高雪兒 李代莉 劉志航 鄭超

(北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,北京 100144)

量子模擬利用可控性好的量子系統(tǒng)模擬和研究可控性差或尚不能獲得的量子系統(tǒng),是量子信息科學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容之一.量子模擬可通過(guò)量子計(jì)算機(jī)、量子信息處理器或小型量子設(shè)備實(shí)現(xiàn).非厄米系統(tǒng)近二十年來(lái)受到廣泛關(guān)注,一方面是因?yàn)榉嵌蛎琢孔永碚摽勺鳛閭鹘y(tǒng)厄米量子力學(xué)理論的補(bǔ)充和延拓,且與開(kāi)放或耗散系統(tǒng)聯(lián)系緊密.另一方面,可構(gòu)造具有新奇非厄米性質(zhì)的量子或經(jīng)典系統(tǒng),具有提高精密測(cè)量精度等應(yīng)用價(jià)值.與厄米情況相比,非厄米量子系統(tǒng)的時(shí)間演化不具有幺正性,對(duì)其開(kāi)展量子模擬研究具有一定的挑戰(zhàn).本文介紹了非厄米系統(tǒng)量子模擬理論與實(shí)驗(yàn)新進(jìn)展.理論方面主要介紹了基于酉算子線性組合算法,簡(jiǎn)單梳理了各個(gè)工作的優(yōu)勢(shì)和局限性,并簡(jiǎn)要介紹了量子隨機(jī)行走、嵌入式和空間拓展等量子模擬理論;實(shí)驗(yàn)方面簡(jiǎn)要介紹了利用核磁共振量子系統(tǒng)、量子光學(xué)以及利用經(jīng)典系統(tǒng)模擬非厄米量子系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn).一方面,這些新進(jìn)展結(jié)合了量子模擬與非厄米領(lǐng)域的研究,推動(dòng)了非厄米系統(tǒng)本身的理論、實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用發(fā)展,另一方面拓展了量子模擬和量子計(jì)算機(jī)的可應(yīng)用范圍.

1 引言

量子力學(xué)的基本假設(shè)之一是哈密頓量具有厄米對(duì)稱(chēng)性,保證了系統(tǒng)能量本征值為實(shí)數(shù),具有可觀測(cè)的物理意義.厄米性自然地保證了孤立量子系統(tǒng)時(shí)間演化的幺正性,從而系統(tǒng)所處量子態(tài)的分布概率歸一守恒.然而,一方面自然界中很少有孤立系統(tǒng),普遍存在的是與外部環(huán)境存在能量流、粒子流和信息流交換的開(kāi)放系統(tǒng),量子態(tài)分布不再守恒,在處理這類(lèi)具體問(wèn)題時(shí),引入非厄米哈密頓量將帶來(lái)極大方便[1?15],另一方面是厄米性的要求過(guò)強(qiáng),非厄米哈密頓量在一定條件下仍可保證系統(tǒng)能量本征值為實(shí)數(shù)[16?25].因此,發(fā)展非厄米量子理論成為必要.通常情況下,非厄米系統(tǒng)的能量本征值是復(fù)數(shù),可作為傳統(tǒng)量子力學(xué)理論在復(fù)數(shù)域的拓展.非厄米系統(tǒng)與開(kāi)放和耗散系統(tǒng)聯(lián)系緊密,它具有諸多新奇性質(zhì)、現(xiàn)象和應(yīng)用,引起了廣泛的研究興趣.典型的非厄米哈密頓量包括宇稱(chēng)-時(shí)間對(duì)稱(chēng)哈密頓量和贗厄米對(duì)稱(chēng)哈密頓量.這些哈密頓量以各種各樣的特性引起了人們的廣泛關(guān)注,如奇異點(diǎn)[26?30]、新穎的光學(xué)性質(zhì)[31?37]及對(duì)典型非厄米系統(tǒng)熵的動(dòng)力學(xué)和熵的不確定關(guān)系的研究[38?40]等.

量子模擬最早由物理學(xué)家費(fèi)曼[41]于1982 年提出,之后便引起了人們的持續(xù)關(guān)注.目前,量子模擬已成為實(shí)踐中科學(xué)研究的有力工具.量子模擬不僅可以研究厄米量子力學(xué)系統(tǒng)[42?46],也為研究和模擬非厄米系統(tǒng)[38,47?57]及其相關(guān)新奇量子現(xiàn)象提供了有效的方法.特別是對(duì)于后者,量子模擬已經(jīng)成為量子級(jí)實(shí)驗(yàn)研究的主要方法,量子模擬可以在可控量子系統(tǒng)的空間中構(gòu)造、操作和觀察非厄米系統(tǒng).迄今為止,這一熱點(diǎn)前沿領(lǐng)域受到了人們的廣泛關(guān)注,人們對(duì)非厄米量子系統(tǒng)進(jìn)行了各種研究.

本文簡(jiǎn)要介紹了近年來(lái)非厄米系統(tǒng)的量子模擬理論方案與實(shí)驗(yàn)研究新進(jìn)展.

2 非厄米量子系統(tǒng)的發(fā)展

在量子力學(xué)中,為了確保能級(jí)是正實(shí)數(shù)且系統(tǒng)是幺正的,系統(tǒng)的哈密頓量算符H要求是厄米對(duì)稱(chēng)的,即

其中,符號(hào)“?”為轉(zhuǎn)置共軛算符,表示矩陣轉(zhuǎn)置與復(fù)共軛的組合運(yùn)算.

20 世紀(jì)40 年代,Pauli[1]和Dirac[2]為解決一些物理現(xiàn)象的發(fā)散問(wèn)題分別提出了非厄米理論.自此,非厄米量子力學(xué)開(kāi)始出現(xiàn).在傳統(tǒng)量子力學(xué)(厄米的哈密頓量)中,為保證物理量是可觀測(cè)的,要求系統(tǒng)的哈密頓量具有厄米對(duì)稱(chēng)性,這使得系統(tǒng)的時(shí)間演化具有幺正性,系統(tǒng)可能出現(xiàn)的量子態(tài)的概率總和是歸一化的且不隨時(shí)間變化.然而非厄米量子系統(tǒng)不具有這些特點(diǎn).并不是所有非厄米哈密頓量的本征值都是虛數(shù),有一種特殊情況,即具有宇稱(chēng)-時(shí)間(PT)對(duì)稱(chēng)性的非厄米哈密頓量,它的本征值可是實(shí)數(shù)[16?19].這一發(fā)現(xiàn)引起了科學(xué)界廣泛的研究興趣.Bender 等[16?19]和Mostafazadeh[20?24]分別做了系統(tǒng)的研究,他們構(gòu)造出了許多實(shí)本征值的非厄米哈密頓量模型,建立了完備的非厄米量子力學(xué)理論.

2.1 PT 對(duì)稱(chēng)量子力學(xué)

PT 對(duì)稱(chēng)量子力學(xué)領(lǐng)域由圣路易斯華盛頓大學(xué)的Bender 和Boettcher[16]建立于1998 年.他們的研究表明,當(dāng)哈密頓量滿足一定的對(duì)稱(chēng)性時(shí),就可以確保它的本征值是實(shí)數(shù),而不僅限于哈密頓量是厄米的,因此用非厄米的哈密頓量描述自然界的物理過(guò)程成為可能.前面提到的對(duì)稱(chēng)性便是宇稱(chēng)-時(shí)間對(duì)稱(chēng)性,其哈密頓量H用下式表示:

可以簡(jiǎn)記為H=HP T,其中P是宇稱(chēng)算符,T是時(shí)間演化算符,二者互相對(duì)易.PT 對(duì)稱(chēng)理論的主要思想是將哈密頓量的厄米性用約束較小的PT對(duì)稱(chēng)性替代.具有PT 對(duì)稱(chēng)性的非厄米哈密頓量本征值依然可以是實(shí)數(shù).Bender[16]的PT 對(duì)稱(chēng)量子理論是非厄米量子理論的一個(gè)重要部分,為量子力學(xué)的發(fā)展提供了廣闊的空間.迄今為止,PT 對(duì)稱(chēng)的非厄米量子系統(tǒng)在很多領(lǐng)域中都得到了研究者們廣泛的關(guān)注,如量子力學(xué)基礎(chǔ)理論、數(shù)學(xué)物理、開(kāi)放的量子系統(tǒng)、無(wú)序體系、具有復(fù)折射率的光學(xué)系統(tǒng)及拓?fù)浣^緣體等[26,27,58?63].

2.2 贗厄米量子力學(xué)

在PT 對(duì)稱(chēng)量子理論建立之后,仍然還有許多具有實(shí)本征值的非厄米系統(tǒng)[21,64]沒(méi)有被囊括,而且這些哈密頓量并不具有PT 對(duì)稱(chēng)性.所以,PT對(duì)稱(chēng)性既不是非厄米系統(tǒng)具有實(shí)本征值的充分條件,也不是必要條件.人們把這類(lèi)具有實(shí)本征值但是并不是厄米對(duì)稱(chēng)的系統(tǒng)稱(chēng)作贗厄米系統(tǒng),贗厄米性同時(shí)也是系統(tǒng)的哈密頓量具有實(shí)本征值的充分必要條件.贗厄米理論最初是由Pauli[1]用不定內(nèi)積構(gòu)建的,其哈密頓量為

其中,η通常要求是線性厄米算符.伊斯坦布爾科奇大學(xué)的Mostafazadeh[20?24]于2002 年利用雙正交基解釋了贗厄米量子力學(xué)體系,從數(shù)學(xué)的角度建立了具有一組完備雙正交基和分立能譜的η贗厄米量子力學(xué)理論.使用雙正交基矢賦予系統(tǒng)完備性以及正定內(nèi)積,但這里的完備性和正定內(nèi)積與普通量子力學(xué)中的不同,做內(nèi)積運(yùn)算的兩組本征函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的哈密頓量及其厄米共軛算符.

