數(shù)學(xué)分析證明中的截?cái)嗉记?/h1>
2023-01-01 06:50:58王洪慶王亞男蘇莉
現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) 2022年22期
王洪慶 王亞男 蘇莉
摘要：在數(shù)學(xué)分析中，當(dāng)我們要證明一個(gè)問題時(shí)，有了正確的思路后，還常常要根據(jù)不同的對象和題設(shè)中的條件采取不同的處理方法，以實(shí)現(xiàn)證明的目標(biāo)，本文對截?cái)嗟奶幚矸椒ê图记蛇M(jìn)行了總結(jié)和提煉。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；截?cái)啵粯O限；一致收斂
中圖分類號：TB文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.22.108
1截?cái)喾椒ǖ母拍?/p>
我們常常要在某些條件下，證明無窮區(qū)間上的函數(shù)或無窮多個(gè)函數(shù)的和函數(shù)具有某些性質(zhì)。例如，一個(gè)實(shí)數(shù)軸上處處連續(xù)的函數(shù)，如果當(dāng)自變量趨于無窮大是有有限的極限，那么它一定有界；如果函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的每一項(xiàng)當(dāng)自變量x→x0時(shí)有極限，并且這個(gè)極限在包含x0的某個(gè)區(qū)間上一致收斂，那么這個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和的極限等于各項(xiàng)極限的和等。在證明這類問題時(shí)，我們的基本依據(jù)是有限區(qū)間上的函數(shù)或有限多個(gè)函數(shù)的和所具有的相關(guān)性質(zhì)，同時(shí)還要根據(jù)給定的條件對無窮區(qū)間或無窮級數(shù)進(jìn)行截?cái)嗵幚恚ㄈ绾芜M(jìn)行具體的截?cái)鄤t要根據(jù)不同的問題做具體的分析）。我們把這種處理方法稱為截?cái)唷?/p>
2截?cái)嗉记傻陌咐芯?/p>
例1設(shè)函數(shù)f（x）∈C（-∞，+∞），且limx→∞f（x）=l（其中l(wèi)為有限數(shù)）。求證：f（x）在（-∞，+∞）上有界。
分析由于limx→∞f（x）=l，根據(jù)局部有界性可知，存A>0使f（x）在（-∞，-A）和（A，+∞）上有界。而在-A，A上可以從f（x）是連續(xù)函數(shù)這一條件獲得其有界性。
證明對ε=1，A>0，當(dāng)x>A時(shí)，有f（x）-l<1，從而
f（x）<1+lx>A。
又因?yàn)閒（x）在（-A，A）上連續(xù)，所以M1>0，使得
f（x）≤M1x>A。
取M=maxM1，1+l，則對一切x∈（-∞，+∞），有f（x）≤M，證明完畢。
例2設(shè)un（x）（n=1，2，…）在（x0-δ，x0+δ）內(nèi)有定義（在點(diǎn)x0也可以沒有定義），limx→x0un（x）=ln，ln是有限數(shù)，且∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收斂，求證：limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln。
分析現(xiàn)在面臨兩個(gè)問題需要解決：
（1）證明∑∞n=1ln收斂。
（2）證明等式limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln成立。
第（1）個(gè)問題由Cauchy收斂原理不難解決。解決第（2）的問題的困難在于項(xiàng)數(shù)的無限多，因?yàn)闃O限運(yùn)算法則只能保證有限多個(gè)函數(shù)和的極限等于它們極限的和。這就需要對無窮和進(jìn)行截?cái)嗵幚?，把它截成?xiàng)數(shù)足夠多的有窮多項(xiàng)和其余的去窮多項(xiàng)（即級數(shù)的“尾巴”），然后分別進(jìn)行考慮，即
∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-∑Nn=1ln+∑∞n=N+1un（x）-∑∞n=N+1ln
我們的目的是證明當(dāng)x充分靠近x0時(shí)，上面的不等式的左邊能夠任意小。這就要分析右邊的情況，而右邊的第一項(xiàng)根據(jù)“有限和的極限等于期各項(xiàng)極限的和”這一法則，要它當(dāng)x→x0時(shí)能任意小時(shí)容易辦到的；第二項(xiàng)是兩個(gè)收斂級數(shù)的“尾巴”，其中∑∞n=N+1ln是收斂技術(shù)的“尾巴”，只要N選的足夠大，它就能任意小，而且與x無關(guān)；另一項(xiàng)∑∞n=N+1un（x）是一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的“尾巴”，只要N足夠大，它也能任意小，并同樣與x無關(guān)。于是問題就不難解決了。至于N如何選取，這就要依賴于正數(shù)ε。
