◎?qū)O愷悅 郭 民

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024)

一、引言

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上所研究的內(nèi)容就是抽象的，數(shù)學(xué)的抽象包含兩大類：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系.數(shù)學(xué)需要抽象出事物的背景，總結(jié)其中的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，并且能夠用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)出來.抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)中的第一要素，能夠幫助學(xué)生更好地吸收數(shù)學(xué)知識(shí)、形成獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問題的能力，達(dá)到提高數(shù)學(xué)成績的目的.但是，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平并不是一蹴而就的，如何培養(yǎng)高中生形成抽象素養(yǎng)是一個(gè)值得討論的問題，這應(yīng)該是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生抽象素養(yǎng)的研究現(xiàn)狀，分析當(dāng)前抽象素養(yǎng)培養(yǎng)方案的不足，從學(xué)生的需求與實(shí)際教學(xué)兩方面出發(fā)，制訂行之有效的高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)策略.

二、高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的研究現(xiàn)狀

近年來，很多專家學(xué)者都在研究數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，其中有關(guān)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的研究文獻(xiàn)也層出不窮，主要聚焦于抽象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)與教學(xué).史寧中教授提出：學(xué)生要用數(shù)學(xué)的眼光，即數(shù)學(xué)抽象來觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.覃冬季提倡要重視數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)，提倡教師用類比教學(xué)的方式提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，結(jié)合生活實(shí)際，從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)問題.鄧春生提出了由簡至難、循序漸進(jìn)、圖形結(jié)合、因材施教、學(xué)以致用五個(gè)關(guān)鍵方法用來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

高中生的抽象能力培養(yǎng)應(yīng)該是一個(gè)不斷積累的過程，但是受高考的影響，一些教師過于“急功近利”，他們只注重考試結(jié)果而忽略了培養(yǎng)學(xué)生思維能力的過程，一味地讓學(xué)生做大量的習(xí)題，這種題海戰(zhàn)術(shù)雖然可以幫助學(xué)生溫習(xí)學(xué)過的知識(shí)，但對(duì)開發(fā)學(xué)生思維的效果十分有限.優(yōu)秀的教師應(yīng)不僅僅局限于課堂，與學(xué)生們的交流互動(dòng)可以更好地啟發(fā)其抽象思維，逐步引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行抽象、概括.

三、高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

(一)豐富教學(xué)理念，重視概念形成

數(shù)學(xué)概念在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時(shí)可以起到事半功倍的作用，但是數(shù)學(xué)概念具有邏輯性與抽象性，許多學(xué)生很難掌握，也就常常缺乏自主解決問題的能力.傳統(tǒng)的教學(xué)方式只是一味地給學(xué)生灌輸知識(shí)，并沒有重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的培養(yǎng).因此，教師應(yīng)該改變教學(xué)理念，摒棄知識(shí)堆積與題海戰(zhàn)術(shù)，在講解數(shù)學(xué)理論的過程中要引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念.教師在教學(xué)過程中要以學(xué)生為主體，嘗試不同的教學(xué)模式來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，從學(xué)生的數(shù)學(xué)水平與認(rèn)知能力出發(fā)，有針對(duì)性地培養(yǎng)，使學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)概念，高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

數(shù)學(xué)概念并非具體的理論，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，學(xué)生理解起來有一定的困難，所以，教師的教學(xué)要盡可能地貼近生活.數(shù)學(xué)學(xué)科本身也是一門與實(shí)際生活息息相關(guān)的學(xué)科，教師可將抽象的問題具體化，這樣學(xué)生可以將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系到實(shí)際生活中，利用數(shù)學(xué)思維去思考日常生活中的問題，數(shù)學(xué)概念就在潛移默化中一點(diǎn)點(diǎn)培養(yǎng)起來.

