數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，教科書由于種種原因，造成了所選擇載入的數(shù)學(xué)教學(xué)素材，不能夠做到方便教師施教，同時也不太利于學(xué)生比較獨(dú)立地通過閱讀學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識.在對勾股定理與數(shù)軸概念教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教材分析時，筆者發(fā)現(xiàn)教科書所提供的素材確實(shí)存在著具體瑕疵.

關(guān)于勾股定理，人教版教科書(上海科學(xué)技術(shù)出版社編制出版的教科書提供的素材也與人教版的大同小異)首先使用了畢達(dá)哥拉斯研究全等的四塊正方形鋪地方磚組合成的大正方形，得到了由相鄰兩個小正方形對角線與兩個小正方形邊長之和這三條線段拼接成的等腰直角三角形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；將等腰直角三角形轉(zhuǎn)化為一般直角三角形是否還具有這樣的結(jié)論呢?答案是肯定的.接著選擇使用趙爽所構(gòu)建的一組“勾股圓方圖”(八個)之五的“并實(shí)圖”[1](又稱“勾股弦圖”)作為素材，證明了這個結(jié)論成立，得到了勾股定理這一數(shù)學(xué)知識點(diǎn).

筆者從長期的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在學(xué)習(xí)勾股定理的內(nèi)容以前，學(xué)生整天坐在鋪地方磚的教室中接受教育，卻沒有學(xué)生能夠像畢達(dá)哥拉斯那樣提出這個具體的問題[2]；而教科書選擇使用趙爽的“勾股圓方圖”論證勾股定理成立，這個“勾股圓方圖”對于學(xué)生來說，更是神來之筆，用波利亞的話說就是“從帽子里變出了兔子”[3].數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐告訴廣大數(shù)學(xué)教師，學(xué)生難以像趙爽這樣地構(gòu)造出“勾股圓方圖”.總之，即使在教師的啟發(fā)下，學(xué)生也難以提出畢達(dá)哥拉斯這樣的問題，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理這個命題，也難以構(gòu)造出“勾股圓方圖”證明勾股定理.

關(guān)于數(shù)軸概念，人教版教科書使用了“以一個公交車站(抽象為一個點(diǎn)——筆者注)為出發(fā)點(diǎn)，向這個公交車站的兩端每間隔5米，植一棵樹”的表述方式，幫助學(xué)生形成數(shù)軸概念；上?？茖W(xué)技術(shù)出版社編制的教科書使用了“一臺機(jī)器人從某直線上的一個定點(diǎn)出發(fā)，向兩端取物，以機(jī)器人走出的步數(shù)作為間隔(相等距離——筆者注)”的表達(dá)方式，幫助學(xué)生形成數(shù)軸概念；過去的人教版教材使用了“溫度計(jì)”作為類比幫助學(xué)生發(fā)生數(shù)軸概念的認(rèn)識；等等.

構(gòu)造數(shù)軸概念的目的在于，將上一節(jié)課引入的有理數(shù)“可視化”.因?yàn)?，有理?shù)作為一種序列的數(shù)系統(tǒng)，這個數(shù)系統(tǒng)比小學(xué)學(xué)習(xí)的正有理數(shù)構(gòu)成的數(shù)系統(tǒng)要復(fù)雜得多，對于剛剛學(xué)習(xí)了有理數(shù)概念的學(xué)生而言，難以抽象地理解它、掌握它.通過構(gòu)建數(shù)軸概念，將有理數(shù)“可視化”以后，就能夠?qū)⒂欣頂?shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，實(shí)現(xiàn)將抽象地理解有理數(shù)概念轉(zhuǎn)化為使用感知直觀地理解有理數(shù)概念，從而極大地降低了思維的強(qiáng)度，有利于學(xué)生理解有理數(shù)概念，并為建立有理數(shù)的運(yùn)算法則創(chuàng)造條件.