證明對ε>0，由于∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收斂，根據(jù)Cauchy收斂原理，N∈z+，當(dāng)n>N時(shí)，對p∈z+，有
un+1（x）+un+2（x）+…un+p（x）<ε，
令x→x0，就得到
ln+1（x）+ln+2（x）+…ln+p（x）≤ε。
再由Cauchy收斂原理可知∑∞n=1ln收斂。
接下來，取定一個(gè)充分大的N∈z+，使得
∑∞n=N+1ln<ε3，∑∞n=N+1un（x）<ε3 x∈（x0-δ，x0+δ）。
由limx→x0un（x）=ln （n=1，2，…）可知，對上述的ε>0，δ1>0（δ1<δ），當(dāng)0un（x）-ln<ε3N，（n=1，2，…，N）
從而
∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-ln+∑∞n=N+1un（x）+∑∞n=N+1ln<ε3N+ε3+ε3=ε，證明完畢。
以上兩個(gè)例子說明，在進(jìn)行截?cái)嗟臅r(shí)候，主要是處理好那個(gè)“無窮部分”（即截?cái)嗪笫Ｏ碌臒o窮區(qū)間或無窮級數(shù)的“尾巴”），因?yàn)橹灰堰@部分處理好之后，我們就可以放心處理有窮部分了，至于從什么部位上進(jìn)行截?cái)?，則要根據(jù)特設(shè)條件和證明的需要而定。
例3設(shè)f（x）∈（-∞，+∞），limx→∞f（x）存在且有限，求證f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。
分析我們需要證明的是：對（-∞，+∞）中的任意兩點(diǎn)x′和x″，只要x′-x″足夠小，fx′-fx″就能夠任意小。對于任何有限區(qū)間-A，A來說，這是比較容易做到的，因?yàn)殚]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。但是對于兩個(gè)無窮區(qū)間（-∞，-A）和（A，+∞）就不能按同樣的想法來對待，因此需要分段考慮。如何選取上述的正數(shù)A呢？就是利用題目中的limx→∞ f（x）存在且有限這個(gè)條件了。
證明對ε>0，由于limx→∞f（x）存在且有限，根據(jù)Cauchy收斂原理，A>0，當(dāng)x′和x″∈（-∞，-A］∪［A，+∞）時(shí)，有
fx′-fx″<ε2。
在-A，A上，由于f（x）一致連續(xù)，自然存在δ>0，使得對于任意的x′，x″∈-A，A，只要x′-x″<δ，就有
fx′-fx″<ε2<ε。
于是對（-∞，+∞）上滿足x′-x″<δ的任意兩點(diǎn)x′和x″來說，不論它們屬于-A，A，還是屬于（-∞，-A）或（A，+∞），都有
fx′-fx″<ε2<ε。
若x′∈-A，A而x″∈（A，+∞），則由x′-x″<δ可知，必有
x′-A<δ且x″-A<δ，
從而有
fx′-fx″≤fx′-fA+fx″-fA<ε2+ε2=ε。
對于x′∈-A，A而x″∈（-∞，-A）的情形同理可證。
綜上所述，只要x′-x″<δ，就有fx′-fx″<ε，證明完畢。
例4設(shè)limn→∞xn=l，求證：limn→∞x1+x2+…+xnn=l。
分析記σn=x1+x2+…+xnn （n=1，2，…），則
σn-l=x1-l+x2-l+…+xn-ln
≤x1-l+x2-l+…+xn-ln。
現(xiàn)在來分析一下不等式右端分子的變化情況。很明顯，雖然項(xiàng)數(shù)在不斷增多，但靠右邊的一些項(xiàng)會隨著n的增大而變小，可以任意?。欢懊娴哪男╉?xiàng)則是固定不變的，根本不能變小。因此我們可以考慮將它們分段處理。
對ε>0，因?yàn)閘imn→∞xn=l，N∈z+，當(dāng)n>N時(shí)，xn-l<ε。因此，對于這樣取定的N，不論n怎樣大（也就是不論項(xiàng)數(shù)怎樣多），從第N+1項(xiàng)開始，以后每一項(xiàng)都小于ε，而這些項(xiàng)加起來小于n-Nε，所以n-Nεn=1-Nnε<ε，所以可以不用去管他，另一方面，既然N已經(jīng)取定，從第一項(xiàng)到第N項(xiàng)加起來就是一個(gè)固定的數(shù)，它被n除過之后就會隨著n的增大也變小。
證明ε>0，因?yàn)閘imn→∞xn=l，N∈z+，當(dāng)n>N時(shí)，xn-l<ε，對于取定的N，記M=maxx1-l，x2-l，…xN-l，再取N1N，使NMN1<ε，于是，當(dāng)n>N1時(shí)，有
σn-l≤x1-l+x2-l+…+xn-ln
=x1-l+…+xN-ln+xN+1-l+…+xn-ln
所以limn→∞x1+x2+…+xnn=l，證明完畢。
3結(jié)束語
截?cái)嗵幚硎菙?shù)學(xué)分析長得一種比較基本的處理方法，通過它可以把很多有限范圍內(nèi)成立的性質(zhì)和結(jié)論擴(kuò)展的無線范圍，因此我們在處理與無線范圍有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)有截?cái)嗟囊庾R。
參考文獻(xiàn)
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（ 第五版）上冊［M］.北京：高等教育出版社，2019.