為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同概念間的聯(lián)系，嘗試用多概念、不同角度分析問題，要以一舉三，在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上慢慢滲透，引入下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)，也要給學(xué)生留有足夠的思考時(shí)間，讓學(xué)生形成獨(dú)立解決問題的能力.教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生“從一般到特殊”，學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)進(jìn)一步總結(jié)和歸納，將數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，加深對(duì)概念的理解，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

(二)組織合作交流，鍛煉數(shù)學(xué)表達(dá)

作者研究發(fā)現(xiàn)，高中生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力有待提高，多數(shù)學(xué)生“能寫不能說，想說不會(huì)說”，在學(xué)習(xí)上不會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中最重要的載體，學(xué)生精通數(shù)學(xué)語言，提高數(shù)學(xué)表達(dá)技巧，可以更好地理解數(shù)學(xué)的抽象思維，加速對(duì)概念的消化.

數(shù)學(xué)語言包含文字、圖形、符號(hào)三種形態(tài)，高中數(shù)學(xué)更加注重對(duì)圖形、符號(hào)兩種語言的使用，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用最多的就是數(shù)學(xué)符號(hào)，它可以簡潔明了地將問題表述出來，圖形語言則更為直觀、生動(dòng).教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力，最直接有效的方法就是為學(xué)生創(chuàng)造多聽多說的機(jī)會(huì)，增加課堂上師生互動(dòng)的次數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)言、大膽發(fā)言，對(duì)學(xué)生表達(dá)過程中的不規(guī)范之處要及時(shí)指出并更正，練習(xí)從數(shù)學(xué)文字到數(shù)學(xué)符號(hào)的轉(zhuǎn)化.此外，為了使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)圖形語言，教師可以通過畫圖軟件直觀、形象地向?qū)W生展示圖形的形成過程，加深學(xué)生對(duì)圖形的理解，同時(shí)，利用好板書，可以讓學(xué)生參與進(jìn)來畫出數(shù)形結(jié)合的過程.

除了課堂上的互動(dòng)教學(xué)外，教師也應(yīng)重視課下學(xué)生的復(fù)習(xí)情況，課后作業(yè)是督促學(xué)生學(xué)習(xí)的最好工具，學(xué)生在完成作業(yè)的過程中不僅可以將當(dāng)天學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能合理運(yùn)用，也可以對(duì)新知識(shí)進(jìn)一步擴(kuò)展，并且作業(yè)中含有的大量數(shù)學(xué)符號(hào)能夠培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)思維，讓學(xué)生用符號(hào)表述問題.因此，教師應(yīng)合理布置課后作業(yè)，有針對(duì)性地訓(xùn)練學(xué)生存在的短板，幫助學(xué)生利用好課余時(shí)間，促使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)的理解.

(三)結(jié)合實(shí)際生活，開展情景教學(xué)

數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性很強(qiáng)，學(xué)生對(duì)課本上的文字難以快速消化，而生活中蘊(yùn)藏著許多更加直觀的數(shù)學(xué)知識(shí)素材，從實(shí)際生活中提取出的數(shù)學(xué)問題也更能夠被學(xué)生接受，所以，教師需要將生活中的實(shí)際情景與熱點(diǎn)問題融入課堂教學(xué)中來，讓學(xué)生更有參與感，激發(fā)學(xué)生想要解決問題的興趣，引導(dǎo)學(xué)生在處理實(shí)際問題的過程中學(xué)會(huì)抽離出事件中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，或構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這對(duì)于學(xué)生的抽象素養(yǎng)是一次潛移默化的鍛煉.

教師在進(jìn)行授課時(shí)，要盡可能地將問題的主體引入學(xué)生的自身中來，例如，在講解函數(shù)問題時(shí)，可以要求學(xué)生以其在購物節(jié)活動(dòng)中的方案攻略為樣本，構(gòu)建一個(gè)數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)模型，考慮到各種優(yōu)惠補(bǔ)貼，以此來討論如何在購物節(jié)中以最小的花銷而獲得最大的收益.在講解概率問題時(shí)，教師可以以袋中摸小球的問題為源，探討在拿取放回與拿取不放回的不同前提下，抓取到紅球和黑球的概率分別是多少，進(jìn)而可以引申到購買彩票時(shí)的獲獎(jiǎng)機(jī)制，對(duì)彩票獲獎(jiǎng)概率進(jìn)行計(jì)算，此類精心設(shè)計(jì)的問題情景可以引起學(xué)生的共鳴，讓學(xué)生置身其中，更容易接受新知識(shí).