為了幫助初學(xué)有理數(shù)的學(xué)生理解數(shù)軸概念本質(zhì)，必須找到理解數(shù)軸概念的關(guān)鍵性標(biāo)志，這些標(biāo)志在于理解構(gòu)成數(shù)軸概念中的“原點(diǎn)”“正方向”“單位長度”的內(nèi)涵，簡稱“數(shù)軸三要素”.首先，要幫助學(xué)生各自獨(dú)立地理解“數(shù)軸三要素”各自內(nèi)涵；其次，幫助學(xué)生理解數(shù)軸獨(dú)立的三項(xiàng)“要素”整合起來的認(rèn)識過程；最后，幫助學(xué)生從整體上理解數(shù)軸概念.

對于數(shù)軸概念，分析教科書所提供的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，剛剛學(xué)習(xí)數(shù)軸概念的學(xué)生難以理解“原點(diǎn)”“正方向”“單位長度”各個要素的獨(dú)自內(nèi)涵，進(jìn)而在理解“三要素”的基礎(chǔ)上理解數(shù)軸概念則更難以實(shí)現(xiàn).筆者對忠實(shí)地使用教科書提供的教學(xué)素材進(jìn)行課堂教學(xué)活動的學(xué)生提問，問他們數(shù)軸“三要素”各具有什么作用?偶爾有極個別學(xué)生能夠給出正確答案，由此推測出大部分學(xué)生都不能從本質(zhì)上理解數(shù)軸概念.

關(guān)于勾股定理與數(shù)軸概念這兩個知識點(diǎn)，從分析教科書所提供的教學(xué)素材的內(nèi)容、形式與數(shù)學(xué)教師忠實(shí)執(zhí)行這種素材的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施所產(chǎn)生的結(jié)果中，可以提出問題：對于少數(shù)具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識的表述，為什么數(shù)學(xué)教科書選擇使用的關(guān)鍵性教學(xué)素材存在這樣的瑕疵：學(xué)生難以通過獨(dú)立地閱讀教科書，取得本應(yīng)該能夠取得的學(xué)習(xí)進(jìn)展呢?

2 教科書編制極少數(shù)統(tǒng)攝性知識點(diǎn)的艱難處境的緣由

對于發(fā)生認(rèn)識的學(xué)生而言，極少數(shù)存在疑難且重要的、具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)入教科書時，由于教科書的編者所選擇使用的素材存在瑕疵，導(dǎo)致學(xué)生通過閱讀數(shù)學(xué)教科書的學(xué)習(xí)方式，通常只能體現(xiàn)為一種緩慢的、乏味的與艱辛的認(rèn)識與理解過程，造成他們難以獲得從本質(zhì)上理解具體的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的結(jié)果.為什么會出現(xiàn)這種情況呢?通過分析認(rèn)識到，教科書的編者對于少數(shù)具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，選擇進(jìn)入數(shù)學(xué)教科書的素材所依據(jù)理念(教科書編制者未必能夠意識到)，存在幾方面特點(diǎn)：

其一，偏向邏輯化.依據(jù)數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性，少數(shù)統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)尤其如此[4]，這種結(jié)構(gòu)性主要體現(xiàn)在編制教科書時，對于某些難以處理的數(shù)學(xué)知識，編者不得不偏向于依據(jù)知識的邏輯過程，選擇教學(xué)素材.例如，人教版選擇“勾股定理”知識點(diǎn)的教學(xué)素材，所使用的提出問題、啟發(fā)發(fā)現(xiàn)命題的方式(具體表達(dá)成了勾股定理語言形式)雖然存在牽強(qiáng)的地方，但總體上能夠過得去的；然而，發(fā)現(xiàn)命題與推理論證這個命題之間的過渡卻無法銜接，致使學(xué)生只能接受“勾股圓方圖”所擬定的邏輯方式，如此，導(dǎo)致學(xué)生無法與趙爽一樣完成構(gòu)造出“勾股圓方圖”的心理活動過程.其教學(xué)結(jié)果是，不能在完成證明命題過程中，相應(yīng)地提高自己的數(shù)學(xué)思維能力，特別是創(chuàng)造性能力.

