徐康賓，楊亞莉

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院）

0 引言

工程構(gòu)件在生產(chǎn)、安裝、使用過程中難免會受到擠壓、劃傷等，造成表面損傷，在循環(huán)荷載作用下，這些表面損傷將演變?yōu)楸砻媪鸭y，最終引發(fā)斷裂，從而導(dǎo)致構(gòu)件失效。因此，研究表面裂紋的擴(kuò)展機(jī)理具有很大的經(jīng)濟(jì)價值和現(xiàn)實意義[1-4]。

在表面裂紋擴(kuò)展研究中，數(shù)值方法由于低成本、高精度受到廣泛應(yīng)用。Newman[5]、Song[6]和Liu[7]提出了裂紋前緣形狀為橢圓、表面點和深度點獨立擴(kuò)展的假設(shè)。Lin 和Smith[8]提出了一種沿裂紋前沿9 個點預(yù)測形狀變化的技術(shù)。Toribio[9-10]等認(rèn)為裂紋前沿為橢圓，將橢圓分為14 個部分，采用最小二乘法確定裂紋前沿的形狀。

上述學(xué)者對疲勞裂紋數(shù)值擴(kuò)展的研究中都把擴(kuò)展點狀態(tài)統(tǒng)一看作平面應(yīng)變狀態(tài)，沒有考慮到最外側(cè)的擴(kuò)展點其實是應(yīng)力狀態(tài)的情況。

因此，本文首先基于平面內(nèi)任意位置的平面狀態(tài)是平面應(yīng)力狀態(tài)與平面應(yīng)變狀態(tài)的組合狀態(tài)的假設(shè)，用權(quán)重系數(shù)來表示平面應(yīng)變狀態(tài)在該位置所占的比重，并將權(quán)重系數(shù)用于平面內(nèi)任意位置的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式；提出了相對深度系數(shù)的概念，并假設(shè)了3 種權(quán)重系數(shù)與相對深度系數(shù)的關(guān)系；最后，基于這3 種關(guān)系進(jìn)行疲勞裂紋數(shù)值擴(kuò)展，利用數(shù)值結(jié)果處理方法得到3 種關(guān)系下的數(shù)值結(jié)果精度，并與其他文獻(xiàn)進(jìn)行了對比。

1 J 積分計算

首先在ABAQUS 軟件中計算出所有積分點的J積分，步驟如下：

（1）在Part 模塊中建立圓柱體模型，圓柱體直徑為12，長度為90；

（2）在Property 模塊中賦予部件材料屬性，彈性模量為206 000，泊松比為0.33；

（3）在Assembly 模塊中建立裝配體，裝配方式選擇獨立裝配；

（4）在Step 模塊中建立分析步，類型為靜態(tài)通用類型；

（5）在Part 模塊中進(jìn)行圓柱體分割并在分割面上繪制裂紋線。利用圓柱體中截面將圓柱體一分為二，根據(jù)相應(yīng)的參數(shù)完成在中截面上繪制橢圓?。?/p>

（6）在Interaction 模塊中創(chuàng)建裂紋。先在中截面上指派裂紋區(qū)域，然后再創(chuàng)建裂紋，創(chuàng)建裂紋類型為環(huán)線積分；

（7）在Step 模塊中修改歷史輸出。在歷史輸出中選擇裂紋，輸出類型為J 積分，積分次數(shù)為10；

（8）在Load 模塊中施加載荷與約束。在圓柱體一端施加全固定約束，另一端施加100 MPa 拉力；

（9）在Mesh 模塊中進(jìn)行網(wǎng)格劃分，設(shè)置裂紋線上的種子數(shù)為80，從而可在裂紋上得到81 個積分點，然后調(diào)整其它部分的種子數(shù)，以便完全產(chǎn)生六面體網(wǎng)格；

（10）在Job 模塊提交計算，計算完成后在工作目錄里會有dat 和inp 文件。

用記事本打開inp 文件，可查找到81 個積分點的節(jié)點編號和坐標(biāo)，用記事本打開dat 文件進(jìn)行查找，可得81 個積分點的J 積分。

對于某一個擴(kuò)展點，首先找出與其最接近的2 個積分點p1和p2，然后計算擴(kuò)展點到積分點的距離L1和L2。

式中：xp，yp——擴(kuò)展點p 的坐標(biāo)；xp1，yp1——積分點p1的坐標(biāo)，xp2，yp2——積分點p2的坐標(biāo)。

最后，根據(jù)距離求出擴(kuò)展點p 的J 積分值Jp。

式中：Jp1——積分點p1的J 積分值；Jp2——積分點p2的J 積分值。

3 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算

當(dāng)?shù)玫侥车綌U(kuò)展點對應(yīng)的J 積分后，即可求出該擴(kuò)展點的應(yīng)力強(qiáng)度因子，計算公式為：

考慮到擴(kuò)展面上的任意一個擴(kuò)展點大都不是完全的平面應(yīng)力狀態(tài)或平面應(yīng)變狀態(tài)，而是兩種平面狀態(tài)的混合體，不同的是2 種狀態(tài)所占的比重不同，基于這個假設(shè)，本文提出了一個新的應(yīng)力強(qiáng)度因子計算公式，其表達(dá)式為：

