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        2022年高考理綜全國乙卷25題第(2)問的解法探析

        2022-12-28 08:41:18黨維軍任愛紅
        物理教學(xué)探討 2022年11期
        關(guān)鍵詞:參考系物塊彈力

        黨維軍,任愛紅

        渭南市瑞泉中學(xué),陜西 渭南 714000

        1 原題再現(xiàn)

        如圖1(a),一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上;物塊B向A運(yùn)動(dòng),t=0時(shí)與彈簧接觸,到t=2t0時(shí)與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的 v-t圖像如圖1(b)所示。已知從t=0到t=t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0。A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同。斜面傾角為θ(sinθ=0.6),與水平面光滑連接。碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求

        圖1 原題題圖

        (1)第一次碰撞過程中,彈簧彈性勢(shì)能的最大值;

        (2)第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值;

        (3)物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

        2 題意分析

        該題考查了一個(gè)雙彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型。已知物塊A質(zhì)量為m,由題給的v-t圖像可知:t=0時(shí)物塊A、B的速度分別為0和1.2v0,至t0時(shí)刻二者速度相等,均為v0,且物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0。前兩問只涉及光滑水平面上的運(yùn)動(dòng),根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得質(zhì)量關(guān)系mB=5m,結(jié)合能量守恒定律可解得第(1)問彈簧最大彈性勢(shì)能。第(2)問求第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值。

        3 第(2)問解法探析

        3.1 積分思想

        物塊A、B受輕彈簧的彈力大小相等、方向相反,根據(jù)牛頓第二定律可知加速度大小滿足aA=5aB,且加速度都隨時(shí)間變化。規(guī)定水平向右為正方向,在某時(shí)刻t(t≤2t0)二者速度可表示為:,聯(lián)立可得

        物塊A、B組成的系統(tǒng)合外力為零,系統(tǒng)動(dòng)量守恒,即 mB×1.2v0=mvA(t)+mBvB(t),代入質(zhì)量關(guān)系mB=5m,也可以得到(1)式。

        對(duì)(1)式在0到t0時(shí)間內(nèi)定積分可得

        即0到t0時(shí)間內(nèi)二者位移滿足。代入已知條件sA=0.36v0t0,可得sB=1.128v0t0,根據(jù)位移關(guān)系可得彈簧的最大壓縮量Δlm=sB-sA,代入數(shù)據(jù)可得Δlm=0.768v0t0。

        3.2 質(zhì)心參考系

        設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l0,t=0時(shí),質(zhì)心C的位置如圖2中所示,設(shè)物塊B到質(zhì)心的距離為l1,物塊A到質(zhì)心的距離為l2,則有mBl1=ml2,解得,質(zhì)心相對(duì)地面的速度因物塊A、B組成的系統(tǒng)合外力為零,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理[1]可知,質(zhì)心相對(duì)地面的加速度aC=0,且以速度v0向右做勻速直線運(yùn)動(dòng),為慣性參考系。

        圖2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析

        3.2.1 質(zhì)心參考系下確定位移關(guān)系

        t=0時(shí)質(zhì)心C把該輕質(zhì)彈簧分為自然長(zhǎng)度為1:5的左右兩部分,根據(jù)彈簧串聯(lián)的規(guī)律[2]可知兩部分勁度系數(shù)之比為5:1,記為5k和k。設(shè)t0時(shí)刻物塊A、B相對(duì)質(zhì)心C移動(dòng)的距離分別為XA、XB,因輕彈簧兩端彈力大小始終相等,則有:kXA=5kXB,即XA=5XB。已知0到t0時(shí)間內(nèi)物塊A相對(duì)地面的位移sA=0.36v0t0,根據(jù)位移的牽連關(guān)系有

        代入后解得 XA=0.64v0t0,則 XB=0.128v0t0,壓縮量的最大值Δlm=XA+XB=0.768v0t0。

        3.2.2 質(zhì)心參考系下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

        以質(zhì)心為參考系,則質(zhì)心C是靜止的,物塊A、B 的初速度分別變?yōu)椋篤B0=1.2v0-v0=0.2v0、VA0=0-v0=-v0,均是以質(zhì)心C為固定端做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子[3],t=0時(shí)刻均經(jīng)過平衡位置,設(shè)物塊A、B的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

        二者振動(dòng)方向始終相反,且初始時(shí)物塊A向左運(yùn)動(dòng),故初相位為π。由彈簧振子的圓頻率公式可得 ω1=ω2,即二者為同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由圖1(b)知t0時(shí)刻彈簧壓縮量最大,即A、B簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期均為T=4t0,將其代入,可得A、B的圓頻率均為。彈簧振子從平衡位置經(jīng)四分之一周期至振幅最大處,動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能且總能量守恒,故有,其中vm為平衡位置的速度,可得振幅,代入圓頻率和各自的初速度,可得物塊A、B的振幅分別為。壓縮量的最大值,代入π可得Δlm≈0.7639v0t0。與前文答案不一致,原因是題給條件0.36v0t0取了近似,根據(jù)位移關(guān)系sA=-A1+vCt0,可得0到t0時(shí)間內(nèi)物塊A相對(duì)地面的位移,代入π可得sA≈0.3634v0t0,同理可計(jì)算出物塊B相對(duì)地面的位移,代入 π可得sB≈1.1273v0t0。運(yùn)用簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律可不用題給條件sA,直接算出準(zhǔn)確的結(jié)果。