由于數(shù)學(xué)家所寫作的數(shù)學(xué)論文，通常都是經(jīng)由長時間艱難的探究發(fā)現(xiàn)的成果，字斟句酌地推敲以后，所形成的最終文本，因此，探究數(shù)學(xué)知識發(fā)生的真實(shí)艱難火熱的發(fā)現(xiàn)活動所得到的結(jié)果，自身被美化了的文字裝飾起來，發(fā)現(xiàn)過程本身從表達(dá)發(fā)現(xiàn)結(jié)果的描述中消除殆盡了[4]，教科書與數(shù)學(xué)家的表述無須提供關(guān)于發(fā)現(xiàn)某一知識點(diǎn)活動的文獻(xiàn)記錄.最為典型的例子就是維爾斯特拉斯評價(jià)高斯的數(shù)學(xué)表達(dá)，“他(指高斯——引者注)像一只非常精明的老狐貍，在最終表述所發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的結(jié)論時，總是用自己的尾巴抹去自己走過的路中所留下任何腳印的痕跡”[5].

對于極少數(shù)統(tǒng)攝性知識點(diǎn)，教科書編者也難以跳出高斯的這種表述方式，這其中的主要原因是，進(jìn)入數(shù)學(xué)課程的不少數(shù)學(xué)知識點(diǎn)都是出自歷代數(shù)學(xué)家的論文表述，這就不能輕易地排除教科書編者在沒有辦法處理的情況下，將原文不加變更地搬進(jìn)數(shù)學(xué)教科書，趙爽的“勾股圓方圖”就是一個較為典型的例子，如此，學(xué)生自然就不能從教科書的教學(xué)素材中徹底地弄清楚趙爽的“勾股圓方圖”是如何構(gòu)造出來的.

眾所周知，在長期積累起來的數(shù)學(xué)知識公庫中，數(shù)學(xué)家無論是通過哪種途徑和方法得到數(shù)學(xué)知識(定理及其證明)，總是選擇文字與數(shù)學(xué)符號表述這一內(nèi)容，并且按照邏輯演繹方式重新組織整理出來.作為表述數(shù)學(xué)知識結(jié)論所要求的審美意向是如此；數(shù)學(xué)歷史表述的慣例——數(shù)學(xué)的古希臘傳統(tǒng)——要求也是如此；實(shí)際生活事實(shí)中的經(jīng)濟(jì)需要，例如，出版社的經(jīng)濟(jì)效益要求在最小的紙張中容納最大的文字信息量還是如此[6].

這就導(dǎo)致在編制教科書時，數(shù)學(xué)知識的表述趨向邏輯化的目標(biāo)狀態(tài).也就是說，簡潔與單純的邏輯表述，乃是表述數(shù)學(xué)知識時心智能力天賦的文采、美感、華章與靈魂，從而形成了數(shù)學(xué)表述的習(xí)慣或者說數(shù)學(xué)表述的文化規(guī)范.反之，在書寫數(shù)學(xué)結(jié)論時，過于詳細(xì)地解釋探究活動的心理過程，被認(rèn)為是冗長乏味的，也是浪費(fèi)的，從而被認(rèn)為是不符合數(shù)學(xué)美感的.如此，數(shù)學(xué)教科書編者在不知不覺中，就步入這種表述數(shù)學(xué)知識的心理準(zhǔn)備狀態(tài)之中了[7].

其二，傾向生活化.在新一輪義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革中，生活化作為數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念，或許被數(shù)學(xué)教育教學(xué)專家強(qiáng)調(diào)得過分了，變成了時代數(shù)學(xué)教育教學(xué)的優(yōu)勢理念.這本質(zhì)上是對編制教科書依靠邏輯途徑的一種矯正，但是，在優(yōu)勢數(shù)學(xué)教育理念的強(qiáng)化下，形成了矯枉過正的結(jié)果.例如，關(guān)于數(shù)軸概念，教科書提供的這些生活情境的素材體現(xiàn)得淋漓盡致，學(xué)生通過閱讀這些素材，很難實(shí)現(xiàn)從本質(zhì)上理解數(shù)軸概念的目標(biāo).