[2]馬金玲.淺談數(shù)學(xué)分析中極限的求法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021，（36）.
[3]張建華.數(shù)學(xué)分析中證明函數(shù)極限存在性的若干方法[J].景德鎮(zhèn)學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，36（03）.
[4]祁偉，郭仲凱.數(shù)學(xué)分析中歸結(jié)原則的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017，（03）.
基金項(xiàng)目：中國消防救援學(xué)院科研項(xiàng)目（XFKYB202211）；中國消防救援學(xué)院教改項(xiàng)目（YJYB2022009）。
作者簡介：王洪慶（1977-），男，理學(xué)碩士，中國消防救援學(xué)院基礎(chǔ)部副教授，研究方向?yàn)榭煽啃岳碚?、?shù)學(xué)教學(xué)；王亞男（1986-），女，經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，中國消防救援學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向?yàn)閼?yīng)用統(tǒng)計(jì)；蘇莉（1984-），女，中理學(xué)碩士，國消防救援學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向?yàn)榇鷶?shù)幾何。
王洪慶 王亞男 蘇莉
摘要：在數(shù)學(xué)分析中，當(dāng)我們要證明一個(gè)問題時(shí)，有了正確的思路后，還常常要根據(jù)不同的對象和題設(shè)中的條件采取不同的處理方法，以實(shí)現(xiàn)證明的目標(biāo)，本文對截?cái)嗟奶幚矸椒ê图记蛇M(jìn)行了總結(jié)和提煉。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；截?cái)啵粯O限；一致收斂
中圖分類號：TB文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.22.108
1截?cái)喾椒ǖ母拍?/p>
我們常常要在某些條件下，證明無窮區(qū)間上的函數(shù)或無窮多個(gè)函數(shù)的和函數(shù)具有某些性質(zhì)。例如，一個(gè)實(shí)數(shù)軸上處處連續(xù)的函數(shù)，如果當(dāng)自變量趨于無窮大是有有限的極限，那么它一定有界；如果函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的每一項(xiàng)當(dāng)自變量x→x0時(shí)有極限，并且這個(gè)極限在包含x0的某個(gè)區(qū)間上一致收斂，那么這個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和的極限等于各項(xiàng)極限的和等。在證明這類問題時(shí)，我們的基本依據(jù)是有限區(qū)間上的函數(shù)或有限多個(gè)函數(shù)的和所具有的相關(guān)性質(zhì)，同時(shí)還要根據(jù)給定的條件對無窮區(qū)間或無窮級數(shù)進(jìn)行截?cái)嗵幚恚ㄈ绾芜M(jìn)行具體的截?cái)鄤t要根據(jù)不同的問題做具體的分析）。我們把這種處理方法稱為截?cái)唷?/p>
2截?cái)嗉记傻陌咐芯?/p>
例1設(shè)函數(shù)f（x）∈C（-∞，+∞），且limx→∞f（x）=l（其中l(wèi)為有限數(shù)）。求證：f（x）在（-∞，+∞）上有界。
分析由于limx→∞f（x）=l，根據(jù)局部有界性可知，存A>0使f（x）在（-∞，-A）和（A，+∞）上有界。而在-A，A上可以從f（x）是連續(xù)函數(shù)這一條件獲得其有界性。
證明對ε=1，A>0，當(dāng)x>A時(shí)，有f（x）-l<1，從而
f（x）<1+lx>A。
又因?yàn)閒（x）在（-A，A）上連續(xù)，所以M1>0，使得
f（x）≤M1x>A。
取M=maxM1，1+l，則對一切x∈（-∞，+∞），有f（x）≤M，證明完畢。