2.3 PT 對(duì)稱(chēng)、PT 反對(duì)稱(chēng)、P 贗厄米對(duì)稱(chēng)和P 贗厄米反對(duì)稱(chēng)二能級(jí)量子系統(tǒng)

為了方便對(duì)酉算子線性組合量子模擬幾個(gè)非厄米系統(tǒng)進(jìn)行介紹,本節(jié)簡(jiǎn)述PT 對(duì)稱(chēng)、PT 反對(duì)稱(chēng)(APT)、P 贗厄米對(duì)稱(chēng)(PPH)和P 贗厄米反對(duì)稱(chēng)(APPH)二能級(jí)量子系統(tǒng).選取宇稱(chēng)算符P為時(shí)間反演算符T作用是取復(fù)共軛,由此可推得PT 對(duì)稱(chēng)二能級(jí)量子系統(tǒng)哈密頓量為

其中,參量r,s,w和θ均是實(shí)數(shù).二能級(jí)量子系統(tǒng)中,PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量的本征值是ε±=rcosθ±系統(tǒng)的能級(jí)差為

?PT只能是實(shí)數(shù)或者純虛數(shù).PT 反對(duì)稱(chēng)哈密頓量遵循H=?(P T)?1HP T,它可以由PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量乘以虛數(shù)i 得到,使得PT 反對(duì)稱(chēng)量子系統(tǒng)與PT 對(duì)稱(chēng)量子系統(tǒng)有著緊密的聯(lián)系.在光學(xué)系統(tǒng)中,PT 系統(tǒng)的無(wú)損耗傳播對(duì)應(yīng)于APT 系統(tǒng)的無(wú)折射傳播,為非厄米系統(tǒng)中調(diào)控光和形成互補(bǔ)探針提供了可能[65].PT 反對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)的哈密頓量如下:

APT 系統(tǒng)的本征值ε±與PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的本征值iε±相差一個(gè)i 因子,所以其能極差也有下列關(guān)系:

當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓量的本征矢在PT 對(duì)稱(chēng)算符下改變時(shí),PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)和PT 反對(duì)稱(chēng)量子系統(tǒng)的哈密頓量是自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺的(broken).但是當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓量的本征矢在PT 對(duì)稱(chēng)算符下不變時(shí),PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)和PT 反對(duì)稱(chēng)量子系統(tǒng)的哈密頓量是未破缺的(unbroken).PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺相(非破缺相)對(duì)應(yīng)于能極差?PT是純虛數(shù)(實(shí)數(shù))的情況,而APT 系統(tǒng)的自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺相(未破缺相)對(duì)應(yīng)于能極差?APT是實(shí)數(shù)(純虛數(shù))的情況.當(dāng)系統(tǒng)的能極差為0 時(shí),系統(tǒng)處于PT 對(duì)稱(chēng)破缺和未破缺的交界處,稱(chēng)之為相變點(diǎn)(EPs),此時(shí)系統(tǒng)的能級(jí)發(fā)生合并,在附近出現(xiàn)很多新奇性質(zhì).二能級(jí)量子系統(tǒng)中,把η算符用宇稱(chēng)算符P替代時(shí),P 贗厄米對(duì)稱(chēng)二能級(jí)量子系統(tǒng)的哈密頓量有如下形式:

其中,u與v是實(shí)數(shù),其余參數(shù)同上.二能級(jí)量子系統(tǒng)中PPH 哈密頓量的本征值是=rcosθ±系統(tǒng)的能級(jí)差是

?PPH只能是實(shí)數(shù)或者純虛數(shù).鑒于PT 對(duì)稱(chēng)、贗厄米對(duì)稱(chēng)和PT 反對(duì)稱(chēng)哈密頓量量子系統(tǒng)的發(fā)展,以及考慮到PT 對(duì)稱(chēng)及其反對(duì)稱(chēng)哈密頓量的關(guān)系,研究人員自然地延伸到對(duì)贗厄米反對(duì)稱(chēng)哈密頓量的研究.同PT 對(duì)稱(chēng)和APT 哈密頓量的關(guān)系類(lèi)似,贗厄米反對(duì)稱(chēng)哈密頓量是在贗厄米對(duì)稱(chēng)哈密頓量上乘虛數(shù)i,它滿足H?=?ηHη?1.將η算符取作宇稱(chēng)算符,那么相應(yīng)的APPH 二能級(jí)量子系統(tǒng)的哈密頓量如下:

在PPH 和APPH 量子系統(tǒng)里面也出現(xiàn)了相變點(diǎn),即?PPH和?APPH等于0 的情況.以相變點(diǎn)為邊界,可以把PPH 系統(tǒng)與APPH 系統(tǒng)分為實(shí)能極差和虛能極差兩個(gè)相位.圖1[38]和圖2[38]給出了PT 對(duì)稱(chēng)、APT、PPH 和APPH 系統(tǒng)的三個(gè)參數(shù)的空間,描述了系統(tǒng)的相變點(diǎn)EPs、相空間以及參數(shù)空間內(nèi)部的聯(lián)系.

圖1 PT 對(duì)稱(chēng)和PPH 系統(tǒng)的參數(shù)空間(w,s,θ和 v,u,θ,設(shè)置 r=2) (a) PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng);(b) PPH 系統(tǒng)[38]Fig.1.Parameter spaces of PT-symmetric and P-pseudo-Hermitian systems (w,s,θand v,u,θwith setting r=2):(a) PT-symmetric systems;(b) PPH systems[38].

圖2 APT 和APPH 系統(tǒng)的參數(shù)空間(w,s,θ和 v,u,θ,設(shè)置 r=2) (a) APT 系統(tǒng);(b) APPH 系統(tǒng)[38]Fig.2.Parameter spaces of APT-symmetric and anti-Ppseudo-Hermitian systems (w,s,θand v,u,θ with setting r=2): (a) APT-symmetric systems;(b) APPH systems[38].

3 基于LCU 對(duì)非厄米系統(tǒng)的量子模擬理論

量子模擬的概念于20 世紀(jì)80 年代被首次提出,致力于用另一個(gè)可控系統(tǒng)來(lái)模擬量子系統(tǒng)[41,66].從那時(shí)起,量子計(jì)算就已經(jīng)成為物理學(xué)中最富有成果的研究領(lǐng)域之一.量子計(jì)算機(jī)運(yùn)用量子迭加態(tài)和量子糾纏等量子性質(zhì)對(duì)信息進(jìn)行處理,具有的強(qiáng)大的并行功能使得計(jì)算速度指數(shù)倍提高.然而,量子計(jì)算的功能需要通過(guò)量子算法來(lái)體現(xiàn).Benioff[66]于1980 年提出了量子計(jì)算的概念并對(duì)其展開(kāi)了研究,Feynman[41]于1982 年提出用量子計(jì)算機(jī)模擬量子體系,Deutsch[25]于1985 年完善了量子計(jì)算的概念.但直到1994 年Shor[67]提出大數(shù)分解、1996 年Grover[68]提出量子搜索算法后,量子計(jì)算才得到科學(xué)界廣泛的關(guān)注,成為持續(xù)至今的國(guó)際研究前沿[69].傳統(tǒng)量子算法都是通過(guò)系統(tǒng)幺正演化進(jìn)行信息的處理,一次計(jì)算過(guò)程等同于進(jìn)行了一次封閉系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化.而近些年各種有關(guān)非幺正時(shí)間演化的方法陸續(xù)出現(xiàn)[14,70?78],包括酉算子的線性組合(linear combinations of unitaries,LCU)[14,72,73]、虛時(shí)演化法[74,75]、含時(shí)變分法[76]和拓展法[77,78].

3.1 基于LCU 的量子模擬方法

2006 年,清華大學(xué)的龍桂魯教授[72,73]首次提出LCU 算法.與傳統(tǒng)的只能進(jìn)行幺正算子乘除運(yùn)算的算法不同,LCU 算法可以實(shí)現(xiàn)幺正算子的加減乘除四則運(yùn)算,從而以一定概率實(shí)現(xiàn)非幺正量子門(mén)操作,進(jìn)一步拓展構(gòu)造量子算法的思路和方法.隨后,LCU 算法得到快速發(fā)展[79?88],目前已經(jīng)成為設(shè)計(jì)新量子算法最有力的工具之一,并得到廣泛應(yīng)用[89].

3.2 基于LCU 構(gòu)造典型非厄米量子系統(tǒng)

3.2.1 廣義PT 對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)的量子模擬

由于非厄米性,PT 對(duì)稱(chēng)量子系統(tǒng)的演化不是單一的.盡管已經(jīng)有人提出了一些特殊的PT 對(duì)稱(chēng)量子系統(tǒng)的模擬[47,49,90],并在實(shí)驗(yàn)中得到實(shí)現(xiàn)[47,49],但常規(guī)量子計(jì)算機(jī)模擬廣義的PT 對(duì)稱(chēng)非厄米量子系統(tǒng)仍然是一個(gè)問(wèn)題.文獻(xiàn)[51]從理論上研究了廣義的PT 對(duì)稱(chēng)二能級(jí)量子系統(tǒng),既適用于PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)(非對(duì)角元互為復(fù)共軛),也適用于PPH 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)(非對(duì)角元均是實(shí)數(shù)).研究人員利用LCU的思想,首次在四維希爾伯特空間中構(gòu)造PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量系統(tǒng),進(jìn)而模擬其時(shí)間演化[51].此實(shí)驗(yàn)利用廣義PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量以及輔助的qubit,推動(dòng)工作qubit 的演化,實(shí)現(xiàn)了廣義PT 量子短時(shí)間問(wèn)題的快速演化(如圖3 所示[51]).這一模擬方法為在核磁共振量子系統(tǒng)和量子光學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)廣義PT 對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)的量子模擬提供了理論支持.此外,研究人員還展示了如何分別以qutrit 和qudit作為輔助量子比特實(shí)現(xiàn)廣義PT 對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)(如圖4(a)和圖4(b)所示[51]),在某些情況下,這些系統(tǒng)比以qubit 作為輔助量子比特的量子計(jì)算機(jī)具有優(yōu)勢(shì).

圖3 廣義PT 對(duì)稱(chēng)二能級(jí)量子系統(tǒng)的量子線路[51]Fig.3.Quantum circuit for a general PT-symmetric twolevel system[51].

