石勇國(guó)，吳佳昕，徐小琴

(內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，內(nèi)江 四川 641100)

“教科書(shū)是讀者最多、最特殊、最被讀者信賴(lài)甚至依賴(lài)、最耗費(fèi)讀者精力和時(shí)間、對(duì)讀者影響最深遠(yuǎn)的文本[1].”“教科書(shū)依然是課堂教學(xué)的命脈；在許多情形下, 課程實(shí)際上就取決于教材[2].”教材是學(xué)科知識(shí)的具體展臺(tái), 是師生教與學(xué)的主要教學(xué)材料. 任丹鳳[3]提出：“教材的優(yōu)劣與教材編寫(xiě)者的教育教學(xué)理念、學(xué)科知識(shí)功底和教學(xué)法理論水平、心理學(xué)知識(shí)、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)教材的革新意識(shí)有著密切的關(guān)系. ” 研究教材、開(kāi)發(fā)教材、質(zhì)疑教材、評(píng)價(jià)教材是教育工作者的基本素養(yǎng)[4-8]. 由于川南地區(qū)某些中學(xué)使用人教A版教材，其中基本不等式章節(jié)承前啟后，非常重要，同時(shí)也具備較好的探究?jī)r(jià)值. 本文探討人教A版教材基本不等式章節(jié)在問(wèn)題引入、基本概念、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化、思維引導(dǎo)、結(jié)果推廣、證明方法多樣性、經(jīng)典案例選取、插圖等編寫(xiě)方面的合理性與優(yōu)化問(wèn)題, 給出了評(píng)價(jià)與修改建議. 促進(jìn)師生在教學(xué)中思考，幫助編寫(xiě)者在改編中作為參考，不斷完善改進(jìn).

1 問(wèn)題引入的方式

數(shù)學(xué)教材編排的一般模式是：?jiǎn)栴}引入—實(shí)驗(yàn)猜想—驗(yàn)證證明—多元表征—應(yīng)用舉例—分層練習(xí)—數(shù)學(xué)閱讀. 其中，問(wèn)題引入作為章節(jié)知識(shí)引航者，引入設(shè)計(jì)尤其重要.

“基本不等式”是人教A版高中《數(shù)學(xué)》教材必修五第3章第4節(jié)的內(nèi)容. 該章節(jié)以 2002年北京召開(kāi)的第24屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的弦圖作為情景引入, 提出如下問(wèn)題: “你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?”

該引入的問(wèn)題有點(diǎn)寬泛，導(dǎo)向不夠明確，學(xué)生極大可能推導(dǎo)出勾股定理，而很難導(dǎo)出算術(shù)幾何均值不等式這個(gè)主題. 為了直擊主題，建議以更加直接的方式設(shè)問(wèn)，例如，考慮選取下面的問(wèn)題引入課題.

根據(jù)皮亞杰的學(xué)習(xí)心理學(xué)，當(dāng)新的問(wèn)題難以使用已有知識(shí)解決時(shí)，也就造成了學(xué)生認(rèn)知的失衡或沖突. 上述問(wèn)題明確且容易造成這樣的失衡，更加有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，從而促使學(xué)生更深入地參與課程活動(dòng).

類(lèi)似地，可設(shè)對(duì)偶的問(wèn)題：

考慮一個(gè)邊長(zhǎng)為x和y的長(zhǎng)方形，因此它的周長(zhǎng)為2x+2y，面積為xy.同樣，所有邊長(zhǎng)為(x+y)/2的正方形的面積均為(x+y)2/4，并且與長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相同，均為2x+2y，但是面積不同，問(wèn)：等周長(zhǎng)的長(zhǎng)方形中哪個(gè)長(zhǎng)方形面積最大?

算術(shù)幾何均值不等式的最簡(jiǎn)單的非平凡情況也意味著，對(duì)于長(zhǎng)方形與正方形的面積，(x+y)2/4≥xy，換句話(huà)說(shuō)，在所有周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形中只有正方形具有最大的面積.