例2設(shè)un（x）（n=1，2，…）在（x0-δ，x0+δ）內(nèi)有定義（在點(diǎn)x0也可以沒有定義），limx→x0un（x）=ln，ln是有限數(shù)，且∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收斂，求證：limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln。
分析現(xiàn)在面臨兩個(gè)問題需要解決：
（1）證明∑∞n=1ln收斂。
（2）證明等式limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln成立。
第（1）個(gè)問題由Cauchy收斂原理不難解決。解決第（2）的問題的困難在于項(xiàng)數(shù)的無限多，因?yàn)闃O限運(yùn)算法則只能保證有限多個(gè)函數(shù)和的極限等于它們極限的和。這就需要對無窮和進(jìn)行截?cái)嗵幚?，把它截成?xiàng)數(shù)足夠多的有窮多項(xiàng)和其余的去窮多項(xiàng)（即級數(shù)的“尾巴”），然后分別進(jìn)行考慮，即
∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-∑Nn=1ln+∑∞n=N+1un（x）-∑∞n=N+1ln
我們的目的是證明當(dāng)x充分靠近x0時(shí)，上面的不等式的左邊能夠任意小。這就要分析右邊的情況，而右邊的第一項(xiàng)根據(jù)“有限和的極限等于期各項(xiàng)極限的和”這一法則，要它當(dāng)x→x0時(shí)能任意小時(shí)容易辦到的；第二項(xiàng)是兩個(gè)收斂級數(shù)的“尾巴”，其中∑∞n=N+1ln是收斂技術(shù)的“尾巴”，只要N選的足夠大，它就能任意小，而且與x無關(guān)；另一項(xiàng)∑∞n=N+1un（x）是一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的“尾巴”，只要N足夠大，它也能任意小，并同樣與x無關(guān)。于是問題就不難解決了。至于N如何選取，這就要依賴于正數(shù)ε。
證明對ε>0，由于∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收斂，根據(jù)Cauchy收斂原理，N∈z+，當(dāng)n>N時(shí)，對p∈z+，有
un+1（x）+un+2（x）+…un+p（x）<ε，
令x→x0，就得到
ln+1（x）+ln+2（x）+…ln+p（x）≤ε。
再由Cauchy收斂原理可知∑∞n=1ln收斂。
接下來，取定一個(gè)充分大的N∈z+，使得
∑∞n=N+1ln<ε3，∑∞n=N+1un（x）<ε3 x∈（x0-δ，x0+δ）。
由limx→x0un（x）=ln （n=1，2，…）可知，對上述的ε>0，δ1>0（δ1<δ），當(dāng)0 un（x）-ln<ε3N，（n=1，2，…，N） 從而 ∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-ln+∑∞n=N+1un（x）+∑∞n=N+1ln<ε3N+ε3+ε3=ε，證明完畢。 以上兩個(gè)例子說明，在進(jìn)行截?cái)嗟臅r(shí)候，主要是處理好那個(gè)“無窮部分”（即截?cái)嗪笫Ｏ碌臒o窮區(qū)間或無窮級數(shù)的“尾巴”），因?yàn)橹灰堰@部分處理好之后，我們就可以放心處理有窮部分了，至于從什么部位上進(jìn)行截?cái)?，則要根據(jù)特設(shè)條件和證明的需要而定。 例3設(shè)f（x）∈（-∞，+∞），limx→∞f（x）存在且有限，求證f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。 分析我們需要證明的是：對（-∞，+∞）中的任意兩點(diǎn)x′和x″，只要x′-x″足夠小，fx′-fx″就能夠任意小。對于任何有限區(qū)間-A，A來說，這是比較容易做到的，因?yàn)殚]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。但是對于兩個(gè)無窮區(qū)間（-∞，-A）和（A，+∞）就不能按同樣的想法來對待，因此需要分段考慮。如何選取上述的正數(shù)A呢？就是利用題目中的limx→∞ f（x）存在且有限這個(gè)條件了。 證明對ε>0，由于limx→∞f（x）存在且有限，根據(jù)Cauchy收斂原理，A>0，當(dāng)x′和x″∈（-∞，-A］∪［A，+∞）時(shí)，有 fx′-fx″<ε2。 