云南財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué) 王學(xué)先 魏炎炎

2022年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試全面貫徹黨的教育方針，以數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，在立德樹(shù)人的基礎(chǔ)上，嚴(yán)格按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）科學(xué)命題，充分檢測(cè)初中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與能力的掌握情況，同時(shí)也是高中選拔的依據(jù).試題穩(wěn)中創(chuàng)新，直擊數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有利于初中生數(shù)學(xué)能力的提高，為學(xué)生的“學(xué)”指明有意義的方向，為教師的“教”指明有價(jià)值的導(dǎo)向，穩(wěn)步提升試題質(zhì)量.試卷落實(shí)“雙減”政策的要求，既讓學(xué)生輕松快樂(lè)地學(xué)習(xí)，又能考出滿(mǎn)意的答卷.

一、試卷基本情況與考試數(shù)據(jù)分析

試卷滿(mǎn)分120分，包括選擇題、填空題、解答題三個(gè)大題，共24個(gè)小題，考試時(shí)間為120分鐘.其中選擇題有12個(gè)小題，分值為48分；填空題有6個(gè)小題，分值為24分；解答題有6個(gè)小題，分值為48分。解答題包括統(tǒng)計(jì)題、概率題、四邊形綜合問(wèn)題、一次函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題、與圓有關(guān)的證明與計(jì)算、二次函數(shù)的綜合探究.整卷容易試題的分值約為80分，中等難度試題的分值約為28分，相對(duì)較難的試題的分值約為12分，易中難之比約為7∶2∶1.2022年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題內(nèi)容比例如表1.

表1 試題內(nèi)容比例

參加2022年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試人數(shù)為581938人，平均分73.51分，及格率58.77%，滿(mǎn)分人數(shù)330人，零分人數(shù)4945人，實(shí)際綜合難度為0.6，總體難度較往年有所下降.2022年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試各題的平均分和難度如表2所示.

表2 各題的平均分和難度

分析表2可知，得分情況與題目的排布無(wú)明顯相關(guān)性；選擇題各題平均得分為3.16分，填空題各題平均得分為2.55分，選擇題和填空題每小題滿(mǎn)分均為4分，填空題各題平均得分低于選擇題各題平均得分；容易題依然存在實(shí)際結(jié)果不符合預(yù)期預(yù)測(cè)的情況，如第4、9、12、13、15和16題.

二、試題特色分析

1.落實(shí)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)本質(zhì)考查

2022年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題在貫徹立德樹(shù)人的任務(wù)上進(jìn)行了有益探索和嘗試，把社會(huì)主義先進(jìn)文化、革命文化、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、生命安全與健康等重大主題教育融入試題.試題立足新課標(biāo)，在內(nèi)容上覆蓋面大于65%，部分試題直接由教材中的例題、練習(xí)題、習(xí)題改編而成，如第1、2、4、7、8、10、13、14、15、16、17、19、21、22題.試題有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，突出考查數(shù)學(xué)學(xué)科主干知識(shí)，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行考查，試卷的命制突出了學(xué)業(yè)水平考試對(duì)日常教學(xué)的導(dǎo)向性作用.

2.依托情境設(shè)計(jì)清晰思路，基于問(wèn)題考查學(xué)習(xí)能力

2022年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題在問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)方面進(jìn)行了大膽的嘗試，試題情境設(shè)計(jì)多樣化，有現(xiàn)實(shí)情境、教學(xué)情境、科學(xué)情境、文化情境，如第1、2、6、12、17、19、20、22題，力圖接近學(xué)生生活實(shí)際，注重對(duì)模型觀念、應(yīng)用意識(shí)的考查，從現(xiàn)實(shí)生活中或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.命題者匠心獨(dú)運(yùn)，依托問(wèn)題情境精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，在思維能力、核心素養(yǎng)、情感態(tài)度與價(jià)值觀念等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.

3.試題難度比控制得當(dāng)，最美學(xué)考題探索奏效

2022年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題難度上控制得當(dāng)，形式創(chuàng)新，加強(qiáng)素養(yǎng)考查，發(fā)揮選拔功能，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，突出關(guān)鍵能力，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，倡導(dǎo)學(xué)以致用.試題在難度與順序上有一些調(diào)整，不僅要求學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與關(guān)鍵能力有較好的把控，而且需要學(xué)生具有對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的深刻理解及較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具有較強(qiáng)篩選性，有利于高中選拔人才，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的基本理念.