對于數(shù)學(xué)概念，最終必然是精確的語辭表述(當(dāng)然受到了數(shù)學(xué)文化規(guī)范的限制)；對于數(shù)學(xué)原理(包括數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理等)及其推導(dǎo)或論證，最終是使用邏輯三段論式的語辭表述，然而，這些數(shù)學(xué)本身的要求被數(shù)學(xué)課程的生活化優(yōu)勢理念銷蝕了，在編制教科書時，走入了生活化的一端.這種過度生活化的教科書編制必然會產(chǎn)生這樣的結(jié)果，將那么一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)知識，裹挾在鋪天蓋地的與這個數(shù)學(xué)知識本質(zhì)內(nèi)涵沒有多大關(guān)系的生活內(nèi)容中，學(xué)生難以理清這一堆亂麻，從中抽象出所要的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)知識.例如，上文引入的教科書提供的關(guān)于數(shù)軸概念的教學(xué)素材，就屬于過度生活化范圍.

從這些生活化素材中，學(xué)生在閱讀時，無論如何理解總是難以獲得數(shù)軸概念中關(guān)于“原點(diǎn)”“正方向”“單位長度”本質(zhì)內(nèi)涵的，更談不上整合這“三要素”成為整體，從而理解數(shù)軸概念本身了.如果數(shù)學(xué)教師對于教科書提供的教學(xué)素材亦步亦趨之，那么無論如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施活動，都難以取得較好的教學(xué)效果.

其三，文字量限制.一方面，盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)教科書使用的紙張?jiān)絹碓蕉啵鏅?quán)頁越來越大，但是，由于過度生活化的文字量擠進(jìn)教科書，將發(fā)生數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的線索淹沒在泛濫的生活化的文字洪流中，如此，并沒有實(shí)現(xiàn)增加文字量所希望達(dá)到的教育教學(xué)效果.另一方面，在某些學(xué)生發(fā)生具有比較疑難的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)認(rèn)識時，例如，數(shù)軸概念，勾股定理等，教科書編者很難找到發(fā)生認(rèn)識的認(rèn)知出發(fā)點(diǎn)，并從這個認(rèn)知出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，啟發(fā)鼓勵學(xué)生不斷探究活動，得到知識點(diǎn)的結(jié)論[8].

總的來說，編制數(shù)學(xué)教科書是一項(xiàng)體系化、并受到多元制約的活動，涉及方方面面，既有時代優(yōu)勢數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念的指導(dǎo)性因素；也有教科書編者對于數(shù)學(xué)知識的個性化理解，發(fā)現(xiàn)學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識認(rèn)識心理過程的因素；還有數(shù)學(xué)公庫中關(guān)于具體數(shù)學(xué)知識表述的因素；教科書的編者是否具有足夠數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的因素；文字量的絕對限制的因素等.但是，不變的規(guī)律是，進(jìn)入數(shù)學(xué)教科書中的教材素材，確實(shí)制約著一般數(shù)學(xué)教師的施教，制約著普通學(xué)生的學(xué)習(xí).這是教科書的編者必須深度思考的一項(xiàng)重要問題，必須肩負(fù)起的一項(xiàng)重要任務(wù)[9].

3 對教師施教與學(xué)生學(xué)習(xí)影響及其處置

教科書由于很難處理少數(shù)具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的素材呈現(xiàn)問題，常常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較好的學(xué)生身上，其原因可能是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般的學(xué)生沒有教師的幫助往往難于獨(dú)立性閱讀.但是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的學(xué)生通過閱讀教科書內(nèi)容，要求自己馬上理解載入教科書上的具體數(shù)學(xué)知識(簡稱為“直接理解教科書”)，因?yàn)檫@批學(xué)生長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所形成的經(jīng)驗(yàn)是，數(shù)學(xué)對于他們來說，總是容易理解的，理解數(shù)學(xué)知識所要求的直覺能力也比較容易獲得，例如，義務(wù)教育小學(xué)階段的大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識就是如此.

然而，隨著年級的不斷升高，進(jìn)入學(xué)習(xí)高層次(例如，從算術(shù)過渡到代數(shù))數(shù)學(xué)知識階段，這種在小學(xué)階段“直接理解教科書”式的閱讀活動難以為繼，閱讀數(shù)學(xué)教科書就日益艱難起來，例如，學(xué)生在閱讀證明勾股定理的“勾股圓方圖”時，會感到理解這種精巧的構(gòu)造圖形的由來無能為力，思維會卡在“這個“勾股圓方圖”是如何構(gòu)造出來的?”的問題上，此時，對于他們來說，獨(dú)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識往往就會止于此了.于是，學(xué)生為了通過閱讀理解與掌握數(shù)學(xué)知識，就會萌生出痛苦的厭惡情緒.