        下面對(duì)題給v-t圖像進(jìn)行說明。對(duì)(3)式所示的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程關(guān)于時(shí)間求導(dǎo),可得A、B在質(zhì)心參考系下的速度

        代入初始條件:t=0時(shí)的速度VA0=-v0、VB0=0.2v0及,同樣可解得振幅。根據(jù)速度的牽連關(guān)系:物塊A、B相對(duì)質(zhì)心的速度加質(zhì)心相對(duì)地面的速度等于物塊相對(duì)地面的速度,即vA(t)=VA(t)+vC,vB(t)=VB(t)+vC,代入對(duì)應(yīng)結(jié)果可得

        (5)式就是題給v-t圖像的函數(shù)表達(dá)式,容易看出該圖像是周期相同、相位差為π的兩個(gè)余弦函數(shù)圖像向上平移v0后得到的。確定了v-t圖像的規(guī)律后,可根據(jù)定積分計(jì)算圖像面積來求解第(2)問,此處不再贅述。

        3.2.3 求彈簧勁度系數(shù)

        設(shè)題中彈簧勁度系數(shù)為k0,可看作是由勁度系數(shù)為5k和k的左右兩部分串聯(lián)而成,聯(lián)立,可得,根據(jù)彈簧串聯(lián)規(guī)律有,解得,根據(jù)彈性勢(shì)能公式,代入第(1)問的結(jié)果,同樣可得。

        3.3 非慣性參考系

        為了方便,以物塊A為參考系研究物塊B的運(yùn)動(dòng)。因A受彈力具有加速度,故A為非慣性參考系。以A為參考系B的初速度仍為1.2v0,設(shè)經(jīng)時(shí)間 t(t≤2t0), B 相對(duì) A 的位移記為 x(t),則彈簧彈力為 F=k0x(t),A 的加速度為,方向向右。根據(jù)直線加速非慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程有:-k0x(t)+5m(-aA)=5maBA,其中 5m(-aA)為慣性力,aBA為物塊B相對(duì)物塊A的加速度,整理得,可見以A為參考系物塊B的運(yùn)動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng),由題可知t=t0時(shí)彈簧壓縮量最大,則B簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期仍為4t0,圓頻率仍為。 設(shè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 x(t)=A3sinωt,A3為振幅,即彈簧的最大壓縮量,初速度即平衡位置的速度,故有,解得。

        4 平均力法的錯(cuò)因分析

        平均力法的解題過程如下,設(shè)FA、FB為0到t0時(shí)間內(nèi)彈簧對(duì)A、B的平均力,根據(jù)動(dòng)能定理分別有

        因彈簧兩端彈力大小時(shí)刻相同,故平均力大小相等

        聯(lián)立(6)(7)(8)式可得 sB=2.2sA,彈簧最大壓縮量 Δlm=sB-sA,代入 sA=0.36v0t0,可得 Δlm=0.432v0t0,與正確答案不同。

        該法的錯(cuò)因分析如下:物體在方向不變的力的作用下做直線運(yùn)動(dòng),平均力的計(jì)算分兩種,一種是對(duì)時(shí)間的平均值,用于計(jì)算力的沖量;一種是對(duì)位移的平均值,用于計(jì)算力做的功。

        就本題而言,在0到t0時(shí)間內(nèi)對(duì)A、B分別應(yīng)用動(dòng)量定理有,解得,故彈簧兩端彈力對(duì)時(shí)間的平均值相等。顯然(6)(7)兩式中的平均力應(yīng)該用力對(duì)位移的平均值,因彈簧對(duì)A、B做的功不同,且A、B相對(duì)地面的位移也不同,那么平均力是否相同?將前文得到的結(jié)果sA≈0.3634v0t0和sB≈1.1273v0t0分別代入(6)(7)兩式,解得,可見彈簧兩端彈力對(duì)位移的平均值不相同,所以該方法的(6)(7)兩式并沒有問題,錯(cuò)誤在(8)式,混淆了兩種平均力。

        另一種觀點(diǎn)認(rèn)為從t=0到t=t0時(shí)間內(nèi)彈簧從原長(zhǎng)變?yōu)樽疃?,兩端的彈力均?變?yōu)樽畲驠m,平均力都等于。如果力隨時(shí)間(位移)線性變化,則力對(duì)時(shí)間(位移)的平均值相同,本題中力隨時(shí)間和位移都不是線性變化,故該結(jié)論不適用。

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