唐 林

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 重慶 401331)

0 引言

在非線性動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論研究中,正規(guī)形理論是有效的分析工具[1].正規(guī)形理論在非線性動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論及穩(wěn)定性理論中有著重要作用,同時(shí)也廣泛運(yùn)用于各個(gè)學(xué)科[2].正規(guī)形理論的基本思想是尋找合適的變換,將一個(gè)系統(tǒng)化成另一個(gè)形式相對簡單的系統(tǒng),并且變換前后兩個(gè)系統(tǒng)局部拓?fù)涔曹椈蚬饣曹?簡單地說,變換前后兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的局部動(dòng)力學(xué)行為).因此,我們可以通過分析簡化后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[3]得到原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

最早提出正規(guī)形理論的是Poincare[4],他研究出了著名的解析正規(guī)形理論. Arnold[5]后續(xù)又進(jìn)行了深入的研究,為完善正規(guī)形理論做出了巨大的貢獻(xiàn).目前為止,正規(guī)形的計(jì)算方法主要有：李代數(shù)法、矩陣表示法、共軛算子法等[6].雖然已經(jīng)有這么多的計(jì)算方法,但是正規(guī)形的計(jì)算過程還是相當(dāng)復(fù)雜.Chuo等[7]給出了非線性向量場正規(guī)形的基本概念,為現(xiàn)代理論奠定了基礎(chǔ).Hartman[8]證明了雙曲系統(tǒng)在不動(dòng)點(diǎn)附近可以等價(jià)于其線性系統(tǒng),所以得到正規(guī)形更簡單的形式,正規(guī)形理論也因此而迅速發(fā)展.

正規(guī)形在分岔問題中有著重要的作用.在分岔問題中,我們研究類似連續(xù)族Vε和Wε,可以求出共軛Cr微分同胚的連續(xù)族Hε.更具體地說,我們想研究Hε在Cr拓?fù)渲?對Vε和Wε的連續(xù)依賴性[9].所以本文將對二維向量場系統(tǒng)進(jìn)行這個(gè)問題的研究.

針對向量場部分二維冪這一情形已有結(jié)論[10].運(yùn)用矩陣表示法表明系統(tǒng)

的二次正規(guī)形為

需要說明的是,整篇文章中的h.o.t.表示系統(tǒng)的高次項(xiàng).本文將運(yùn)用上述矩陣分析法來研究正規(guī)形中的近似恒同變換對參數(shù)的連續(xù)依賴性.

定理1考慮二維向量場

(1)當(dāng)ε→0 時(shí),Gε(x)→G(x),

(2)Hε連續(xù)依賴于ε.

定理2考慮二維向量場

由于定理2的系統(tǒng)為雙曲系統(tǒng),等價(jià)于一個(gè)線性系統(tǒng),而此時(shí)的近似恒同變換是不連續(xù)依賴的,則選取一個(gè)特殊的中間系統(tǒng)作為其正規(guī)形研究近似恒同變換的連續(xù)依賴性.

在第一節(jié),我們給出本文需要使用的預(yù)備知識.在第二節(jié)中,給出定理1和定理2的證明.

1 預(yù)備知識

為n元k次齊次多項(xiàng)式空間.

{xαej||α|=k,1≤j≤k},

|α|:=α1+α2+…+αn=k,

定義2[11]兩個(gè)以0為奇點(diǎn)的形式向量場V,W稱作形式等價(jià),如果存在一形式變換H,H(0)=0,滿足

2 主要結(jié)果證明

定理1的證明.

首先用矩陣法求出

span{e1-ε2e3+2εe4-ε2e5,
e2-2εe3+2e4-εe5}.

因此二次正規(guī)形為:

根據(jù)定義2,我們已知

因?yàn)橐骄孔儞QH,所以我們通過對比系數(shù)法來研究H,設(shè)

可以得到

通過對比二次項(xiàng)系數(shù),得

解得此線性方程組的基礎(chǔ)解系為

設(shè)

則可得到

通過對比系數(shù)法可得

解得基礎(chǔ)解系為

且

則Hε的二次項(xiàng)系數(shù)為k1β1+k2β2(k1,k2∈R)的分量組成.當(dāng)ε→0時(shí),β1→α1,β2→α2,a1→a,b1→b.

探究H對ε的連續(xù)依賴性.同樣的, 令

設(shè)

則可以得到

同理可得

解得基礎(chǔ)解系為

且

則Lε的二次項(xiàng)系數(shù)為k1η1+k2η2(k1,k2∈R)的分量組成.當(dāng)ε→0時(shí),η1→α1,η2→α2,a2→a,b2→b.