圖4 由輔助qutrit 和輔助qudit 構(gòu)造廣義PT 對(duì)稱(chēng)二能級(jí)量子系統(tǒng)的電路圖 (a)輔助qutrit;(b)輔助qudit[51]Fig.4.Quantum circuit for a general PT-symmetric two-level system by ancillary qutrit or ancillary qudit: (a) Ancillary qutrit;(b) ancillary qudit[51].

3.2.2 廣義PT 反對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)的量子模擬

除了PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)外,PT 反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)[91,92]也具有新奇性質(zhì)和潛在應(yīng)用而受到廣泛關(guān)注,如具有平衡正負(fù)折射率的APT 光子結(jié)構(gòu)的光學(xué)材料[93]、具有恒定折射的APT 光學(xué)系統(tǒng)[94]、具有APT 性的擴(kuò)散系統(tǒng)[95]、APT 系統(tǒng)中耦合-誘導(dǎo)的幺正和非幺正散射[96]等.因此,對(duì)于APT 量子系統(tǒng)的模擬尤為重要.研究人員首次提出了基于LCU 量子模擬APT 二能級(jí)系統(tǒng)的理論方案[55],提出的量子模擬理論方案,既適用于APT 系統(tǒng)(非對(duì)角元互為復(fù)共軛),也適用于APPH 系統(tǒng)(非對(duì)角元均是實(shí)數(shù)).研究發(fā)現(xiàn),該方案需要的最小希爾伯特空間維度為六維,可由一個(gè)qutrit 和一個(gè)qubit 組成的量子計(jì)算機(jī)來(lái)完成一般任務(wù).利用對(duì)偶量子算法[72,73,80,81],設(shè)計(jì)了一個(gè)qubit-qutrit 混合系統(tǒng)的量子線路,它可以實(shí)現(xiàn)LCU.qutrit 作為構(gòu)建廣義APT 子系統(tǒng)的輔助比特.當(dāng)qutrit 在狀態(tài) |0〉a中被測(cè)量時(shí),廣義PT 反對(duì)稱(chēng)哈密頓算符將推動(dòng)工作比特的演化(如圖5 所示[55]).此外,研究人員還設(shè)計(jì)量子比特系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)量子模擬過(guò)程,給出了量子比特量子計(jì)算機(jī)的流程圖和量子電路(如圖6 所示[55]),流程圖和量子電路都是為三量子位量子計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的,使得利用現(xiàn)有技術(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)成為可能.

圖5 模擬處于任意相的PT 反對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)的量子線路[55]Fig.5.Quantum circuit for a generalized APT-symmetric two-level system in arbitrary phase[55].

圖6 量子計(jì)算機(jī)的流程圖和量子線路圖 (a)模擬廣義APT 系統(tǒng)的流程圖;(b)模擬廣義APT 系統(tǒng)的線路圖;(c)第一次測(cè)量之后的初始化和空間準(zhǔn)備的量子線路圖;(d)第二次測(cè)量之后的量子線路圖[55]Fig.6.Flow chart and quantum circuit for a qubit computer: (a) Flow chart of quantum simulation of the generalized APT-symmetric system;(b) quantum circuit to simulate the evolution of the generalized APT-symmetric system;(c) quantum circuit for space preparation and initialization after the first measurement;(d) quantum circuit for initialization after the second measurement[55].

3.2.3 PT 任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的量子模擬

研究人員首次將PT 對(duì)稱(chēng)和PT 反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)推廣到PT 任意相位(PT-φ)對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)[97,98].對(duì)于一個(gè)非厄米哈密頓量H,研究人員找到了PT 對(duì)稱(chēng)和PT 反對(duì)稱(chēng)哈密頓量HPT和HAPT=iHPT,使得H可以被視為HPT和HAPT的結(jié)合,如下式所示:

其中φ是與哈密頓量對(duì)稱(chēng)性相關(guān)的相位,(12)式等價(jià)于,該式具有和任意子相同的對(duì)易形式,因此稱(chēng)H為PT 任意相位對(duì)稱(chēng)或PT-φ對(duì)稱(chēng)哈密頓量(也有文章稱(chēng)其為任意子PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量).與哈密頓量H對(duì)稱(chēng)性相關(guān)的相位φ固定為 2kπ (k取整數(shù)),系統(tǒng)為PT 對(duì)稱(chēng)情況;相位固定為 (2k+1)π 時(shí),系統(tǒng)則為PT 反對(duì)稱(chēng)情況(k取整數(shù)).這種表示非厄米哈密頓量的方法對(duì)任意維度的量子系統(tǒng)都適用.文獻(xiàn)[99]給出了二維情況下哈密頓量的一般形式,并討論了它的基本性質(zhì),如特征值、PT 對(duì)稱(chēng)性是否自發(fā)破缺的條件等.同時(shí),研究人員從理論上研究了用傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)對(duì)PT 任意相位對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)時(shí)間演化的量子模擬,基于LCU 設(shè)計(jì)了qubit-qudit 混合(如圖7 所示[99])和純量子比特(如圖8 所示[99])器件的量子線路.兩個(gè)方案都由一個(gè)工作qubit 和輔助qubit (或qudit)組成,經(jīng)過(guò)一系列的量子門(mén)操作,使得工作qubit 以一定概率按照非厄米哈密頓量進(jìn)行時(shí)間演化.前一個(gè)方案清晰地展示了模擬方法,而后一個(gè)方案更具有實(shí)用性和較高的成功概率.這兩個(gè)方案有望在小型量子器件,如核磁共振和量子光學(xué)系統(tǒng)中實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).類(lèi)似于PT 任意相位對(duì)稱(chēng)非厄米系統(tǒng),贗厄米任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的量子模擬理論在文獻(xiàn)[100]中被提出.

圖7 Qubit-qudit 混合量子線路(由一個(gè)工作量子比特和四維輔助量子比特組成的混合系統(tǒng))[99]Fig.7.Qubit-qudit hybrid quantum circuit (The hybrid system consists of a work qubit and a four-dimensional ancillary qudit)[99].

圖8 三量子比特線路(由一個(gè)工作比特和兩個(gè)輔助量子比特子系統(tǒng)構(gòu)成)[99]Fig.8.Three-qubit quantum circuit(consists of a work qubit and a two-qubit ancillary subsystems)[99].

3.2.4 P 贗厄米反對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)的量子模擬

文獻(xiàn)[101]對(duì)P 贗厄米反對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)進(jìn)行了量子模擬理論研究.研究人員使用對(duì)偶量子計(jì)算方法,有效模擬了系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)到不同相位的APPH 系統(tǒng)演化.要在量子比特計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)對(duì)任意APPH 系統(tǒng)下的量子模擬,三個(gè)量子比特是必不可少的.研究人員發(fā)現(xiàn)六維和八維(如圖9 和圖10 所示[101])方案都能夠?qū)崿F(xiàn)模擬,但是分別具有不同的優(yōu)勢(shì).六維方案的成功概率更高,而八維方案則需要較少的量子門(mén)操作.因此,選擇哪種方案取決于實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可控性.當(dāng)APPH 系統(tǒng)處于某些特殊相位時(shí),可以使用更少的量子位來(lái)模擬.如系統(tǒng)哈密頓量參數(shù)的非對(duì)角元相等時(shí),只需兩個(gè)量子比特即可模擬,并且具有更高的成功概率.

圖9 (a) qubit-qutrit 混合量子計(jì)算機(jī)的線路圖;(b)三比特量子計(jì)算機(jī)的量子線路圖[101]Fig.9.(a) Quantum circuit for a qubit-qutrit hybrid computer;(b) quantum circuit designed for a quantum computer of three qubits[101].

圖10 (a) qubit-qudit 混合量子計(jì)算機(jī)的線路圖;(b)六維子空間中三量子比特量子計(jì)算機(jī)的線路圖[101]Fig.10.(a) Quantum circuit for a qubit-qudit hybrid computer;(b) quantum circuit designed for a quantum computer of three qubits using the full Hilbert space[101].

3.2.5τ-贗厄米反對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)的量子模擬

除了上文討論的PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)、P 贗厄米對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)及它們分別對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)之外,2002 年,Mostafazadeh[22]定義并研究了一類(lèi)哈密頓量為τ-贗厄米反對(duì)稱(chēng)(τ-APH)的非厄米系統(tǒng).τ-APH 哈密頓量滿足

其中,τ是反線性反厄米可逆的變換.τ-APH 哈密頓量及其算子τ對(duì)于深入研究具有實(shí)數(shù)能譜的非厄米哈密頓量的充分必要條件都具有重要意義.文獻(xiàn)[57]研究了基于LCU[72]對(duì)τ-贗厄米反對(duì)稱(chēng)二能級(jí)系統(tǒng)的量子模擬.詳細(xì)提出了將反線性算子τ指定為T(mén)算子或P算子后,如何在一般情況下使用三個(gè)量子比特以及特殊情況下使用兩個(gè)量子比特來(lái)模擬T-APH (如圖11 所示[57])和PT-APH(如圖12 所示[57]).在一般情形下,使用LCU 來(lái)模擬時(shí)間演化需要用到的最小希爾伯特空間是六維.特殊情形下,兩種方案都可以實(shí)現(xiàn)模擬,但兩個(gè)量子比特的方案成功概率更高,這取決于初始狀態(tài)、哈密頓量和所使用希爾伯特空間的維數(shù).因此,將基于LCU 的幺正擴(kuò)張項(xiàng)以及相位匹配條件相結(jié)合對(duì)于量子模擬前所需的維數(shù)、節(jié)省量子比特源以及提高成功概率具有重要意義.這種模擬方法可以推廣到模擬一般的τ-APH 高能級(jí)系統(tǒng),未來(lái)可以在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn).

圖11 模擬T-APH 二能級(jí)系統(tǒng)的三量子比特線路圖[57]Fig.11.Three-qubit quantum circuit to simulate a T-anti-pseudo-Hermitian two-level system[57].