2 基本概念的商榷

首先，在教材的整個(gè)章節(jié)中，沒(méi)有給出基本不等式的正式定義，對(duì)于“基本”這個(gè)前綴形容詞也沒(méi)有內(nèi)涵解釋?zhuān)拍钅：磺? 建議采用人們現(xiàn)在都接受的名稱(chēng)：算術(shù)幾何平均不等式.

實(shí)際上，一些常見(jiàn)的、重要的基本不等式還有三角函數(shù)相關(guān)不等式、伯努利不等式等，用基本不等式特指算術(shù)幾何平均不等式有兩方面不妥. 一方面，學(xué)生容易模糊不等式的范圍；另一方面，容易造成認(rèn)知上的錯(cuò)誤，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為其他不等式可能均由基本不等式導(dǎo)出.

3 人文典故的點(diǎn)綴

數(shù)學(xué)教材要強(qiáng)調(diào)知識(shí)生成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法，需要通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科背景中的歷史淵源、人文典故、哲學(xué)內(nèi)涵、思政等元素進(jìn)行文化育人，提升學(xué)生數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)[9-10]．

該教材除了使用第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)以外，沒(méi)有任何關(guān)于算術(shù)幾何平均不等式產(chǎn)生、證明、推廣的人文典故介紹. 事實(shí)上，均值不等式有豐富的歷史文化背景.

公元前1822年至公元前1762年，古巴比倫數(shù)學(xué)泥板的“和差術(shù)”(見(jiàn)圖1)(a+b)2-(a-b)2=4ab以及代數(shù)證明，可輕松證明基本不等式．

圖1 古巴比倫數(shù)學(xué)泥板

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》卷六命題8的推論中定義了幾何中項(xiàng)：“如果在一個(gè)直角三角形中，從直角點(diǎn)作一條垂直于斜邊的垂線，那么這條垂線段是斜邊上兩條分得的線段的比例中項(xiàng)．”即著名的射影定理(見(jiàn)圖2)．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了三類(lèi)中項(xiàng)：算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)與調(diào)和中項(xiàng)(見(jiàn)圖2、4)．

圖2 幾何平均與射影定理

公元前 2 世紀(jì)左右，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾多魯斯在《論等周圖形》一書(shū)中給出了等周問(wèn)題:“在邊數(shù)相同的等周多邊形中, 等邊且等角的多邊形面積最大”[11].

公元3世紀(jì)，三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》中的“勾股圓方圖”進(jìn)行注解，做出了著名的趙爽弦圖(見(jiàn)圖3)．該圖不僅用于勾股定理的證明，還可以利用圖形之間的面積關(guān)系，得到基本不等式的幾何證明．

圖3 趙爽弦圖

公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯開(kāi)始研究這些中項(xiàng)的圖形表示(見(jiàn)圖4)．他率先從一個(gè)半圓形與直角三角形出發(fā)，找到了調(diào)和中項(xiàng)的作圖法．得到了DE≤DC≤DO≤DF，即調(diào)和中項(xiàng)≤幾何中項(xiàng)≤算術(shù)中項(xiàng)≤均方根[12]。

圖4 調(diào)和中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)、算術(shù)中項(xiàng)與均方根

2016年，第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽(見(jiàn)圖5)，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)家將基本不等式用幾何直觀方式拓展成不等式鏈．

在展示這些數(shù)學(xué)歷史背景、人文故事的同時(shí)，將數(shù)學(xué)家的探索過(guò)程融入其中，讓學(xué)生穿越時(shí)空，與這些偉大的數(shù)學(xué)家對(duì)話(huà)交流，走進(jìn)他們心靈深處，了解思想之源，樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心、榮譽(yù)感；體會(huì)數(shù)學(xué)家孜孜不倦、不斷進(jìn)取、開(kāi)拓創(chuàng)新的精神，潛移默化，潤(rùn)物無(wú)聲，從而達(dá)成“德育之效”．

圖5 第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽

由于教材有篇幅、字?jǐn)?shù)的限制，以及簡(jiǎn)潔性的要求，建議補(bǔ)充少量有價(jià)值的人文元素，或在閱讀材料中補(bǔ)充關(guān)鍵性的史料，拓寬學(xué)生的視野．

4 拓展性思維的引導(dǎo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (2020年)》指出： “素材應(yīng)具有基礎(chǔ)性、時(shí)代性、典型性、多樣性和可接受性”，“課程內(nèi)容的呈現(xiàn), 應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律, 以及人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律, 體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則”的轉(zhuǎn)變. 此外，曾天山[13]認(rèn)為教科書(shū)對(duì)學(xué)生的拓展性思維起著引導(dǎo)作用.