此外，教師也要督促學(xué)生日常多閱讀與數(shù)學(xué)相關(guān)的書籍，了解數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要性.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)活動(dòng)中必不可少的環(huán)節(jié)，在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用中起著至關(guān)重要的作用，要促使學(xué)生了解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性.

(四)注重知識(shí)聯(lián)系，規(guī)劃培養(yǎng)體系

高中數(shù)學(xué)知識(shí)可以劃分為幾大模塊，包括集合與函數(shù)、空間幾何、圓和方程、算法與統(tǒng)計(jì)以及三角函數(shù)等，這些模塊間的知識(shí)相互交融，錯(cuò)綜復(fù)雜，每一章的內(nèi)容雖然與其他章節(jié)有一定的相關(guān)性，但是各部分的內(nèi)容聯(lián)系又十分密切，學(xué)生想要真正領(lǐng)悟高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容就需要建立龐大的基礎(chǔ)知識(shí)體系.此外，從小學(xué)到初中再到高中，數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容是呈螺旋結(jié)構(gòu)上升的，教師需要幫助學(xué)生在新舊知識(shí)間建立聯(lián)系，做好知識(shí)連接的紐帶.目前，考試分?jǐn)?shù)仍是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要依據(jù)，而學(xué)生想考出一個(gè)優(yōu)異的分?jǐn)?shù)，需要擁有足夠大的知識(shí)儲(chǔ)備，知識(shí)儲(chǔ)備不足會(huì)導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平下降，進(jìn)而影響學(xué)生的核心素養(yǎng)，最終表現(xiàn)為試卷分?jǐn)?shù)不夠理想.因此，學(xué)生若想真正學(xué)好數(shù)學(xué)，每一方面的知識(shí)都不能遺漏，否則會(huì)影響全面發(fā)展.

學(xué)生在每個(gè)年齡段應(yīng)當(dāng)接受不同特征的教育，所以，教師在制訂培養(yǎng)方案時(shí)應(yīng)當(dāng)把握住高中的知識(shí)主線，根據(jù)不同階段數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的特征表現(xiàn)構(gòu)建教學(xué)思路，也要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知學(xué)習(xí)習(xí)慣，科學(xué)有效地將知識(shí)傳輸給學(xué)生，幫助學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)體系.

教師在備課的過程中要考慮到學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況，規(guī)劃一個(gè)合理可行的長期培養(yǎng)體系，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)查缺補(bǔ)漏，完成好每一階段的學(xué)習(xí)任務(wù)，循序漸進(jìn)地掌握知識(shí)和技能，提升抽象素養(yǎng)水平.

(五)聯(lián)系數(shù)學(xué)歷史，提升課堂趣味

數(shù)學(xué)的萌芽伴隨著人類的文明出現(xiàn)，自古代人利用樹條打結(jié)計(jì)數(shù)的原始計(jì)數(shù)法開始計(jì)算，數(shù)學(xué)距今已有5000年的歷史，其發(fā)展過程大概分為四個(gè)時(shí)期：1.數(shù)學(xué)形成期，人類建立了基本的數(shù)學(xué)概念，認(rèn)識(shí)初始幾何；2.初等數(shù)學(xué)期，數(shù)學(xué)逐漸形成幾個(gè)分支，即算數(shù)、代數(shù)、幾何；3.變量數(shù)學(xué)期，解析幾何與微積分相繼建立；4.現(xiàn)代數(shù)學(xué)期，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的開端，在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，有許多值得學(xué)習(xí)的歷史以及趣味故事，教師在傳授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也應(yīng)讓學(xué)生們了解數(shù)學(xué)的歷史，每堂課前可以準(zhǔn)備一個(gè)相關(guān)的歷史趣事，既可以讓學(xué)生了解到即將學(xué)習(xí)的新知識(shí)，也可以提高課堂的趣味性，通過數(shù)學(xué)的歷史，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