4 基于LCU 對(duì)非厄米系統(tǒng)的量子模擬實(shí)驗(yàn)

前面介紹了基于LCU 對(duì)非厄米系統(tǒng)的量子模擬理論方案,現(xiàn)在介紹實(shí)驗(yàn)方案.量子模擬實(shí)驗(yàn)可以運(yùn)用不同的系統(tǒng),典型的系統(tǒng)有核磁共振量子系統(tǒng)、量子光學(xué)系統(tǒng)、超導(dǎo)量子系統(tǒng)、離子阱系統(tǒng)、超冷原子系統(tǒng)等.本節(jié)介紹在核磁共振量子系統(tǒng)以及量子光學(xué)系統(tǒng)中運(yùn)用LCU 的方法對(duì)非厄米系統(tǒng)的量子進(jìn)行模擬的實(shí)驗(yàn)方案.

4.1 廣義PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的數(shù)字量子模擬實(shí)驗(yàn)演示

數(shù)字量子模擬(DQS)是一種重要的量子模擬實(shí)驗(yàn)方法,可以用作通用量子計(jì)算機(jī)[85].DQS 算法用于模擬具有電路模型的量子系統(tǒng),其量子操作被分解為一般量子門(mén)的時(shí)間順序序列.研究人員基于文獻(xiàn)[51]提出的對(duì)廣義PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的量子模擬方法,展示了一種在量子計(jì)算框架中使用電路模型實(shí)現(xiàn)廣義PT 對(duì)稱(chēng)算符的DQS 通用方法[52].研究人員在核磁共振平臺(tái)上實(shí)驗(yàn)研究了PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的糾纏特性,展示了該方案在糾纏恢復(fù)中的應(yīng)用.需要強(qiáng)調(diào)的是,通過(guò)對(duì)原始量子線路的適當(dāng)修改,可以實(shí)現(xiàn)在一般的非厄米算符中的糾纏恢復(fù),這意味著可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)中演示的協(xié)議,在沒(méi)有厄米限制的情況下實(shí)現(xiàn)一般的二能級(jí)系統(tǒng)演化.這個(gè)實(shí)驗(yàn)揭示了兩體非厄米體系中,在PT 對(duì)稱(chēng)非破缺相位中兩個(gè)qubit 的熵和糾纏的振蕩.

4.2 PT 對(duì)稱(chēng)破缺下具有非零熵穩(wěn)定狀態(tài)的非厄米系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)演示

4.1節(jié)的研究是關(guān)于兩體非厄米體系,系統(tǒng)中的二量子比特(Alice 和Bob)最初糾纏在一起,Alice 在局部PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量下演化.這樣的二量子比特模型會(huì)導(dǎo)致在PT 對(duì)稱(chēng)非破缺相位中熵和糾纏的振蕩,這違反了糾纏單調(diào)性[52,86].具體來(lái)說(shuō),破缺相中兩個(gè)量子位的熵和糾纏均呈指數(shù)衰減至零,并形成不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定態(tài).這種穩(wěn)定態(tài)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程被稱(chēng)為正常動(dòng)力學(xué)模式(NDP),它只與量子相位有關(guān),而與非厄米性的程度無(wú)關(guān).

然而,文獻(xiàn)[87]發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)從兩體模型擴(kuò)展到三體模型時(shí),會(huì)出現(xiàn)另一種演化過(guò)程,稱(chēng)為異常動(dòng)態(tài)模式(ADP).從理論和實(shí)驗(yàn)的角度研究了具有局域PT 對(duì)稱(chēng)的三量子比特系統(tǒng)中熵和糾纏的演化過(guò)程.在該系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了ADP 和NDP 兩種動(dòng)力學(xué)模式,其中熵和糾纏傾向于穩(wěn)定在ADP 中與非厄米相關(guān)的非零值,這在兩體系統(tǒng)中是不存在的.ADP 中的兩體子系統(tǒng)在奇異點(diǎn)處呈現(xiàn)最大糾纏增加,且互信息可以超過(guò)初始值.此外,還在具有核自旋的四量子位量子模擬器上實(shí)現(xiàn)了具有非零熵和糾纏態(tài)的非厄米系統(tǒng)中穩(wěn)定狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)演示.當(dāng)PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)從兩體擴(kuò)展到三體時(shí),會(huì)出現(xiàn)一些不同的物理性質(zhì),糾纏和互信息的增強(qiáng)具有重要的物理意義.

4.3 利用光子量子位對(duì)PT 對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M

基于經(jīng)典光學(xué)實(shí)驗(yàn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)PT 對(duì)稱(chēng)模擬和應(yīng)用已經(jīng)成熟.然而,實(shí)驗(yàn)上利用線性量子光學(xué)構(gòu)造和研究PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)仍然存在挑戰(zhàn).研究人員基于LCU 非厄米量子模擬理論[14,72,73],利用線性量子光學(xué)系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)了對(duì)廣義PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的量子模擬[102].如圖13[102]所示,通過(guò)使用輔助量子位放大系統(tǒng),并用后選擇過(guò)程模擬了全厄米系統(tǒng)子系統(tǒng)中UPT算子的相位.結(jié)果表明,當(dāng)只考慮PT 對(duì)稱(chēng)演化子空間時(shí),可以高保真地觀察到演化過(guò)程中的狀態(tài).由于擴(kuò)展方法的有效操作,此項(xiàng)工作為進(jìn)一步利用PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量的奇異特性進(jìn)行量子模擬和量子信息處理提供了一條途徑.

圖13 由制備、演化和檢測(cè)三個(gè)模塊組成的實(shí)驗(yàn)裝置[102]Fig.13.Experimental configuration includes three modules: the preparation module,the evolution and the detection part[102].

4.4 核自旋PT 反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)中信息流的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)

基于文獻(xiàn)[55]提出的理論,研究人員首次在核磁共振量子計(jì)算平臺(tái)上實(shí)驗(yàn)?zāi)M了廣義PT 反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的時(shí)間演化,發(fā)現(xiàn)PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)中的信息回流也存在于PT 反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)中,并且實(shí)驗(yàn)演示了信息流振蕩[56].實(shí)驗(yàn)表明在破缺相中,信息流在環(huán)境和系統(tǒng)之間來(lái)回振蕩并出現(xiàn)信息回流的現(xiàn)象(如圖14 所示[56]),該現(xiàn)象在傳統(tǒng)的厄米量子力學(xué)中是不存在的.研究還表明,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)接近奇異點(diǎn)發(fā)生相變之前,振蕩周期和振幅均單調(diào)增加;而在通過(guò)臨界點(diǎn)后,環(huán)境中的信息將不再流回系統(tǒng)中,實(shí)現(xiàn)了PT 反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)破缺相變過(guò)程.對(duì)稱(chēng)破缺相位中的單調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系表明,此結(jié)果可以為量子系統(tǒng)提供一種度量非厄米性的方法.此外,研究人員還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的反對(duì)應(yīng)關(guān)系: 當(dāng)PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)處于破缺相時(shí),不存在信息流振蕩或信息回流,而在PT 反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的破缺相中,存在信息回流的現(xiàn)象.

圖14 可區(qū)分性測(cè)量的信息流實(shí)驗(yàn)結(jié)果[56]Fig.14.Experimental results of information flow measured by distinguishability[56].

5 其他量子模擬理論方案

本節(jié)簡(jiǎn)要介紹量子模擬非厄米系統(tǒng)的其他理論方案,包括量子隨機(jī)行走、嵌入式量子模擬以及空間拓展等多種對(duì)非厄米系統(tǒng)的量子模擬方案.

5.1 量子隨機(jī)行走

1993 年,Aharonov 等[103]首次提出量子隨機(jī)行走的概念,量子隨機(jī)行走是經(jīng)典隨機(jī)行走在量子世界的對(duì)照.目前有兩種形式的量子隨機(jī)行走: 離散量子行走(discrete time quantum walk,DTQW)和連續(xù)量子行走(continuous time quantum walk,CTQW).這兩種形式的主要區(qū)別是: 使用演化算符時(shí)消耗的時(shí)間不同.在DTQW 中,該系統(tǒng)相應(yīng)的演化算符僅作用于離散時(shí)間步長(zhǎng);而在CTQW中,演化算符可以在任何時(shí)間所用.其中連續(xù)量子隨機(jī)行走由Farhi 和Gutmann[104]于1998 年首次提出,而離散量子隨機(jī)行走由Watrous[105]于2001年提出.

量子隨機(jī)行走在量子信息中有著廣泛的應(yīng)用,如利用量子隨機(jī)行走開(kāi)發(fā)的對(duì)于無(wú)序數(shù)據(jù)庫(kù)的搜尋算法.正是因?yàn)榱孔与S機(jī)行走優(yōu)于經(jīng)典隨機(jī)行走的特性,使得攜帶信息量子態(tài)的擴(kuò)散速度與經(jīng)典相比有二次方式的增長(zhǎng).過(guò)去,研究人員普遍認(rèn)為彈道式擴(kuò)散是量子隨機(jī)行走的特性并對(duì)其加以利用.但在2015 年薛鵬教授課題組[106]首次觀測(cè)到量子隨機(jī)行走中光信息的傳播擴(kuò)散與恢復(fù),這一項(xiàng)關(guān)于光在量子隨機(jī)行走中的動(dòng)力學(xué)演化研究中提出的理論及實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證顛覆了人們對(duì)量子隨機(jī)行走的認(rèn)識(shí),并為量子隨機(jī)行走在量子信息中的應(yīng)用提供了新的方向,為理解基于量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)演化的基本現(xiàn)象提供了新的視角,同時(shí)也為研究量子擴(kuò)散及對(duì)拓?fù)洮F(xiàn)象的量子模擬提供了新的思路.接著在2017 年,薛鵬教授課題組[91]首次在開(kāi)放系統(tǒng)中實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了PT 對(duì)稱(chēng)的量子隨機(jī)行走并觀測(cè)到新型一維拓?fù)浔Ｗo(hù)邊界態(tài),為基于量子隨機(jī)行走平臺(tái)實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算提供了新的依據(jù).該課題組設(shè)計(jì)了開(kāi)放系統(tǒng)量子行走模型,以行走者的概率交替損耗-不損耗的方式取代難以實(shí)現(xiàn)的損耗-增益,證明其同樣滿足PT 對(duì)稱(chēng)性.并利用單光子在線性光學(xué)體系中實(shí)現(xiàn)了PT 對(duì)稱(chēng)的量子行走,分別演示了PT對(duì)稱(chēng)性保持、破缺以及臨界點(diǎn)的量子特性.首次實(shí)現(xiàn)了真正意義上的PT 對(duì)稱(chēng)的量子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程.