人教A版教材僅給出了均值不等式中最特殊的一個(gè)，沒(méi)有進(jìn)行推廣，沒(méi)有給出一般情形；其次，證明方法給出代數(shù)與幾何各一個(gè)方法，缺乏證明方法的多樣性. 放棄追求知識(shí)的繁殖能力，忽視了培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與再創(chuàng)造的激情.

因?yàn)榫挡坏仁絻?nèi)在的簡(jiǎn)潔對(duì)稱(chēng)美以及廣泛的應(yīng)用與推廣，非常適合拓展．這能夠使學(xué)生有效地了解均值不等式的本質(zhì)，理解學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，對(duì)后續(xù)研究性的學(xué)習(xí)有著事半功倍的效果．

4.1 不等式(鏈)的推廣

強(qiáng)化不等式鏈的統(tǒng)一幾何解釋以及應(yīng)用，達(dá)到對(duì)知識(shí)的拓展和思想方法的靈活運(yùn)用．

構(gòu)造如圖2所示的圖像，設(shè)置算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、圓的半徑和直角三角形射影定理之間的知識(shí)遷移．先探索幾何平均數(shù)的幾何表示．接著構(gòu)造兩個(gè)新的直角三角形(見(jiàn)圖4)，進(jìn)而得到調(diào)和平均數(shù)和均方根的幾何表示．將均值不等式從2項(xiàng)，拓展到均值不等式鏈的4項(xiàng)．

以第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽為例，它的主題圖案(見(jiàn)圖5)是由一連串直角三角形(見(jiàn)圖6)演化而成，請(qǐng)學(xué)生自主探索，寫(xiě)出更多項(xiàng)的均值不等式鏈．

圖6 構(gòu)造不等式鏈幾何圖形

在抓住本質(zhì)之后，掌握了2項(xiàng)的基本不等式可以由1個(gè)直角三角形斜邊與直角邊的大小關(guān)系得到，可以進(jìn)一步構(gòu)造多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的直角三角形(以斜邊作為另外一個(gè)新三角形的直角邊，或以直角邊作為另外一個(gè)新三角形的斜邊，一直類(lèi)似構(gòu)造，得到一串直角三角形)，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)一系列項(xiàng)的基本不等式鏈．因此，抓住了本質(zhì)，才有機(jī)會(huì)進(jìn)一步拓展，超越現(xiàn)有的知識(shí)內(nèi)容，不斷進(jìn)行創(chuàng)造與發(fā)展．

圖7 練習(xí)拓展

對(duì)于數(shù)學(xué)教育大會(huì)會(huì)徽，可以設(shè)置如下練習(xí)題：如圖7所示，其中

OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，

若將此類(lèi)三角形連續(xù)做下去，記四邊形OA1A2A3，OA2A3A4，…，OAnAn+1An+2，…面積的倒數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，且這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則a1的值為，S99的值為．

分析：結(jié)合直角三角形的特征、勾股定理、面積公式以及基本不等式，使用裂項(xiàng)相消法即可求解Sn以及{an}的通項(xiàng)公式，代入相應(yīng)數(shù)值，此題可解．

解：由題意得

故

由基本不等式衍生出眾多不等式鏈，例如重要不等式鏈：若a>0，b>0，則

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．如何將此不等式鏈擴(kuò)展到3個(gè)數(shù)?若a>0，b>0，c>0，則有

以及恒成立的不等式

a2+b2≥2ab(a∈R，b∈R)；
a2+b2+c2≥ab+bc+ac
(a∈R，b∈R，c∈R)．

4.2 證明方法的多樣性

除了教材上幾何解釋和代數(shù)證明兩種方法以外，還有梯形中項(xiàng)圖以及其拓展圖、直角三角形外接圓(結(jié)合射影定理)、直角三角形鏈、兩個(gè)外切圓構(gòu)造等眾多幾何證法．我們列舉其中三種.