式中：μ——平面應(yīng)變狀態(tài)所占的權(quán)重系數(shù)。

另外，對于每一個擴(kuò)展點，其坐標(biāo) 假設(shè)為（x0，y0），提出了一個擴(kuò)展點相對深度λ的概念，λ的意義為到圓柱體表面的相對距離，λ越大表明擴(kuò)展點距離圓柱體表面越遠(yuǎn)。其定義公式為：

式中：Xc，Yc——圓心的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)；D——圓柱體直徑。

顯然，當(dāng)λ=0 時，擴(kuò)展點位于圓柱體表面，則k 應(yīng)當(dāng)為kstress，也即說權(quán)重系數(shù)μ應(yīng)當(dāng)為0。當(dāng)λ=1 時，擴(kuò)展點位于圓柱體中心，則k 應(yīng)當(dāng)為kstrain，也即說權(quán)重系數(shù)μ應(yīng)當(dāng)為1。

基于上述關(guān)系，不妨假設(shè)μ與λ存在以下幾種關(guān)系：

又由于當(dāng)λ分別為0 和1 時，μ也分別為0 和1，因此可以求解出μ與λ的具體關(guān)系式：

聯(lián)立式（4）、式（5）、式（8），可以得到應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式為：

3 裂紋擴(kuò)展方法

首先確定第i 條裂紋擴(kuò)展到第i+1條裂紋的步驟。

（1）給出第i 條裂紋的坐標(biāo)方程，如式（10）所示。其中和都是已知的。

（2）確定在第i 條裂紋上的5 個擴(kuò)展點（x（i，j），y（i，j））。

（3）給出第i+1 條裂紋的坐標(biāo)方程，如式（11）所示。其中給定，為任意值。

（4）在2 條裂紋之間創(chuàng)建擴(kuò)展圓。由于這些圓與前后2 條裂紋相切，且切點為擴(kuò)展點，從而可以確定第i+1 條裂紋上的擴(kuò)展點（x（i+1，j），y（i+1，j））。

（5）依據(jù)公式（12）計算每個擴(kuò)展點對應(yīng)的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Δkej。

式中：k（i，j）——第i+1 條裂紋上第j 擴(kuò)展點的應(yīng)力強(qiáng)度因子；k（i+1，j）——第i+1 條裂紋上第j 個擴(kuò)展點的應(yīng)力強(qiáng)度因子；j——擴(kuò)展點編號，j=1，2，…，5。

（6）給定第1 個擴(kuò)展點的擴(kuò)展量，從而根據(jù)式（13）確定其他擴(kuò)展點的擴(kuò)展量。

式中：ΔL1——第1 個擴(kuò)展點的擴(kuò)展量；Δke1——第1 個擴(kuò)展點對應(yīng)的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子。

（7）根據(jù)擴(kuò)展點沿著垂直于第i 條裂紋前進(jìn)ΔLj/2 可得擴(kuò)展圓心的坐標(biāo)（x（c,j），y（c,j））。

（8）根據(jù)式（14）計算擴(kuò)展圓心與第i+1 條裂紋上的擴(kuò)展點的距離：

（9）根據(jù)式（15）計算當(dāng)前參數(shù)下第i+1 條裂紋的誤差：

當(dāng)i=1 時，裂紋為初始裂紋，是已知的，從而可以得到第2 條裂紋，以此類推，可得到所有裂紋。

4 數(shù)值結(jié)果處理

由于有3 組裂紋擴(kuò)展的數(shù)值結(jié)果，因此需要計算每一組數(shù)值結(jié)果的預(yù)測精度。方法是先將每一組數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差進(jìn)行量化，之后取其倒數(shù)作為每組數(shù)值結(jié)果的預(yù)測精度。其中，實驗結(jié)果來源于文獻(xiàn)[11]。

4.1 實驗結(jié)果的處理

圖1 是用Origin 軟件擬合實驗數(shù)據(jù)后的結(jié)果圖，圖1 中的擬合結(jié)果如表1 所示。則實驗數(shù)據(jù)擬合曲線的方程為