5.2 嵌入式量子模擬

西班牙巴斯克大學(xué)Solano 課題組[107?109]首次引入了嵌入式量子模擬的概念.嵌入式量子模擬是指通過(guò)引入輔助量子比特,將原空間中的力學(xué)量及Schr?dinger 方程編譯至放大的希爾伯特空間中,將其對(duì)應(yīng)至目前可高度操控的量子模擬平臺(tái),經(jīng)過(guò)時(shí)間演化后,再反投影回原空間,實(shí)現(xiàn)違反因果律的非物理操作觀測(cè).嵌入式量子模擬器使得量子模擬的內(nèi)容更加豐富,實(shí)現(xiàn)了原本無(wú)法在自然中觀測(cè)到的現(xiàn)象.目前,嵌入式量子模擬器已經(jīng)被應(yīng)用于模擬波函數(shù)的復(fù)共軛、反線性和反幺正操作[107]及其在囚禁離子平臺(tái)與光學(xué)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)[110,111]、研究量子計(jì)算中的糾纏單調(diào)性[109]及其利用Mφl(shuí)mer-Sφrensen 量子門(mén)與局部旋轉(zhuǎn)門(mén)在囚禁離子平臺(tái)實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證方案[112].近年來(lái)使用嵌入式方法對(duì)PT對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的模擬得以實(shí)現(xiàn)[113?115].這種嵌入式模擬方法基于Naimark 放大理論,通過(guò)放大非厄米的PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量以實(shí)現(xiàn)更高維度的厄米哈密頓量,并且在后選擇的輔助比特上實(shí)現(xiàn)固定投影算符.然而,這類(lèi)嵌入式模擬PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)方法的成功概率還可以提高.研究人員提出了一種局部算符和經(jīng)典交流(LOCC)協(xié)議嵌入式模擬PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化[88],只需要用到一個(gè)輔助比特.一般情況下的成功概率被提升到原來(lái)嵌入方式的一倍以上,特殊情況下成功概率甚至可以趨于100%.并且,這種LOCC 協(xié)議更加靈活,對(duì)度量算符的依賴更小,更適合用于粒子的應(yīng)用.相比于利用至少需要一個(gè)輔助量子比特的LCU 模擬非厄米系統(tǒng),LOCC 嵌入式量子模擬只需要一個(gè)輔助量子比特便可以實(shí)現(xiàn)PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng).

5.3 空間拓展

德國(guó)魯爾大學(xué)Günther 和Samsonov[90]于2008年提出了對(duì)具有PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量的短時(shí)量子系統(tǒng)進(jìn)行奈馬克拓展(Naimark dilation),將其重新解釋為高維希爾伯特空間中厄米系統(tǒng)的一個(gè)子系統(tǒng).這為在糾纏雙自旋系統(tǒng)中直接實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)Bender等[116]提出的PT 對(duì)稱(chēng)超快短時(shí)問(wèn)題開(kāi)辟了道路.它解決了PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量的量子力學(xué)與傳統(tǒng)的厄米量子力學(xué)模式之間的切換問(wèn)題.核心思想在于將最速降線重新解釋為在高維希爾伯特空間中的更大厄米量子力學(xué)系統(tǒng)的適當(dāng)對(duì)稱(chēng)子系統(tǒng).基于奈馬克拓展技術(shù)[117]產(chǎn)生的大系統(tǒng)將具有糾纏雙自旋(二量子比特)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),因此短時(shí)效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)是可行的.

6 其他量子模擬實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

迄今為止,核磁共振量子系統(tǒng)、量子光學(xué)系統(tǒng)、超導(dǎo)量子系統(tǒng)、離子阱系統(tǒng)、超冷原子等系統(tǒng)因各自不同的優(yōu)點(diǎn),成為構(gòu)造通用量子處理器的熱門(mén)備選方案.本節(jié)將介紹核磁共振系統(tǒng)、量子光學(xué)及光子學(xué)中的量子模擬實(shí)驗(yàn).

6.1 核磁共振系統(tǒng)

核磁共振具有相干時(shí)間長(zhǎng)、脈沖操控精確以及保真度高等優(yōu)點(diǎn),在量子信息相關(guān)研究中起著至關(guān)重要的作用[118].核磁共振系統(tǒng)作為一個(gè)量子模擬器,可以用于模擬基本量子力學(xué)模型、量子延遲選擇[119,120]、量子相變[121,122]、量子隧道效應(yīng)[47,123]和其他不易操控的量子系統(tǒng)等.下面介紹使用核磁共振系統(tǒng)進(jìn)行量子模擬的幾個(gè)具體應(yīng)用.

6.1.1 PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)快速演化的觀察

最速降線問(wèn)題描述的是兩個(gè)狀態(tài)之間的最短時(shí)間演化.在量子力學(xué)中,兩個(gè)狀態(tài)之間的最速降線是由哈密頓量本征值的最大差值限定的,它可以應(yīng)用于量子算法復(fù)雜性的時(shí)間最優(yōu)方法.Bender等[116]已經(jīng)證明PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量比厄米量子力學(xué)具有更快的演化最短時(shí)間.在核磁共振(NMR)量子系統(tǒng)中,模擬PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量的時(shí)間演化的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)得到設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)[47].實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,PT對(duì)稱(chēng)哈密頓量系統(tǒng)的演化速度確實(shí)比厄米量子系統(tǒng)的更快,并且演化時(shí)間可以接近于零.在厄米量子力學(xué)中,當(dāng)厄米二能級(jí)量子系統(tǒng)的本征值之差固定不變時(shí),自旋翻轉(zhuǎn)的最快演化時(shí)間不變.而對(duì)于PT 對(duì)稱(chēng)量子系統(tǒng),則可以通過(guò)改變哈密頓量中的參數(shù)來(lái)改變最速降線時(shí)間.正如Bender 等[116]所預(yù)測(cè)并在工作中所證明的那樣,哈密頓量參數(shù)的改變不僅可以加速演化,還可以減慢演化[124].

6.1.2 核磁共振系統(tǒng)中鳥(niǎo)類(lèi)羅盤(pán)的量子模擬實(shí)驗(yàn)

量子生物學(xué)是量子科學(xué)與生物學(xué)相結(jié)合的新興領(lǐng)域.它研究生命系統(tǒng)中的量子效應(yīng),并探究量子效應(yīng)在生物學(xué)中的作用.鳥(niǎo)類(lèi)磁感應(yīng)現(xiàn)象在20世紀(jì)60 年代首次獲得實(shí)驗(yàn)支持[125],它是鳥(niǎo)類(lèi)通過(guò)量子羅盤(pán)在地球磁場(chǎng)中定向的能力.在對(duì)歐洲知更鳥(niǎo)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后,有人提出羅盤(pán)可能依賴于自由基對(duì)中的一對(duì)電子自旋,通過(guò)塞曼相互作用與地球磁場(chǎng)交互.其他實(shí)驗(yàn)表明,化學(xué)羅盤(pán)不受極性反轉(zhuǎn)的影響[126],但是會(huì)被頻率處于電子對(duì)的共振頻率附近的射頻場(chǎng)破壞[127,128],并且只有在周?chē)嘘?yáng)光且磁場(chǎng)強(qiáng)度在±30 %范圍內(nèi)的內(nèi)部磁場(chǎng)的情況下才能正常工作[129,130].

有一類(lèi)量子模擬系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)是基于某些化合物中自旋的核磁共振,每種化學(xué)物質(zhì)通常都有固定數(shù)量的核自旋,研究人員使用核磁共振光譜儀內(nèi)的自然哈密頓量并通過(guò)應(yīng)用精心定制的射頻脈沖序列對(duì)其進(jìn)行操作.其中,自然哈密頓量源于化學(xué)物質(zhì)中的靜態(tài)磁場(chǎng)和自旋耦合[131].該工作研究的是系統(tǒng)和外部環(huán)境耦合的開(kāi)放系統(tǒng),因此系統(tǒng)的哈密頓量是非厄米的.射頻脈沖與化合物中原子核的拉莫爾頻率匹配或接近匹配.在這種情況下,原子核很容易吸收和發(fā)射入射射頻脈沖所賦予的能量,從而有助于精確控制核自旋.因此使用此類(lèi)量子模擬系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)鳥(niǎo)類(lèi)羅盤(pán)的模擬.

文獻(xiàn)[44]描述了在核磁共振量子信息處理器中進(jìn)行了鳥(niǎo)類(lèi)磁感應(yīng)的實(shí)驗(yàn)演示.首先在核磁共振系統(tǒng)中準(zhǔn)備一個(gè) |00〉 態(tài),然后應(yīng)用一系列量子邏輯門(mén)來(lái)創(chuàng)建一個(gè)單重態(tài).將鳥(niǎo)類(lèi)羅盤(pán)的時(shí)間演化算符應(yīng)用于單重態(tài).最后,同樣序列的量子邏輯門(mén)將系統(tǒng)返回到 |00〉 態(tài),研究人員在此量子態(tài)下讀取數(shù)據(jù).邏輯門(mén)序列和時(shí)間演化算子都可以使用梯度上升優(yōu)化算法(GRAPE)實(shí)現(xiàn).實(shí)驗(yàn)表明,參考和探測(cè)羅盤(pán)模型在核磁共振系統(tǒng)中得到了成功的模擬,并與理論符合良好,因此核磁共振量子模擬具有廣泛適用性.