4.2.1 梯形中項(xiàng)

圖8 梯形中項(xiàng)

4.2.2 構(gòu)造直角三角形外接圓

圖9 構(gòu)造直角三角形外接圓

4.2.3 構(gòu)造兩個(gè)外切圓

如圖10所示，構(gòu)造直徑分別為a、b的兩外切圓，則

圖10 構(gòu)造兩個(gè)外切圓

教材中對(duì)均值不等式依次給出了幾何與代數(shù)證明，方法較單一，不利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng). 選擇多種證明方法，能讓學(xué)生靈活運(yùn)用所獲得的知識(shí)，達(dá)到“舉一反三”“由此及彼”“觸類(lèi)旁通”的效果．建議其他有趣的方法可以放在思考題或練習(xí)題里面，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

5 經(jīng)典案例的運(yùn)用

楊騫[14]認(rèn)為，在選材時(shí), 應(yīng)力求反映這樣幾點(diǎn): 與生活和生產(chǎn)實(shí)際密切相關(guān), 與其他學(xué)科相互配合、相互滲透; 既有真的結(jié)論, 又有假的命題; 數(shù)學(xué)美的因素; 數(shù)學(xué)的工具性. 在編排時(shí), 應(yīng)力求：體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的規(guī)律; 建立以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)應(yīng)用為重點(diǎn)的螺旋式上升的體系; 建立以歸納思想為主、邏輯方法為輔的開(kāi)放體系; 建立過(guò)程與結(jié)果相匹配的動(dòng)態(tài)體系.

教材中列舉了菜園面積與周長(zhǎng)問(wèn)題和水池造價(jià)最低問(wèn)題. 這兩個(gè)問(wèn)題雖然常見(jiàn)，但不夠經(jīng)典. 此處所謂的經(jīng)典案例是指被廣泛使用，或涉及多學(xué)科知識(shí)交叉，或涉及人文故事，而且有專(zhuān)門(mén)的名詞與條目的案例. 建議補(bǔ)充或選取 “羊圈問(wèn)題”“不等臂的天平問(wèn)題”“采購(gòu)員購(gòu)糧問(wèn)題”“平均速度問(wèn)題”等經(jīng)典問(wèn)題，突出均值不等式應(yīng)用的價(jià)值，同時(shí)體現(xiàn)人文歷史價(jià)值．

5.1 羊圈問(wèn)題

小明的爸爸圈出了一塊長(zhǎng)40米，寬15米的長(zhǎng)方形土地，面積剛好是600平方米．但他只準(zhǔn)備了圍100米的籬笆．如果把羊圈圍成長(zhǎng)40米，寬15米的長(zhǎng)方形，其周長(zhǎng)將是110米．現(xiàn)在的方案是要么按照原計(jì)劃修建，但就要再多花費(fèi)10米長(zhǎng)的材料錢(qián)；要么是縮小面積，但每頭羊的平均居住面積就會(huì)減少．小明的爸爸感到很為難，他既不想多花錢(qián)，也不想縮小范圍．

于是聰明的小明提出了一個(gè)方案幫助爸爸解決了這個(gè)問(wèn)題．他將原來(lái)15米的邊長(zhǎng)延長(zhǎng)到25米；又將原來(lái)的40米邊長(zhǎng)縮短到25米．這樣，原來(lái)計(jì)劃中的羊圈變成了一個(gè)邊長(zhǎng)為25米的正方形，其周長(zhǎng)是100米，而面積是625平方米．如此一來(lái)，籬笆也夠了，面積還變大了．

小明是如何想到的?實(shí)際上，設(shè)籬笆長(zhǎng)為x米，則寬為(50-x)米，于是

當(dāng)且僅當(dāng)x=50-x，即x=25時(shí)．羊圈面積最大，為625平方米．

5.2 不等臂天平問(wèn)題

有一臺(tái)不等臂天平，把物體放在左盤(pán)，稱(chēng)出其質(zhì)量M1，再將同一物體放入天平的右盤(pán)，稱(chēng)出其質(zhì)量M2，求該物體質(zhì)量．