圖1 實驗結(jié)果擬合圖Fig.1 Fitting diagram of experimental results

表1 實驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Tab.1 Experimental data fitting results

4.2 仿真結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差計算

將實驗數(shù)據(jù)擬合后，實驗結(jié)果可以用一條曲線代替。而數(shù)值結(jié)果也能用一條曲線表示，因此可以將數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差用兩條曲線的誤差代替，示意圖如圖2 所示，具體步驟如下：

圖2 曲線誤差示意圖Fig.2 Schematic diagram of curve error

（1）將數(shù)值結(jié)果中的n 個數(shù)據(jù)點連接起來。

（2）在實驗擬合曲線中取出n 個數(shù)據(jù)點，保證兩條曲線中的n 個數(shù)據(jù)點的相對裂紋深度相同。

（3）計算兩條曲線中n 個數(shù)據(jù)點的相對裂紋弦長差Δyi。

（4）計算兩條曲線的誤差。

5 結(jié)果與討論

表2、表3 和表4 分別是3 種關(guān)系下的裂紋擴(kuò)展數(shù)值結(jié)果。表5 是Yang 等[12]基于擴(kuò)展點為平面應(yīng)變狀態(tài)得到的數(shù)值擴(kuò)展結(jié)果。將上述4 組數(shù)值結(jié)果處理后可得到相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果誤差，如表6 所示。

表2 線性關(guān)系下的裂紋擴(kuò)展數(shù)值結(jié)果Tab.2 Numerical results of crack propagation under linear relationship

表3 指數(shù)關(guān)系下的裂紋擴(kuò)展數(shù)值結(jié)果Tab.3 Numerical results of crack growth under exponential relationship

表4 二次函數(shù)關(guān)系下的裂紋擴(kuò)展數(shù)值結(jié)果Tab.4 Numerical results of crack propagation under quadratic function relation

表5 Yang 等人的裂紋擴(kuò)展數(shù)值誤差Tab.5 Numerical error of crack propagation by Yang,et al

表6 各組數(shù)值結(jié)果精度Tab.6 Precision of numerical results for each group

從表6 可以看出，基于本文提出的3 種關(guān)系而得到的數(shù)值結(jié)果精度明顯高于Yang 等人的數(shù)值結(jié)果精度。在本文的3 組數(shù)值結(jié)果精度中，基于二次函數(shù)關(guān)系而得到的數(shù)值結(jié)果精度最高，基于指數(shù)函數(shù)關(guān)系而得到的數(shù)值結(jié)果次之，基于指數(shù)函數(shù)關(guān)系而得到的數(shù)值結(jié)果最低。

結(jié)果表明，相對于把擴(kuò)展點的平面狀態(tài)看作是平面應(yīng)變狀態(tài)，把它看作是平面應(yīng)變狀態(tài)與平面應(yīng)力狀態(tài)的組合狀態(tài)更能提高數(shù)值擴(kuò)展的精度。而在3 種關(guān)系對應(yīng)的組合狀態(tài)中，二次函數(shù)關(guān)系是最能提高數(shù)值擴(kuò)展精度的關(guān)系。

6 結(jié)論

本文研究了平面狀態(tài)對疲勞裂紋數(shù)值擴(kuò)展的影響。具體的結(jié)論如下：

（1）利用ABAQUS 軟件求解了所有積分點的J 積分，并根據(jù)擴(kuò)展點到積分點的距離求出擴(kuò)展點的J 積分值；

（2）基于平面狀態(tài)是平面應(yīng)力狀態(tài)和平面應(yīng)變狀態(tài)的組合狀態(tài)的假設(shè)，利用權(quán)重系數(shù)代表平面應(yīng)變狀態(tài)所占的比重，并將其用于應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式，然后，提出了相對深度系數(shù)的概念，并假設(shè)，權(quán)重系數(shù)與相對深度系數(shù)分別呈線性、指數(shù)和二次函數(shù)關(guān)系；

（3）基于權(quán)重函數(shù)與相對裂紋深度的3 種關(guān)系，通過裂紋擴(kuò)展方法進(jìn)行數(shù)值擴(kuò)展，得到3 種關(guān)系下的疲勞裂紋數(shù)值結(jié)果。利用本文中提出的數(shù)值結(jié)果處理方法得到3 種關(guān)系下的數(shù)值結(jié)果精度；

（4）通過對數(shù)值結(jié)果的分析表明，將平面狀態(tài)看作是平面應(yīng)力狀態(tài)與平面應(yīng)變狀態(tài)有助于提高數(shù)值擴(kuò)展的精度，并且當(dāng)權(quán)重系數(shù)與相對深度系數(shù)的關(guān)系為二次函數(shù)時數(shù)值擴(kuò)展精度最高。