6.1.3 量子模擬器上的量子時(shí)空

量子引力旨在將愛(ài)因斯坦引力與量子力學(xué)統(tǒng)一起來(lái),使人們對(duì)引力的理解可以擴(kuò)展到普朗克尺度 1.22×1019GeV .在普朗克尺度層面,愛(ài)因斯坦引力和時(shí)空連續(xù)體被量子時(shí)空分解并取代.目前許多研究量子時(shí)空的方法都植根于自旋網(wǎng)絡(luò),它是一種重要的、非微擾的量子引力框架.自旋網(wǎng)絡(luò)是彭羅斯[86]受扭量理論的啟發(fā)提出的,后來(lái)被廣泛應(yīng)用于圈量子引力論(LQG)[132].在LQG 中,自旋網(wǎng)絡(luò)在普朗克尺度上代表空間基本離散量子幾何的量子態(tài),用作某些 3+1 維量子時(shí)空的邊界數(shù)據(jù).量子時(shí)空可以具有開(kāi)放系統(tǒng)結(jié)構(gòu),因此與非厄米系統(tǒng)關(guān)系緊密.

如圖15 所示[133],一個(gè)以自旋網(wǎng)絡(luò)為邊界的3+1維量子時(shí)空是一個(gè)自旋泡沫,一個(gè)由許多三維世界圖(曲面)及其交點(diǎn)組成的“網(wǎng)絡(luò)”,其中世界圖是由自旋一半著色的.就像經(jīng)典空間的時(shí)間演化形成的經(jīng)典時(shí)空一樣,自旋網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間演化形成了量子時(shí)空[134,135].

圖15 量子時(shí)空和四面體 (a)靜態(tài)四維(4D) 量子時(shí)空;(b)五價(jià)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)量子時(shí)空;(c) S 3 的局域結(jié)構(gòu);(d)量子幾何四面體[133]Fig.15.Quantum spacetime and tetrahedra: (a) A static 4D quantum spacetime;(b) a dynamical quantum spacetime with a number of five valent vertices;(c) the local structure of S 3;(d) quantum geometrical tetrahedra[133].

研究人員使用量子模擬器探索自旋網(wǎng)絡(luò)態(tài)和自旋泡沫振幅,為研究LQG 提供了有效的實(shí)驗(yàn)演示[133].通過(guò)在核磁共振系統(tǒng)中使用四量子位量子寄存器,創(chuàng)建了圖16[133]中10 個(gè)代表量子四面體的不變張量態(tài),保真度超過(guò)95%.然后,利用這些量子四面體,模擬了Ooguri 模型中一個(gè)自旋?1/2的自旋泡沫頂點(diǎn)振幅.由于頂點(diǎn)振幅決定了自旋泡沫振幅并顯示了局域動(dòng)力學(xué),因此結(jié)果顯示了5 個(gè)膠合量子四面體的相互作用振幅或m到 (5?m) 量子四面體的躍遷.

圖16 實(shí)驗(yàn)制備量子態(tài)在Bloch 球上的對(duì)應(yīng)和相關(guān)經(jīng)典的四面體[133]Fig.16.Experimentally prepared states on the Bloch sphere and their corresponding classical tetrahedra[133].

6.2 量子光學(xué)系統(tǒng)

量子力學(xué)出現(xiàn)開(kāi)始,光學(xué)就在量子物理中擔(dān)任了非常重要的角色,與量子發(fā)展息息相關(guān).因此,量子光學(xué)系統(tǒng)成為了量子計(jì)算和量子信息處理的關(guān)鍵備選方案之一.

6.2.1 Yang-Baxter 方程的直接實(shí)驗(yàn)?zāi)M

由于Yang-Baxter 方程(YBE)的重要性,其實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一直是人們追求的目標(biāo).值得注意的是Tennant 等[136,137]對(duì)其進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,他們測(cè)量了海森伯半自旋鏈的光譜,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與YBE 的計(jì)算結(jié)果相符合.文獻(xiàn)[138]對(duì)一維導(dǎo)線的密度分布進(jìn)行測(cè)量的結(jié)果與基于楊氏可解模型的理論計(jì)算結(jié)果符合良好.然而,這些實(shí)驗(yàn)都只是對(duì)YBE 的間接驗(yàn)證.根本原因在于YBE 僅為光譜或觀測(cè)剖面提供了充分條件,即觀測(cè)剖面只是YBE 的必要條件,并不能保證YBE 的有效性,也無(wú)法證明光譜參數(shù)的類(lèi)洛倫茲變換.

研究人員于2013 年首次報(bào)道了使用線性量子光學(xué)對(duì)YBE 進(jìn)行直接實(shí)驗(yàn)?zāi)M[139].此模擬的基本原理由Hu 等[140]于2008 年確立,他們通過(guò)使用Temperley-Lieb 代數(shù),進(jìn)行了一次顯著的約化,得到了一個(gè)維數(shù)為2 的YBE,這使得利用當(dāng)前技術(shù)在量子光學(xué)中實(shí)現(xiàn)YBE 成為可能.在2013 年的實(shí)驗(yàn)?zāi)M中,研究人員用分束器、半波片、四分之一波片等線性量子光學(xué)元件實(shí)現(xiàn)了Hu-Xue-Ge 方案[140],并證明了YBE 的有效性,還直接驗(yàn)證了厄米對(duì)稱(chēng)的YBE 兩邊的相等性.并且,研究人員首次通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了YBE 光譜參數(shù)的類(lèi)洛倫茲變換.然而,研究人員提及的模擬并沒(méi)有涉及YBE中的量子糾纏問(wèn)題,并且實(shí)現(xiàn)的YBE 是厄米對(duì)稱(chēng)的.下面介紹非厄米的YBE 的模擬,為實(shí)現(xiàn)YBE 的量子糾纏提供了新的思路.文獻(xiàn)[49]首次基于LCU實(shí)現(xiàn)了非厄米YBE 的量子模擬.該模擬系統(tǒng)包含Yang-Baxter 子系統(tǒng)和一個(gè)輔助量子比特.Yang-Baxter 子系統(tǒng)將會(huì)隨著YBE 兩邊的部分演化,而輔助系統(tǒng)用于保持YBE 模擬的統(tǒng)一性,還是檢驗(yàn)其正確性的必要條件.在傳統(tǒng)的量子模擬中,YBE方程等號(hào)兩邊被分別模擬,再對(duì)整個(gè)Yang-Baxter系統(tǒng)的兩個(gè)輸出態(tài)進(jìn)行本質(zhì)上的重構(gòu)和比較,以檢查YBE 模擬的正確性.在這一過(guò)程中,YBE 的整體性被破壞.相反,基于LCU 的模擬下,由于輔助比特的作用使得YBE 的兩側(cè)可以作為一個(gè)整體被同時(shí)模擬,因此YBE 會(huì)保持整體性不受破壞.所以,在YBE 兩側(cè)的量子糾纏或多個(gè)YBE 系統(tǒng)的量子糾纏有望實(shí)現(xiàn).并且,輔助量子比特可以被用于探測(cè)YBE 模擬過(guò)程當(dāng)中的缺陷.這一過(guò)程不需要使YBE 子系統(tǒng)的量子態(tài)塌縮,所以最后YBE的狀態(tài)可以被保留.研究人員除了提出理論之外,還提出了量子光學(xué)系統(tǒng)和核磁共振量子系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)YBE 的實(shí)驗(yàn)方案(如圖17[49]所示).此方案既可以模擬非厄米YBE 系統(tǒng),也可以高效模擬厄米YBE 系統(tǒng).

圖17 LCU 模擬YBE 的簡(jiǎn)圖[49]Fig.17.Schematic illustration of the LCU simulation of the YBE by quantum optics system and a nuclear magnetic resonance quantum system[49].

6.2.2 量子熱機(jī)的光學(xué)模擬

熱機(jī)在人類(lèi)社會(huì)發(fā)展進(jìn)程和生活中發(fā)揮著重要作用,如何提高熱機(jī)效率一直是熱力學(xué)的核心科學(xué)問(wèn)題.量子熱機(jī)(QTE)顧名思義就是以量子系統(tǒng)為工作物質(zhì)對(duì)外做功的熱機(jī).由于QTE 會(huì)向外界做功并且系統(tǒng)與外界相互作用的參數(shù)是可控的,因而它是一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng),可由非厄米哈密頓量描述.為了提高QTE 效率,研究人員對(duì)工作物質(zhì)的量子性質(zhì)進(jìn)行探索,取得了很多有效成果.最近,通過(guò)核磁共振(NMR)[141]和金剛石中的氮空位中心[142]操縱的核自旋系統(tǒng),研究人員對(duì)QTE 的性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.一般來(lái)說(shuō),在物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)QTE的一個(gè)主要困難是為了實(shí)現(xiàn)對(duì)退相干的魯棒性而所需的高度可控性.因此,在可以有效控制儲(chǔ)層的體系中設(shè)計(jì)QTE 顯得尤為重要.另外,退相干可由非幺正算符實(shí)現(xiàn),QTE 與非厄米哈密頓量相聯(lián)系.

為了模擬可控儲(chǔ)層,必須考慮量子通道對(duì)量子信息的影響[143].在這種情況下,研究人員考慮相關(guān)量子通道的光學(xué)實(shí)現(xiàn)是至關(guān)重要的,如振幅阻尼、相位阻尼和位翻轉(zhuǎn)通道,以及其他使用單光子執(zhí)行的通道[144].文獻(xiàn)[145]介紹了一種通過(guò)光學(xué)方法模擬量子熱機(jī)的理論和實(shí)驗(yàn)方案,工作物質(zhì)和熱庫(kù)的行為通過(guò)單個(gè)光子的內(nèi)部自由度實(shí)現(xiàn).通過(guò)使用偏振和傳播路徑,研究人員對(duì)兩個(gè)量子比特進(jìn)行編碼,然后實(shí)現(xiàn)奧托循環(huán)的熱力學(xué)步驟.為了說(shuō)明方案的可行性,研究人員通過(guò)強(qiáng)激光束實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了這種模擬,并評(píng)估了熱力學(xué)循環(huán)每一步的熱量和功.