只要稍作思考，對于教科書所載的少數(shù)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)(例如，勾股定理或數(shù)軸概念)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，曾經(jīng)是被幾十個乃至上百個優(yōu)秀數(shù)學(xué)家經(jīng)由相當(dāng)長(數(shù)年乃至于幾百年)時間的接力思考活動，從而意識到問題進(jìn)而提出問題、分析問題、解決問題，得到了的所表述的數(shù)學(xué)知識.現(xiàn)在卻要求學(xué)習(xí)這個具體數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的學(xué)生，在幾十分鐘、最長幾個小時內(nèi)，像過去的數(shù)學(xué)家那樣地發(fā)生認(rèn)識，要想不經(jīng)歷學(xué)習(xí)的痛苦，就輕易地理解這個具體數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，那確實(shí)是一件絕難的事情[10].在這種情況下，希望很快地通過閱讀迅速理解具體數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的學(xué)生，就不得不忍受閱讀數(shù)學(xué)知識的心理痛苦，才能獲得超越.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的學(xué)生，在通過閱讀具體的數(shù)學(xué)知識發(fā)生認(rèn)識過程中，關(guān)鍵性數(shù)學(xué)觀念的萌生常常需要展開卓越的思維活動，思維卓越性是與理解這個具體數(shù)學(xué)點(diǎn)的困難成正比的，就是說，越是發(fā)生困難的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)認(rèn)識，越需要卓越的數(shù)學(xué)思維的介入[11].沒有多少學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的成績優(yōu)異的學(xué)生，可能在心理上不愿意承認(rèn)這個世界上存在著超越他們自己的數(shù)學(xué)天才.

但是，在閱讀教科書時，學(xué)生可能突然發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)知識完全超出了他們理解與掌握的能力(例如，經(jīng)由閱讀“勾股圓方圖”而推測其心理構(gòu)造的來源)，這種心理上的落差，阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識活動過程，幾經(jīng)掙扎，懷疑自己的數(shù)學(xué)天賦，磨滅了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，于是，不愿意花時間進(jìn)行鉆研，不愿意嘗試自己發(fā)現(xiàn)具體數(shù)學(xué)知識的心理活動過程，等等.

在這種情況下，對于少數(shù)統(tǒng)攝性數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，就會產(chǎn)生不利于學(xué)生獨(dú)立地通過閱讀教科書展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).因此，作為數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中必須做出艱苦努力，否則學(xué)生就只能通過記誦的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)活動，而這種方式很難提高數(shù)學(xué)能力.在教師選擇使用教科書提供的教學(xué)素材進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施時，其合適行為應(yīng)該是，引用新課程實(shí)施理念的一句話說，“不能教教科書，而應(yīng)該使用教科書教”.

要實(shí)現(xiàn)“用教材教，而不是教教材”的目的，數(shù)學(xué)教師必須十分重視分析即將施教的那個具體數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其獨(dú)特的特點(diǎn)，以此判斷教科書所提供的教學(xué)素材是否合適，這又分為三種不同情況，如果是合適的，按照教科書提供的教學(xué)素材進(jìn)行教學(xué)活動就行了；如果很不合適(例如，教科書提供的關(guān)于數(shù)軸概念的教學(xué)素材)，就有必要拋開教科書的內(nèi)容，另起爐灶，自己選擇教學(xué)素材進(jìn)入教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施環(huán)節(jié)；如果部分合適而部分不合適，教師可以視其具體情況，進(jìn)行酌情處理.

關(guān)于“勾股定理”與“數(shù)軸概念”的具體教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的實(shí)踐過程，筆者都是直接否定了教科書所提供的教學(xué)素材，采用另起爐灶的途徑進(jìn)行了相應(yīng)地處理[9].