在-A，A上，由于f（x）一致連續(xù)，自然存在δ>0，使得對于任意的x′，x″∈-A，A，只要x′-x″<δ，就有 fx′-fx″<ε2<ε。 于是對（-∞，+∞）上滿足x′-x″<δ的任意兩點(diǎn)x′和x″來說，不論它們屬于-A，A，還是屬于（-∞，-A）或（A，+∞），都有 fx′-fx″<ε2<ε。 若x′∈-A，A而x″∈（A，+∞），則由x′-x″<δ可知，必有 x′-A<δ且x″-A<δ， 從而有 fx′-fx″≤fx′-fA+fx″-fA<ε2+ε2=ε。 對于x′∈-A，A而x″∈（-∞，-A）的情形同理可證。 綜上所述，只要x′-x″<δ，就有fx′-fx″<ε，證明完畢。 例4設(shè)limn→∞xn=l，求證：limn→∞x1+x2+…+xnn=l。 分析記σn=x1+x2+…+xnn （n=1，2，…），則 σn-l=x1-l+x2-l+…+xn-ln ≤x1-l+x2-l+…+xn-ln。 現(xiàn)在來分析一下不等式右端分子的變化情況。很明顯，雖然項(xiàng)數(shù)在不斷增多，但靠右邊的一些項(xiàng)會隨著n的增大而變小，可以任意?。欢懊娴哪男╉?xiàng)則是固定不變的，根本不能變小。因此我們可以考慮將它們分段處理。 對ε>0，因?yàn)閘imn→∞xn=l，N∈z+，當(dāng)n>N時(shí)，xn-l<ε。因此，對于這樣取定的N，不論n怎樣大（也就是不論項(xiàng)數(shù)怎樣多），從第N+1項(xiàng)開始，以后每一項(xiàng)都小于ε，而這些項(xiàng)加起來小于n-Nε，所以n-Nεn=1-Nnε<ε，所以可以不用去管他，另一方面，既然N已經(jīng)取定，從第一項(xiàng)到第N項(xiàng)加起來就是一個(gè)固定的數(shù)，它被n除過之后就會隨著n的增大也變小。 證明ε>0，因?yàn)閘imn→∞xn=l，N∈z+，當(dāng)n>N時(shí)，xn-l<ε，對于取定的N，記M=maxx1-l，x2-l，…xN-l，再取N1N，使NMN1<ε，于是，當(dāng)n>N1時(shí)，有 σn-l≤x1-l+x2-l+…+xn-ln =x1-l+…+xN-ln+xN+1-l+…+xn-ln 所以limn→∞x1+x2+…+xnn=l，證明完畢。 3結(jié)束語 截?cái)嗵幚硎菙?shù)學(xué)分析長得一種比較基本的處理方法，通過它可以把很多有限范圍內(nèi)成立的性質(zhì)和結(jié)論擴(kuò)展的無線范圍，因此我們在處理與無線范圍有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)有截?cái)嗟囊庾R。 參考文獻(xiàn) [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（ 第五版）上冊［M］.北京：高等教育出版社，2019. [2]馬金玲.淺談數(shù)學(xué)分析中極限的求法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021，（36）. [3]張建華.數(shù)學(xué)分析中證明函數(shù)極限存在性的若干方法[J].景德鎮(zhèn)學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，36（03）. [4]祁偉，郭仲凱.數(shù)學(xué)分析中歸結(jié)原則的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017，（03）. 基金項(xiàng)目：中國消防救援學(xué)院科研項(xiàng)目（XFKYB202211）；中國消防救援學(xué)院教改項(xiàng)目（YJYB2022009）。 作者簡介：王洪慶（1977-），男，理學(xué)碩士，中國消防救援學(xué)院基礎(chǔ)部副教授，研究方向?yàn)榭煽啃岳碚?、?shù)學(xué)教學(xué)；王亞男（1986-），女，經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，中國消防救援學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向?yàn)閼?yīng)用統(tǒng)計(jì)；蘇莉（1984-），女，中理學(xué)碩士，國消防救援學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向?yàn)榇鷶?shù)幾何。