試卷第23題中的第（2）小題，第24題中的第（3）小題，是反映區(qū)分度要求，全面體現(xiàn)初中學(xué)業(yè)水平考試選拔功能的問(wèn)題.兩道試題設(shè)置的每一個(gè)問(wèn)題的解法都是豐富多樣的，突出考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).試題關(guān)注后進(jìn)生、中等生和尖子生，著重考查了學(xué)生的觀察能力、分析能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力、推理能力等.在這些能力交織碰撞的同時(shí)，試題更重要的作用是讓“幾何直觀”“空間觀念”“模型觀念”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“推理能力”“應(yīng)用意識(shí)”“創(chuàng)新意識(shí)”等核心素養(yǎng)落實(shí)落地，凸顯了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)備考都有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義.學(xué)生得到考試成績(jī)后，普遍有成就感，同時(shí)也略有遺憾.最重要的是考試讓大部分學(xué)生有了學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，達(dá)到了“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展的核心素養(yǎng)”的目的.從這個(gè)意義上講，2022年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題是不折不扣的優(yōu)秀初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題，是學(xué)生心中最美的學(xué)業(yè)水平考試試題.

4.注重試題創(chuàng)新，凸顯育人功能

試題注重創(chuàng)新，特別是注重試題的情境創(chuàng)設(shè)，體現(xiàn)民族本土文化.試題的情境設(shè)置貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活，讓學(xué)生有熟悉感，讓他們?cè)谡鎸?shí)情景中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，注重對(duì)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查.試題背景還滲透了中國(guó)傳統(tǒng)文化、民族文化，根植學(xué)生的家國(guó)情懷，增強(qiáng)民族自豪感，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能.如第20題是一道關(guān)于概率簡(jiǎn)單應(yīng)用的基礎(chǔ)題，來(lái)源于人教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第138頁(yè)的例3.該題是運(yùn)用所學(xué)概率知識(shí)判斷現(xiàn)實(shí)生活中是否公平的問(wèn)題，以學(xué)生都可能參加的學(xué)校藝術(shù)節(jié)及云南民族樂(lè)器、云南民族歌曲為背景設(shè)置，在考查學(xué)生隨機(jī)意識(shí)的同時(shí)，更顯現(xiàn)學(xué)生對(duì)民族文化的了解程度，增強(qiáng)文化自信，強(qiáng)化試題的育人功能.

三、試卷中的典型問(wèn)題

1.情境創(chuàng)設(shè)舉例

例1（2022年·6）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)建團(tuán)100周年，某校團(tuán)委組織以“揚(yáng)愛(ài)國(guó)精神，展青春風(fēng)采”為主題的合唱活動(dòng)，表3是九年級(jí)一班的得分情況：

表3

數(shù)據(jù)9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位數(shù)是（ ）

A.9.6 B.9.7 C.9.8 D.9.9

【考查目標(biāo)】本題主要考查中位數(shù)概念.

【解題分析】根據(jù)中位數(shù)的概念分析即可.將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【答題分析】這道題大部分學(xué)生都能夠拿到滿(mǎn)分，但是個(gè)別學(xué)生沒(méi)有把數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校椭苯舆x擇中間的一位數(shù)，導(dǎo)致錯(cuò)選.

2.典型問(wèn)題設(shè)計(jì)舉例

例2（2022年·23）如圖1，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O的劣弧BC上的任意一點(diǎn).連接PA、PC、PD，延長(zhǎng)BC至E，使BD2=BC·BE.

圖1

（1）請(qǐng)判斷直線(xiàn)DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

【考查目標(biāo)】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；正方形的有關(guān)性質(zhì)，圖形的相似.

【解題分析】（1）可證明△BCD∽△BDE，得出∠BDE=∠BCD=90°，從而得出結(jié)論.（2）這一問(wèn)的解法非常多，第一類(lèi)可概括為“旋轉(zhuǎn)變換大挪移，圖形構(gòu)造方法奇”，即將△DCP繞著點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得△DAQ，或?qū)ⅰ鱀AP繞著點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得△DCQ，進(jìn)而構(gòu)造等腰直角三角形，進(jìn)一步得出結(jié)論.第二類(lèi)概括為“旋轉(zhuǎn)變換等面積，古代思想顯神奇”，即在第一類(lèi)兩種旋轉(zhuǎn)方法的基礎(chǔ)上，再利用△DQP的面積等于四邊形ADCP的面積，計(jì)算后得出結(jié)論.第三類(lèi)概括為“對(duì)著特殊角作高，轉(zhuǎn)化三角形巧構(gòu)造”，即過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DP于點(diǎn)M，CN⊥DP于點(diǎn)N，得到△AMP和△CNP是等腰直角三角形，或過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AP于點(diǎn)M，DN⊥PC交PC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，得到△DMP和△DNP是等腰直角三角形，或過(guò)點(diǎn)D作DM⊥PC，交PC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥MD交MD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，得到△DMP是等腰直角三角形，或過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AP于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MD交于N，得到△DMP是等腰直角三角形，進(jìn)一步利用圖中全等轉(zhuǎn)化得出結(jié)論.第四類(lèi)概括為“補(bǔ)短化長(zhǎng)親情聚，構(gòu)造相似水成渠”，即延長(zhǎng)AP至點(diǎn)M，使PM=PC，再利用△CAM∽△CDP轉(zhuǎn)化得出結(jié)論，或延長(zhǎng)CP至點(diǎn)M，使PM=PA，再利用△AMC∽△APD轉(zhuǎn)化得出結(jié)論.第五類(lèi)概括為“結(jié)構(gòu)變化想思路，圖形相似找通途”，即根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，若考慮分子為目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，得到△CMP是等腰直角三角形，再利用△CMD∽△CPA轉(zhuǎn)化出式子的分子，進(jìn)而得出結(jié)論，或過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PD于點(diǎn)M，得到△AMP是等腰直角三角形，再利用△AMD∽△APC轉(zhuǎn)化出式子的分子，進(jìn)而得出結(jié)論.此外，若考慮將式子轉(zhuǎn)化，設(shè)AC與DP相交于點(diǎn)M，△PAM∽△PDC得出，由于DA=DC，再利用等式性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)，可得出結(jié)論.第六類(lèi)概括為“高位統(tǒng)領(lǐng)割補(bǔ)法，建模計(jì)算有高招”，即過(guò)D作DM⊥AP于M，DN⊥PC交PC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，從而將四邊形APCD的面積轉(zhuǎn)化成正方形PMDN的面積，計(jì)算化簡(jiǎn)后可得出結(jié)論.第七類(lèi)概括為“建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)運(yùn)算莫小覷”，即以正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)，或以點(diǎn)P為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)法運(yùn)算容易得到結(jié)論.

【答題分析】

（1）本題為判斷說(shuō)理題，一定要先讓學(xué)生注意答題格式，先下結(jié)論再證明.

（2）學(xué)生在證明相似時(shí)未能正確地書(shū)寫(xiě)相似所需要的條件，如不表示公共角或角的表示不規(guī)范，對(duì)應(yīng)邊未寫(xiě)成比例式的形式等.

（3）學(xué)生在做第（1）問(wèn)的時(shí)候，會(huì)誤用第（2）問(wèn)的條件“四邊形ABCD是正方形”，從而錯(cuò)誤推導(dǎo)∠BDE是直角，或者直接認(rèn)為AC是⊙O的直徑，從而錯(cuò)誤推導(dǎo)∠ADC是直角.

（4）學(xué)生在證明DE是⊙O的切線(xiàn)時(shí)，證明所需的兩個(gè)條件書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，要么缺少垂直的條件，要么缺少半徑的條件.

（5）相似三角形在近幾年初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中設(shè)計(jì)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等的判定”考查較少，學(xué)生在答題時(shí)存在熟練度不足等情況，在日常教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)相似三角形判定的證明格式書(shū)寫(xiě)訓(xùn)練.

（6）圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系是相交、相切、相離，學(xué)生在表達(dá)相關(guān)結(jié)論時(shí)存在表述不清、答非所問(wèn)的情況.因此教學(xué)中，教師應(yīng)多注重幾何關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)的正確表述.

（7）在幾何綜合題的突破上，教師應(yīng)注重知識(shí)的延伸，問(wèn)題解決應(yīng)搭建腳手架，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)從特殊到一般，從偶然到必然，從猜想到論證，最終達(dá)到以題會(huì)類(lèi)、觸類(lèi)旁通的效果.

四、備考建議

今后的試題必將體現(xiàn)“把握基礎(chǔ)、穩(wěn)中求變、變中有新、關(guān)注應(yīng)用、突出能力”的命題特點(diǎn).按今年統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，整卷難度還未達(dá)到0.7，因此今后命題難度上還有略下降的趨勢(shì).基于以上特點(diǎn)，筆者提出如下備考策略:

1.加強(qiáng)教學(xué)研究，強(qiáng)化素養(yǎng)導(dǎo)向

教師應(yīng)遵循學(xué)生為主體的教學(xué)原則，注意復(fù)習(xí)課型的合理選擇，堅(jiān)持精講多練，努力使“重復(fù)”變?yōu)樯鷦?dòng)積極的“再現(xiàn)”，寓能力培養(yǎng)于整個(gè)復(fù)習(xí)過(guò)程之中，切忌“壟斷”復(fù)習(xí)課堂.在教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)教學(xué)研究，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)認(rèn)知的過(guò)程，進(jìn)而讓學(xué)生獲得受益終生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).教師應(yīng)把握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在教材中挖掘核心素養(yǎng)內(nèi)容，強(qiáng)化典型問(wèn)題和典型方法的教學(xué)，同時(shí)也要讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)合作交流，創(chuàng)造性地去解決問(wèn)題.

2.精心安排復(fù)習(xí)計(jì)劃，走好備考三個(gè)階段

第一個(gè)階段是基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)階段.教師應(yīng)回歸教材，充分利用教材，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，注重知識(shí)的結(jié)果，夯實(shí)基礎(chǔ)，合理地將數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生實(shí)際生活相銜接，抓住一個(gè)“基”字，追求一個(gè)“效”字，更加重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，使學(xué)生累積數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，牢固掌握知識(shí)并形成相應(yīng)的解題能力，落實(shí)“四基”“四能”的目標(biāo)要求.

第二個(gè)階段是專(zhuān)題復(fù)習(xí)階段.復(fù)習(xí)中教師要抓住重點(diǎn)、關(guān)注熱點(diǎn)、突破難點(diǎn)，強(qiáng)化一個(gè)“精”字，兼顧一個(gè)“層”字，讓學(xué)生通過(guò)自身的觀察去思考，喚起主體意識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，激活思維，從而有效地體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)綜合提高.

第三個(gè)階段是心理與智力的綜合訓(xùn)練階段，也是初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)的沖刺階段.教師應(yīng)立足一個(gè)“透”字，注重一個(gè)“導(dǎo)”字，注重答題策略指導(dǎo)、答題規(guī)范性指導(dǎo)和應(yīng)試心理指導(dǎo)，一定要選擇全原創(chuàng)模擬試題，提高模擬訓(xùn)練實(shí)效，幫助學(xué)生樹(shù)立信心，切實(shí)提高成績(jī).

3.強(qiáng)化復(fù)習(xí)備考，積極應(yīng)對(duì)變化

掌握指導(dǎo)看要求,鉆研教材找標(biāo)準(zhǔn),研究考題看形式,推敲評(píng)價(jià)找方向.2023年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的分值結(jié)構(gòu)發(fā)生變化.考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分100分.第一部分為選擇題，12個(gè)小題，每小題3分，共36分；第二部分為填空題，4個(gè)小題，每小題2分，共8分；第三部分為解答題，8個(gè)小題，第17、18題每小題6分，第19、20、21、22題每小題7分，第23、24題每小題8分，共56分.面對(duì)變化，教師要積極調(diào)整教學(xué)策略，強(qiáng)化“雙基”的落實(shí)，通過(guò)“講知識(shí)，講思想，講方法”來(lái)達(dá)到“求效率，求質(zhì)量，求提高”的目標(biāo)，注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，全面落實(shí)“雙減”政策，切實(shí)減輕學(xué)生過(guò)重的課業(yè)負(fù)擔(dān).