4 充分發(fā)揮教科書素材教學(xué)價(jià)值的努力

從編制教科書所羅列的幾項(xiàng)艱難處境中，能夠認(rèn)識到，期待或追求編制出至臻完善的數(shù)學(xué)教學(xué)素材的教科書，從實(shí)踐上來說，幾乎是難以實(shí)現(xiàn)的目標(biāo).因此，這就需要教科書的編者與一線施教的數(shù)學(xué)教師，互通信息，互相靠近，各自吸收對方的訴求.筆者從關(guān)于具有統(tǒng)攝性疑難的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的教學(xué)活動與作為編制教科書活動實(shí)踐中，清晰地認(rèn)識到，教科書編者與廣大一線教師之間的親密接近，不僅能夠提高一線教師處理教科書素材的能力與水平，而且有助于完善教科書編者選擇素材，進(jìn)入教科書的結(jié)果.

教科書編者與一線數(shù)學(xué)教師接近產(chǎn)生的有利結(jié)果在于，教科書編者通過一線教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，理解學(xué)生發(fā)生具體知識認(rèn)識的心理活動過程；一線教師通過教科書的編者理解那些極少數(shù)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)難以選擇合適的素材呈現(xiàn)于教科書中，從而促使一線教師將自己主要的注意力聚焦于教科書編者難以通過文字有效處理的知識點(diǎn)上，如此，在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，錨定這些疑難數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，展開試驗(yàn)與研究，力爭突破教學(xué)中的疑難.一線教師在教學(xué)實(shí)踐中的研究成果，反過來能夠促使教科書編者從中吸收教益，得到尋獲完善教科書素材的活水源頭[12].

教科書的編者與廣大一線數(shù)學(xué)教師都要在以下幾個方面不懈努力：其一，理解知識結(jié)構(gòu)組成要素中的各項(xiàng)聯(lián)系線索.例如，數(shù)軸概念這個知識點(diǎn)的“合適根據(jù)地”[13]是全體有理數(shù)，而不是溫度計(jì)、在筆直的馬路上植樹等具體實(shí)物情境所能承載的.其二，比照前述分析的結(jié)論，推測學(xué)生發(fā)生具體知識認(rèn)識時心理上的起承轉(zhuǎn)合的環(huán)節(jié)，判斷利用“合適根據(jù)地”接納新知識點(diǎn)的具體途徑.例如，在一條直線上表示所有有理數(shù)次第實(shí)現(xiàn)的心理環(huán)節(jié)在于，首先構(gòu)建“原點(diǎn)”，其次構(gòu)造“正方向”，最后構(gòu)造“單位長度”[14].其三，找到合適的素材向?qū)W生呈現(xiàn)上述兩項(xiàng)分析的結(jié)果，以便于學(xué)生從比較獨(dú)立地閱讀中發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識.

如此，關(guān)于某個具有統(tǒng)攝性的疑難知識點(diǎn)，既有利于教科書的編者選擇與完善教學(xué)素材，又有利于一線數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中處理具體的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，從而形成正向合力，最大限度地提升進(jìn)入教科書教學(xué)素材的有效性，從而發(fā)揮教科書的教學(xué)價(jià)值.

5 結(jié)束語

關(guān)于某個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，教科書選擇載入的教學(xué)素材，肯定是為方便數(shù)學(xué)教師施教與學(xué)生學(xué)習(xí)服務(wù)的.但是，在編制數(shù)學(xué)教科書時，由于受到幾方面的限制，如進(jìn)入數(shù)學(xué)知識公庫的數(shù)學(xué)知識依據(jù)邏輯表述；體現(xiàn)時代數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念，如強(qiáng)調(diào)生活化的數(shù)學(xué)情境等；教科書編制中的文字量的要求；編制專家親身數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等[15].導(dǎo)致載入數(shù)學(xué)教科書中的關(guān)于少數(shù)統(tǒng)攝性的疑難知識點(diǎn)的教學(xué)素材，不方便于教師施教，不利于學(xué)生通過比較獨(dú)立閱讀方式進(jìn)行學(xué)習(xí)的結(jié)果.教科書的編者與數(shù)學(xué)教師，必須進(jìn)行有效合作，做出合適處理，才能提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性，從而保質(zhì)保量地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo).