克服鏈間耦合并聯(lián)機構(gòu)雙增益自適應(yīng)滑?？刂?/h1>
2023-01-02 12:06:44付天忠高國琴方志明
軟件導(dǎo)刊 2022年11期
付天忠，高國琴，方志明
（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
與蘋果、番茄等類球形果蔬相比，形如葡萄、荔枝等串類水果由于夾持點為細(xì)小果梗，對分揀機器人的定位精度提出更高要求［1］。目前，帶虎克鉸轉(zhuǎn)軸（UPU 支鏈）的分揀機器人由于UPU 支鏈長時間在工作空間邊緣作業(yè)，磨損較為嚴(yán)重，影響機器使用壽命［2］。為此，基于可實現(xiàn)SCARA運動的4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)研制一種串類水果分揀機器人，其具有剛度大、精度高、承載能力強、分揀效率高等優(yōu)勢。
目前，根據(jù)所使用模型的不同，并聯(lián)機構(gòu)控制策略可分為動力學(xué)控制和運動學(xué)控制兩種。動力學(xué)控制考慮了并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)特性和各支鏈間的耦合關(guān)系，在理論上能實現(xiàn)良好的控制效果［3］，但動力學(xué)模型參數(shù)眾多，實時在線求解難度較大，難以滿足實時性要求。運動學(xué)控制一般假定并聯(lián)機構(gòu)各支鏈間是獨立無耦合的，基于此可將復(fù)雜的并聯(lián)機構(gòu)分解成若干個獨立的單通道系統(tǒng)進(jìn)行單獨的控制器設(shè)計，因此相較于動力學(xué)控制而言具有設(shè)計簡單、易實現(xiàn)并能滿足實際控制系統(tǒng)實時性和快速性要求的優(yōu)勢。因此，本文將對4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)控制研究。然而，并聯(lián)機構(gòu)的閉鏈結(jié)構(gòu)特點導(dǎo)致各支鏈間強耦合問題，在很大程度上影響機器人的動態(tài)特性［4］。此外，隨溫度變化的電機參數(shù)漂移、負(fù)載變化以及外部擾動等會引起模型不確定性問題，由于不確定性的復(fù)雜性和不可預(yù)測性，其上界信息往往難以獲知，直接影響運動學(xué)控制精度。因此，有必要解決鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，以提高4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)控制性能。
為解決并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)控制的鏈間耦合問題，許多學(xué)者進(jìn)行了研究。例如，文獻(xiàn)［5］針對六自由度并聯(lián)機構(gòu)，將鏈間耦合歸結(jié)到集總不確定性中，在各支鏈控制器中進(jìn)行抑制，但未能從建模角度解決鏈間耦合問題，且沒有定量分析各支鏈?zhǔn)苕滈g耦合問題的影響程度；文獻(xiàn)［6］針對Stewart 平臺構(gòu)建虛擬解耦空間并設(shè)計控制器以抑制鏈間耦合，但該方法需要實時對慣性矩陣進(jìn)行奇異值分解計算，計算量大且復(fù)雜。
針對4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)模型中的不確性問題，滑?？刂品椒▽ψ饔糜诳刂仆ǖ乐械挠薪绮淮_定性具有很好的魯棒性，被廣泛應(yīng)用于并聯(lián)機構(gòu)的控制研究中［7］。然而在不確定性上界未知時，通常需選取較大滑模切換增益，如此加重了滑?？刂贫墩駟栴}［8-9］。為此，已有學(xué)者通過設(shè)計自適應(yīng)規(guī)則動態(tài)調(diào)節(jié)滑模切換增益。例如，文獻(xiàn)［10］針對二階滑模輸出反饋控制器設(shè)計了一種自適應(yīng)律，但該自適應(yīng)律將導(dǎo)致滑模切換增益不斷增加，可能出現(xiàn)益過高估計的問題；文獻(xiàn)［11］針對一類具有有界不確定性/擾動的非線性系統(tǒng)，提出一種滑模切換增益的自適應(yīng)估計規(guī)則，但該規(guī)則對切換增益的調(diào)節(jié)速度僅由一個控制參數(shù)決定，需要在滑模控制抖振和跟蹤性能之間進(jìn)行取舍；文獻(xiàn)［12］針對機器人機械臂提出一種指數(shù)型自適應(yīng)律，以提升響應(yīng)不確定性變化的速度，但其滑模切換增益對滑模變量過于敏感，存在滑模切換增益過估問題。
綜上所述，本文針對4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)，基于慣性項分析鏈間耦合問題，得到等效耦合慣量以表征各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響程度；然后將等效耦合慣量和各主動關(guān)節(jié)負(fù)載慣量所構(gòu)成的總等效耦合慣量折算到電機軸，并附加給各支鏈電機轉(zhuǎn)子慣量，從而建立考慮鏈間耦合的單支鏈運動學(xué)模型。同時針對鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，提出一種并聯(lián)機構(gòu)雙增益自適應(yīng)滑?？刂品椒?，其自適應(yīng)規(guī)則既能在近滑模面迅速有效調(diào)整滑模切換增益，又能有效避免滑模切換增益過估造成的滑?？刂贫墩駟栴}，從而提高4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)控制性能。
1 4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析
1.1 4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)
如圖1 所示，4-R（2-SS）并聯(lián)機器人由4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)和夾持機構(gòu)組成。4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)主要由靜平臺、主（輔）動平臺和連接動靜平臺的四組R-（2-SS）支鏈構(gòu)成。輔平臺位于主平臺內(nèi)部，通過轉(zhuǎn)動機構(gòu)連接［13］。為減小運動部件的慣性，主動臂和從動臂采用碳纖維材料制成，動平臺由鋁合金材料制成。該機械手結(jié)構(gòu)靈巧、操作簡單，特別適合工農(nóng)業(yè)領(lǐng)域自動化生產(chǎn)所需的分揀、包裝等操作。
Fig.1 Physical picture of 4-R（2-SS）parallel robot圖1 4-R（2-SS）并聯(lián)機器人實物
1.2 運動學(xué)分析
4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的主（輔）動平臺在空間內(nèi)僅做平動，且從動臂兩組從動桿件的運動完全相同。為便于運動學(xué)分析，可將其簡化為如圖2所示的結(jié)構(gòu)［14］。
圖2 中，將主平臺和輔平臺分別簡化視為質(zhì)點P1和質(zhì)點P2，參考坐標(biāo)系O-xyz 建立在靜平臺的中點，基于該坐標(biāo)系，平臺主（輔）上的點P1（P2）的位置矢量r可表示為：
l1、l2、ui、wi分別為表示支鏈i主動臂和從動臂的桿長和單位矢量，且：
Fig.2 Structure of 4-R（2-SS）parallel robot mechanism圖2 4-R（2-SS）并聯(lián)機器人簡圖
式中，θi表示主動臂i(i=1，2，3，4)的轉(zhuǎn)角，根據(jù)機構(gòu)的裝配模式，可得4-R（2-SS）機構(gòu)的位置逆解模型表示為：
將式（1）分別對時間求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)，得到機構(gòu)的速度模型和加速度模型，表示為：
2 4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)及鏈間耦合特性分析
2.1 動力學(xué)分析
動力學(xué)建模的主要目的不僅體現(xiàn)在評價機構(gòu)的運動性能，還體現(xiàn)在為實際控制研究奠定理論基礎(chǔ)。為降低計算復(fù)雜度，保證運動過程中的實時性，建立簡化的4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型［15］。
考慮到從動臂為輕質(zhì)細(xì)桿，可忽略其轉(zhuǎn)動慣量，將其質(zhì)量按比例ρ(ρ∈[0，1])［16］分配到動平臺和主動臂。同時，假設(shè)運動副是理想的，也就是無摩擦引起的能量耗散，由虛功原理得：
式中，τ為主動關(guān)節(jié)的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩，τAg為主動臂對其轉(zhuǎn)軸的重力矩，IA為主動臂等效至其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，Is為動平臺轉(zhuǎn)動絲杠及負(fù)載對其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為動平臺轉(zhuǎn)動絲杠角加速度。
將δθ=Jδr和δθs=(2π/p)δs代入式（10），整理為關(guān)節(jié)空間動力學(xué)模型可得：
2.2 鏈間耦合特性分析
慣性矩陣M(θ)反映關(guān)節(jié)加速度和轉(zhuǎn)矩之間的映射關(guān)系。慣性矩陣中主對角元素表示主動關(guān)節(jié)的負(fù)載慣量，非主對角元素是某關(guān)節(jié)的加速度運動對另一關(guān)節(jié)產(chǎn)生的耦合轉(zhuǎn)矩的度量。與傳統(tǒng)串聯(lián)機器人相比，并聯(lián)機構(gòu)各主動關(guān)節(jié)除承受自身負(fù)載慣量外，鏈間還存在耦合關(guān)系［17］。
為直接評價4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)鏈間的耦合特性，定義4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)關(guān)節(jié)空間各主動關(guān)節(jié)等效耦和慣量（Equivalent Coupling Inertia，ECIi，i=1，2，3，4），表示為：
式中，ECIi表示4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)在關(guān)節(jié)空間各主動關(guān)節(jié)的等效耦合慣量，用于表征各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響程度。
如果不考慮并聯(lián)機構(gòu)鏈間耦合問題，那么各支鏈主動關(guān)節(jié)所承受的等效慣性力矩為慣量矩陣M中主對角元素Mii與所需加速度的乘積［18］。但經(jīng)過上述分析可知，支鏈間的耦合問題不容忽略。主動關(guān)節(jié)所承受的考慮支鏈間耦合問題的等效慣性力矩為：
結(jié)合式（12）可知：
綜上可知，可得各主動關(guān)節(jié)所承受的考慮支鏈間耦合問題的等效慣性參數(shù)為：
而施加在電機軸上的等效慣量可表示為［19］：
從式（8）、式（11）和式（17）可知，雅可比矩陣J會隨著機構(gòu)位形變化，這將直接導(dǎo)致慣性矩陣M在不同位形下亦具有不同的表達(dá)，從而使等效耦合慣量ECIi和施加在電機軸上的總等效慣性參數(shù)JECIi的值也發(fā)生變化。因此，所提出總等效慣量參數(shù)表達(dá)式能反映并聯(lián)機構(gòu)在不同位形下各電機軸所承受的考慮鏈間耦合問題的等效慣量。
2.3 指標(biāo)分布
考慮到4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)主要用于完成點到點的抓放操作，因此采用典型的門字形軌跡作為本機構(gòu)的運動軌跡［20］。給定期望軌跡如圖3所示。
圖4（彩圖掃OSID 碼可見，下同）和表1 為在圖3 所示軌跡下，考慮支鏈間耦合和不考慮支鏈間耦合問題時，各電機軸所對應(yīng)的等效慣量JECI和JN-ECI的分布情況。綜合分析圖4 和表1 可知，在同一水平面時，并聯(lián)機構(gòu)末端執(zhí)行器距離中心位置越近，總等效慣量值越?。徊⒙?lián)機構(gòu)末端沿z軸運動時，位置越高，對應(yīng)的總等效慣量越小。在預(yù)設(shè)軌跡下，考慮鏈間耦合的總等效慣量平均值為8.404 ×10-4，不考慮耦合的總等效慣量的平均值為5.773 × 10-4，可知由于鏈間耦合問題，施加在電機軸上的等效慣量發(fā)生較大變化。總等效慣量的極大值與極小值之差的平均值為3.498 × 10-4，說明支鏈間的耦合問題受位形影響較大。此外，在任意位形下，各支鏈的總等效慣量最大差值為2.469 × 10-4，說明各支鏈在不同位形下，受支鏈間耦合特性的影響程度有較大區(qū)別。
Fig.3 Desired trajectory of the end effector圖3 末端執(zhí)行器期望軌跡
Fig.4 Equivalent inertia圖4 等效慣量
Table 1 Equivalent inertia表1 等效慣量 （10-4）
綜上分析可知，將總等效慣量用于建立考慮鏈間耦合的單支鏈運動學(xué)模型能充分考慮各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響，具有重要意義。
3 雙增益項自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計
根據(jù)上述分析結(jié)論，建立考慮鏈間耦合問題的單支鏈運動學(xué)模型，并設(shè)計一種具有雙增益項的自適應(yīng)滑模控制方法，以克服機構(gòu)中存在鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，同時有效抑制滑?？刂贫墩駟栴}，提高系統(tǒng)跟蹤精度。在4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)中，各支鏈控制框圖如圖5 所示。圖中為第i個主動關(guān)節(jié)的給定輸入；J'(t)為電機轉(zhuǎn)子慣量和總等效慣量之和。交流伺服電機的數(shù)學(xué)模型可表示為驅(qū)動軸的角位移θout與輸入轉(zhuǎn)速ωd的傳遞函數(shù)：
Fig.5 Schematic diagram of controller圖5 控制器原理框圖
3.1 控制器設(shè)計
式中，x=[x1，x2，x3]T∈R3為可測得的系統(tǒng)狀態(tài)變量；u、y分別為系統(tǒng)輸入、輸出；d(t)為外部干擾；f(x)和g(x)為包含不確定的光滑函數(shù)，表示為：
其中，c1>0，c2>0。
由式（19）、式（21）可得：
基于等效控制的滑模控制定義，假設(shè)系統(tǒng)不確定項和干擾項為0，可得：
進(jìn)而可得等效控制律為：
設(shè)計切換控制律為：
式中，K為滑模切換增益，表示系統(tǒng)的運動點趨近滑模面s=0 的速率。滑模切換增益K越小，趨近速度越慢；滑模切換增益K越大，趨近速度就越快，所引起的滑模控制抖振也越大。
為進(jìn)一步提高4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的跟蹤精度，同時有效抑制滑?？刂贫墩?，設(shè)計滑模切換增益具有如下雙增益項自適應(yīng)規(guī)則：
式中，φ、α、η為自適應(yīng)速度的可調(diào)正增益；θ(t)=sgn(|s(t)| -ε)。后續(xù)分析中簡稱增益項|s(t)|為L-Gain，簡稱增益項ηe-|s(t)|為S-Gain。當(dāng)|s(t)|遠(yuǎn)離滑模面且大于ε時，在自適應(yīng)律（26）中，滑模切換增益K 的導(dǎo)數(shù)受L-Gain的影響很大，因為S-Gain幾乎為零，因此它們會快速收斂，直到|s(t)|到達(dá)滑模面附近，或|s(t)|<ε。這種自適應(yīng)機制使|s(t)|迅速小于ε，因此在瞬態(tài)響應(yīng)中提供了良好的跟蹤性能。當(dāng)|s(t)|小于ε，且接近于零。在這種情況下，滑模切換增益應(yīng)盡可能小，以減少抖振。但是，用小L-Gain降低高滑模切換增益需要時間，可能會導(dǎo)致抖振問題。為此，在自適應(yīng)律（26）中添加了S-Gain，由于L-Gain幾乎為零，因此S-Gain在滑動面附近占主導(dǎo)地位。值得注意的是，S-Gain不會消失，而是隨著L-Gain變?yōu)榱愣黾?。此時由于自適應(yīng)律（26）受S-Gain的影響很大，保證了滑模切換增益的快速下降速度，并在滑動面附近實現(xiàn)了良好的穩(wěn)態(tài)性能。由于S-Gain是上界的，因此也可以避免由現(xiàn)有方案引起的過度自適應(yīng)，能有效抑制滑?？刂贫墩?。
總控制律設(shè)計為：
假設(shè)1：集總擾動ρ(t)有界，滿足|ρ(t)|≤ρ*。
定理1：對于并聯(lián)機器人支鏈數(shù)學(xué)模型（19），在控制律（27）及自適應(yīng)規(guī)則（26）的作用下，滑模變量s(t)首先在有限時間tε內(nèi)到達(dá)原點的鄰域|s(t)| <ε內(nèi)，當(dāng)t>tε時，s(t)最終一致有界并滿足：
3.2 穩(wěn)定性證明
證明：定義Lyapunov 函數(shù)為：
對式（30）求導(dǎo)并根據(jù)假設(shè)1和式（28）可得：
考慮兩種情況：|s(t)|>ε和|s(t)|≤ε。
因此，s(t)在有限時間tε內(nèi)到達(dá)原點的鄰域|s(t)|≤ε中，且0 ≤V(t) ≤V(0)，即V(t)有界。
當(dāng)t>tε時，有|s(t)| ≤ε，此時增益項|s(t)|幾乎為零，可見所設(shè)計的自適應(yīng)律（26）不存在對滑動變量過估問題。
因此s(t)最終一致有界，由式（21）可知跟蹤誤差e(t)也有界。
定理1證畢。
4 仿真結(jié)果與分析
首先，為驗證本文提出考慮鏈間耦合問題總等效慣量計算方法的有效性，以JECI和JN-ECI為控制器參數(shù)，采用滑?？刂疲⊿liding Mode Control，SMC）方法進(jìn)行MATLAB仿真。電機模型參數(shù)為：Rph=18Ω，Kpi=15，Kii=1，LD=0.052 5H，KT=1.25N·m/A，aT=0.1，Kpv=0.08，KE=1.215。仿真結(jié)果見圖6。
Fig.6 Verification of equivalent inertia圖6 等效慣量驗證
分析圖6 可知，將所設(shè)計的考慮鏈間耦合的總等效慣量方法應(yīng)用到控制器中，其軌跡跟蹤誤差小于不考慮鏈間耦合問題的軌跡跟蹤誤差。這是由于考慮鏈間耦合的總等效慣量計算方法有效計入了鏈間耦合問題，并考慮機構(gòu)位形的影響，減小了系統(tǒng)的不確定性，從而提高了機構(gòu)跟蹤精度，有效抑制了滑模控制抖振。
其次，為驗證所提出克服鏈間耦合的4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)具有雙增益項自適應(yīng)滑模（Dual-gain Adaptive Sliding Mode Control，DGASMC）運動學(xué)控制方法的正確性和有效性，分別對考慮鏈間耦合但切換增益恒定滑模控制（簡稱ECI-SMC）和不考慮鏈間耦合的具有雙增益項自適應(yīng)滑?？刂疲ê喎QDGASMC）以及考慮鏈間耦合的具有雙增益項自適應(yīng)滑模控制（簡稱ECI-DGASMC）進(jìn)行MATLAB 仿真。通過數(shù)次仿真調(diào)試，確定控制性能最佳時，控制器的仿真參數(shù)為：φ=0.02，ε=0.02，α=5，η=5。仿真結(jié)果見圖7。
Fig.7 Dual-gain term adaptive sliding mode verification圖7 雙增益項自適應(yīng)滑模驗證
由圖7（a）可知，所設(shè)計ECI-DGASMC 的跟蹤誤差明顯小于DGASMC 和ECI-SMC 的跟蹤誤差。仿真結(jié)果顯示，考慮鏈間耦合問題的控制器相較于不考慮鏈間耦合問題的控制器具有更好的軌跡跟蹤效果，自適應(yīng)律的引入進(jìn)一步提高了4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的軌跡跟蹤效果。從圖7（b）可知，本文設(shè)計的ECI-DGASMC 控制輸入量相較于DGASMC 和ECI-SMC 具有更小的幅值。ECI-DGASMC 可在滑模面附近實現(xiàn)有效切換增益調(diào)諧，適應(yīng)速度快，有效抑制了DGASMC 存在的滑模切換增益過估問題，進(jìn)一步減小了滑?？刂贫墩?。此外，仿真時并未提供模型不確定性上界信息，從仿真結(jié)果來看，所提出的ECI-DGASMC 仍然具有良好的控制效果，表明所提出的控制方法能有效解決上界未知的模型不確定性問題。綜上所述，本文控制方法能使系統(tǒng)具有良好的跟蹤精度，且有效抑制滑?？刂贫墩駟栴}，且不需要模型不確定性的上界信息。
5 實驗驗證
為進(jìn)一步驗證本文所提出克服鏈間耦合的并聯(lián)機構(gòu)具有雙增益項自適應(yīng)滑模運動學(xué)控制的可行性與有效性，將ECI-DGASM 與DGASMC、ECI-SMC、SMC 分別應(yīng)用于4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)樣機上進(jìn)行實驗。圖8 為4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)樣機實驗控制系統(tǒng)，組成器件主要為PC（上位機）、多軸運動控制器UMAC（下位機）和伺服驅(qū)動系統(tǒng)。
Fig.8 Hardware platform of the control system for the 4-R（2-SS）parallel robot圖8 4-R（2-SS）并聯(lián)機器人控制系統(tǒng)硬件平臺
在完成上位機應(yīng)用程序與UMAC 的連接后，將4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)期望軌跡程序下載到UMAC 中；然后對4種控制方法的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，并將編寫完成的控制方法下載到UMAC 中，運行程序，機構(gòu)即開始運行；運行結(jié)束后，導(dǎo)出機構(gòu)各電機的運動信息完成數(shù)據(jù)采集，最后復(fù)位并關(guān)閉機構(gòu)。得到如圖9 所示的4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)支鏈1 電機軌跡跟蹤誤差曲線。
可以看出，本文提出的ECI-DGASMC 與ECI-SMC、DGASMC、SMC 相比有效克服了鏈間耦合問題，更好地解決上界未知的模型不確定性問題，具有更高的跟蹤精度和更強的魯棒性。
Fig.9 Tracking error curve of branch motor圖9 支鏈電機跟蹤誤差曲線
6 結(jié)語
本文針對4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的鏈間耦合問題，建立考慮鏈間耦合問題的單支鏈模型，提出一種滑模控制算法，并通過設(shè)計一種具有雙增益項自適應(yīng)規(guī)則克服上界未知的模型不確定性問題，最后通過仿真實驗驗證了所提出的雙增益項自適應(yīng)滑模運動學(xué)控制方法算法的有效性。仿真與實驗結(jié)果表明，該算法能有效解決鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，避免滑模切換增益過估造成的滑?？刂贫墩瘛５疚倪\動學(xué)控制器參數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行試湊整定的，具有隨機性和耗時性，后續(xù)可繼續(xù)探索能夠智能優(yōu)化控制器參數(shù)的運動學(xué)滑模控制方法，通過智能算法尋找最優(yōu)控制器參數(shù)以進(jìn)一步提高4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)控制性能。
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付天忠，高國琴，方志明
（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
與蘋果、番茄等類球形果蔬相比，形如葡萄、荔枝等串類水果由于夾持點為細(xì)小果梗，對分揀機器人的定位精度提出更高要求［1］。目前，帶虎克鉸轉(zhuǎn)軸（UPU 支鏈）的分揀機器人由于UPU 支鏈長時間在工作空間邊緣作業(yè)，磨損較為嚴(yán)重，影響機器使用壽命［2］。為此，基于可實現(xiàn)SCARA運動的4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)研制一種串類水果分揀機器人，其具有剛度大、精度高、承載能力強、分揀效率高等優(yōu)勢。
目前，根據(jù)所使用模型的不同，并聯(lián)機構(gòu)控制策略可分為動力學(xué)控制和運動學(xué)控制兩種。動力學(xué)控制考慮了并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)特性和各支鏈間的耦合關(guān)系，在理論上能實現(xiàn)良好的控制效果［3］，但動力學(xué)模型參數(shù)眾多，實時在線求解難度較大，難以滿足實時性要求。運動學(xué)控制一般假定并聯(lián)機構(gòu)各支鏈間是獨立無耦合的，基于此可將復(fù)雜的并聯(lián)機構(gòu)分解成若干個獨立的單通道系統(tǒng)進(jìn)行單獨的控制器設(shè)計，因此相較于動力學(xué)控制而言具有設(shè)計簡單、易實現(xiàn)并能滿足實際控制系統(tǒng)實時性和快速性要求的優(yōu)勢。因此，本文將對4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)控制研究。然而，并聯(lián)機構(gòu)的閉鏈結(jié)構(gòu)特點導(dǎo)致各支鏈間強耦合問題，在很大程度上影響機器人的動態(tài)特性［4］。此外，隨溫度變化的電機參數(shù)漂移、負(fù)載變化以及外部擾動等會引起模型不確定性問題，由于不確定性的復(fù)雜性和不可預(yù)測性，其上界信息往往難以獲知，直接影響運動學(xué)控制精度。因此，有必要解決鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，以提高4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)控制性能。
為解決并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)控制的鏈間耦合問題，許多學(xué)者進(jìn)行了研究。例如，文獻(xiàn)［5］針對六自由度并聯(lián)機構(gòu)，將鏈間耦合歸結(jié)到集總不確定性中，在各支鏈控制器中進(jìn)行抑制，但未能從建模角度解決鏈間耦合問題，且沒有定量分析各支鏈?zhǔn)苕滈g耦合問題的影響程度；文獻(xiàn)［6］針對Stewart 平臺構(gòu)建虛擬解耦空間并設(shè)計控制器以抑制鏈間耦合，但該方法需要實時對慣性矩陣進(jìn)行奇異值分解計算，計算量大且復(fù)雜。
針對4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)模型中的不確性問題，滑?？刂品椒▽ψ饔糜诳刂仆ǖ乐械挠薪绮淮_定性具有很好的魯棒性，被廣泛應(yīng)用于并聯(lián)機構(gòu)的控制研究中［7］。然而在不確定性上界未知時，通常需選取較大滑模切換增益，如此加重了滑?？刂贫墩駟栴}［8-9］。為此，已有學(xué)者通過設(shè)計自適應(yīng)規(guī)則動態(tài)調(diào)節(jié)滑模切換增益。例如，文獻(xiàn)［10］針對二階滑模輸出反饋控制器設(shè)計了一種自適應(yīng)律，但該自適應(yīng)律將導(dǎo)致滑模切換增益不斷增加，可能出現(xiàn)益過高估計的問題；文獻(xiàn)［11］針對一類具有有界不確定性/擾動的非線性系統(tǒng)，提出一種滑模切換增益的自適應(yīng)估計規(guī)則，但該規(guī)則對切換增益的調(diào)節(jié)速度僅由一個控制參數(shù)決定，需要在滑模控制抖振和跟蹤性能之間進(jìn)行取舍；文獻(xiàn)［12］針對機器人機械臂提出一種指數(shù)型自適應(yīng)律，以提升響應(yīng)不確定性變化的速度，但其滑模切換增益對滑模變量過于敏感，存在滑模切換增益過估問題。
綜上所述，本文針對4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)，基于慣性項分析鏈間耦合問題，得到等效耦合慣量以表征各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響程度；然后將等效耦合慣量和各主動關(guān)節(jié)負(fù)載慣量所構(gòu)成的總等效耦合慣量折算到電機軸，并附加給各支鏈電機轉(zhuǎn)子慣量，從而建立考慮鏈間耦合的單支鏈運動學(xué)模型。同時針對鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，提出一種并聯(lián)機構(gòu)雙增益自適應(yīng)滑?？刂品椒?，其自適應(yīng)規(guī)則既能在近滑模面迅速有效調(diào)整滑模切換增益，又能有效避免滑模切換增益過估造成的滑?？刂贫墩駟栴}，從而提高4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)控制性能。
1 4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析
1.1 4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)
如圖1 所示，4-R（2-SS）并聯(lián)機器人由4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)和夾持機構(gòu)組成。4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)主要由靜平臺、主（輔）動平臺和連接動靜平臺的四組R-（2-SS）支鏈構(gòu)成。輔平臺位于主平臺內(nèi)部，通過轉(zhuǎn)動機構(gòu)連接［13］。為減小運動部件的慣性，主動臂和從動臂采用碳纖維材料制成，動平臺由鋁合金材料制成。該機械手結(jié)構(gòu)靈巧、操作簡單，特別適合工農(nóng)業(yè)領(lǐng)域自動化生產(chǎn)所需的分揀、包裝等操作。
Fig.1 Physical picture of 4-R（2-SS）parallel robot圖1 4-R（2-SS）并聯(lián)機器人實物
1.2 運動學(xué)分析
4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的主（輔）動平臺在空間內(nèi)僅做平動，且從動臂兩組從動桿件的運動完全相同。為便于運動學(xué)分析，可將其簡化為如圖2所示的結(jié)構(gòu)［14］。
圖2 中，將主平臺和輔平臺分別簡化視為質(zhì)點P1和質(zhì)點P2，參考坐標(biāo)系O-xyz 建立在靜平臺的中點，基于該坐標(biāo)系，平臺主（輔）上的點P1（P2）的位置矢量r可表示為：
l1、l2、ui、wi分別為表示支鏈i主動臂和從動臂的桿長和單位矢量，且：
Fig.2 Structure of 4-R（2-SS）parallel robot mechanism圖2 4-R（2-SS）并聯(lián)機器人簡圖
式中，θi表示主動臂i(i=1，2，3，4)的轉(zhuǎn)角，根據(jù)機構(gòu)的裝配模式，可得4-R（2-SS）機構(gòu)的位置逆解模型表示為：
將式（1）分別對時間求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)，得到機構(gòu)的速度模型和加速度模型，表示為：
2 4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)及鏈間耦合特性分析
2.1 動力學(xué)分析
動力學(xué)建模的主要目的不僅體現(xiàn)在評價機構(gòu)的運動性能，還體現(xiàn)在為實際控制研究奠定理論基礎(chǔ)。為降低計算復(fù)雜度，保證運動過程中的實時性，建立簡化的4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型［15］。
考慮到從動臂為輕質(zhì)細(xì)桿，可忽略其轉(zhuǎn)動慣量，將其質(zhì)量按比例ρ(ρ∈[0，1])［16］分配到動平臺和主動臂。同時，假設(shè)運動副是理想的，也就是無摩擦引起的能量耗散，由虛功原理得：
式中，τ為主動關(guān)節(jié)的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩，τAg為主動臂對其轉(zhuǎn)軸的重力矩，IA為主動臂等效至其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，Is為動平臺轉(zhuǎn)動絲杠及負(fù)載對其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為動平臺轉(zhuǎn)動絲杠角加速度。
將δθ=Jδr和δθs=(2π/p)δs代入式（10），整理為關(guān)節(jié)空間動力學(xué)模型可得：
2.2 鏈間耦合特性分析
慣性矩陣M(θ)反映關(guān)節(jié)加速度和轉(zhuǎn)矩之間的映射關(guān)系。慣性矩陣中主對角元素表示主動關(guān)節(jié)的負(fù)載慣量，非主對角元素是某關(guān)節(jié)的加速度運動對另一關(guān)節(jié)產(chǎn)生的耦合轉(zhuǎn)矩的度量。與傳統(tǒng)串聯(lián)機器人相比，并聯(lián)機構(gòu)各主動關(guān)節(jié)除承受自身負(fù)載慣量外，鏈間還存在耦合關(guān)系［17］。
為直接評價4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)鏈間的耦合特性，定義4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)關(guān)節(jié)空間各主動關(guān)節(jié)等效耦和慣量（Equivalent Coupling Inertia，ECIi，i=1，2，3，4），表示為：
式中，ECIi表示4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)在關(guān)節(jié)空間各主動關(guān)節(jié)的等效耦合慣量，用于表征各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響程度。
如果不考慮并聯(lián)機構(gòu)鏈間耦合問題，那么各支鏈主動關(guān)節(jié)所承受的等效慣性力矩為慣量矩陣M中主對角元素Mii與所需加速度的乘積［18］。但經(jīng)過上述分析可知，支鏈間的耦合問題不容忽略。主動關(guān)節(jié)所承受的考慮支鏈間耦合問題的等效慣性力矩為：
結(jié)合式（12）可知：
綜上可知，可得各主動關(guān)節(jié)所承受的考慮支鏈間耦合問題的等效慣性參數(shù)為：
而施加在電機軸上的等效慣量可表示為［19］：
從式（8）、式（11）和式（17）可知，雅可比矩陣J會隨著機構(gòu)位形變化，這將直接導(dǎo)致慣性矩陣M在不同位形下亦具有不同的表達(dá)，從而使等效耦合慣量ECIi和施加在電機軸上的總等效慣性參數(shù)JECIi的值也發(fā)生變化。因此，所提出總等效慣量參數(shù)表達(dá)式能反映并聯(lián)機構(gòu)在不同位形下各電機軸所承受的考慮鏈間耦合問題的等效慣量。
2.3 指標(biāo)分布
考慮到4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)主要用于完成點到點的抓放操作，因此采用典型的門字形軌跡作為本機構(gòu)的運動軌跡［20］。給定期望軌跡如圖3所示。
圖4（彩圖掃OSID 碼可見，下同）和表1 為在圖3 所示軌跡下，考慮支鏈間耦合和不考慮支鏈間耦合問題時，各電機軸所對應(yīng)的等效慣量JECI和JN-ECI的分布情況。綜合分析圖4 和表1 可知，在同一水平面時，并聯(lián)機構(gòu)末端執(zhí)行器距離中心位置越近，總等效慣量值越?。徊⒙?lián)機構(gòu)末端沿z軸運動時，位置越高，對應(yīng)的總等效慣量越小。在預(yù)設(shè)軌跡下，考慮鏈間耦合的總等效慣量平均值為8.404 ×10-4，不考慮耦合的總等效慣量的平均值為5.773 × 10-4，可知由于鏈間耦合問題，施加在電機軸上的等效慣量發(fā)生較大變化。總等效慣量的極大值與極小值之差的平均值為3.498 × 10-4，說明支鏈間的耦合問題受位形影響較大。此外，在任意位形下，各支鏈的總等效慣量最大差值為2.469 × 10-4，說明各支鏈在不同位形下，受支鏈間耦合特性的影響程度有較大區(qū)別。
Fig.3 Desired trajectory of the end effector圖3 末端執(zhí)行器期望軌跡
Fig.4 Equivalent inertia圖4 等效慣量
Table 1 Equivalent inertia表1 等效慣量 （10-4）
綜上分析可知，將總等效慣量用于建立考慮鏈間耦合的單支鏈運動學(xué)模型能充分考慮各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響，具有重要意義。
3 雙增益項自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計
根據(jù)上述分析結(jié)論，建立考慮鏈間耦合問題的單支鏈運動學(xué)模型，并設(shè)計一種具有雙增益項的自適應(yīng)滑模控制方法，以克服機構(gòu)中存在鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，同時有效抑制滑?？刂贫墩駟栴}，提高系統(tǒng)跟蹤精度。在4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)中，各支鏈控制框圖如圖5 所示。圖中為第i個主動關(guān)節(jié)的給定輸入；J'(t)為電機轉(zhuǎn)子慣量和總等效慣量之和。交流伺服電機的數(shù)學(xué)模型可表示為驅(qū)動軸的角位移θout與輸入轉(zhuǎn)速ωd的傳遞函數(shù)：
Fig.5 Schematic diagram of controller圖5 控制器原理框圖
3.1 控制器設(shè)計
式中，x=[x1，x2，x3]T∈R3為可測得的系統(tǒng)狀態(tài)變量；u、y分別為系統(tǒng)輸入、輸出；d(t)為外部干擾；f(x)和g(x)為包含不確定的光滑函數(shù)，表示為：
其中，c1>0，c2>0。
由式（19）、式（21）可得：
基于等效控制的滑模控制定義，假設(shè)系統(tǒng)不確定項和干擾項為0，可得：
進(jìn)而可得等效控制律為：
設(shè)計切換控制律為：
式中，K為滑模切換增益，表示系統(tǒng)的運動點趨近滑模面s=0 的速率。滑模切換增益K越小，趨近速度越慢；滑模切換增益K越大，趨近速度就越快，所引起的滑模控制抖振也越大。
為進(jìn)一步提高4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的跟蹤精度，同時有效抑制滑?？刂贫墩?，設(shè)計滑模切換增益具有如下雙增益項自適應(yīng)規(guī)則：
式中，φ、α、η為自適應(yīng)速度的可調(diào)正增益；θ(t)=sgn(|s(t)| -ε)。后續(xù)分析中簡稱增益項|s(t)|為L-Gain，簡稱增益項ηe-|s(t)|為S-Gain。當(dāng)|s(t)|遠(yuǎn)離滑模面且大于ε時，在自適應(yīng)律（26）中，滑模切換增益K 的導(dǎo)數(shù)受L-Gain的影響很大，因為S-Gain幾乎為零，因此它們會快速收斂，直到|s(t)|到達(dá)滑模面附近，或|s(t)|<ε。這種自適應(yīng)機制使|s(t)|迅速小于ε，因此在瞬態(tài)響應(yīng)中提供了良好的跟蹤性能。當(dāng)|s(t)|小于ε，且接近于零。在這種情況下，滑模切換增益應(yīng)盡可能小，以減少抖振。但是，用小L-Gain降低高滑模切換增益需要時間，可能會導(dǎo)致抖振問題。為此，在自適應(yīng)律（26）中添加了S-Gain，由于L-Gain幾乎為零，因此S-Gain在滑動面附近占主導(dǎo)地位。值得注意的是，S-Gain不會消失，而是隨著L-Gain變?yōu)榱愣黾?。此時由于自適應(yīng)律（26）受S-Gain的影響很大，保證了滑模切換增益的快速下降速度，并在滑動面附近實現(xiàn)了良好的穩(wěn)態(tài)性能。由于S-Gain是上界的，因此也可以避免由現(xiàn)有方案引起的過度自適應(yīng)，能有效抑制滑?？刂贫墩?。
總控制律設(shè)計為：
假設(shè)1：集總擾動ρ(t)有界，滿足|ρ(t)|≤ρ*。
定理1：對于并聯(lián)機器人支鏈數(shù)學(xué)模型（19），在控制律（27）及自適應(yīng)規(guī)則（26）的作用下，滑模變量s(t)首先在有限時間tε內(nèi)到達(dá)原點的鄰域|s(t)| <ε內(nèi)，當(dāng)t>tε時，s(t)最終一致有界并滿足：
3.2 穩(wěn)定性證明
證明：定義Lyapunov 函數(shù)為：
對式（30）求導(dǎo)并根據(jù)假設(shè)1和式（28）可得：
考慮兩種情況：|s(t)|>ε和|s(t)|≤ε。
因此，s(t)在有限時間tε內(nèi)到達(dá)原點的鄰域|s(t)|≤ε中，且0 ≤V(t) ≤V(0)，即V(t)有界。
當(dāng)t>tε時，有|s(t)| ≤ε，此時增益項|s(t)|幾乎為零，可見所設(shè)計的自適應(yīng)律（26）不存在對滑動變量過估問題。
因此s(t)最終一致有界，由式（21）可知跟蹤誤差e(t)也有界。
定理1證畢。
4 仿真結(jié)果與分析
首先，為驗證本文提出考慮鏈間耦合問題總等效慣量計算方法的有效性，以JECI和JN-ECI為控制器參數(shù)，采用滑?？刂疲⊿liding Mode Control，SMC）方法進(jìn)行MATLAB仿真。電機模型參數(shù)為：Rph=18Ω，Kpi=15，Kii=1，LD=0.052 5H，KT=1.25N·m/A，aT=0.1，Kpv=0.08，KE=1.215。仿真結(jié)果見圖6。
Fig.6 Verification of equivalent inertia圖6 等效慣量驗證
分析圖6 可知，將所設(shè)計的考慮鏈間耦合的總等效慣量方法應(yīng)用到控制器中，其軌跡跟蹤誤差小于不考慮鏈間耦合問題的軌跡跟蹤誤差。這是由于考慮鏈間耦合的總等效慣量計算方法有效計入了鏈間耦合問題，并考慮機構(gòu)位形的影響，減小了系統(tǒng)的不確定性，從而提高了機構(gòu)跟蹤精度，有效抑制了滑模控制抖振。
其次，為驗證所提出克服鏈間耦合的4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)具有雙增益項自適應(yīng)滑模（Dual-gain Adaptive Sliding Mode Control，DGASMC）運動學(xué)控制方法的正確性和有效性，分別對考慮鏈間耦合但切換增益恒定滑模控制（簡稱ECI-SMC）和不考慮鏈間耦合的具有雙增益項自適應(yīng)滑?？刂疲ê喎QDGASMC）以及考慮鏈間耦合的具有雙增益項自適應(yīng)滑模控制（簡稱ECI-DGASMC）進(jìn)行MATLAB 仿真。通過數(shù)次仿真調(diào)試，確定控制性能最佳時，控制器的仿真參數(shù)為：φ=0.02，ε=0.02，α=5，η=5。仿真結(jié)果見圖7。
Fig.7 Dual-gain term adaptive sliding mode verification圖7 雙增益項自適應(yīng)滑模驗證
由圖7（a）可知，所設(shè)計ECI-DGASMC 的跟蹤誤差明顯小于DGASMC 和ECI-SMC 的跟蹤誤差。仿真結(jié)果顯示，考慮鏈間耦合問題的控制器相較于不考慮鏈間耦合問題的控制器具有更好的軌跡跟蹤效果，自適應(yīng)律的引入進(jìn)一步提高了4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的軌跡跟蹤效果。從圖7（b）可知，本文設(shè)計的ECI-DGASMC 控制輸入量相較于DGASMC 和ECI-SMC 具有更小的幅值。ECI-DGASMC 可在滑模面附近實現(xiàn)有效切換增益調(diào)諧，適應(yīng)速度快，有效抑制了DGASMC 存在的滑模切換增益過估問題，進(jìn)一步減小了滑?？刂贫墩?。此外，仿真時并未提供模型不確定性上界信息，從仿真結(jié)果來看，所提出的ECI-DGASMC 仍然具有良好的控制效果，表明所提出的控制方法能有效解決上界未知的模型不確定性問題。綜上所述，本文控制方法能使系統(tǒng)具有良好的跟蹤精度，且有效抑制滑?？刂贫墩駟栴}，且不需要模型不確定性的上界信息。
5 實驗驗證
為進(jìn)一步驗證本文所提出克服鏈間耦合的并聯(lián)機構(gòu)具有雙增益項自適應(yīng)滑模運動學(xué)控制的可行性與有效性，將ECI-DGASM 與DGASMC、ECI-SMC、SMC 分別應(yīng)用于4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)樣機上進(jìn)行實驗。圖8 為4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)樣機實驗控制系統(tǒng)，組成器件主要為PC（上位機）、多軸運動控制器UMAC（下位機）和伺服驅(qū)動系統(tǒng)。
Fig.8 Hardware platform of the control system for the 4-R（2-SS）parallel robot圖8 4-R（2-SS）并聯(lián)機器人控制系統(tǒng)硬件平臺
在完成上位機應(yīng)用程序與UMAC 的連接后，將4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)期望軌跡程序下載到UMAC 中；然后對4種控制方法的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，并將編寫完成的控制方法下載到UMAC 中，運行程序，機構(gòu)即開始運行；運行結(jié)束后，導(dǎo)出機構(gòu)各電機的運動信息完成數(shù)據(jù)采集，最后復(fù)位并關(guān)閉機構(gòu)。得到如圖9 所示的4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)支鏈1 電機軌跡跟蹤誤差曲線。
可以看出，本文提出的ECI-DGASMC 與ECI-SMC、DGASMC、SMC 相比有效克服了鏈間耦合問題，更好地解決上界未知的模型不確定性問題，具有更高的跟蹤精度和更強的魯棒性。
Fig.9 Tracking error curve of branch motor圖9 支鏈電機跟蹤誤差曲線
6 結(jié)語
本文針對4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的鏈間耦合問題，建立考慮鏈間耦合問題的單支鏈模型，提出一種滑模控制算法，并通過設(shè)計一種具有雙增益項自適應(yīng)規(guī)則克服上界未知的模型不確定性問題，最后通過仿真實驗驗證了所提出的雙增益項自適應(yīng)滑模運動學(xué)控制方法算法的有效性。仿真與實驗結(jié)果表明，該算法能有效解決鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，避免滑模切換增益過估造成的滑?？刂贫墩瘛５疚倪\動學(xué)控制器參數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行試湊整定的，具有隨機性和耗時性，后續(xù)可繼續(xù)探索能夠智能優(yōu)化控制器參數(shù)的運動學(xué)滑模控制方法，通過智能算法尋找最優(yōu)控制器參數(shù)以進(jìn)一步提高4-R（2-SS）并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)控制性能。
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