6.3 光子系統(tǒng)

由于具有最快的傳播速度,很強(qiáng)的穩(wěn)定性及良好的抗環(huán)境干擾能力,光子系統(tǒng)早已成為實(shí)現(xiàn)量子信息處理的最理想和最熱門(mén)的物理系統(tǒng)之一.

6.3.1 PT 對(duì)稱(chēng)量子動(dòng)力學(xué)中臨界現(xiàn)象的觀察

PT 對(duì)稱(chēng)非厄米系統(tǒng)在合成系統(tǒng)(經(jīng)典光學(xué)、微波腔、量子氣體和單光子系統(tǒng))中具有新奇性.在這些系統(tǒng)中,光譜在PT 對(duì)稱(chēng)非破缺相位中完全是實(shí)的,這與PT 對(duì)稱(chēng)自發(fā)破缺相位的情況相反.因此,兩個(gè)相位中的動(dòng)力學(xué)是截然不同的,并且在兩個(gè)區(qū)域之間的邊界上出現(xiàn)了動(dòng)力學(xué)臨界性.開(kāi)放量子系統(tǒng)中的PT 對(duì)稱(chēng)非幺正動(dòng)力學(xué)的一個(gè)范例是系統(tǒng)及其環(huán)境之間信息流的可逆-不可逆臨界性[132].在這里,當(dāng)系統(tǒng)處于PT 對(duì)稱(chēng)非破缺區(qū)域時(shí),由于在PT 對(duì)稱(chēng)保護(hù)的環(huán)境中存在有限維糾纏部分,因此丟失到環(huán)境中的信息可以被完全恢復(fù).相反,當(dāng)PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)自發(fā)破缺時(shí),信息流是不可逆的.而在奇異點(diǎn)附近,物理量表現(xiàn)出冪律行為.大量實(shí)驗(yàn)在經(jīng)典的增益和損耗平衡的PT 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)中觀察到了此類(lèi)新奇動(dòng)力學(xué)特性以及PT 過(guò)渡點(diǎn)或奇異點(diǎn)的特征[31?36].

文獻(xiàn)[146]描述了利用單光子干涉網(wǎng)絡(luò)對(duì)PT對(duì)稱(chēng)非幺正量子動(dòng)力學(xué)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)?zāi)M,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了PT 非破缺和破缺區(qū)域的奇異點(diǎn)附近信息流中的臨界現(xiàn)象.研究人員通過(guò)對(duì)光子實(shí)施非幺正門(mén)運(yùn)算并執(zhí)行量子態(tài)層析成像,重建了任意時(shí)刻PT 動(dòng)力學(xué)隨時(shí)間變化的密度矩陣,這使得能夠表征PT 奇異點(diǎn)附近的臨界現(xiàn)象,并在關(guān)鍵量(如可區(qū)分性和重現(xiàn)時(shí)間)中證明了冪律行為.對(duì)稱(chēng)性和初始條件都會(huì)對(duì)臨界現(xiàn)象產(chǎn)生影響.引入輔助自由度作為環(huán)境并探測(cè)系統(tǒng)和環(huán)境之間的量子糾纏,研究人員證實(shí)了觀測(cè)到的信息恢復(fù)是由環(huán)境中的有限維糾纏部分引起的.該工作是第一個(gè)描述PT對(duì)稱(chēng)非幺正量子動(dòng)力學(xué)中臨界現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn),并為模擬合成量子系統(tǒng)中的PT 對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)開(kāi)辟了一條途徑.

6.3.2 光學(xué)微腔中模擬PT 任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)

3.2.3節(jié)已經(jīng)介紹了PT 任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng),并且給出了其基于LCU 的模擬理論,本節(jié)介紹二元光學(xué)微腔中模擬PT 任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng).PT 任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的哈密頓量滿足(12)式,當(dāng)與系統(tǒng)哈密頓量有關(guān)的相位φ處于不同的值時(shí),可以得到PT 或者APT 對(duì)稱(chēng)的系統(tǒng).文獻(xiàn)[97]研究了PT 任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的演化,可以在二元耦合系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)這種對(duì)稱(chēng)性.研究人員實(shí)驗(yàn)上選擇兩個(gè)具有相同共振頻率的光學(xué)微型諧振器進(jìn)行模擬,發(fā)現(xiàn)PT 任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的能級(jí)簡(jiǎn)并只能在PT對(duì)稱(chēng)和PT 反對(duì)稱(chēng)情況下實(shí)現(xiàn).研究人員提出了實(shí)驗(yàn)上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng),展示了在PT 任意相位的對(duì)稱(chēng)保護(hù)性.這類(lèi)系統(tǒng)有望被用于超敏傳感、光學(xué)手性和非互易傳輸.

6.3.3 使用光子高斯模式模擬三能級(jí)系統(tǒng)中的量子躍遷

量子光學(xué)系統(tǒng)被證明是量子力學(xué)基礎(chǔ)測(cè)試和量子信息協(xié)議實(shí)施的有效選擇.某些光學(xué)系統(tǒng)在光子橫向動(dòng)量中進(jìn)行信息編碼,這些信息可以使用狹縫[147]或不同的光子路徑[148]來(lái)離散,以便在狹縫模式或高斯模式下制備單光子、雙光子或四光子量子態(tài)[149,150].由于高斯形狀在順序運(yùn)算中保持不變,因此高斯模式可用于廣義量子運(yùn)算.此外,這種狀態(tài)很容易耦合到帶透鏡的光纖和光子電路,從而使得研究人員在不同的平臺(tái)和不同的應(yīng)用中探索它們.另一個(gè)有趣的可能性是使用空間光調(diào)制器(SLM)作為光學(xué)系統(tǒng)的一部分來(lái)轉(zhuǎn)換光子狀態(tài),保持相同的高斯編碼,以實(shí)現(xiàn)廣泛的量子操作[150,151].這種光學(xué)結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要優(yōu)勢(shì)是它們能夠模擬復(fù)雜的量子系統(tǒng).

研究人員提出并實(shí)現(xiàn)了一種使用三模光子系統(tǒng)在量子躍遷下實(shí)驗(yàn)?zāi)M非厄米三能級(jí)系統(tǒng)的方法(如圖18[152]所示),分別在三能級(jí)原子系統(tǒng)中模擬了三種不同的自發(fā)衰變動(dòng)力學(xué): 級(jí)聯(lián)衰變,Λ 衰變和V 衰變.研究人員利用光子級(jí)的衰減光相干源,制備了三路疊加態(tài)的光子,該光子以并行高斯模式編碼,通過(guò)對(duì)光子路徑進(jìn)行精確的周期性相位調(diào)制,能夠?qū)崿F(xiàn)大量操作并模擬三能級(jí)系統(tǒng)中不同的衰減動(dòng)力學(xué).這一模擬讓我們更好地理解量子躍遷如何影響三能級(jí)系統(tǒng)的相干性.此外,這種實(shí)現(xiàn)可用于理解高維系統(tǒng)中的量子躍遷如何因狀態(tài)退相干而影響量子協(xié)議,而退相干可由非厄米幺正算符實(shí)現(xiàn),從而與非厄米系統(tǒng)相聯(lián)系.該方法具有通用性,它可以推廣到三級(jí)以上的多級(jí)系統(tǒng).

圖18 用于準(zhǔn)備和實(shí)現(xiàn)在三模平行高斯光束狀態(tài)下的算符的實(shí)驗(yàn)裝置[152]Fig.18.Experimental setup used to prepare and to implement the operations on a three-path parallel Gaussian beam state[152].

6.3.4 耦合PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量的光子量子模擬

文獻(xiàn)[153]提出了適用于直接實(shí)現(xiàn)幺正變換技術(shù)平臺(tái)的PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量量子模擬的框架.研究人員使用設(shè)備將非幺正算子,以及與第一算子具有相反的時(shí)間演化算子的第二算子嵌入到全局幺正變換之中.該模型中的整體演化允許單粒子或多粒子激發(fā)在耦合系統(tǒng)之間隧穿,其概率與模擬哈密頓量的非厄米性成比例.這種構(gòu)造允許在非厄米哈密頓量的情況下,對(duì)在相反時(shí)間方向上疊加的狀態(tài)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究.研究人員使用可編程集成光子芯片以及單光子、雙光子和三光子輸入態(tài)的集合,在雙模和三模PT 對(duì)稱(chēng)哈密頓量中實(shí)驗(yàn)?zāi)M了多粒子動(dòng)力學(xué).此實(shí)驗(yàn)再現(xiàn)了PT 對(duì)稱(chēng)未破缺區(qū)域和跨越奇異點(diǎn)到PT 對(duì)稱(chēng)破缺區(qū)域的動(dòng)力學(xué),包括時(shí)間正向子系統(tǒng)和時(shí)間反向子系統(tǒng)之間的相互相干效應(yīng)和干涉效應(yīng).這一工作展現(xiàn)了使用可編程量子模擬器研究量子力學(xué)中的基本問(wèn)題的可能性.

7 經(jīng)典系統(tǒng)中的非厄米系統(tǒng)模擬實(shí)驗(yàn)

除了量子系統(tǒng),經(jīng)典系統(tǒng)也可模擬非厄米系統(tǒng).經(jīng)典物理實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)更成熟穩(wěn)定,相比于量子系統(tǒng)更易于操控,更容易完成實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn),同時(shí)也可以很好地演示非厄米系統(tǒng)特性.下面分別簡(jiǎn)介利用LRC 回路、激光器和經(jīng)典電路模擬PT 對(duì)稱(chēng)非厄米系統(tǒng).