例如，針對(duì)勾股定理的講解，教師可以先介紹一下勾股定理的由來以及古代的記載，我國《九章算術(shù)》中詳細(xì)記載了有關(guān)勾股定理的使用；魏國的數(shù)學(xué)家劉徽也曾多次使用過勾股定理來計(jì)算圓周率;《測(cè)圓海鏡》一書中，數(shù)學(xué)家李冶通過驗(yàn)證勾股形與直徑之間的關(guān)系，提出了系統(tǒng)的天元術(shù)，此外，還推導(dǎo)出了大量的有關(guān)勾股形邊長的公式；在我國，勾股定理的證明最早是由東漢末年吳國的趙爽給出的.在國外，勾股定理又叫畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是畢達(dá)哥拉斯在參加聚會(huì)時(shí)，觀察腳下的方形地板，驚奇地發(fā)現(xiàn)以對(duì)角線為邊長的正方形面積恰好等于兩塊磚的面積之和，之后又經(jīng)過進(jìn)一步演算，最終證明了“畢達(dá)哥拉斯定理”.這些歷史知識(shí)可以揭開勾股定理神秘的面紗，這也是學(xué)生在數(shù)學(xué)課本上了解不到的，所以，更能激起學(xué)生想要學(xué)習(xí)的興趣，教師隨后再進(jìn)行勾股定理知識(shí)的講解，學(xué)生會(huì)保持學(xué)習(xí)的興致，也就更容易將知識(shí)消化吸收.

(六)重視課程反思，加強(qiáng)綜合運(yùn)用

課程小結(jié)在教學(xué)設(shè)計(jì)中非常重要，教師可以通過課堂小結(jié)反思課堂上教給了學(xué)生什么，學(xué)生可以通過課堂小結(jié)反思課堂上學(xué)到了什么，在反思的過程中，有助于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解以及促使學(xué)生掌握其中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)抽象方法的總結(jié)和滲透.理想化抽象法、存在性抽象法、等價(jià)抽象法、強(qiáng)抽象法、弱抽象法是常見的數(shù)學(xué)抽象方法.在學(xué)習(xí)的過程中，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，讓學(xué)生注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，理解數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)核，自然而然，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)會(huì)有所提升.不僅如此，課堂小結(jié)能夠鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)，使學(xué)生印象深刻，學(xué)習(xí)效果更顯著.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)另一個(gè)重要的方法就是注重應(yīng)用.通過綜合應(yīng)用，不僅能夠幫助學(xué)生復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，更能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).學(xué)生首先需要從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，建立問題與知識(shí)之間的聯(lián)系，最終解決問題.因此，在綜合應(yīng)用中通過解決問題能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力得到充分的鍛煉.探究性問題在培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力中最為關(guān)鍵，教師從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，最后再回歸到現(xiàn)實(shí)中，建立現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系.

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不是短時(shí)間可以提升的.教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象思維，也要培養(yǎng)學(xué)生形成通過抽象思維從復(fù)雜背景中抽離出問題并解決問題的能力.在現(xiàn)實(shí)生活中，教師要讓學(xué)生養(yǎng)成自主探究數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，在生活中善于發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)問題，用數(shù)學(xué)的思維看待問題，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅存在于課堂，生活的每一處細(xì)節(jié)中都含有數(shù)學(xué)知識(shí).教師要讓數(shù)學(xué)不再脫離現(xiàn)實(shí)生活，不再是晦澀難懂的文字以及難以理解的公式，而是每個(gè)人都可以想象到的鮮明的場(chǎng)景，促使學(xué)生感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意義，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

新時(shí)代下科學(xué)技術(shù)發(fā)展越來越迅速，生活的方方面面都離不開數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)顯得格外重要，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)應(yīng)該成為高中生必備的基本素養(yǎng).在數(shù)學(xué)課堂上，教師除了要教授學(xué)生數(shù)學(xué)理論知識(shí)外，創(chuàng)新能力與實(shí)踐能力的培養(yǎng)也顯得格外重要.教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、思考、解決數(shù)學(xué)問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，將學(xué)生培養(yǎng)成為全面發(fā)展的人，從而適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展，為社會(huì)貢獻(xiàn)力量.