一個(gè)自然猜想是，該物體質(zhì)量等于兩次測(cè)量的平均值．下面驗(yàn)證這個(gè)猜想．

精選典型案例，不僅可以激發(fā)學(xué)生興趣，啟發(fā)心智，還能夠促進(jìn)學(xué)生持續(xù)地研究．通過(guò)典型案例，引導(dǎo)學(xué)生明確教學(xué)意圖、拓展與其他學(xué)科知識(shí)聯(lián)系、熟悉數(shù)學(xué)思想方法、強(qiáng)化情感態(tài)度和價(jià)值觀．學(xué)生通過(guò)操作練習(xí)、學(xué)習(xí)與思考，全面把握知識(shí)的本質(zhì)．

6 插圖呈現(xiàn)的完善改進(jìn)

由于數(shù)學(xué)的抽象性，適當(dāng)用插圖幫助學(xué)生理解是很有必要的. 另外, 教科書(shū)中的很多內(nèi)容, 用文字描述需要很大的篇幅, 然而用插圖形象直觀地呈現(xiàn), 相關(guān)內(nèi)容則變得一目了然. 教材插圖是師生學(xué)習(xí)理解教材內(nèi)容的重要媒介. 宋振韶[15]認(rèn)為從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看, 教科書(shū)插圖有裝飾、解釋和促進(jìn)3種功能. 陳翠花等[16]闡述了教科書(shū)插圖的教育和課程意義: 教科書(shū)插圖直觀形象, 有助于抽象概念的理解; 內(nèi)涵豐富, 有助于開(kāi)闊視野; 少言無(wú)聲, 有助于豐富想象力; 靜止穩(wěn)定, 有助于進(jìn)行觀察; 情景呈現(xiàn), 有助于進(jìn)行探究;“形”“神”結(jié)合, 有助于加深印象; 形式的情感化，有助于國(guó)情世情教育：內(nèi)容的生活化，有助于增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

對(duì)照上述插圖功能與意義，我們對(duì)該章節(jié)插圖有如下建議：

(1)刪減冗余圖形.有兩幅圖3.4-1和3.4-2均用于表述引入的問(wèn)題，位置排放分離且雜亂，建議合并橫放. 由于3.4-2中第二幅子圖已經(jīng)直接給出數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)圖，因此3.4-2中的第一幅子圖多余，可以刪掉或替換成著名的趙爽弦圖.

(2)圖標(biāo)與內(nèi)容相匹配. 教材中探究的圖標(biāo)是一把門(mén)鎖，然而定義兩個(gè)平均數(shù)的圖標(biāo)是一把鑰匙，與探究的門(mén)鎖表達(dá)意思不相稱(chēng). 此外，門(mén)鎖的設(shè)計(jì)有點(diǎn)歪，未放正，而且不直觀.

(3)展示插圖的促進(jìn)功能. 圖3.4-3用于表述探索的內(nèi)容. 編者的主要用意是用射影定理以及直角三角形的斜邊長(zhǎng)大于直角邊長(zhǎng)推導(dǎo)均值不等式. 其中，最關(guān)鍵的是直角三角形，插圖3.4-3缺少這樣啟發(fā)性的輔助圖形，為了更好地引導(dǎo)學(xué)生，需要補(bǔ)充畫(huà)出一個(gè)輔助的直角三角形，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到射影定理以及直角三角形邊長(zhǎng)不等式，達(dá)到插圖的促進(jìn)功能.

(4)增加插圖的注釋. 例2、習(xí)題A組第2題、B組第2題的三幅圖形出現(xiàn)類(lèi)似的問(wèn)題，首先三幅圖編號(hào)缺失，解釋功能缺失，沒(méi)有體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容. 為了解釋?xiě)?yīng)用題的內(nèi)容，需要相應(yīng)補(bǔ)充他們抽象化、數(shù)字化的配圖，對(duì)水池抽象化圖，同時(shí)，應(yīng)標(biāo)注出水池的深度、長(zhǎng)與寬的數(shù)值，方便學(xué)生理解. 插圖通過(guò)展示抽象化、數(shù)學(xué)化的示范，培養(yǎng)學(xué)生抽象化的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 習(xí)題的兩幅圖亦可做類(lèi)似處理.