7.1 LRC 回路中模擬PT 對(duì)稱(chēng)的量子系統(tǒng)

具有PT 對(duì)稱(chēng)性的LRC 回路實(shí)驗(yàn)上最早是由Schindler 等[154]于2011 年提出的,它由一對(duì)振蕩耦合器構(gòu)成,其中一個(gè)具有放大功能,另一個(gè)則具有等效的衰減量.正是由于這對(duì)振蕩耦合器(又稱(chēng)作二聚體)中的增益損失機(jī)制,使得這一回路可以在保持PT 對(duì)稱(chēng)性的同時(shí)打破厄米性.這種“有源”二聚體可以使用簡(jiǎn)單的電子學(xué)實(shí)現(xiàn),由于其在經(jīng)典系統(tǒng)中模擬PT 對(duì)稱(chēng)的量子系統(tǒng),所以它從實(shí)本征譜到復(fù)本征譜的“相變”可以被直接觀察.在具有新奇性的相變點(diǎn)附近,其一般的模式合并,組件相對(duì)相位差的確定值由電感耦合確定.這一實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)了后續(xù)一系列使用經(jīng)典系統(tǒng)對(duì)量子系統(tǒng)的模擬的實(shí)驗(yàn).2012 年,Lin 等[155]在實(shí)驗(yàn)上通過(guò)在傳輸導(dǎo)線的感應(yīng)耦合中應(yīng)用LRC電路,研究了PT 對(duì)稱(chēng)的散射,并且提供了PT 對(duì)稱(chēng)散射的奇異性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)依據(jù).LRC 電路作為一種易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng),可以研究許多其他理論思想.其簡(jiǎn)單性和對(duì)動(dòng)態(tài)變量的可訪問(wèn)性使我們能夠深入且更透徹地理解PT 對(duì)稱(chēng)散射.2018 年Choi 等[92]通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示了一種模擬通用APT 系統(tǒng)的電路.他們使用電阻耦合放大LRC 諧振器電路研究了穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)特性,實(shí)現(xiàn)了精確的參數(shù)控制和時(shí)間分辨測(cè)量.在該實(shí)驗(yàn)中,他們觀察到了相變點(diǎn)、發(fā)生PT 對(duì)稱(chēng)破缺的逆過(guò)程以及能極差守恒的時(shí)間演化等結(jié)果,通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了APT 量子系統(tǒng)的獨(dú)特性質(zhì),為其他領(lǐng)域的發(fā)展提供了新的光波操作技術(shù)和創(chuàng)新的設(shè)備操作原理.

7.2 激光器中的PT 對(duì)稱(chēng)

由于半導(dǎo)體激光器系統(tǒng)中,不僅存在折射率的高低分布,而且存在增益和損耗分布,因而它可作為一個(gè)非厄米的光學(xué)系統(tǒng)[156].2007 年E1-Ganainy等[157]提出了適用于PT 對(duì)稱(chēng)光學(xué)元件的耦合模理論(CMT),其中每個(gè)單獨(dú)元件和整個(gè)系統(tǒng)都遵循PT 對(duì)稱(chēng)性.基于PT 對(duì)稱(chēng)光學(xué)的CMT,產(chǎn)生且發(fā)展了許多相關(guān)光學(xué)實(shí)驗(yàn).其中的一類(lèi)代表是具有側(cè)向和縱向PT 對(duì)稱(chēng)性結(jié)構(gòu)的激光器.具有側(cè)向和縱向PT 對(duì)稱(chēng)性結(jié)構(gòu)的激光器可以調(diào)控自身的模式特性.2012 年Miri 等[158]提出利用PT 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的側(cè)向模式制備單側(cè)模激光器,實(shí)現(xiàn)單向模場(chǎng)大面積激光的放大.這種PT 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)可以通過(guò)耦合兩個(gè)多模場(chǎng)的波導(dǎo)來(lái)實(shí)現(xiàn),其中一個(gè)模場(chǎng)顯示的是增益,另一個(gè)是等量的損耗.研究人員利用PT 對(duì)稱(chēng)破缺躍遷實(shí)現(xiàn)單側(cè)模激光器,這種躍遷在保持高階模場(chǎng)中性的情況下,允許基本模場(chǎng)獲得增益.這種單側(cè)模激光器得以實(shí)現(xiàn)的本質(zhì)原因是波導(dǎo)基模間的耦合系數(shù)小于高階模間的耦合系數(shù),基模會(huì)更先進(jìn)入PT 對(duì)稱(chēng)破缺相,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)單側(cè)模的激光輸出.Hodaei 等[159]在2014 年利用光泵浦的側(cè)向雙環(huán)耦合的PT 對(duì)稱(chēng)環(huán)形激光器實(shí)現(xiàn)了單模激光的輸出,實(shí)現(xiàn)了縱模的篩選.2018 年Yao 等[37]通過(guò)固定一個(gè)波導(dǎo)的電流,調(diào)節(jié)另一個(gè)波導(dǎo)的電流大小以實(shí)現(xiàn)一個(gè)波導(dǎo)固定增益和另一個(gè)波導(dǎo)變化的損耗,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)模式選擇性PT 對(duì)稱(chēng)破缺和單模操作.

Feng 等[160]在2014 年提出了利用純?cè)鲆鎿p耗調(diào)制的單微環(huán)縱向PT 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的激光器,可以利用PT 對(duì)稱(chēng)相變來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)固有的單模激光的選擇.Gu 等[161]在所制備的縱向PT 對(duì)稱(chēng)條形激光器中,發(fā)現(xiàn)了模式間隔更大的光譜.這是由于該激光器具有非對(duì)稱(chēng)的泵浦區(qū)域與非泵浦區(qū)域,進(jìn)入PT 對(duì)稱(chēng)破缺相導(dǎo)致模式間隔增大.除了利用PT 對(duì)稱(chēng)性的模場(chǎng)分離調(diào)控激光器,還可以利用處于PT 對(duì)稱(chēng)相變點(diǎn)處的光的不可見(jiàn)性實(shí)現(xiàn)軌道角動(dòng)量微腔激光器[162,163].由于光在縱向PT 對(duì)稱(chēng)的復(fù)折射率光柵處的反射率為0,因而可以使得微環(huán)上只保留一個(gè)方向上的光束輸出.利用單向破壞性干涉展現(xiàn)出的獨(dú)特非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)也能設(shè)計(jì)不依賴入射方向的波傳播以及單向激光發(fā)射[164,165].

7.3 經(jīng)典電路模擬非厄米系統(tǒng)

相比傳統(tǒng)的量子平臺(tái),經(jīng)典電路系統(tǒng)因不受限的網(wǎng)絡(luò)形式和高度的調(diào)控自由度,原則上可以模擬任意維度、任意格點(diǎn)間躍遷、任意邊界條件下的量子緊束縛模型,已經(jīng)成為模擬量子物態(tài)的有力平臺(tái).研究人員利用經(jīng)典電路通過(guò)仿真電路模擬器(SPICE)成功模擬了一個(gè)重要的非厄米量子模型[166],即非互易Aubry-André模型(AA 模型)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì),包括周期邊界條件下體現(xiàn)系統(tǒng)非厄米拓?fù)湫再|(zhì)的復(fù)能譜和能譜纏繞數(shù),以及開(kāi)邊界下非厄米趨膚效應(yīng)與準(zhǔn)無(wú)序局域化的競(jìng)爭(zhēng).研究人員詳細(xì)介紹了如何建立經(jīng)典電路的拉普拉辛形式與量子緊束縛模型哈密頓矩陣在不同邊界條件下的映射,并具體給出了實(shí)現(xiàn)不同邊界條件下非互易AA 模型的電路設(shè)計(jì)方案.由于方案的普適性,這一工作所討論的設(shè)計(jì)原則和理論可以直接應(yīng)用于其他非厄米量子模型的電路模擬.

8 總結(jié)與展望

量子模擬一直以來(lái)作為量子信息研究的重要驅(qū)動(dòng)力和主要研究方向,其理論與實(shí)驗(yàn)研究均發(fā)展迅速.非厄米系統(tǒng)作為傳統(tǒng)量子力學(xué)理論拓展,因其與開(kāi)放和耗散系統(tǒng)聯(lián)系緊密,同時(shí)具有潛在應(yīng)用價(jià)值,近二十年來(lái)發(fā)展迅速,成為研究熱點(diǎn).本文關(guān)注二者的結(jié)合,簡(jiǎn)要綜述了非厄米系統(tǒng)量子模擬的新進(jìn)展,著重介紹了基于LCU 對(duì)非厄米系統(tǒng)的量子模擬理論和實(shí)驗(yàn)研究,包括PT 對(duì)稱(chēng)與反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)、PT 任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)、P 贗厄米對(duì)稱(chēng)與P 贗厄米反對(duì)稱(chēng)、贗厄米任意相位對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)、τ-反贗厄米對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)等的量子模擬研究.同時(shí),簡(jiǎn)要介紹了其他量子模擬非厄米系統(tǒng)的研究方法,包括隨機(jī)行走、嵌入式和空間拓展等.實(shí)驗(yàn)方面,介紹了基于核磁共振、量子光學(xué)與光子學(xué)等平臺(tái)的幾個(gè)典型的非厄米量子模擬研究實(shí)例,以及利用經(jīng)典物理系統(tǒng)開(kāi)展對(duì)非厄米系統(tǒng)模擬的實(shí)驗(yàn)研究.

目前對(duì)非厄米系的量子模擬研究,理論方面集中于PT 對(duì)稱(chēng)與反對(duì)稱(chēng),對(duì)于其他非厄米系統(tǒng)尤其是贗厄米系統(tǒng)的理論研究逐步增多.實(shí)驗(yàn)方面主要集中于PT 對(duì)稱(chēng)與反對(duì)稱(chēng)系統(tǒng),對(duì)于包括贗厄米系統(tǒng)在內(nèi)的其他非厄米系統(tǒng)的量子模擬實(shí)驗(yàn)研究較少,是今后開(kāi)展非厄米實(shí)驗(yàn)研究的發(fā)展方向.然而,非厄米系統(tǒng)不僅局限于具有PT 對(duì)稱(chēng)性或贗厄米性的哈密頓量,還有更多具有不同形式非厄米哈密頓量有待發(fā)現(xiàn)、研究和應(yīng)用.另一方面,多數(shù)非厄米量子模擬研究集中于二能級(jí)系統(tǒng),以展示非厄米系統(tǒng)新奇特性為主.隨著研究深入,高維一般情況的非厄米哈密頓量的數(shù)學(xué)形式和高效的量子模擬有待進(jìn)一步研究.